2023-2024學年遼寧省朝陽市凌源市高二年級下冊4月月考數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年遼寧省朝陽市凌源市高二下學期4月月考數(shù)學

模擬試題

一、單選題

1.若數(shù)列｛七｝的通項公式為q,二∕τ，則4=（）

n+6

221

U-

B.H5-

13

【正確答案】c

【分析】由通項公式取〃=4即可.

【詳解】因為“,,=<?,

H+6

42

所以"KF

故選：c.

2.已知復數(shù)z=i（l-3i）（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)Z的實部為（）

A.3B.1C.-1D.-3

【正確答案】A

【分析】先根據(jù)復數(shù)的乘法求出z,然后根據(jù)定義得到實部.

【詳解】因為z=i（l—3i）=i-3i2=3+i,所以Z的實部為3.

故選：A

3.已知S,,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，且4=7,%=22,則S,=（）

A.119B.112C.98D.91

【正確答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前?n項和公式基本量求解即可.

【詳解】設(shè)公差為4,由％=7,%=22,得q+d=7,4+44=22,

所以4=2,d=5,

7×6

S7=lal+-^-×d=??9.

故選:A.

4.一面國旗燃起青春的向往，一身戎裝肩負國家的擔當.6名學生（含甲、乙）決定參軍報國，不負

韶華，報名前6人排成一排拍照，則甲、乙兩人不相鄰的不同的排法有（）

A.960種B.480種C.288種D.144種

【正確答案】B

【分析】應(yīng)用插空法，結(jié)合分步原理，先排不含甲、乙的4人，再將甲、乙插入4人所成列的5個

空中，利用排列數(shù)求排法數(shù)即可.

【詳解】先將不含甲、乙的4人排列，有A：種，再在4人之間及首尾5個空位中任選2個空位安排

甲、乙，有A；種,

所以甲、乙兩人不相鄰的不同的排法有的A；=24x20=480(種).

故選:B

5.下列區(qū)間中，函數(shù)，(X)=2Sin單調(diào)遞增的是()

3ππ

A.一_—-

_22_

【正確答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法求得正確答案.

【詳解】由-'+2Λπ≤x+工≤'+2E,%eZ,^--+2kπ<x<-+2kπ,keZ.

26233

所以/(χ)在-與，-5][-5,5][],與上不單調(diào)遞增，

/(χ)在-IW上單調(diào)遞增.

故選：D

2

6.若函數(shù)AX)=m+k(m∈R)為奇函數(shù)，則實數(shù)加=()

2+1r

A.-2B.-IC.0D.1

【正確答案】B

【分析】由函數(shù)為R上的奇函數(shù)，可得/(0)=0,進而可得出答案.

【詳解】因為函數(shù)/*)=m+τ^τ(m∈R)為奇函數(shù)，定義域為R,

2Λ÷1

2

所以/(0)=0,即m+手、=0,解得小=T,

經(jīng)檢驗，當〃?=T時，/*)是奇函數(shù).

故選：B.

7.已知等比數(shù)列｛4｝的前“項和為S“，且“”>。，若品=8,九=38,則％=()

A.27B.45C.65D.73

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列前”項和的性質(zhì)可得$6，S12-S6,S18-S12,Sz4-幾成等比數(shù)列，然后根據(jù)

等比中項的性質(zhì)，代入數(shù)據(jù)求出&=20,進而即可求出答案.

【詳解】由等比數(shù)列前"項和的性質(zhì)可得$6，Si2-S6,S18-S12,S24-小成等比數(shù)列,

2

所以有(%—SeY=Se(Sni-Sn),BP(S12-8)=8X(38-512),

整理可得鬃-8品-240=0,解得%=-12(舍)或$=20.

又因為(幾-5J=(EXSL%),

所以有(38-20)2=(20-8)(S24-38),解得S24=65.

故選：C.

