初等代數(shù)研究( 第4章 方程)20119

第四章方程和方程組§1方程（組）的概念§2

方程（組）的同解性§3整式方程§4分式方程和無理方程§6方程組3/17/20241初等代數(shù)研究§4.1方程（組）的概念3/17/20242初等代數(shù)研究§4.1方程（組）的概念3/17/20243初等代數(shù)研究§4.1方程（組）的概念3/17/20244初等代數(shù)研究§4.1方程（組）的概念3/17/20245初等代數(shù)研究§4.1方程（組）的概念3/17/20246§4.1方程（組）的概念二、方程的分類（解析式的分類）3/17/20247初等代數(shù)研究方程的科學(xué)價(jià)值許多數(shù)學(xué)的進(jìn)步是隨著方程研究發(fā)展而發(fā)展的字母表示數(shù)代數(shù)學(xué)對于方程x2+1=0和三次方程根的討論復(fù)數(shù)用變量的觀點(diǎn)來討論方程時(shí)，就蘊(yùn)含了函數(shù)的思想研究高次方程的解法伽羅華理論，關(guān)于群、環(huán)、域的近世代數(shù)研究多元一次方程組矩陣?yán)碚?，線性代數(shù)方程與微積分結(jié)合微分方程和積分方程N(yùn)ewton說：要想解一個(gè)有關(guān)數(shù)量的問題，只要把問題里的日常語言翻譯成代數(shù)語言就成了。通過已知數(shù)量求未知數(shù)量，通過已知的前提推證未知的結(jié)論，這是科學(xué)的基本任務(wù)，也是方程的基本內(nèi)容§4.1方程（組）的概念3/17/20248§4.1方程（組）的概念學(xué)習(xí)方程的根本目的是什么？掌握解方程的方法；

運(yùn)用方程（思想）解決問題3/17/20249初等代數(shù)研究一個(gè)真實(shí)的故事：20世紀(jì)70年代，上海一位中學(xué)生在和平飯店做電工。發(fā)現(xiàn)12樓客房的室溫與地下室設(shè)定的溫度有差異，他懷疑是地下室到12樓空調(diào)器的三根導(dǎo)線不一樣長，造成電阻不同。但距離如此遠(yuǎn)，如何測知它們的電阻？xyz§4.1方程（組）的概念3/17/202410初等代數(shù)研究§4.2方程（組）的同解性3/17/202411初等代數(shù)研究§4.2方程（組）的同解性3/17/202412初等代數(shù)研究一.一元三次、四次方程的解法比較簡單的情況：1．解方程x3=1。

∵x3-1=(x-1)(x2+x+1)∴(x-1)(x2+x+1)=0，∴x1=1，x2==ω

，x3==ω2

。三次方程的單位根。2．解方程x3=a。方程可化為=1。于是x=ωi（i=0，1，2）是原方程的三個(gè)根。§4.3整式方程3/17/202413§4.3整式方程3/17/202414初等代數(shù)研究§4.3整式方程3/17/202415初等代數(shù)研究§4.3整式方程3/17/202416初等代數(shù)研究§4.3整式方程3/17/202417初等代數(shù)研究§4.3整式方程

2.解方程2x3-6x2+12x-11=0解：先令x=y+1,變換成y3+3y-3/2=0，可得3/17/202418§4.3整式方程3/17/202419初等代數(shù)研究§4.3整式方程3/17/202420初等代數(shù)研究§4.3整式方程三、倒數(shù)方程3/17/202421初等代數(shù)研究n次方程根與系數(shù)的關(guān)系二次方程x2+px+q=0的兩個(gè)根x1,x2,則（韋達(dá)定理）

x1+x2=-p,x1x2=q如何證得的？n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0(an≠0)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的n個(gè)根為xi(i=1,2,……，n)，則

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=an(x-x1)(x-x2)…(x-xn)

展開，比較各項(xiàng)系數(shù)，可得3/17/202422§4.4分式方程和無理方程3/17/202423初等代數(shù)研究§4.4分式方程和無理方程3/17/202424初等代數(shù)研究課堂練習(xí)3/17/202425初等代數(shù)研究代數(shù)運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方（指數(shù)為有理數(shù)）、開方初等超越運(yùn)算：乘方（指數(shù)為無理數(shù)）、對數(shù)、三角、反三角等）初等運(yùn)算代數(shù)式初等超越式：