2022-2023學年湖北省鄂西高一年級下冊冊5月月考數(shù)學模擬試題（含解析）

2022-2023學年湖北省鄂西高一下冊5月月考數(shù)學模擬試題

(含解析)

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

_M=fx∣∣x-l∣<2∣N=(x∣y=ln(x+l)]

1,已知集合?111>,I1'",則()

A.NazMB.M=NC.Mr>N=0D.

AlUN=R

【正確答案】B

【分析】化簡集合，判斷兩個集合之間的關(guān)系即可得答案.

【詳解】由題可得"={x|—l<x<3},N={x∣x>-1},

所以Λ∕gN,且MN,M?N=M≠0,MUN=N≠R.

故選：B.

2,設(shè)(ɑ-i)i=b+2i(α,6eR),則()

A.a=2fb=1B.a=29h-~1

C.a=-2,h--?D.a=-2fh=l

【正確答案】A

【分析】由復數(shù)乘法運算和復數(shù)的相等可直接求得結(jié)果.

【詳解】由(q—i)i=b+2i(4∕∈R)得：l+ai=6+2i,.?.Q=2,h=1.

故選：A.

3.已知向量5=(4,3)石二(1,4)/=(2,1),且(2d—3B)L5,則實數(shù)左=

915

A.----B.0C.3D.—

22

【正確答案】C

【詳解】試題分析：由題意得，2萬一35=(2￡-3,—6)兄=(2,1)，因為(2q-3B)J.],所

以(2萬—3B)I=4左一6—6=0,解得左=3,故選C.

考點：向量的坐標運算.

4.如圖所示，矩形。W8'C'是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中0'H=3,0'C'=1,

B.面積為XI的矩形

A.面積為6√Σ的矩形

4

D.面積為逑的菱形

C.面積為6近的菱形

4

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意利用斜二測畫法判斷原圖形的形狀，即可求出其面積.

【詳解】NZ）‘O'∕'=45°,O'C'=C'D'=1,所以0'D'=√∑,

故在原圖中，OD=2√2-CD=CD'=1

OC=SD2+CD。=7^71=3,

所以四邊形C為菱形（如圖所示），CM=3,

則原圖形面積為S=OAXOD=6√2.

5.己知函數(shù)y=α"3-5（。＞0且?！?）的圖象過定點p,且角6的終邊經(jīng)過點P,則sin6=

【正確答案】A

【分析】由題可得點P（3,-4）,再利用三角函數(shù)的定義即求.

【詳解】?.?函數(shù)>=qi-5（α>0且α≠l）,

令x-3=O,則X=3,y=-4,

函數(shù)y=αv^3-*55(a>O且α≠1)的圖象過定點P(3,-4),又角θ的終邊經(jīng)過點P,

∕?sinθ——.

5

故選：A.

6.已知SinX-工則COSIx--=（）

<4J5I?/

A2√3-3Q2√3±3、3√3+4

A.---------o.---------D.

101010

3√3±4

10

【正確答案】D

3

【分析】利用兩角差的正弦公式展開再平方得到sin2x=±,從而求出cos2x,再由兩角差

5

的余弦公式計算可得.

√5√5,

【詳解】因為Sin所以SinXCos&-cosXsin巴

5，445，

所以也√sinX-CoSX)=也，即」si∏2χ+cos2χ-2sinxcosx)=L

21752v75

所以sin2x=3,則CoS2x=±J1-sin?2x=±』,

55

_π）_兀,八.兀

所以cosI2x--?=cos2xcos—+sin2xsin—

÷4χl+3χ√3=3√3±4

525210

故選：D

7.“不以規(guī)矩，不成方圓”.出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，"矩”指由相互垂直的長短

兩條直尺構(gòu)成的角尺，用來測量、畫圓和方形圖案的工具.有一圓形木板，以“矩”量之，較

長邊為IOCm,較短邊為5cm,如圖所示，將這個圓形木板截出一塊三角形木板，三角形定

*2

點4B,C都在圓周上，角4,B,C分別對應(yīng)α,b,c,滿足c=4√^^cm.≡5ΔJSC=8cm,

且α>c,則（）

A.sinC=-B.Z?∕8C周長為12+4√?cm

5

C.∕?ABC周長為15+4√5cmD.圓形木板的半徑為2港Cm

【正確答案】B

【分析】利用正、余弦定理結(jié)合面積公式分析運算即可.