8.如圖，在正方體ABCZ）-AAGP中，E為棱CG上一點且CE=gcC∣,則直線AB與平面Bf）E所

成角的正弦值為（）

?3√∏β√22「庖n2√22

Il11H11

【正確答案】D

【分析】以點。為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

【詳解】以點。為原點，D4,OC,分別為X軸、）,軸、Z軸建立空間直角坐標系,

設(shè)AB=3,則。(0,0,0),β(3,3,0),E(0,3,1),A(3,0,3),

所以DB=(3,3,0),￡>E=(0,3,1),A8=(0,3,-3),

設(shè)平面BDE的法向量為m=(x,XZ),

m?DB=0,[3x+3y=0,

則即1-八令x=l,則y=-l,z=3,所以W=(1,7,3),

m-DE=0,[3y+z=0,

設(shè)直線AB與平面BZ)E所成角為。，

122√22

3√2x√∏^H

Z

故選：D.

二、多選題

9.某產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布N(IOO則下列結(jié)論正確的是()

A.b越大，則產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落在(99.9,1(X).1)內(nèi)的概率越大

B.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值大于100的概率為0.5

C.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值大于100.01的概率與小于99.99的概率相等

D.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落在(99.9,100.2)內(nèi)的概率與落在(IoO,100.3)內(nèi)的概率相等

【正確答案】BC

【分析】利用b與正態(tài)密度曲線的關(guān)系可判斷A選項；利用正態(tài)密度曲線的對稱性可判斷BCD選

項.

【詳解】設(shè)隨機變量X~N(IOO,4)?

對于A選項，b越大，則產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落在(99.9,100.1)內(nèi)的概率越小，A錯；

對于B選項，P(X>100)=0.5,B對；

對于C選項，由正態(tài)密度函數(shù)的對稱性可知P(X>100.01)=P(X<99.99),C對；

對于D選項，P(99.9<X<l∞.2)-P(100<X<100.3)=P(99.9<X<IOo)-P(IO0.2<X<100.3)

=P(IOO<X<100.1)-P(100.2vX<100.3)>0,

所以，P(99.9<X<1∞.2)>P(100<X<100.3),D錯.

故選：BC.

10.已知S,是等差數(shù)列｛%｝的前"項和，且αιs<0,%+%3>0,則()

A.數(shù)列｛《,｝為遞增數(shù)列B.數(shù)列｛為｝為遞減數(shù)列

C.s,5>OD.S16>O

【正確答案】AD

【分析】利用等差數(shù)歹U的性質(zhì)%+43=%+4>0,結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性，判斷AB；

利用等差數(shù)列的前N項和，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷CD.

【詳解】ai+al3=a^+a9>0,而t?<0,所以O(shè)9>0,則"=%-%>0,所以數(shù)列｛4,｝為遞增數(shù)列，

故A正確，B錯誤；

兀=15(。;%)=[5卬<0,故C錯誤；兒=16(4”)=8血+2>0,故D正確.

故選：AD.

11.設(shè)平面向量n/滿足|〃|=IbI=1,且∣2α+b∣=",則()

13

A.ah=-B.?a-h?=-

42

C.∣α+句=?D.”與〃的夾角為60°

2

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)向量模長公式及數(shù)量積公式判斷A,B,C選項，根據(jù)向量夾角公式判斷D選項.

【詳解】由題意，得4α?+c∕+44?6=6，因為IaI=IM=1,所以4+1+4α?b=6，解得“力=^，故A

正確；

?a-b?=y∣(a-b)2=?∣a+h-2a?h--?-,故B錯誤；

?a+b?=J(α+4)2=^ja+b+2a?b=,故C正確；

設(shè)α與匕的夾角為氏則CoSe=士2=!#COS60。，故0與6的夾角不為60°,故D錯誤.

1“M4

故選:AC.

?γ

12.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S“滿足5“=9。,,-",n∈N?且4=---------,w∈N*.數(shù)列｛2｝的前〃

24j4,+ι

項和為用,則()

A.數(shù)列｛α,,+l｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛4-1｝是等比數(shù)列

【正確答案】AD

ciι+1C

【分析】根據(jù)凡與s”的關(guān)系，即可推得4+1=3%+2,變形可得個不=3,即可得出A項；根據(jù)”=1

a∣ι+?

時，求出q=2,即可得出4+1=3",求出%=3”-1,即可判斷B、C項；代入裂項可得

然后求和即可得出D項?

