舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)第3講函數(shù)的奇偶性與周期性

第3講函數(shù)的奇偶性與周期性

下礎(chǔ)知識整合I

□知識梳理

1.函數(shù)的奇偶性

奇函數(shù)偶函數(shù)

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X

都有四f(一x)=-f(x),那么函數(shù)都有畫f(一x)=f(x),那么函

圖象特點(diǎn)F(X)是奇函數(shù)數(shù)F(X)是偶函數(shù)

關(guān)于畫原點(diǎn)對稱關(guān)于畫y軸對稱

2.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)

對于函數(shù)y=f(χ),如果存在一個(gè)非零常數(shù)7,使得當(dāng)X取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有典

∕?(χ+7)=∕(χ),那么就稱函數(shù)y=f(χ)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)園最小的正數(shù),那么這個(gè)畫最小正數(shù)就叫做

F(X)的最小正周期.

知識拓展

1.函數(shù)奇偶性的六個(gè)常用結(jié)論

(1)如果一個(gè)奇函數(shù)F(X)在x=0處有定義，即F(O)有意義，那么一定有F(O)=0.

(2)如果函數(shù)F(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=F(∣x∣)?

(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種，即f(x)=O,x0),其中定義域。是關(guān)于原

點(diǎn)對稱的非空數(shù)集.

(4)奇函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱

的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反

數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).

(6)在公共定義域內(nèi)有：奇土奇=奇，偶土偶=偶，奇X奇=偶，偶X偶=偶，奇X偶=

奇.

2.周期性的三個(gè)常用結(jié)論

對f(χ)定義域內(nèi)任一自變量的值筋

(1)若F(x+a)=—f(?),則7=2a(arθ).

⑵若f(x+a)=7?P則7=2a(aW°)?

(3)若f(x+a)=-、,則7=2a(aW0).

f,J(X)

3.對稱性的三個(gè)常用結(jié)論

(1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，即Ha—x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直

線x=a對稱.

(2)若對于R上的任意X都有f(2a-χ)=∕'(x)或f(—x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象

關(guān)于直線x=a對稱.

(3)若函數(shù)y=f(x+⑸是奇函數(shù)，即f(—x+6)+f(x+6)=0,則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(6,

0)中心對稱.

□雙基自測

1.已知F(X)=aV+bx是定義在［a—1,2a］上的偶函數(shù)，那么a+。的值是()

1111

A.—"B.-C.~D.--

答案B

解析顯然b=0,a-l+2a=0,,a=；,即a+。=；,

?O

2.(2021?銀川模擬)下列函數(shù)中，與函數(shù)產(chǎn)=一3,的奇偶性相同，且在(-8,0)上單

調(diào)性也相同的是()

Λ.y=-?B.y=l0g2∣%|

C.y=?-χD.y=χ-l

答案C

解析函數(shù)了=-3'為偶函數(shù)，在(-8,0)上為增函數(shù)，選項(xiàng)A,D的函數(shù)不是偶函數(shù),

選項(xiàng)B的函數(shù)是偶函數(shù)，但其單調(diào)性不符合，只有選項(xiàng)C符合要求.

3.函數(shù)尸F(xiàn)(X)在［0,2］上單調(diào)遞增，且函數(shù)/?(x+2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是

()

A?f(l)＜鈔G)

B.快-⑴唱

c?≠(Im)⑴

D-針『⑴

答案B

解析Y函數(shù)y=∕.(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，且函數(shù)/'(x+2)是偶函數(shù)，.?.函數(shù)y=F(x)

在［2,4］上單調(diào)遞減，且在［0,4］上函數(shù)y=f(*)滿足f(2-χ)=F(2+x),.?.f(l)=F(3),

0＜f(3)＜唱,即唱⑴＜《|)

XV

4.(2022?河南許昌摸底)己知F(X)=亡;，g(*)=5,則下列結(jié)論正確的是()

A.f(χ)+g(χ)是偶函數(shù)

B.f(x)+g(x)是奇函數(shù)

