2023-2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)高一年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)高一下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知α是第二象限角，則點(diǎn)P(CoSe,tan。)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【正確答案】C

【分析】由α是第二象限角，可得CoSC<0,tanc<0,即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以CoSa<O,tana<O,

所以P(CoSa,tanc)在第三象限.

故選：C.

2.設(shè)A?=(2,3),8C=(1,T),則AC=()

A.(3,-1)B.(3,1)C.(3,-7)D.(1,7)

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示列式計算.

【詳解】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，得4C=AB+8C=(3,-1).

故選：A

3.已知i為虛數(shù)單位，則獸=().

1-2/

A.-2-3zB.-I-Z

C.—l÷zD.3+2/

【正確答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得結(jié)果.

l+3i(l+3i)?(l+2i)-5+5i=.

【詳解】l-2z-(l-2z)?(l+2z)-5+；，

故選：C.

4.cos240°=()

A.gB.?C.-迫

222

【正確答案】D

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.

【詳解】解：因?yàn)镃OS240o=cos(l80°+60°)=-cos60°=-,.

2

故選：D.

5.在IABC中，若α=0,?=√6,A=30,則8等于()

A.30B.30或150C.60D.60或120

【正確答案】D

【分析】利用正弦定理以及三角形內(nèi)角的范圍計算求解.

√6

【詳解】由正弦定理可得，=

sin30sinB

化筒得sin5=?f=叵

√22

又因?yàn)棣?lt;b,且30<B<180,

所以8=60或8=120.

故選：D

6.要得到函數(shù)y=sin[2x-]）的圖象，

只需將函數(shù)y=sin2x的圖象（）

A.向左平移J個單位長度B.向右平移5個單位長度

66

C.向左平移gTT個單位長度D.向右平移號個單位長度

【正確答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則直接判斷即可.

斗SinNA邛

【詳解】γ=sin2x-J

3jLL6〃

JT

???只需將y=sin2x的圖象向右平移9個單位長度即可.

6

故選：B.

7.下列命題正確的是（）

A.若“∕=α?c（αxθ）,則彼="B.若卜+0=卜訓(xùn)，則α∕=0

C.若?！ㄈ薭∕∕c,則“〃CD.若α與b是單位向量，則α∕=l

【正確答案】B

【分析】運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算可判斷A項(xiàng)、D項(xiàng)，對等式兩邊同時平方可判斷B項(xiàng)，由零向量與任意

向量共線可判斷C項(xiàng).

【詳解】對于A項(xiàng)，?.?α.b=α?c，

，。?S-C)=O,

又??Z≠0

「?a_LS—c)或b=c，故A項(xiàng)不成立；

對于B項(xiàng)，Y14+61=∣〃-bI,

.*.(a+by=(a-b)2,即：J+江+2α?∕?=J—2。為，

:?A?b=G,故B項(xiàng)正確；

對于C項(xiàng)，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量共線，例如：?=(1,2),b=0,c=(l,5),則滿足6/c，但

不滿足：〃)故C項(xiàng)不成立；

對于D項(xiàng)，???向=1,W=1,

a?h=?a???b?cos<a,b>=cos<a,b>，

又,：<α,6>不確定,

工Q力的值不確定，故D項(xiàng)不成立.

故選：B.

TT

8.已知菱形ABCO邊長為2,ZB=y,點(diǎn)P滿足AP=NAB，A∈R,若BDCP=-3,則2的值為

()

A.?B.--?-C.-D.

2233

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量的基本定理，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算公式，建立方程即可得到結(jié)論.

【詳解】法一：由題意可得54?8C=2x2cosg=2,

BD-CP=(BA+BCXBP-BC)

=(BA+BC>[(AP-AB)-BC]

-(BA+BC)[U-O-AB—BCJ

—(1-A)BA2-BA-BC÷(∣-2)?BA-BC-BC2

=(1-Λ)?4-2+2(1-2)-4

=—6λ=-3,

故選A.

法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則8(2,0),C(l,√3),D(-l,√3).

令P(X,0),由8O?CP=(-3,√3)?(x-1,一由)=—3x+3—3=—3x=—3得x=l.

VAP-λAB?.?.2=g.故選A?

1.已知向量a,b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解.