-1j-Iy

33

【詳解】對于A項，由得SN=”—1,

。川+

兩式相減，得α,,+∣=53"用一3;%T，整理可得。的=3q+2,所以a==13C,故A正確；

3

a

對于B項，當〃=1時，αl=5l=~?>解得“∣=2,所以α∣+l=3,

所以數(shù)列｛q,+l｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列，所以。,,+I=3x3"τ=3",

u

所以%=3"-1,所以，απ-l=3-2,顯然數(shù)列｛%-1｝不是等比數(shù)列，故B錯誤；

對于C項，由B知，”,=3"-l,所以故C錯誤；

22

3〃3"1(11)

ln+l,

對于D項，?-an.a^~(3"-i)(3^÷-i)-zl?"-1-3-1J

1(111111Ifl11111

所以W'=∕ljr≡i^^E+K_m++二=Jjk2(3"+一)<"故

D正確.

故選：AD.

三、填空題

13.已知P(AB)=O.6,P(MA)=O.8,則P(A)=.

3

【正確答案】-/0.75

4

【分析】根據(jù)條件概率公式直接計算即可.

【詳解】由條件概率的公式P(MA)=筮ξ得0.8=懸，解得P(A)=O.75.

故0.75

在公差不為。的等差數(shù)列｛%｝中，為其前”項和，若則正整數(shù)

14.S,,S3O=5(%+34°+4),

k=.

【正確答案】29

【分析】利用等差數(shù)列通項公式和求和公式可直接構(gòu)造等式求得％的值.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛叫的公差為d(4H0),

3029

由S30=5(?+3a10+2勾)得：3Oq+×j=5[4+4d+3al+Tld+24∣+2(k-l)d],

即64+874=64+(2Z+29)d,Ik+29=87>解得.K=29

故答案為.29

15.以原點。為圓心作單位圓。，直線/與直線Lx+y+l=0平行，且過點A(3√Σ,-0),P為直線

/上一動點，過點P作直線尸8與圓O相切于點B,則aBOP面積的最小值為.

【正確答案】?/??/?

22

【分析】根據(jù)直線/與/'平行，且過點A,求出直線/的方程，當OP長最短時，PB取得最小，則ABOP

面積取最小.

【詳解】由題知，圓O:/+/=1的圓心為。(0,0),半徑為r=1.

設(shè)直線/：x+V+，"=。，將點A(3?V^,—?∕Σ)代入，得m=—2√Σ，

2√2

所以直線Lx+y-2√Σ=0,所以點。到直線/的距離為d==2?

?

所以IOPI≥d=2?

因為O8J?P8,所以IBpl=Jlopl2-1≥JL

所以4BO尸的面積為:XIXjlO尸『T≥且,

當且僅當OPJ?∕時取等號，所以480P面積的最小值為走.

2

故答案為.走

2

16.粽，即粽粒，俗稱棕子，主要材料是糯米、餡料，用籍葉(或薯葉、筋古子葉等)包裹而成，

形狀多樣，主要有尖角狀、四角狀等.棕子由來久遠，最初是用來祭祀祖先神靈的貢品.某地流行

的四角狀的粽子，其形狀可以看成一個棱長為8cm的正四面體，現(xiàn)需要在粽子內(nèi)部放入一個肉丸，

肉丸的形狀近似地看成球，則這個肉丸的體積的最大值是cm3.

【正確答案】如質(zhì)乃/史也

2727

【分析】由題意，當肉丸的體積最大時，肉丸所成的球是該正四面體的內(nèi)切球，計算正四面體的表

面積與體積，再根據(jù)等體積法求解出內(nèi)切球的半徑，代入球的體積公式計算即可.

【詳解】當肉丸的體積最大時，肉丸所成的球是該正四面體的內(nèi)切球，

如圖，設(shè)正四面體的高為人，內(nèi)切球的半徑為，

所以CQ=4后,CO'=2cQ=座，所以Zz=PO=睫，

333

正四面體的表面積為S=4χ,χ8x8χ且=646，

22

根據(jù)等體積法，得力.A8C=!-S,即Lχ[χ8x8χ且X婭二」亦，

332233

解得〃=城，所以丫=e/=處尼π,

3327

即肉丸的體積的最大值為警nm'

四、解答題

17.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S,,,%=13,S7=13al.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）求證：｛√^司｝是等差數(shù)列.