C.f(x)g(x)是奇函數(shù)

D.f(x)g(x)是偶函數(shù)

答案A

XXγX

解析令方(x)=f(x)+g(x),因?yàn)?W==，g(x)=g,所以A(X)=FT+］

Y?X—y?9x—yγ~?~γ?9'r

「、，定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8).因?yàn)?(-?)=-,?-?—-=?(χ),

2(2—1)Z9(29—1)Z(J-I)

2

所以力(x)=f(,x)+g(x)是偶函數(shù).令/(x)=f(x)g(x)=λ,定義域?yàn)?-8,0)U(0,

Z(2—1)

(—χ)*23*IoX?2x

+∞).所以F{-x)=.1、=T7^i~^R-?因?yàn)槭?一X)且尸(一X)羊一尸(X)，所以

2(2—1)2(I-Z)

網(wǎng)x)=f(x)g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

2

3

5.(2020?江蘇高考)已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)Λ≥0時(shí)，f{x)=X,則『(一8)的值

是.

答案一4

2

3

解析F(8)=8=4,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以/X—8)=-f(8)=-4.

6.若函數(shù)f(x)(χGR)是周期為4的奇函數(shù)，且在［0,2］上的解析式為F(X)=

X一、、

IS(i1nhx),1,〈0啟≤%2≤l,,則Z/W29+I/4d1=-------------

答案?

Io

解析由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù),所以/3)+/借)=(一號+(—§=—6)

∕7A3,π5

-46Γ^T6+sina=而

核心號向突破I

考向一函數(shù)奇偶性的判斷

例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(I)F(X)=XIgα+√∕+l)；

[―?+2x÷l,x>0,

(2)F(X)=\

[x2+2x—1,X0；

/、/、?∣4-χ

⑶F(X)=|l?I2；

I%÷31—3

(4)F(X)=y∣l-χ+y∣x-l；

(5)F(X)=f+x,X￡[—L4]；

(6)F(X)=In3ΣL?

2+X

解⑴??W+l>∣x∣>0,

???函數(shù)AX)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱.

又f(—x)=(-X)Ig[―X+Λ∕(—x)，+1]

=-XIg(-?∫7+l—x)

=XIg([V+]+*)=f(χ),

即H—x)=HX),???f(x)是偶函數(shù).

⑵由題意知函數(shù)的定義域?yàn)閧x∣XW0},關(guān)于原點(diǎn)對稱.

當(dāng)x>O時(shí)，一X<O,此時(shí)F(X)=-X?+2x+l,f(-χ)=χ-2χ-1=-f{x}；

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,此時(shí)f(x)=∕+2χ-1,F(一才)=一/一2x+l=—∕*(x).

故對于x∈(-8,0)U(0,+∞),均有F(—x)=-F(x),即函數(shù)F(X)是奇函數(shù).

4-/^0,

Λ-2≤A≤2,且％≠0.

Ix+31—3≠0>

???函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

.〃?√4-Y-?∣4-X

??zw-U+3∣-3-X-

又Λ-χ)=WT—X)ZWfx),

-X—X

；./"(—x)=-F(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

1—x^0,2

(4)由..=X=I=X=±1,

Λ-1>O

故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)=O,

—x)=f(x)=—f(x),

???函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(5)?.?Hx)=f+x,x∈[-l,4]的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,

/./,(%)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(6)『(才)的定義域?yàn)?-2,2),關(guān)于原點(diǎn)對稱.

x)=Inf?≈-l∏宗=一/'(X)，

函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

觸類旁通判斷函數(shù)奇偶性的方法

⑵圖象法

______________Ll關(guān)于原點(diǎn)對函Tf(7)為奇函數(shù)

/(?r)的圖象_I_______________I,________________

l→∣關(guān)于.軸對閑f∣∕(z)為偶函數(shù)

(3)性質(zhì)法

設(shè)/'(x),g(x)的定義域分別是4,M那么在它們的公共定義域上，有下面結(jié)論:

F(X)g(χ)F(X)+g(x)F(x)-g{x}F(x)g(x)f{g{x})

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.

