廣東省江門(mén)市臺(tái)山任遠(yuǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

廣東省江門(mén)市臺(tái)山任遠(yuǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為，焦距為，則橢圓的方程為（

）A．

B．

C．或

D．以上都不對(duì)參考答案：C略2.某旅行社租用A、B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過(guò)21輛，且B型車不多于A型車7輛．則租金最少為（）A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】設(shè)分別租用A、B兩種型號(hào)的客車x輛、y輛，總租金為z元．可得目標(biāo)函數(shù)z=1600x+2400y，結(jié)合題意建立關(guān)于x、y的不等式組，計(jì)算A、B型號(hào)客車的人均租金，可得租用B型車的成本比A型車低，因此在滿足不等式組的情況下盡可能多地租用B型車，可使總租金最低．由此設(shè)計(jì)方案并代入約束條件與目標(biāo)函數(shù)驗(yàn)證，可得當(dāng)x=5、y=12時(shí)，z達(dá)到最小值36800．【解答】解：設(shè)分別租用A、B兩種型號(hào)的客車x輛、y輛，所用的總租金為z元，則z=1600x+2400y，其中x、y滿足不等式組，（x、y∈N）∵A型車租金為1600元，可載客36人，∴A型車的人均租金是≈44.4元，同理可得B型車的人均租金是=40元，由此可得，租用B型車的成本比租用A型車的成本低因此，在滿足不等式組的情況下盡可能多地租用B型車，可使總租金最低由此進(jìn)行驗(yàn)證，可得當(dāng)x=5、y=12時(shí)，可載客36×5+60×12=900人，符合要求且此時(shí)的總租金z=1600×5+2400×12=36800，達(dá)到最小值故選：C3.若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），則||的取值范圍是（） A． B． C．（1，5） D．參考答案：B【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式． 【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；空間向量及應(yīng)用． 【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，求出||的取值范圍． 【解答】解：∵A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1）， ∴=（3cosa﹣2cosb）2+（3sina﹣2sinb）2+（1﹣1）2 =9+4﹣12（cosacosb+sinasinb） =13﹣12cos（a﹣b）； ∵﹣1≤cos（a﹣b）≤1， ∴1≤13﹣12cos（a﹣b）≤25， ∴||的取值范圍是． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目． 4.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則 A． B． C． D．參考答案：A5.已知實(shí)數(shù)滿足，則有

A.最小值和最大值1

B.最小值和最大值1

B.最小值和最大值

D.最小值1參考答案：B6.若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于（）A．2 B．3 C．6 D．9參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；基本不等式．【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．【解答】解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因?yàn)樵趚=1處有極值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)，所以ab的最大值等于9．故選：D．7.（理科）若，則的值為A．6

B.7

C.35

D.20參考答案：C8.設(shè)非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當(dāng)x∈S時(shí)，有x2∈S．給出如下三個(gè)命題：①若m=1，則S={1}；②若m=﹣，則≤n≤1；③若n=，則﹣≤m≤0．其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

) A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：D考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷；集合的確定性、互異性、無(wú)序性．專題：集合．分析：根據(jù)題中條件：“當(dāng)x∈S時(shí)，有x2∈S”對(duì)三個(gè)命題一一進(jìn)行驗(yàn)證即可：對(duì)于①m=1，得，②，則對(duì)于③若，則，最后解出不等式，根據(jù)解出的結(jié)果與四個(gè)命題的結(jié)論對(duì)照，即可得出正確結(jié)果有幾個(gè)．解答： 解：由定義設(shè)非空集合S={x|m≤x≤n}滿足：當(dāng)x∈S時(shí)，有x2∈S知，符合定義的參數(shù)m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保證m∈S時(shí)，有m2∈S即m2≥m，符合條件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保證n∈S時(shí)，有n2∈S即n2≤n，正對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行判斷：對(duì)于①m=1，m2=1∈S故必有可得n=1，S={1}，②m=﹣，m2=∈S則解之可得≤n≤1；對(duì)于③若n=，則解之可得﹣≤m≤0，所以正確命題有3個(gè)．故選D點(diǎn)評(píng)：本小題考查集合的運(yùn)算及不等式和不等式組的解法．屬于創(chuàng)新題，解答的關(guān)鍵是對(duì)新定義的概念的正確理解，列出不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題解決．9.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率等于，則C的方程是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)出雙曲線方程，利用雙曲線的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率為，建立方程組，可求雙曲線的幾何量，從而可得雙曲線的方程．【解答】解：設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0），則∵雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴雙曲線方程為．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.為防止部分學(xué)生考試時(shí)用搜題軟件作弊，命題組指派5名教師對(duì)數(shù)學(xué)卷的選擇題、填空題和解答題這3種題型進(jìn)行改編，則每種題型至少指派一名教師的不同分派方法種數(shù)為（）A．150 B．180 C．200 D．280參考答案：A【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分析可得人數(shù)分配上有兩種方式即1，2，2與1，1，3，分別計(jì)算兩種情況下的情況數(shù)目，相加可得答案．【解答】解：人數(shù)分配上有兩種方式即1，2，2與1，1，3．若是1，1，3，則有C53×A33=60種，若是1，2，2，則有×A33=90種所以共有150種不同的方法．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的運(yùn)用，難點(diǎn)在于分組的情況的確定．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別是橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為 。參考答案：6略12.正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為

．參考答案：取CC′的中點(diǎn)O,連接D′O,OE,OF,D′F,則△D′FO的面積.點(diǎn)F到平面A′D′E的距離=點(diǎn)F到平面OD′E的距離h,由等體積可得，即∴h=.

