2023年高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷2（新高考專(zhuān)用）（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷02（新高考專(zhuān)

用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自

己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第I【卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求.

1.（2023秋?天津?yàn)I海新?高三大港一中校考階段練習(xí)）已知集合4=1€必/-2“431

x

B=<xeR<0,貝|JAC（4B）=（）

x—2

A.{3}B.{0,3}C.{2,3}D.{0,2,3}

【答案】C

【解析】A={xeN|x2-2x<3}={xeN|-l<x<3}={0.1,2,3},

由三40,得解得04x<2,所以3=（xeR-^40|=[O,2）,

x-2[x-2#0[x-2]L

所以d3=（To,0）52,一），所以Ac低3）={2,3}.故選：C.

2.（2023?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（2z+3）i=3z,則口（）

A69.69.69.69.

A.-------1B.-----1---1C.——1D.---1---1

1313131313131313

【答案】A

【解析】因?yàn)椋?z+3）i=3z,2zi+3i=3z,（3—2i）z=3i,

3i3i（3+2i）-6+9i69.69

7-3-2i（3-2i）（3+2i）131313所以z=irm.故選：'

3.（2022秋?安徽六安?高三校聯(lián)考期末）已知中，。為3c的中點(diǎn)，且,。=4,

\AB+AC\=\AB-AC\,ZACB=^,則向量40在向量48上的投影向量為（）

A.-ABB.-ABC.-ABD.AB

432

【答案】c

【解析】k8+Aq=|AB-AC|,.-.2|AO|=|CB|,:.ZBAC=^,

又忸c|=4,zACB=e，.?JAB]=2,|AO|=2,

IT

.1/MB為等邊三角形，

.?.40在48上的投影向量為,0卜。$/。4叢尚=2、1乂3/18=；48.故選：C.

4.（2023?廣西柳州?二模）已知函數(shù)y="r）的部分圖象如圖所示，則下列可能是f。）的解

析式的是（）

B.f(x)=x-cosxC.〃幻=理

x

D.〃幻=4

COSX

【答案】B

【解析】A./（0）=1>0,故錯(cuò)誤；

B.因?yàn)?（0）=—1<0,且/'（x）=l+sinx2（）,則〃x）在R上遞增，故正確;

Cj（x）的定義域?yàn)椋鹸|xrO｝關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，乂

〃_x）=』h詠—

-X-X

則/（X）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故錯(cuò)誤；

D.〃x）的定義域?yàn)椋鸛|XKE+去kez）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

又〃一月=；^二廣37=-〃切，則/（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故

CU51AIvOo人

錯(cuò)誤；故選：B.

5.（2023秋?湖北?高三湖北省云夢(mèng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知sin[a+=]-cosa=:，則

)

1C.-33

B.D.

244

【答案】A

【解析】'/sin[a+—l-coscr=--sina——cosa=sin)a--|=-,

\6J22v6J2

2兀[「J兀1兀、c.J兀、，1,,

/.cos2a+—=cos2a——|+乃=-cos2a——=2sin-a——-1=——,故

I3JLIJI6)I6；2

選：A.

6.(2022秋?寧夏吳忠?高三青銅峽市高級(jí)中學(xué)校考期末)在等比數(shù)列｛4｝中，公比4>0,S.

是數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和，若6=2,%+/=12,則下列結(jié)論正確的是（）

A.<7=3B.數(shù)列6+2｝是等比數(shù)列

C.$5=64D.數(shù)列｛1g%｝是公差為2的等差數(shù)列

【答案】B

【解析】由q=2，的+2=12,得4（夕+力=2（夕+/）=12,

即―+q_6=（q+3）（q—2）=0,解得q=2或q=-3,

由4>0,得4=2,故A錯(cuò)誤；

所以等比數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為％=2x2"T=2",

所以等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s“=《OF)=2n+l-2,即S“+2=2,,+,,

i-q

所以尊-k=2，

所以數(shù)列｛S?+2卜是公比為2等比數(shù)列，故B正確；

因?yàn)镾“=2川—2,所以S$=25"-2=26-2=6所故C錯(cuò)誤;

因?yàn)閍?=2",所以Iga同一1ga?=Ig2n+1-lg2n=lg—=lg2,

所以數(shù)列｛Iga,,｝是公差為lg2的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：B.