【詳解】對于D：由題意可得：圓形木板的直徑2R=JlO?+5?=56cm，

即半徑R=XlCm,故D錯誤；

2

Cc4??∕54

對于A：由正弦定理——=2R,可得SinC=-J=岑=二，故A錯誤；

SinC2R5√55

114

對于B、C：由題意可得：SΛ.=-α?sinC=-×π?x-=8，解得αb=20,

δaib5fc225

/3

因為Q>C,則Z>C,可知。為銳角，可得CoSC=Jl-Sin2C,

222

余弦定理CoSC=a+b-cJa+bγ-2ab-c?即￡Q+.-40-80,

2ab2ab540

解得α+b=12,所以448C周長為12+4√?cm,故B正確，C錯誤；

故選：B.

8.已知?是單位向量，且?的夾角為6,若林+聞N；(feR),則。的取值范圍為

()

CjrJr5兀兀兀

A.0,—B.~∑y~∑~C.一,-D.

L6j[66」[42」

π2π

3,T

【正確答案】B

222

【分析】?]+Ze21=(Z+cos)+sin>sinθ，結(jié)合題意得sin?>?,結(jié)合6e[θ,7i]

即得解.

22222

【詳解】∣β∣+Ze21=e；+2tei?e2+te2=t+2/cos6+1=(t+cos^)÷sinθ≥sinθ，

因為國+國之;(fwR),所以si/ez；,

又6e[θ,τr],所以Sine≥7,e∈—?.

2|_66

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項

中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的

得。分.

9.已知復數(shù)Z=出，則下列說法正確的是()

1+i

A.∣z∣=13B.Z的虛部為一2

C.z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限D(zhuǎn).z的共輾復數(shù)為一3-萬

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算法則求出z,再根據(jù)復數(shù)的模長公式、復數(shù)的概念、復數(shù)的兒

何表示以及共鈍復數(shù)的概念可得答案.

5+i_(5+i)(l-i)6-4i

【詳解】Z=17T-(l+i)(l-i)=~3-2i,

22

∣Z∣=√3+(-2)=√13-故A不正確;

Z的虛部為一2,故B正確；

z=3-2i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點(3,-2)在第四象限，故C正確；

z=3—2i的共物復數(shù)為5=3+2i,故D錯誤.

故選：BC

10.若函數(shù)/(x)=JiSinXCOSX+J5cos?，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=∕(x)的圖象可由函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移:個單位長度得到

3τr

B.函數(shù)y=∕(χ)的圖象關(guān)于直線x=—二對稱

8

C.函數(shù)y=∕(χ)的圖象關(guān)于點［一,,0)對稱

/")在國

D.函數(shù)V=x+上為增函數(shù)

【正確答案】BD

【分析】由三角函數(shù)的恒等變換化簡/(x)=sin2x+^,再由三角函數(shù)的平移變換可判

3π可判斷、；先判斷在上為增函數(shù)，即可判

斷A；求出了=TBCy=∕(x)［θ?J

斷y=x+∕(x)在Oq的單調(diào)性.

【詳解】由題意,

π、

/(%)=Λ∕2sinxcosx+V2cos2Xsin2x+-cos2x=sin∣2x+-.

v,2224J

Tr

函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移W個單位長度可得到

/(x)=sin2sin∣Ix——=-cos2x,故A錯誤;

2J

‘一型π3τr

=sin2×+—=-1,所以函數(shù)N=/(x)的圖象關(guān)于直線X=-L對稱,

48

故B正確，C錯誤;、

(TTπTT兀兀

函數(shù)N=X在上為增函數(shù)，x∈∣0,-時，2x+-e,故函數(shù)/(x)在［θ,?∣

I8；44,2

上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=χ+∕(χ)在OT上為增函數(shù)，故D正確.

故選：BD.

11.已知中，角A,B,C的對邊分別為α”,c,且α(sinZ-sin8)=csinC-bsin8,

則下列說法正確的是()

?CJ

B.若的面積為JJ,則C的最小值為2

C.若α=l,B=—,則/3C的面積為過二亙

128

D.若b=3,C=幣,則滿足條件的ABC有且僅有一個

【正確答案】BC

TT

【分析】由正、余弦定理及己知得。=一，再根據(jù)選項綜合應(yīng)用正、余弦定理和三角形面

3

積公式求解.

