2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市常寧白沙中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市常寧白沙中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某班級要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（

）A.14

B.24

C.28

D.48參考答案：A2.在樣本的頻率分布直方圖中，一共有m（m≥3）個小矩形，第3個小矩形的面積等于其余個小矩形面積之和的，且樣本容量為100，則第3組的頻數(shù)是（

）A.0.2

B.25

C.20

D.以上都不正確參考答案：C略3.若橢圓+=1（a＞b＞0）和圓x2+y2=（+c）2，（c為橢圓的半焦距），有四個不同的交點，則橢圓的離心率e的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】KJ：圓與圓錐曲線的綜合．【分析】由題設(shè)知，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，；由，得b+2c＜2a，．綜上所述，．【解答】解：∵橢圓和圓為橢圓的半焦距）的中心都在原點，且它們有四個交點，∴圓的半徑，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，在橢圓中，a2=b2+c2＜5c2，∴；由，得b+2c＜2a，再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，∴3c2+4bc＜3a2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴．綜上所述，．故選A．4.在60°的二面角的一個面內(nèi)有一點，它到棱的距離是8，那么它到另一個面的距離是（

）．A． B． 2 C． 3 D．4參考答案：D如圖，，，∴．故選．5.已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B6.經(jīng)過兩點，的直線方程是（

）． A． B． C． D．參考答案：A由直線方程的截距式可得直線方程為：，即，故選．7.下列等式中，使M,A,B,C四點共面的個數(shù)是

（

）①②③④

A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B8.已知等差數(shù)列中，的值是

（

)A.15

B.30

C.

31

D.

64參考答案：A9.某大學(xué)的大門蔚為壯觀，有個學(xué)生想搞清楚門洞拱頂D到其正上方A點的距離，他站在地面C處，利用皮尺量得BC=9米，利用測角儀測得仰角∠ACB=45°，測得仰角∠BCD后通過計算得到sin∠ACD=，則AD的距離為（）A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米參考答案：C【考點】解三角形的實際應(yīng)用．【專題】計算題；應(yīng)用題；解三角形．【分析】根據(jù)已知條件求出AB=BC=9米，再根據(jù)在Rt△BDC中，BD=tan（45°﹣∠ACD）?BC，求出BD的值，最后根據(jù)AD=AB﹣BD，即可得出答案．【解答】解：∵Rt△ACB中，∠ACB=45°，∴BC=AB=9，∵sin∠ACD=，∴可解得cos∠ACD=，tan∠ACD=，∵在Rt△BDC中，BD=tan（45°﹣∠ACD）?BC=9×=6，∴AD=AB﹣BD=9﹣6=3（米），∴AD的距離為3米．故選：C．【點評】本題考查仰角的定義，以及解直角三角形的實際應(yīng)用問題．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，注意當(dāng)兩個直角三角形有公共邊時，利用這條公共邊進(jìn)行求解是解此類題的常用方法．10.在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若，，則A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用平面幾何知識求解【詳解】如圖，可知=，選B.【點睛】本題考查向量的運(yùn)算及其幾何意義，同時要注意利用平面幾何知識的應(yīng)用，二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線x﹣2y=2變成直線2x′﹣y′=4的伸縮變換是

．參考答案：【考點】O7：伸縮變換．【分析】將直線x﹣2y=2變成直線2x′﹣y′=4即直線x′﹣y′=2，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，故有是．【解答】解：直線2x′﹣y′=4即直線x′﹣y′=2．將直線x﹣2y=2變成直線2x′﹣y′=4即直線x′﹣y′=2，故變換時橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，即有伸縮變換是．故答案為：．12.函數(shù)在[0,1]上極值為________________。參考答案：【分析】該題的函數(shù)是三次多項式函數(shù)，因此可以用導(dǎo)數(shù)工具求它的極值，求出其導(dǎo)函數(shù)，得到其在上的零點，再討論導(dǎo)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得其極值.【詳解】，，令，得，在區(qū)間上討論：當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)在上的極值為，故答案是：.【點睛】該題考查的是有關(guān)求函數(shù)在給定區(qū)間上的極值的問題，涉及到到的知識點有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于簡單題目.13.已知圓C的普通方程為，則圓C的參數(shù)方程為________________．參考答案：(θ為參數(shù))【分析】由圓的一般方程先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再由圓的參數(shù)方程的公式即可得出結(jié)果.【詳解】由，可得．令，，所以圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．【點睛】本題主要考查圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.14.一個幾何體的三視圖如圖所示，其體積為．參考答案：