即時(shí)訓(xùn)練1.下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是()

A.y=%÷sin2xB.y=/—cosx

C.y=2x+-^

D.y=x+sinx

答案D

解析A選項(xiàng)為奇函數(shù)；B,C選項(xiàng)為偶函數(shù)；D選項(xiàng)是非奇非偶函數(shù)，選D.

2.已知y=F(x)滿足∕?(FH)+F(-X+1)=2,則以下結(jié)論中一定正確的是()

Λ.Hx—1)+1是偶函數(shù)

B.f(一*+1)+1是奇函數(shù)

C.f(x+l)+l是偶函數(shù)

D.f(x+l)-1是奇函數(shù)

答案D

解析根據(jù)題中條件可知函數(shù)F(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,D中心對稱，故f(x+l)的圖象關(guān)

于點(diǎn)(0,1)中心對稱，則/?(x+D-1的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對稱，所以F(x+D—1是奇

函數(shù).故選D.

考向二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

例2(1)已知函數(shù)F(X)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽,?0時(shí)，F(xiàn)(x)=x+1,則f(x)的解析式

為.

'x+l,x>0,

答案F(X)={0，x=0,

,?-1,x<0

解析當(dāng)KO時(shí)，-x>0,則f(—x)=-x+l,又f(x)=-f(—x),.?.f(x)=x^~l,；

x+l,x>0,

f(x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，.??F(0)=0,???f(x)=<0,x=0,

,?-1,XO.

(2)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x—的X的取值范

圍是.

解析?."(x)是偶函數(shù)，且在［0,+8)上單調(diào)遞增，.?"(∣2xT∣)<娘，即∣2χ-l∣g,

∣<2JT-1<1,則g<?Y<∣,即*的取值范圍為(；，I

觸類旁通.已知函數(shù)奇偶性可以解決的幾個(gè)問題

(1)求函數(shù)值：利用函數(shù)奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.

(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用函數(shù)奇偶性求出.

(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒

等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的方程或方程(組)，進(jìn)而得到參數(shù)的值.

(4)解不等式：利用奇偶性與單調(diào)性將抽象函數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為具體的不等式，進(jìn)而得出

未知數(shù)的范圍.

(5)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性:利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間

上的單調(diào)性.

即時(shí)訓(xùn)練3.(2021?新高考∏卷)已知函數(shù)F(X)的定義域?yàn)镽,F(X+2)為偶函數(shù),

f(2x+l)為奇函數(shù)，則()

Λ.∣j=0B.A-D=0

C.f(2)=0D.f(4)=0

答案B

解析因?yàn)楹瘮?shù)AX+2)為偶函數(shù)，則f(2+x)=f(2-χ),可得F(x+3)=f(l—才)，因

為函數(shù)f(2x+l)為奇函數(shù)，則f(l—2x)=-f(2x+l),所以f(l—x)=-f(x+l),所以f(x

+3)=-f(x+l),所以=z÷l)=-f(x—1),所以=x+3)=f(x—1),即f(x)=F(x+4),

故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，因?yàn)閒(2x+l)為奇函數(shù)，所以F(I)=0,故f(-l)

=f(-l+4)=f(3)=f(l)=0,其他三個(gè)選項(xiàng)未知.故選B.

4.設(shè)函數(shù)f(x)=21n(^+√Y+1)+3√(-2<K2),則使得f(2x)+F(4χ-3)>0成立的

X的取值范圍是()

?.(-1,1)B.&1)

c?RDd?RI)

答案B

解析由題意知f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.f(—x)=21n(-Λ+√7+I)-3ΛP--

f(x),所以f(x)為奇函數(shù).當(dāng)χC[0,2)時(shí)，易知函數(shù)F(X)=21n(x+N?+D+3一是增函

數(shù),所以函數(shù)f(x)在(-2,2)上是增函數(shù).不等式f(2x)+f(4χ-3)>0可轉(zhuǎn)化為f(2x)>f(3

'-2<2x<2,

一4必，由函數(shù)F(x)在(-2,2)上是增函數(shù)得到<一2<3—4/2,解得;<x<l,故選B.

