2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型-動(dòng)點(diǎn)最值之將軍飲馬模型（講+練）（原卷版）

專題11動(dòng)點(diǎn)最值之將軍飲馬模型

模型一、兩定一動(dòng)模型

例題1.如圖，在矩形ABC。中，A8=10,AO=6,動(dòng)點(diǎn)P滿足SAMB=』S）?ABC。，則點(diǎn)尸

3

至IJA,3兩點(diǎn)距離之和南+P8的最小值為一.

【變式訓(xùn)練1】如圖，正方形ABEF的面積為4,4BCE是等邊三角形，點(diǎn)C在正方形ABEF

外，在對(duì)角線BF上有一?點(diǎn)P,使PC+PE最小，則這個(gè)最小值的平方為（）

A.4^/3B.8+4^/3C.12D.8+2-73

【變式訓(xùn)練2】如圖Rt&ABC和等腰△4CO以AC為公共邊，其中NACB=90°,AD=CD,

且滿足AO_L

AB,過點(diǎn)力作。E_LAC于點(diǎn)凡DE交AB于點(diǎn)E,己知AB=5,BC=3,P是射線OE上的

動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APBC

的周長取得最小值時(shí)，OP的值為（）

【變式訓(xùn)練3】如圖，等邊4ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn),

E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，則/ECF的度數(shù)為多少？

模型二、一定兩動(dòng)

A

例.如圖，NAOB=30°,點(diǎn)w、N分別是射線08、0A上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為/A0B內(nèi)一點(diǎn),

且0P=4,則的周長的最小值為（）

【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)P是/A0B內(nèi)任意一點(diǎn)，且408=40°,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射

線0A和射線OB

上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長取最小值時(shí)，則/MPN的度數(shù)為（）

【變式訓(xùn)練2】如圖，在菱形ABCD中，AB=2y/2,ZA=120°,點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD,

BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為

D

K

【變式訓(xùn)練3】如圖所示，在四邊形ABCD中，ZA=90°,ZC=90°,ZD=60°,AD=3,

AB=V3,若點(diǎn)M、N分別為邊CD,AD上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長最小值為（）

【變式訓(xùn)練4】如圖，在AABC中，ZC=90°,C8=C4=4,NA的平分線交BC于點(diǎn)￡>,

若點(diǎn)P、Q分

別是AC和AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CQ+PQ的最小值是.

PA

模型三、兩段之差模型

例.如圖，在^ABC中，AB=AC,AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M,AB=12,△

BMC的周長是20,若點(diǎn)P在直線MN上，則PA—PB的最大值為（）

【變式訓(xùn)練1】如圖，在菱形ABCD中，AB=6,ZABC=60°,AC與BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)N在

2

AC上且AN=2,點(diǎn)M在BC上且BM=-BC,P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM-PN的最大值

O

D

N

【變式訓(xùn)練2】如圖，兩點(diǎn)A、8在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=16,B到MN

的距離30=10,C￡>=8,點(diǎn)P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則|雨-尸8|的最大值等于.

模型四、特殊型

例1.如圖，矩形A8C。中，AB=4,BC=8,E為CO的中點(diǎn)，點(diǎn)P、。為BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且PQ=3,當(dāng)CQ=時(shí)，四邊形APQE的周長最小.

【變式訓(xùn)練】如圖，己知A（3,1）與B（1,0）,PQ是直線y=x上的一條動(dòng)線段且PQ=

V2（。在尸

的下方），當(dāng)4P+PQ+Q8最小時(shí)，。點(diǎn)坐標(biāo)為（）

課后訓(xùn)練

1.如圖，在銳角△ABC中，ZACB=50°；邊AB上有一定點(diǎn)P,M、N分別是AC和BC邊

上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長最小時(shí)，/MPN的度數(shù)是（）

A

P

CB

A.50°B60°C.70°D.80°

2.如圖，在四邊形ABCD中DA±AB,DA=6,ZB+ZC=150°,CD與BA的延長線交于E

點(diǎn)，A剛好是EB中點(diǎn)，P、Q分別是線段CE、BE上的動(dòng)點(diǎn)，則BP+PQ最小值是()

A.12B.1!5C,16D.18

QAB

3如.圖，已知等邊△ABC的面積為4?,尸、。、7?分別為邊48、3(7、4(7上的動(dòng)點(diǎn)，則尸R+QR

的最小值是()

A

ApD

A.3B273C.V15D.4

4如.圖，平面直角坐標(biāo)系中分別以點(diǎn)A(2,3)、點(diǎn)8(3,4)為圓心，1、3為半徑作GM、

OB,M,N

分別是GM、。8上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值為()

A.572-4B.V17-1C.6-2V2D.717

5.如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且S△尸48=qS^PCD，

則PC+PD的最小值為

6.如圖，矩形ABCO的邊0C在x軸上，邊0A在y軸上，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8,0）,點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（0,6）,

點(diǎn)E、F分別足OC、的中點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是線段OA、AB匕的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）,

則當(dāng)四邊形EFNM

的周長最小時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為.

7.如圖，在AABC中，NACB=90°,以AC為邊在AABC外作等邊三角形ACD,過點(diǎn)D作AC

的垂線，垂足為F,與AB相交于點(diǎn)E,連接CE

（1）說明：AE=CE=BE；

（2）若DAJ_AB,BC=6,P是直線DE上的一點(diǎn)，則當(dāng)P在何處時(shí)，PB+PC最小，并求出此

時(shí)PB+PC的值.

8.已知：矩形ABCD中，AD=