設(shè)a=(α∕,ai),b=(Zυ,bi),則a?b=α√>∕+α2岳.

2.通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式計算.

二、多選題

9.設(shè)復(fù)數(shù)z∣=l-i,z2=i(i為虛數(shù)單位)，則下列結(jié)論正確的為()

A.N?是純虛數(shù)B.z「Z2對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.Izl—Z21=1D.Z]=1+i

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A；算出z∣-Z2判斷B；算出∣z∣-Z2∣判斷C；求出I判斷D.

【詳解】對于A：22=i,其實(shí)部為零，虛部不為零，是純虛數(shù)，A正確;

對于B：zl-z2=l-2i,其在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為（1,-2）,在第四象限，B錯誤;

對于C：z,-z2=l-2i,則片-Z2∣=向=石，C錯誤；

對于D：zl=1-1,則z∣=l+i,D正確.

故選：AD

10.下列各式中，結(jié)果為零向量的是（）

A.AB+MB+BO+OMB.AB+BC+CA

C.OA+OC+BO+COD.AB-AC+BD-CD

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算，對四個選項(xiàng)逐一計算，即可得正確答案.

【詳解】對于選項(xiàng)A：AB+MB+BO+OM=AB^選項(xiàng)A不正確；

對于選項(xiàng)B：AB+BC+CA=AC+CA=O'選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C：OA+OC+BO+CO^BA,選項(xiàng)C不正確；

對于選項(xiàng)0：AB-AC+BD-CD=（ABΛ-BD?-（AC^CD?=AD-AD=O

選項(xiàng)。正確.

故選：BD

本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.下列等式成立的是()

n.ππ√2

A.cos2150-sin215°=—πB.sin—cos—=——

2884

1

C.—sin400÷-^cos400=sin70oD.tan15o=2-√3

22

【正確答案】ABD

【分析】利用二倍角的余弦公式即可判斷A；利用二倍角的正弦公式即可判斷B；利用兩角和的正弦

公式即可判斷C；利用兩角差的正切公式即可判斷D.

【詳解】對于A,cos215o-sin215o=cos30°=—,故A正確；

2

對于B,sin—cos—=?sin—=,故B正確；

88244

對于C,—sin40o+—cos40o=cos60osin40o+sin600cos400=sin100o,故C錯誤；

22

對于D,tan15o=tan(60o-45o)==2-√3,故D正確.

l+√3

故選：ABD.

12.在一ABC中，α,b,C分別為角A,B,C的對邊，已知嗎=J-,S=空，且人=3,

cosC2a-cδabc4

則

?/?

A.cosB=~B.CoSB=—C.￠/+c=y/3D.α+c=3^2

22

【正確答案】AD

【分析】利用正弦定理邊化角，再結(jié)合余弦定理即可求解.

［詳解］耳.S丁

cose2a-c2sιnΛ-sιnC

整理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB

可得sinBcosC÷sinCcosB=sin(B÷C)=sinA=2sinAcosB

A為三角形內(nèi)角，sinAWO

cosB??故A正確，B錯誤.

2

B≡(0,π):.B=-

3

S_3√3,

SABC力=3

,3√31.o1√3√3

42224

解得ac=3,

由余弦定理得9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(α+c)2-9

解得α+c=3√L故C錯誤，D正確.

故選:AD.

解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊

三、填空題

13.己知本次數(shù)學(xué)考試總時間為2小時，你在奮筆疾書沙沙答題，分針滴答滴答忙著轉(zhuǎn)圈.現(xiàn)在經(jīng)過

了1小時，則此時分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是.

【正確答案】-2π

先明確1小時是60分鐘，得到分針轉(zhuǎn)過的角度，再算出弧度數(shù).

【詳解】因?yàn)?小時是60分鐘，分針正好轉(zhuǎn)過一周-360,

所以轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是-2ι.

故-2乃

本題主要考查弧度制，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知x,ywR,若(X-I)+yi=l+i,則x+y=.

【正確答案】3

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等列式求解.

[x-?=1

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)相等，列式得,,

Iy=I

fx=2

解得1,所以χ+y=3.

Iy=I

故3

15.已知”=(3,4),6=(1,-7),則6在a方向上的投影向量的坐標(biāo)為.