、2x>3—4x,

考向三函數(shù)的周期性

例3(1)(2021?全國甲卷)設(shè)FW是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f(l+x)=F(一χ).若

5n1Cl

a'^3B'^3C'3D'3

答案C

解析因?yàn)镕(X)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(一χ)=-f(x).又f(l+x)=f(—x),

所以F(2+x)=∕∏+(l+x)]=/[—(l+x)]=-F(I+x)=—f(—x)=F(x),所以函數(shù)f{x}

是以2為周期的周期函數(shù)，所以/(∣j=^∣-2‰∕-∣‰∣,故選C.

⑵已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且/?(X+4)=F(L2).若當(dāng)x∈[-3,0]時(shí),F(X)

=6^Λ,則/,(919)=.

答案6

解析?."(x+4)=F(χ-2),.?.∕I(x+2)+4]=∕[(x+2)-2],即f(x+6)=F(x),

f(x)是周期為6的周期函數(shù)，.?.f(919)=f(153X6+l)=f(l)?又f(x)是定義在R上的偶函

數(shù)，.?.f(l)=f(-1)=6,即f(919)=6.

觸類旁通]

(1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x+7)=f(x)(7≠0)便可得到函數(shù)是周期函數(shù)，且周期

為T,函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題.

(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性

都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能.

即時(shí)訓(xùn)練5.(2021?山西晉城二模)己知F(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+5)=

f(χ-3),如果當(dāng)χW[0,4)時(shí),f(x)=logz(x+2),則/"(766)=()

A.3B.-3C.2I).-2

答案C

解析由f(x+5)=f(χ-3),得/"(不一3+8)=/'(犬一3),所以f(x+8)=f(x),所以f(x)

是周期為8的周期函數(shù)，f(766)=f(96X8-2)=f(-2),F(-2)=f(2)=logz4=2.

6.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當(dāng)x∈[-3,—1)時(shí)，/"(才)=一(%+2)2,

當(dāng)x∈[-l,3)時(shí)，F(xiàn)(X)=X,則∕?(l)+f(2)+F(3)H-----Ff(2021)=.

答案337

解析由題意得F(I)=Lf(2)=2,f(由=￡(-3)=-1,f(4)=F(-2)=0,f(5)=F(一

1)=-1,Λ6)=/(0)=0,所以數(shù)列｛f5)｝從第一項(xiàng)起，每連續(xù)6項(xiàng)的和為1,則f(l)+f(2)

+/(3)+???+∕(2021)=336×1+/(I)+/(2)+f(3)+f(4)+f(5)=337.

考向四函數(shù)的對稱性

V-4-1

例4已知函數(shù)F(X)(XGR)滿足以一⑼=2—F(x),若函數(shù)尸三一與y=f(x)圖象的交

JV

點(diǎn)為(*1,H)，(如四)，…，(%,%),則∑(%+%)=()

/=1

A.0B.inC.2〃？D.4/z?

答案B

解析由『(一*)=2一f(%)得以一工)+以X)=2,即函數(shù)F(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(O,1)對稱,

X+1

-

又y=J=I+;的圖象也關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，.?.xι+x2∏------F篩=0,y?~?-y2-?------?-ys,=m,Λ

Σ(x+//)=m.

觸類旁通J函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用

(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線X=a對稱，則F(X)=f(2a—*).

(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,6)對稱，則/(?)+f(2a-x)=26.

即時(shí)訓(xùn)練7.已知定義在R上的奇函數(shù)F(X)滿足F(χ-4)=-f(x),且在區(qū)間［0,2］

上是增函數(shù).若方程f(x)=wE>0)在區(qū)間［-8,8］上有四個(gè)不同的根小，X"X3,兩，則汨

+及+照+xι=.