7.（2023?湖南永州?統(tǒng)考二模）如圖，耳,鳥(niǎo)為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)心的直線交雙曲線于

8,。兩點(diǎn)，且玲。=3g8,E為線段。片的中點(diǎn)，若對(duì)于線段。"上的任意點(diǎn)P,都有

PF「PBWEF「EB成立,則雙曲線的離心率是（）

【答案】D

【解析】取耳B中點(diǎn)Q,連接PQ,EQ,OQ,

2

.?"===5,則離心率6=石.故選：D.

a"

—ill3

8.(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末)設(shè)〃=—e3b=~,c=2\n-,則()

1092

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】由題知，記/(x)=e*—x—1,x>0,所以/'(x)=e*—120,所以

/(x)>/(0)=0,

所以e、>x+l，在x>0時(shí)成立，所以即即“>人，

9109

記g(x)=x-l—Inx,尤>0,所以=

所以在(0,1)上,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，在(1,+QO)上,gz(x)>0,g(x)單調(diào)

遞增，

所以g(x)Ng⑴=0,所以InxWx—1,則ln3L,即InxN」,即

XXx

c=2ln1>|>Z?=^-,即有c>b,因?yàn)樗?=<2<,,

239e<e<21053

綜上：匕<a<c.故選:D

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2（）分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.（2023秋?湖北?高三湖北省云夢(mèng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）新冠肺炎疫情防控期間，進(jìn)出

小區(qū)、超市、學(xué)校等場(chǎng)所，我們都需要先進(jìn)行體溫檢測(cè).某學(xué)校體溫檢測(cè)員對(duì)一周內(nèi)甲，乙

兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.乙同學(xué)體溫的極差為0.2C

B.甲同學(xué)體溫的第三四分俅數(shù)為365c

C.甲同學(xué)的體溫比乙同學(xué)的體溫穩(wěn)定

D.乙同學(xué)體溫的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)都相等

【答案】ABD

【解析】對(duì)A：乙同學(xué)體溫的最大值為365C,最小值為363C,故極差為0.2℃,A正

確；

對(duì)B：甲同學(xué)體溫按從小到大的順序排列為：36.2℃,36.2℃,364C,364C,

36.5℃,

36.5℃,36.6℃,又7x75%=5.25,

故中同學(xué)體溫的第三四分位數(shù)為上述排列中的第6個(gè)數(shù)據(jù)，即365C,B正確；

對(duì)C：乙同學(xué)體溫按從小到大的順序排列為：36.3℃,36.3℃,36.4℃,36.4℃,

36.4℃,365C,

故乙同學(xué)體溫的平均數(shù)為：

；(36.3+36.3+36.4+36.4+36.4+36.5+36.5)=36.4℃,

故乙同學(xué)體溫的方差

S；=；[(36.3-36.4)2+(36.3-36.4)2+(36.5-36.4)2+(36.5-36.4)?]=/限

又甲同學(xué)體溫的平均數(shù)為：

；(36.2+36.2+36.4+36.4+36.5+36.5+36.6)=36.4℃,

故甲同學(xué)體溫的方差

S：=1[(36.2-36.4)2+(36.2-36.4)2+(36.5-36.4)2+(36.5-36.4)2+(36.6-36.4)2]=^

又故乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，C錯(cuò)誤：

對(duì)D：乙同學(xué)體溫的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)均為364C,故D正確.故選：ABD.

10.(2022秋?福建福州?高三校聯(lián)考期中)如圖，在長(zhǎng)方體ABCQ-ABGR中,

AD=2AB=2AA,=4,分別是棱AC,8°,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)?在側(cè)面4內(nèi)，且

BP=xBE+yBF(x,yeR),貝ij()

A.4尸的最小值是0

B.A^HIBP

C.三棱錐P-ABE的體積是定值

D.三棱錐P-明尸的外接球表面積的取值范圍是[12兀,44兀]

【答案】BCD

【解析】如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(4,0,0),3(4,2,0),E(2,0,0),尸(2,2,2),H(2,2,0),4(4,0,2),〃(0,0,2),