【正確答案】（l）q,=2"+5

（2）證明見詳解

【分析】（1）根據(jù)題意列方程組，從而解得q,d,進而即可得到數(shù)列｛4｝的通項公式;

（2）結(jié)合（1）可得到｛后再｝的通項公式，進而即可證明其為等差數(shù)列.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為“，

7x6

由〃4=13,S7=13∏l,得q+3d=13,74+-γ-d=13q,解得q=7,d=2,

所以〃〃=al+（n-l）d=2n-b5.

22

（2）結(jié)合（1）∏TW-Stl=ncιx+?d=Jn+n-n=n+6n,

所以JS,,+9=正+6〃+9=〃+3,

故廊厲=1+3=4,√S,,+1+9-√S,,+9=(n+4)-(n+3)=l,

所以數(shù)列｛、歷再｝是以4為首項，以1為公差的等差數(shù)列.

18.如圖，在矩形ABeD中，AB=A,E為邊CQ上的點，CB=CE,以BE為折痕把ACBE折起,

使點C到達點P的位置，且使二面角尸-BE-C為直二面角，三棱錐尸-ABE的體積為逑.

⑴求證：平面抬3，平面孫氏

⑵求二面角8-B4-。的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

Q）-叵

11

【分析】（1）取BE中點F,則PFLBE,由三棱錐P-ABE的體積得BC=CE=DE=2,可得

AEVBE,?PF_L平面ABCD得/正_LPE,故AE_L平面PBE,得A￡_LPB,又PELPB,可得PB±

平面∕?E,進而得證；

（2）以。為原點，D4,OC為了,y軸正向，過。作Z軸垂直于平面A8Cf>,建立空間直角坐標系，

分別求出平面BPA和平面DPA的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【詳解】（1）設(shè)8C=8E=∕∏,由題意8CE為等腰直角三角形，折疊后ABPE為等腰直角三角形，

取BE中點F,連接PF,則Pbj_BE,

由于二面角P-BE-C為直二面角，故Pb,平面ABCT>,且PF=也小，

2

IJllJVpΛIIF=-SAIIFPF=---ABBCPF=-m

p-abe3A股323223

得m=2,B∣JBC^CE=DE=2.

則AE=8E=2√Σ,AE2+BE2=AB'故

又尸尸J_平面ABCO,故AE_LP-，又P尸與BE相交，

故AEJ_平面尸8E,故AEI.P3,

又PELPB,且PE與AE相交，故PB，平面R4E,

又PBU面∕?B,故平面以B_L平面以￡.

（2）以。為原點，D4,DC為X,y軸正向，過。作Z軸垂直于平面A88,建立空間直角坐標系,

則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),P(l,3,√2),AP=(-1,3,√2),DA=(2,0,0),AB=(0,4,0),

/、AP?τt1=-X+3V1+Λ∕2Z.=0

設(shè)平面B朋的法向量為4=α,χ,zj,則,,-ι,

AB-Ti1=4yl=0

取z∣=l,可得飛=(夜,0,1),

,、AP?n^=-X+3-

設(shè)平面QaI的法向量為%=(%,%■)，則^、9

DA?n2=2x2=0

取z2=3,可得%=(0,-Λ∕2,3),

/\4?小3√33

則tx÷㈤=同同=ET=TT，

由于二面角3-如-。為鈍角，故其余弦值為-叵.

11

19.從①4cos2A+4cos8cosC+l=4sin8sinC;②SinC-SinB=包二竺配；③JBe的外接圓的半

b

徑為2且4<8,這三個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并解答.

已知ΛBC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為α,"c,Ka=2√3,.

（1）求角A的大小；

（2）若。=3c,求..ΛBC的面積.

注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.

【正確答案】（1）：

⑵然

【分析】（1）選①：移項后根據(jù)兩角和的余弦公式結(jié)合誘導公式和完全平方公式，解得角A即可；

選②：先用正弦定理將角變?yōu)檫?，移項化簡，結(jié)合余弦定理即可得角A;選③，根據(jù)正弦定理和外

接圓半徑即可得SinA=且，根據(jù)A<3,即可得角A的范圍，進而求得角A；

2

(2)根據(jù)邊角之間關(guān)系，由余弦定理即可得6,進而求得c,根據(jù)三角形面積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)解:選①：因為4€0924+4€0$氏00。+1=4$抽外出。，

所以4COS2A+4cosBcosC-4sinBsinC+1=0,

即4∞S2A+4COS(B+C)+1=0,

因為A+8+C=π,所以4COS2A+4COS(TT-A)+l=0,

即4cos2A-4cosA+l=0,即(2COSA-I)-=0,

解得CoSA=；,因為A∈(0,7t),所以A=?