【正確答案】(-3,T)

【分析】利用投影向量的定義化簡即可求解.

【詳解】解：由題意可知i)=3-28=-25,

又因?yàn)镺l=5,巾|=5立，

111

所以〃在a方向上的投影向量為∣1∣?*j阜=-5X《，3=(-3T).

?a?-?b??a?55

故(-3,-4)

16.如圖，在平面四邊形ABC。中，AB±BC,AD?CD,ZBAD=120o,AB=AD=I.若點(diǎn)E為邊Cf)上

的動點(diǎn)，則EA-EB的最小值為.

Ct

E

D

A

【正確答案】今21

Io

【分析】設(shè)。E=C(O≤2≤1),根據(jù)條件找出。C=BC=百，El=G彳，且OE與AB的夾角為

TFIT

?,Z)A與4B的夾角為g，從而根據(jù)向量的加法法則和減法的定義寫出

EAEB=(DA-DE)?ED+DA+AB),然后表示為關(guān)于2的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最小值即可

解決問題.

【詳解】延長C2BA交于點(diǎn)因?yàn)锳BL8C,ACS,2349=120。，所以ZBCz)=60'，

ZDHA=30°,

在RtA。，中，ZDHA=30°,AD=I,所以4a=2,力〃=石，

在RtZ?5C“中，ZCHB=30°，BH=3,所以CH=2瓜BC=布,

所以O(shè)C=BC=√L不妨設(shè)DE=M*C(O≤4≤1),則同=且OE與AB的夾角為7，OA與A8

的夾角為與，

則E4?EB=(D4-Z)EMED+D4+AB)

=DAED+DADA+DA-AB-DE-ED-DE-DA-DE-AB

=0+∣DA∣2+∣DA∣?∣AB∣cos→3λ2-0-∣DE∣?∣AB∣cos^

=?+-+3λ2-O-y[3λ×-=3λ2--λ+-,

2222

所以/1=9時，EVEB取最小值3X〃T-3XL3=0.

4⑷24216

H

21

故答案為.二

16

四、解答題

17.已知復(fù)數(shù)z=(l+4i)(l+i)+2+4i(αcR).

(1)若Z在復(fù)平面中所對應(yīng)的點(diǎn)在直線x-y=O上，求〃的值；

(2)求∣z+2∣的取值范圍.

【正確答案】(l)α=T;

⑵[5√Σ,+∞)

【分析】(1)化間z,得Z在復(fù)平面中所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線x-y=0計算即可;

(2)代入模長公式表示出∣z+2∣,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.

【詳解】(1)解：化簡得z=(l+H)(l+i)+2+4i=(3-α)+(α+5)i,

所以Z在復(fù)平面中所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：(3-α,α+5),

又因?yàn)榇它c(diǎn)在直線x-V=O上，

所以3-a-(α+5)=0,

解得α=-1；

(2)解：因?yàn)镮z+2∣=∣(5-α)+(α+5川="(5-4+(α+5/=J2/+50≥回=50,

所以∣z+2∣的取值范圍為[5j∑,+oo)?

45

18.已知￡均為銳角，sina=-,cos(tz+∕7)=--.

⑴求COS22的值;

(2)求Sin/的值.

7

【正確答案】⑴-不

56

⑵一

65

【分析】運(yùn)用二倍角公式、同角三角函數(shù)平方關(guān)系、配湊角及差角公式求解即可.

【詳解】⑴由題意知，cos2a=l-2sin2a=l-2×(-)2=~,

525

(2)Va,夕為銳角，

.?.O<α+/?<兀，

45

又??Sina=—,cos(ɑ+△)=一行，

.*.sin(α+/)=?/l-cos2(α+/?)=,cosa=Vl-sin2a-1,

123456

.?.sinβ=SinKa+β)-a}=sin(α+β)cosa-cos(a÷0)sina=-×--x—=——

y565

19.設(shè)x,ywR,向量α=(%,2),b=(4,y),c=(1,-2),且h//c?

⑴求χ,y的值；

⑵求.+可的值.