設(shè)尸(a,0,0)(04a44,0Vb42),

則3P=(a—4,—2力),BE=(-2,-2,0),BF=(-2,0,2),

a-4=-2x-2yx=1

因?yàn)锽P=xBE+(x,yeR)所以一2=-2x得a=2-2y,所以

b=2yb=2y

a=2-h,

0<2-/?<4

則，得0<bW2,

0<b<2

C；P=(a,0,b-2)=(a,0,-a),PE=(2-a,0,-^)=(2-a,0,a-2),

當(dāng)a=2時(shí)，PE=0，則口尸〃PE,

當(dāng)aw2時(shí)，則=則DR/PE,

2-a1

綜上，DtP//PE,所以三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P的軌跡即為線段ED],

對(duì)于A,AP=^a-^2+h2=yj2h2+h2+4>2,即AP的最小值是2,故A錯(cuò)

誤;

對(duì)于B,AiH=(-2,2-2),BP=(a-4,-2,b),

貝ijA8-3P=-2“+8—4-26=—2(2—4)+4-?=0,所以故B正確;

對(duì)于C,BF=20，則S的=；x2x2a=2忘為定值，

由點(diǎn)尸的軌跡即為線段EL>],且￡；.=(—2,0,2),BF=(—2,0,2)=E〃，所以

BF//ED,,

乂BFu平面AB尸，EQu平面AB尸，所以E5，平面ABF,

所以點(diǎn)P到平面AB尸的距離為定值，即三棱錐尸-A5F的高為定值，

所以三棱錐尸-A3尸的體積是定值，故C正確；

對(duì)于D,設(shè)防的中點(diǎn)為M,則在Rt38/中，Rt外接圓的圓心即為點(diǎn)

M,

則三棱錐P-BgF的外接球的球心在過(guò)點(diǎn)/且垂直于平面BB/的直線上，

設(shè)球心為。，0（3,加,1）,則OP=O3,即

2222

^（l+Z?）+w+（l-&）=5/1+（W-2）+1,

所以〃?=則。82=1+（，*-2）2+1=1/+〃+3,

24

因?yàn)?4642,所以O(shè)B?且3,11］,

即三棱錐P-網(wǎng)F的外接球的半徑Re［后而］,

所以三棱錐P-BBE的外接球表面積的取值范圍是n2私44可，故D正確.故選：

BCD.

11.（2023.安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（l,l）在拋物線C:V=2p），（p>0）上,

過(guò)點(diǎn)8（0,-1）的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，則（）

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線A8與C相切

C.\OP\-\OQ^\OA^D.\BP\-\BQ\>\BA^

【答案】BCD

【解析】A.由題意可知，1=20,所以拋物線方程是d=y,準(zhǔn)線方程是y=-J,故A錯(cuò)

4

誤；

B.EB=Hd）=2,直線A8：y+l=2x,即y=2x-l,與拋物線方程聯(lián)立，

X2=2X-1=>X2-2X+1=0.其中A=0，所以直線AB與C相切，故B正確；

c.設(shè)過(guò)B的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線c只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以,直線/的斜率存在,設(shè)其方程為y=尸（不其）,。（孫必），

,|A=%2-4>0

fy=kx—\

聯(lián)立,，得V-依+1=0,所以｛xt+x2=k,所以A>2或左<一2,

yxxx2=i

=（中2）2=1，

又|OP|=,|OQ|=￡=私+―，

所以IOPI-IOQ|=也％（1+%）（1+%）=Mx的=1%|>2=|OA『，故C正確；

2

D.因?yàn)閨81|=Jl+公|xj,\BQ\=yJ\+k|x2|.

所以18Pl?|8。|=（1+廿）|七々|=1+%2>5,而|BA『=5,故D正確.故選:BCD

12.（2022秋?遼寧?高三東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）定義在（0,+8）上的函數(shù)/（x）的導(dǎo)函