CSinC-QSirLA

選②:因為SinC-SinB=

b

在..ABC中，將正弦定理代入化簡可得：

22

c-b=~~—,EPbc-b1=C2-cr,BPbc=c2+h2-a2,

b

在-ABC中，由余弦定理可得：CoSA+：「=!，

JIbc2

因為A∈(O,τι),所以A=g；

選③：因為ABC的外接圓的半徑為2且α=2√^,

在.A3C中，由正弦定理可得：

---==2×2=4,解得sinA=>

sinAsinA2

因為A<B,所以Ae(O4)，所以A=?

(2)由⑴知b=3c,a=2√J,

在，ABC中，由余弦定理可得：CoSA=女窘￡=4，

2bc2

即%；+?∑I2='解得02=2，即C=其H,

6c2277

所以6=乎，所以S板=PCSin4=；創(chuàng)亨率？亭券.

20.牛排主要分為菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，7骨牛排，某牛肉采購商從采購的一批牛排中

隨機抽取100盒，利用牛排的分類標準得到的數(shù)據(jù)如下:

牛排種類菲力牛排肉眼牛排西冷牛排丁骨牛排

數(shù)量/盒20302030

⑴用比例分配的分層隨機抽樣方法從這IOO盒牛排中抽取10盒，再從抽取的10盒牛排中隨機抽取

4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率：

(2)若將頻率視為概率，用樣本估計總體，從這批牛排中隨機抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的

數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學期望.

3

【正確答案】(1)歷

(2)分布列見解析，數(shù)學期望為:3

【分析】(1)先根據(jù)分層抽樣分別求出T骨牛排和非7骨牛排的和數(shù)，再利用古典概型求解即可；

(2)先求出從這批牛排中隨機抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由題意可得X服從二項分布，再根

據(jù)二項分布的分布列及期望公式求解即可.

【詳解】(1)用比例分配的分層隨機抽樣方法從這100盒牛排中抽取10盒，

其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，

再從中隨機抽取4盒，設(shè)恰好有2盒牛排是T骨牛排為事件4

…,八3×213

則P(A)=Ti=----=—；

21010

(2)這100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的頻率為2需0=；1,

設(shè)從這批牛排中隨機抽取1盒，抽到菲力牛排的事件為8,

將頻率視為概率，用樣本估計總體可得P(B)=(,

從這批牛排中隨機抽取3盒，抽到的菲力牛排的數(shù)量X滿足X：

P(X=O)=Cm喂MI)=C俁)峪,

P(X=2)=C；

所以X的分布列為

X0123

6448121

P

125125125125

13

所以E(X)=3χg=g.

21.已知數(shù)列｛4｝中，4=3,2(nwN*).

⑴求證：｛q-2｝是等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列也｝滿足〃=(2〃+1)&-2),求數(shù)列｛b,,｝的前〃項和7；.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵Z,=(2〃—1)?2"+1

【分析】(1)由題意得q+∣-2=2(α“-2),結(jié)合等比數(shù)列定義證明數(shù)列｛q-2｝是等比數(shù)列;

(2)由(1)可求即a=(2"+l)?2"T,利用錯位相減法求和即可.

【詳解】(1)因為q,+∣=2α,,-2("∈N'),

所以IL2=2(4-2),

又4=3,α∣-2=l,

ci—2

所以HLV=2，

?-2

所以數(shù)列｛q-2｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列

(2)由⑴知α,,-2=2-,因為2=(2"+1)(4—2),

所以2=(2"+l)?2"T,

0l2π2,,

所以τn=3×2+5×2+7×2++(2rt-l)×2^+(2n+l)×2^,,

27；,=3×2I+5×22+7×23++(2"-1)X2",+(2n+l)×2",

兩式相減,得-7；=3×20+2(2'+22+.+2"-')-(2n+l)x2\

3+4

-T11=,?2-(2∕7÷1)×2"=-l-(2n-l)?2"

n

所以Tn=(2n-i)-2+?

22F