答案一8

解析?.?F(x)是奇函數(shù)，.?.F(χ-4)=-F(X)可化為F(X)=-F(x—4)=F(4-χ),即F(X)

的圖象關(guān)于x=2對稱,且F(O)=0,由f(?-4)=-f(x)可知函數(shù)周期為8,不妨設(shè)xKx2<χ3<?,

則%I÷Λ2=2×(—6)=—12,χ3+x1=2x2=4,.?x↑+χ2+X3+X?=~8,

課時(shí)作業(yè)I

IOg3(x+l),40,

1.設(shè)函數(shù)『5)是定義在R上的奇函數(shù)，且Ax)=、〃則g(f(-8))

g(xz),XO,

=()

A.—2B.—1C.1D.2

答案B

解析V/(—8)=—/'(8)=—log39=-2,

???g(F(-8))=g(-2)=—F(2)=-Iog33=-1.

2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=xB.y=I?l+1

C.y--χ->r?D.尸?

答案B

解析對于A,y=￡是奇函數(shù)；對于B,y=3+1為偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞

增；對于C,y=-f+l為偶函數(shù)，但在(0,十8)上單調(diào)遞減；對于D,y=(0是減函數(shù).故

選B.

3.(2021?江西六校聯(lián)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=~Λx),當(dāng)

OWXWl時(shí)，Ax)=/,則/"(2023)=()

Λ.20232B.1C.OD.-1

答案D

解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-F(x),則有f(x+4)=-F(x+2)=f(x),

即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則f(2023)=f(4X506-l)=f(—1)，又函數(shù)y=f(x)為奇函

數(shù)，且x∈［0,1］時(shí)，Ax)=/,所以∕?(-D=-F(I)=-I,故∕?(2023)=-l.

4.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)Hx)在(-8,0］上是減函數(shù)，且F(I)=2,則不等式

F(Iogzx)>2的解集為()

Λ.(2,+∞)

B.(θ,?ju(2,+∞)

C?(θ,(√2,+∞)

D.(√2,+∞)

答案B

解析Ax)是R上的偶函數(shù)，且在(一8,0］上是減函數(shù)，所以F(X)在(0,+8)上是增

函數(shù)，因?yàn)?(1)=2,所以/(-1)=2,所以f(log2x)>2=f(IIogH)>f(l)=∣log2X∣>l=

>

log2A>l或log2*<-l=x>2或0<Λ<^.

5.(2022?鄭州調(diào)研)設(shè)函數(shù)HX)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x+l)=-f(x—1),

若f(-l)>l,Λ5)=a-2a-4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-1,3)

B.(—8,—1)u(3,÷∞)

C.(-3,1)

D.(-8,-3)U(1,+∞)

答案A

解析由/■(*+1)=—/"(*—1),得f(*+2)=—f(x),所以/'(x+4)=f(x),故函數(shù)y

=f(x)的周期為4.因此/(5)=Λ1)=a2-2a-4,又因?yàn)閒(x)在R上為奇函數(shù)，且F(T)>1,

所以f(l)<-l,所以7-2a-4<—1,解得一ka<3.

6.(2021?全國乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)=號，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.Λ?-D-IB./(?-1)+1

C./(A-+1)-1D.AA-+1)+1

答案B

1—X2

解析解法一：因?yàn)椤?)=巾=—I+E，其圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,一i)中心對稱，將

其圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度后關(guān)于原點(diǎn)(0,0)中心對稱，所以

f(x—1)+1為奇函數(shù).故選B.

Q…Li、，/、1—XLL…/、1—QX—1)2—X,,、1—(x+l)

觸法一因?yàn)閒{x}—.,,所以fix-1)=γ^j—/.X=,f(x+1)="j_j_、

1-VX1十(χ-1)X1÷(X+1)

=*.對于A,NX)=f(x—1)—1=定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不滿足尸(x)

X十2XX

9—V9

=-F(-x)i對于B,G(X)=f(χ-1)+1==-+1=7定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足G(X)

—V2x+2

=-G(—x)；對于C,f(χ+l)-I=F—1=一——,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱；對于D,KX

ΛI(xiàn)乙JiI乙

—X2

+1)+1=^+1=^,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱.故選B.