【正確答案】(I)X=4,y=-8

⑵10

【分析】(1)根據(jù)向量垂直、平行的坐標(biāo)表示即可求解；

(2)由(1)知。=(4,2),6=(4,-8),從而計算。+/?=(8,-6),再根據(jù)模長的坐標(biāo)公式即可求解.

【詳解】(1)若&Lc,b"C,

則不一4=0,且一2x4-IXy=0,

得x=4且y=-8.

(2)由(1)可知，d=(4,2),?=(4,-8),

則。+b=(8,-6),

則∣4+b∣=鬧*前=10.

20.已知“=(2SinX,cos°x),?=(√^cosx,2),f^x)=a-b.

(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間θ?上的最大值和最小值.

【正確答案】(1)最小正周期為"，單調(diào)減區(qū)間為pj+k肛4+k"∣,%eZ;(2)最大值為3,最小值

63

為0.

【分析】(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡，再利用整體的思想.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果及X的范圍求出2x+f的范圍，從而計算出函數(shù)的最值.

6

【詳解】解：(l)d=(2sinx,cos2x),b=(>∕3cosx,2),

由f(x)=a?b=2?∣3sinxcosx+2cos2x

=GSin2x+cos2x+1=2sin(2x+馬+1,

6

?/(x)的最小正周期T=U2ττ=萬，

由2k兀+—≤2x+-≤—+2k兀,Z∈Z,

262

yr9jr

得：一+%?！躼≤—+kπ,k∈Z,

63

?/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為→kπ,^-+kπ,Λ∈Z;

Z-?I八7C,rrC7V7T7TT

(2)由XW0?—可得：2x+-∈—,

ZJOLoo

當(dāng)2x+g=gB寸，函數(shù)?(?)取得最小值為2sin?+1=0,

OOO

當(dāng)2x+￡=W時?，函數(shù)/(x)取得最大值為2sing+1=3,

622

JT

故得函數(shù)/(X)在區(qū)間0，5上的最大值為3,最小值為0.

21.由于2020年1月份國內(nèi)疫情爆發(fā)，經(jīng)濟(jì)活動大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響.3月份復(fù)工復(fù)產(chǎn)

工作逐步推進(jìn)，居民生活逐步恢復(fù)正常.李克強(qiáng)總理在6月1日考察山東煙臺一處老舊小區(qū)時提到，

地攤經(jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機(jī).某商場

經(jīng)營者陳某準(zhǔn)備在商場門前“擺地攤”，經(jīng)營冷飲生意.已知該商場門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其

中NAPB=I20",且在該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)R處有一個路燈，經(jīng)測量點(diǎn)R到區(qū)域邊界B4、P3的距離分別為

RS=4m,RT=6m,（m為長度單位）.陳某準(zhǔn)備過點(diǎn)R修建一條長椅MN（點(diǎn)M,N分別落在F4、

PBk,長椅的寬度及路燈的粗細(xì)忽略不計），以供購買冷飲的人休息.

（1）求點(diǎn)S到點(diǎn)T的距離；

（2）為優(yōu)化經(jīng)營面積，當(dāng)PM等于多少時，該三角形M區(qū)域面積最?。坎⑶蟪雒娣e的最小值.

【正確答案】（l）2>∕7m;

⑵當(dāng)PM=86m時，面積取最小值32K∏√.

【分析】（1）連接ST,在邢T中，由余弦定理求解ST的值；（2）由三角形面積公式和

SNMN=SMRM+SNIW,可推出2PM?PN=2PM+3PN,再結(jié)合基本不等式求解PM-PN的最小值,

4

從而求解出PMN面積的最小值.

【詳解】（1）連接S7,在..RST中，因?yàn)镽SLPA,RTYPB,NAPB=I20°,

所以NSRT=60,由余弦定理得，=RS2+RT2-2RS?RTCoSNSRT=I6+36-2χ4χ6χ,=28,

2

所以S7=2√Y,即點(diǎn)S到點(diǎn)7的距離為2√7m.

(2)由S△,IMN=1PM?PN?sinl20=^-PM-PN,

Spmn=SPRM+SPRN=；PM?x4+*Nx6=2PM+3PN,

:.—PMPN=IPM+3PN≥2√6PM?PN,

4

2PM=3PN

化簡得PM?PN≥128,當(dāng)且僅當(dāng)