【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】該幾何體是一個直三棱柱截去一個小三棱錐，利用體積計算公式即可得出．【解答】解：該幾何體是一個直三棱柱截去一個小三棱錐，如圖所示，則其體積為：．故答案為：．【點評】本題考查了三棱錐與三棱柱的三視圖與體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15.已知兩直線l1與l2的方向向量分別為=（1，﹣3，﹣2），=（﹣3，9，6），則l1與l2的位置關(guān)系為．參考答案：l1∥l2【考點】直線的方向向量．【分析】根據(jù)直線l1和l2的方向向量的關(guān)系，可得l1與l2的位置關(guān)系是平行．【解答】解：∵直線l1和l2的方向向量分別為=（1，﹣3，﹣2），=（﹣3，9，6），且=﹣3∴l(xiāng)1∥l2，故答案為：l1∥l2．16.一質(zhì)點受到平面上的三個力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)．已知成角，且大小為2和4，則的大小為

．參考答案：17.已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為

．

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四邊形是邊長為1的正方形，平面，平面，且（1）求證：平面；（2）求面AMN與面NBC所成二面角的平面角的余弦值．參考答案：解：（1）是正方形，平面；(2分)又平面，平面，平面，(4分)所以平面平面，故平面；(5分)

（2）以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DM分別為x，y，z軸建立圖示空間直角坐標(biāo)系，則：A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0).N(1,1,1),M(0,0,1),,,(6分)設(shè)平面AMN的一個法向量為,由得:(7分)令z=1得:.(8分)易知:是平面NBC的一個法向量.(9分)∴面AMN與面NBC所成二面角的余弦值為(10分)

略19.設(shè)橢圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點，O為坐標(biāo)原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由。參考答案：解:（1）因為橢圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為

5分（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,

8分此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上,存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.因為,所以,,

①當(dāng)時因為所以,所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2

當(dāng)時,.3

當(dāng)AB的斜率不存在時,兩個交點為或,所以此時,綜上,|AB|的取值范圍為即:

12分略20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)，命題，；命題.(1)若p為真命題，求a的取值范圍；(2)若q為真命題，求a的取值范圍；(3)若“”為假命題，“”為假命題，求a的取值范圍.參考答案：解：（1）若為真命題，則的圖象為開口向上，對稱軸為直線的拋物線，當(dāng)時，所以的取值范圍為………………5分（2）若為真命題，由（1）知時，的值域為，所以的取值范圍為………………10分（3）“”為假命題，“”為假命題為真命題，為假命題.

所以的取值范圍為………………16分

21.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為AD，AB的中點．（1）求證：EF∥平面CB1D1；（2）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．參考答案：考點：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）連結(jié)BD，得EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，由此能證明直線EF∥平面CB1D1．（2）由已知得A1C1⊥B1D1，CC1⊥平面A1B1C1D1，從而CC1⊥B1D1，由此能證明B1D1⊥平面CAA1C1，從而能證明平面CAA1C1⊥平面CB1D1．解答：（1）證明：連結(jié)BD，在△ABD中，E、F分別為棱AD、AB的中點，故EF∥BD，又BD∥B1D1，所以EF∥B1D1，…（2分）又B1D1?平面CB1D1，EF不包含于平面CB1D1，所以直線EF∥平面CB1D1．…（6分）（2）證明：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，則A1C1⊥B1D1…（8分）又CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，則CC1⊥B1D1，…（10分）又A1C1∩CC1=C1，A1C1?平面CAA1C1，CC1?平面CAA1C1，所以B1D1⊥平面CAA1C1，又B1D1?平面CB1D1，所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…（12分）點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．22.已知．（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線平行于直線，求的值；（2）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在上的最小值為，求的值．參考答案：（1）（2）時，在為增函數(shù)；時，減區(qū)間為，增區(qū)間為（3）試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線的斜率，從而得到關(guān)于a的方程，求得其值；（2）確定函數(shù)的定義域，根據(jù)f′（x）＞0，可得f（x）在定義域上的單調(diào)性；（3）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)f（x）在上的單調(diào)性，利用f（x）在上的最小值為，即可求a的值試題解析：（1）…………………2分由題意可知，

故………3分（2）當(dāng)時，因為，，故在為增函數(shù)；…………5分當(dāng)時，由；由，所以增區(qū)間為，減區(qū)間為，………