7.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=e',則g(x)=()

t

A.e'—e'B.∣(e?+e^0

C.1(e-A—e?D.?(e?-e^0

答案D

解析由f(x)+g(x)=e?'①，可得f(-χ)+g(-χ)=e^:又f(x)為偶函數(shù)，g(*)為奇

PX—P-X

函數(shù)，可得f(x)—g(x)=e'②，則兩式相減，可得g(x)=-y—.故選D.

2×Λx—?

8.已知函數(shù)HX)=-L的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，g(x)=ln(e'+l)—"是偶函數(shù)，

則Iog“6=()

11

A.1B.-1C.—~D.—

24

答案B

解析由題意，得F(O)=0,,a=2.Tg(I)=g(-l),In(e+l)—6=In^∣+lj+Z?,

Λ6=∣,Λlog^=log2∣=-1.故選B.

9.(2021?內(nèi)蒙古包頭一模)設(shè)函數(shù)F(X)=In—?—+In印3-才,則F(X)()

[x+3

A.是偶函數(shù)，且在(一8,—3)上單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在(一3,3)上單調(diào)遞減

C.是奇函數(shù)，且在(3,+8)上單調(diào)遞減

D.是偶函數(shù)，且在(一3,3)上單調(diào)遞增

答案B

[x+3>0,

解析由題意可得。、八解得一3VXV3,即函數(shù)F(X)的定義域?yàn)?一3,3),M—x)

〔3—才>0,

=In—?—+lnγ∣3+x=-lny∣3-χ-ln—?—=—，/),所以f(x)為奇函數(shù)，由復(fù)合

y∣3t-χyjx+3

函數(shù)的單調(diào)性可知y=ln—?—為減函數(shù),y=ln卬3—x為減函數(shù),所以F(X)=In—?—+

[x+3y∣~x+3

InV=為減函數(shù).綜上可知，F(xiàn)(X)是奇函數(shù)，且在(一3,3)上單調(diào)遞減.故選B.

(2(l-?),OWXWL

10.已知函數(shù)F(X)=]如果對任意的∕7∈N*,定義fll{x}=f{f{f???fn

[χ-lfl<x≤2,

個(gè)(才)))，那么急22(2)的值為()

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析因?yàn)榫?2)=f(2)=l,∕2(2)=∕(l)=O,Λ(2)=∕(0)=2,所以￡(2)的值具有周

期性，且周期為3,所以分022(2)=??X674⑵=E⑵=2,故選C.

IL(2021?全國甲卷)設(shè)函數(shù)F(X)的定義域?yàn)镽,f(x+l)為奇函數(shù)，F(xiàn)(x+2)為偶函數(shù)，

當(dāng)X￡[1,2]時(shí)，f(x)=a?+6.若f(o)+f(3)=6,則∕∣J∣=()

9375

A.B.C.I).

4242

答案D

解析因?yàn)镕(x+1)為奇函數(shù)，所以F(—x+1)=-F(X+1),所以F(I)=O,即a+b=Of

所以b=—a,所以/(0)=/(-1+1)=—/(1+1)=—/(2)=-45-Z?=-35,又F(X+2)為

偶函數(shù)，所以f(x+2)=F(-x+2),所以〃3)=f(l+2)=f(—1+2)=F(I)=O,由F(0)+

f(3)=6,得a=-2.所以

955…

~a-b=--a=-f故選D.