數(shù)為廣（X），且:（力>/尹.則對(duì)任意々，￡€（0,+8）,其中玉*天，則下列不等式中一

定成立的是（）

A./（9）<"1）9B.切（々+撲皇”2）

yY

c.，&+4）＞〃3）+/（々）D.+亍fa）+:〃X2）

X\X2

【答案】BCD

【解析】由題意可設(shè)g（x）=4?,則g，（x）="y（x）,

x＞0,.?.礦（x）—/（x）＞0,

g'（x）＞0在（0,+8）上恒成立，所以g（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

對(duì)A：由于9＞1,所以g（e"）＞g⑴，即/（叫＞型,所以/（9）＞〃1）爐，

eV|1

故A不正確；

對(duì)B：由于々+,*2,當(dāng)且僅當(dāng)尤2=1時(shí)取等號(hào)，所以g[x2+']zg（2）,

即I24絲1,所以VK+，h三：〃2），故B正確；

%2+±2（xj2

2X2

對(duì)C：由g（X1+w）＞g（xJ得："再+々）＞小山即：

玉+x2X]

同理：黃丁?。ò?々）＞/（々），兩式相加得：，（%+々）＞，（玉）+/（々），故C

正確；

對(duì)D："xj-三/（占卜^2^〃%）,—

X]X[*^2X[

兩式相減得：〃X|）-2/（%）-五/（々）+〃七）=五二三八xj-匕二上/（々）

=（…）[竽-等卜。，

所以/（%）一上/（內(nèi)）一立/（入2）+/（工2）＞。，即

X\X2

/（x,）+/（x2）＞^-/（xl）+^-/（x,）,故D正確.

X[x2

故選：BCD.

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.（2023秋?天津?高三大港一中?？迹┤?/p>

3丁+X”=61。+4[（X+1）+?（X+1）~+，，?+q[（X+1）+《2（X+1）9則為+1+。12="

【答案】-7

【解析】令X=-1，則&=4；等式右邊聲系數(shù)為%,結(jié)合等式左邊得生=1；

等式右邊“系數(shù)為%+c；2,比較等式左邊可得知+C；2=0=%=-12.

故%+%+%=-7.

14.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知圓0：/+丁=1與直線，：x=-\,寫(xiě)出一個(gè)半徑為1,且

與圓。及直線都相切的圓的方程：.

【答案】V+（y-2）2=l（答案不唯一）

【解析】設(shè)圓心C為（毛,%）,由已知圓C與直線/：戶(hù)-1相切，圓C與圓O：x2+y2=]

相切，

卜1-司=1

'叫fXKn—0fXQ=0.2

可得'歷+%2=2

且已知半徑為1,

所以圓的方程可以為：爐+&-2）2=1或/+（丫+2）2=1或（》+2『+丫2=1

15.（2022秋?福建?高三福建師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x<0

時(shí)，/（x）=x2+ln（-x）,則曲線y=/（x）在x=l處的切線方程為一.

【答案】3x-y-2=Q

【解析】若x>0,則—x<0,由〃x）是偶函數(shù)，得〃—x）=lnx+x2=〃x）,

；.x=l時(shí)，/（1）=1,而此時(shí)的/'（X）=2X+T，即/。）=3,

...曲線y=F（x）在x=l處的切線方程為y-l=3（x-l）,即3x-y-2=0.

16.（2022?山東東營(yíng)?勝利一中校考模擬預(yù)測(cè)）某資料室在計(jì)算機(jī)使用中，出現(xiàn)如表所示的

以一定規(guī)則排列的編碼，表中的編碼從左至右以及從上至下都是無(wú)限的，此表中，主對(duì)角

線上的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列1,2,5,10,17,…的通項(xiàng)公式為,編碼99共出現(xiàn)

次.

IIIIII

123456

1357911

147101316

159131721

I611162126

（答案】n2—2H+26

【解析】設(shè)主對(duì)角線上的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列1,2,5,10,17,…為{%},

因?yàn)?-4=1,a3-a2=3,%-=5,,a?-a?_|=2(n-1)-1,

將以上n-1個(gè)式子相加，可得

4=1+3+5++(2?-3)+1=-——工-----2+1=+1=/-2"+2;

由編碼觀察可得，笫加行是首項(xiàng)為1,公差為帆-1的等差數(shù)列，

則第m行的第"個(gè)數(shù)為1+（〃T）（"，T）,

令1+（”-1）（加-1）=99,則（”一]）（加-1）=98,

所以｛\m〃7—\==9\8'或（km—J\=92,或[〃T—1=174,或[/n—1=98，或[tn1-1=429，或

\m—\=14

[n-l=7，

所以99共出現(xiàn)6次.