13.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以線段F1，F(xiàn)2為直徑的圓O與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，與y軸交于B，D兩點(diǎn)，且與雙曲線的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)，則下列命題正確的是．（寫(xiě)出所有正確的命題編號(hào)）①線段BD是雙曲線的虛軸；②△PF1F2的面積為b2；③若∠MAN=120°，則雙曲線C的離心率為；④△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心到y(tǒng)軸的距離為a．參考答案：②③④【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)分別進(jìn)行求解判斷即可．【解答】解：①以線段F1，F(xiàn)2為直徑的圓O的半徑R=c，則B（0，c），D（0，c），則線段BD不是雙曲線的虛軸；故①錯(cuò)誤，②∵三角形PF1F2是直角三角形，∴PF12+PF22=4c2，又PF1﹣PF2=2a，則平方得PF12+PF22﹣2PF1PF2=4c2，即4a2﹣2PF1PF2=4c2，則PF1PF2=2c2﹣2a2=2b2，則△PF1F2的面積為S=PF1PF2=2b2=b2，故②正確，③由得或，即M（a，b），N（﹣a，﹣b），則AN⊥x軸，若∠MAN=120°，則∠MAx=30°，則tan30°==，平方得=，即=，則雙曲線C的離心率e=====；故③正確，④設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)H，PF1、PF2分與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為M1、N1，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由圓的切線長(zhǎng)定理知，|PM1|=|PN1|，故|M1F1|﹣|N1F2|=2a，即|HF1|﹣|HF2|=2a，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，故（x+c）﹣（c﹣x）=2a，∴x=a．即△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心到y(tǒng)軸的距離為a．故④正確，故答案為：②③④14.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若，則異面直線BA1與AC1所成的角等于

.參考答案：

15.如圖，在側(cè)棱和底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌鍭BCD滿足條件

時(shí)，有（寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一種條件即可。）參考答案：ABCD是菱形或是正方形或是對(duì)角線互相垂直的四邊形略16.實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值是_____________.參考答案：略17.若正數(shù)滿足,則的最大值是___________.參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知圓C：(x＋)2＋y2＝16，點(diǎn)A(，0)，Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E.(1)求軌跡E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線交軌跡E于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，△AOB(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S＝，求直線AB的方程．參考答案：(1)由題意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2，………3分所以軌跡E是以A，C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即軌跡E的方程為.………5分(2)記A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意，直線AB的斜率不可能為0，而直線x＝1也不滿足條件，故可設(shè)AB的方程為x＝my＋1.＝.………10分由S＝，解得m2＝1，即m＝±1.………11分故直線AB的方程為x＝±y＋1，即x＋y－1＝0或x－y－1＝0為所求．………12分19.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求所有實(shí)數(shù)的值；（3）對(duì)任意的，證明：參考答案：（1），

當(dāng)時(shí)，，減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由得，由得∴遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為

（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上為減區(qū)間，而∴在區(qū)間上不可能恒成立

當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，，令，

依題意有，而，且∴在上遞減，在上遞增，∴，故

（3）由（2）知：時(shí)，且恒成立即恒成立則

又由知在上恒成立，∴

綜上所述：對(duì)任意的，證明：

略20.已知函數(shù)．(I)求不等式≤6的解集；(Ⅱ)若關(guān)于的不等式>恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案：

解：(I）原不等式等價(jià)于或

………………3分解，得.即不等式的解集為

………………6分（II）.

………………8分.………………10分21.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.參考答案：（I）；（II）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞減。（I）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，………2分，又，所以切線方程為：，整理得：；……………6分（II），………………7分當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在,單調(diào)遞減，在,單調(diào)遞增；……………9分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)在恒成立，所以在單調(diào)遞減；……………………11分當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在,單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增；……………13分綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞減.…………14分22.設(shè)點(diǎn)P在曲線y=x2上，從原點(diǎn)向A（2，2）移動(dòng)，如果直線OP，曲線y=x2及直線x=2所圍成的陰影部分面積分別記為S1、S2．（Ⅰ）當(dāng)S1=S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)S1+S2有最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）可考慮用定積分求兩曲線圍成的封閉圖形面積，直線OP的方程為y=tx，則S1為直線OP與曲線y=x2當(dāng)x∈（0，t）時(shí)所圍面積，所以，S1=∫0t（tx﹣x2）dx，S2為直線OP與曲線y=x2當(dāng)x∈（t，2）時(shí)所圍面積，所以S2=∫t2（x2﹣tx）dx，再根據(jù)S1=S2就可求出