12.(2021?安徽蚌埠第三次教學(xué)質(zhì)量檢查)若把定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的圖象沿X軸左

右平移后，可以得到關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，也可以得到關(guān)于y軸對稱的圖象，則關(guān)于函數(shù)F(X)

的性質(zhì)敘述一定正確的是()

?.f{-χ)+f(x)=0

B.AA-1)=∕,(1-X)

C.f(x)是周期函數(shù)

D.f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間

答案C

解析；定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的圖象沿X軸左右平移后，可以得到關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖

象，也可以得到關(guān)于y軸對稱的圖象，.?.f(x)的圖象既有對稱中心又有對稱軸，但HX)不一

定具有奇偶性，例如f(x)=sin(x+f，對于A,由f(—x)+f(X)=0,得f(x)為奇函數(shù)，

故A錯(cuò)誤；對于B,由/Xx—1)=F(I—*),可得函數(shù)f(*)的圖象關(guān)于直線x=0對稱，故B

錯(cuò)誤；對于D,當(dāng)f(x)=0時(shí)，f(x)不存在單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯(cuò)誤；對于C,當(dāng)HX)是常

函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)是周期函數(shù)；當(dāng)Mx)不是常函數(shù)時(shí)，設(shè)f(x)圖象的一條對稱軸為直線x=a,

一個(gè)對稱中心為(A,0),且a≠b,，F(xiàn)(2a+x)=f(—x),F(—x)=-F(26+x),Λ/(2a÷√r)

=—f(2b+x),.*.f(2a+χ-2b)=—f(2b+?-2?)=—f{x),Λ/(x÷4a-4Δ)=—f(x+2a

―2方)=F(X),???f(x)的一個(gè)周期7=4(a-"),故C正確.故選C.

13.設(shè)函數(shù)￡(切=^^—j???為奇函數(shù)，則a=

X------------

答案T

5_LL./?(x+l)(x+a)、］"皿

解析,??Hx)=-------------------------為奇函數(shù),

X

：.ΛD+Λ-1)=O,

(1+1)(l+a)(—1+1)(—l+a)

即--------；------------+-----------------；-------------=0,

.*.a=-1.

14.(2022?安徽合肥一中月考)設(shè)函數(shù)F(X)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈［0,

1］時(shí)，f(x)=x+2,則/(,)=.

R

答案2

解析因?yàn)閒(—x)=f(x),且/'(x+2)=f(x),所以/￡；［=(一B)=/(J).又χG［0,1］

時(shí)，f(x)=x+2.故∕θθ=/(；)=［+2=|.

15.(2021?衡水中學(xué)檢測)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0WK2

時(shí)，/(?)—X—X,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間［0,6］上與X軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

答案7

解析因?yàn)楫?dāng)0WΛ<2時(shí)，HX)=￡—X.又f(χ)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且

/(O)=0,則F(6)=F(4)=F(2)=F(O)=0.又F(I)=0,所以F(5)=f(3)=F(I)=0,故函數(shù)

y=F(x)的圖象在區(qū)間［0,6］上與X軸的交點(diǎn)有7個(gè).

16.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+3)—+，則使得f(x)>f(2χ-1)成立的X的取值范圍

為.

答案Il)

解析由已知得函數(shù)HX)為偶函數(shù)，所以f(x)=f(∣x∣),由f(x)>f(2*-l),可得

f(∣x∣)>f(∣2χ-1|).當(dāng)x20時(shí)，f(*)=In(1+才)一］；六因?yàn)镕=In(l+x)與y=-YTg

在［0,+8)上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.由F(IXl)>f(∣2χ-l∣),

可得∣X∣>∣2LL,兩邊平方可得f>(2Ll)2,整理得3f—4x+l<0,解得*x<l.所以符合

題意的X的取值范圍為(，1)

—Z+2x,Λ>0,

17.已知函數(shù)f(x)=<0,x=0,是奇函數(shù).

,X+mx,x<0

(1)求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［―1,a—2］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解(1)設(shè)；KO,則一x>0,

所以f(—x)=—(―Λ)2÷2(-x)--χ~2x.

又f(x)為奇函數(shù)，

所以f(—x)=-F(x),

于是x<0時(shí)，f［x)=x+2X=X+mx,

所以O(shè)T=2.

a—2>—1

{a-2≤l,

所以kaW3,