四'解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（2022秋?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中，4=14,蔚=梟-3.

（1）證明｛親是等比數(shù)列，并求｛叫的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列樣+吾）的前〃項(xiàng)和為S〃，證明:4

S.<―

3

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；。,,=2"（2""+3）；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析

【解析】（I）證明：依題意可得翁一3=券-6=2住一3）,乂q=14,則/-3=4,

“向一3

故2OW——+1=2,所以妾-31是以4為苜項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即結(jié)論

殳-3

2"

得證;

則緊3=4x2"-'=2"+,,所以a“=2"（2e+3）；

人，口2"2"2"1________1_

結(jié)合（1）可得”“+]_2"（2""+3）+1-（2"+1乂2向+1）-（2"+1）（2向+1）'

則

?<1111）（11111111n丫114

，=仁+齊+F++川+6-二+9-5++冏-^71）尸一⑸

故結(jié)論得證.

18.（2022秋.廣東.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，ABC中，若角AB,C所對(duì)的邊分別是

a,h,c,AD=DC,BA=2BD.

（1）證明：sinXBDC=2sin^BAC；

（2）若匕=2?=2,求"C的面積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）也.

4

【解析】⑴證明：在,皿中，由正弦定理得sin=

sinCBD

在M?C中，由正弦定理得名=.5,「,，sinNBAC=%G=

sinCsinZ.BACAB

所以smZBDC=2sin/B4c.故得證.

(2)設(shè)3￡>=x,AB=2x,由題得cosNADB+cosZBDC=0,

1+X2-4X21+X2-1

所以----------------------1-----------------=0,x=—^―.所以AB=\/2.

2x12x1

所以cosABAC=2+4'.ZBACe(0,n\:.sinABAC=—

2.2.V288

所以抽C的面積為L(zhǎng)夜2恒=且.

284

19.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐P-A3C。中，平面APD_L平面ABC。，△APD

為正三角形，底面ABC。為等腰梯形，AB//CD,AB=28=2BC=4.

（1）求證：3。人平面APZ）；

（2）若點(diǎn)尸為線段尸B上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，求二面角尸-AD-P的大小.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）y

4

【解析】（1）取AB中點(diǎn)E,連接CE,根據(jù)梯形性質(zhì)和48=28可知，CDHAE,且

CD=AE,

于是四邊形ADCE為平行四邊形，故CE=AD=2=BE=CB,

7T

則；CE8為等邊三角形，故ZA=NCE8=§,

在△ABO中，由余弦定理，

BD2=AB'+AD2-2ABxADxcos-=16+4-8=12,

3

故BD=20,注意到BD2+AD2=12+4=16=AB2,

TT

由勾股定理，ZADB=-,即

[llT:|ft|'APD±'V-wiABCD.T:|(l|APD；Y\mABCD=AD,BD<=f-lfll

ABCD,

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，比平面

（2）過(guò)戶(hù)作PGLAZ）,垂足為G,連接EG,

由平面A/YJL平面ABCD,平面APO；平面ABCD=AZ）,PGu平面

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，PGL平面A8C。，△APD為正三角形,

PGVAD,

故AG=GO（三線合一），由他=￡8和中位線性質(zhì)，GE//BD,

由（I）知，平面APD，故GE_L平面APO,

于是GAGE,GP兩兩垂直，故以G為原點(diǎn)，GA,GE,GF所在|工線分別為

x,y,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）知，301平面APO,

乂BDHy軸，故可取m=(0,1,0)為平面的法向量，

又尸(0,0,0),B(-l,2>/3,0),根據(jù)題意,BF=2FP，設(shè)F(x,y,z),

則(x+1,V-2A/J,z)=2(-x,—y,6-z),解得,

又A(l,0,0),0(—1,0,0),DA=(2,0,0),PA.=^―,——,

(a=0

n-DA=0

設(shè)平面FAO的法向量"=(a*,c),由?{，即《4“2屏2區(qū)

n-FA=0---------------

于是〃=（0,1,-1）為平面E4。的法向量，故/口嗣=&=彳，

二面角大小的范圍是［0,兀］,結(jié)合圖形可知是銳二面角，

故二面角尸―A￡>-尸的大小為:

20.（2023?湖南岳陽(yáng)?統(tǒng)考一模）8月5日晚，2022首屆湖南?岳陽(yáng)"洞庭漁火季”開(kāi)幕式在洞

庭南路歷史文化街區(qū)工業(yè)遺址公園（岳陽(yáng)港工業(yè)遺址公園）舉行，舉辦2022首屆湖南?岳

陽(yáng)“洞庭漁火季”，是我市深入貫徹落實(shí)中央和省委“穩(wěn)經(jīng)濟(jì)、促消費(fèi)、激活力”要求，推出

的大型文旅活動(dòng)，旨在進(jìn)一步深挖岳陽(yáng)“名樓”底蘊(yùn)、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳

陽(yáng)”文旅/尸，為加快推進(jìn)文旅融合發(fā)展拓展新維度、增添新動(dòng)力.活動(dòng)期間，某小吃店的生

意異?；鸨?，對(duì)該店的一個(gè)服務(wù)窗口的顧客從排隊(duì)到取到食品的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如

（1）試估計(jì)“恰好4分鐘后，第三個(gè)顧客開(kāi)始等待取食品”的概率；

（2）若隨機(jī)變量X表示“至第2分鐘末，已取到食品的顧客人數(shù)”，求X的分布列及數(shù)學(xué)

期望.

【答案】（1）0.2375；（2）分布列見(jiàn)解析,0.5025.

【解析】（I）設(shè)丫表示每個(gè)顧客取到食品所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得y的分布列如

Y12345

P0.050.450.350.10.05

A表示事件“恰好4分鐘后，第三個(gè)顧客開(kāi)始等待取食品”，

則事件A對(duì)應(yīng)三種情形：

①第一個(gè)人取到食品所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)人取到食品所需的時(shí)間

為3分鐘：

②第一人取到食品所需的時(shí)間為3分鐘，且第二人取到食品所需的時(shí)間為1

分鐘；

③第一個(gè)和第二個(gè)人取到食品所需的時(shí)間均為2分鐘.

所以「（A）=p（y=i）p（r=3）+p（y=3）p（y=i）+P（Y=2）p（y=2）

=0.05xO.35+0.35x0.05+0.45x0.45=0.2375.

（2）X所有可能的取值為0,1,2.

X=0對(duì)應(yīng)第一個(gè)人取到食品所需時(shí)間超過(guò)2分鐘，所以

p（x=0）=P（y>2）=0.5；

X=1對(duì)應(yīng)第一個(gè)人取到食品所需時(shí)間為1分鐘且第二個(gè)人取到食品所需時(shí)間

超過(guò)1分鐘，

或第一個(gè)人取到食品所需的時(shí)間為2分鐘，

所以P（X=1）=P（y=l）P（y>1）+P（y=2）=0.05x0.95+0.45=0.4975；

X=2對(duì)應(yīng)兩個(gè)人取到食品所需的時(shí)間均為1分鐘，

所以「（X=2）=尸（y=i）p（y=i）=0.05xo.O5=0.0025；

所以X的分布列為：

X012

P0.50.49750.0025

所以E(X)=0x0.5+lx0.4975+2x0.0025=0.5025.

22

21.(2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí))設(shè)橢圓E：^+4=1(a>6>0)的左、

ab

右焦點(diǎn)分別為6(-1，0),6(1,0),點(diǎn)在桶圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x=3上，過(guò)7的兩條直線分別交E于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，且

\TA\\TB\=\TP\\TQ\,求直線AB的斜率與直線尸。的斜率之和.

【答案】（1）—+^-=1；（2）0

43

【解析】(1)由已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為4(T,。),g(1,0),.?.c=l,

方法一：

a2-b2=c2=1

優(yōu)2=4A

由題意得｛13，解得,2C，

】I'=3

二橢圓E的方程為《+t=1:

43

方法二：

由2a=防+加廣?1+1『+(審+"尸+(-12=|+1=4,

則a=2,又c=l,得匕=百，

JJ7

?,?橢圓后的方程為43.

(2)設(shè)7(3,。，AB:y-t=kl(x-3)tPQ:y-t=k2(x-3)

由消去y得：(3+4代)/+防(一3匕次+4