【詳解】,?,α(sinZ-Sin8)=CSinC-bsin6,

222

；?由正弦定理可得α(α-力)=/一〃，^a+b-c=ab>

對于A選項，由余弦定理可得CoSe=.+"一°?=L

2ab2

Tl

,.<0<C<π,/.C=—,故A錯誤；

3

對于B選項，由題可知LabSinC=正αb=√i,，ab=4,

24

由余弦定理可得/=/+尸-2ZZbCOSC=a2+h2-ah≥2ab-ab=Qz)=4,

???c≥2,當且僅當α=b=2時等號成立，故。的最小值為2,故B正確；

√3

對于C選項，由題可知/=：,由正弦定理得‘一=-^,.?.c=等§=展=￥

4s?nASinCsinA√22

T

.?.A48C的面積為

1.,1,√6.5π√6..ππ.√6√6+√23+√3,_-,

-αcsιn8r=-xlx——s?n—=——s?n(-+—)=——X----------=--------，故4C正c確jfe；

22212446448

對于D選項，由余弦定理可得C?=∕+∕-2abcosC，即7=片+9—3α，a2-3a+2=0,

解得。=1或α=2,故D錯誤.

故選：BC.

12.如圖，在棱長為2的正方體NBCD-44GA中，E為邊/。的中點，點P為線段DlB

上的動點，設(shè)RP=ND∣B,則()

A.當；I=；時?EP〃平面ABCB.當4=g時，|P?取得最小值，其

值為√∑

∣P4∣+∣PC∣的最小值為半

C.D.當q∈平面CEP時，λ=-

'4

【正確答案】BC

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用兩點間距離公式

計算判斷BC；確定直線DIB與平面CEP交點的位置判斷D作答.

【詳解】在棱長為2的正方體力4GQ中，建立如圖所示的空間直角坐標系，

A(2,0,0),β(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),耳(2,2,2),E(L0,0),

^5=(2,2,-2),^D^P=λDβ=(22,2Λ,-2∕t),則點尸(22,22,2-22),

1224—124—.___

對于A,A=-,∕,(y,y,y)>EP=(--,-,-),而力C=(一2,2,0),4瓦=(0,2,2),

顯然方函?就=2x(—2)+2x2)=0,而?麗=2x2—2x2=0,即方力是平面48(的

一個法向量，

―?——?124

而EP?DQ=(-ix2+5x2+5x(-2)≠0,因此而不平行于平面NgC,即直線EP與

平面48C不平行，A錯誤;

對于B,麗=(24-1,24,2-2/1)，則

IEPI=7(22-1)2+(22)2+(2-2Λ)2=√12Λ2-122+5=Jl2(2-∣)2+2,

因此當4=；時，IPEl取得最小值④，B正確；

對于C,AP=(2λ-2,2λ,2-2λ),CP=(22,22-2,2-22),

2222

于是I萬I+1岳I=2y∣(2λ-2)+(2Λ)+(2-2Λ)=4^3(2-1)+|≥半，當且僅

2

當2=一時取等號，C正確；

3

對于D,取4。的中點E，連接EF,C∣F,CE,如圖，

因為E為邊/。的中點，颯EFIIDD?"CC?,當ClG平面CEP時，尸@平面CERC∣,

連接用AnG尸=。，連接BOnCE=M,連接MQ,顯然平面CEEGn平面

BDDlBi=MQ,

因此MQPl=P,BB?∕iCC[,CC?U平面CEFCx,BBl(Z平面CEFCy,則8片〃平

面CEFCi,

即有M0∕"4'而爵=顰=：'所以X=篝=^=g'D錯誤.

故選：BC

關(guān)鍵點睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開并放在

同一平面內(nèi)，再利用兩點之間線段最短解決是關(guān)鍵.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

,,5sin2or

13.右tana=-,貝!j----?——_______

2cos^a

【正確答案】5

【分析】利用二倍角的正弦公式計算可得答案.

Sin2。2sin。COSa

【詳解】=2tana=5.

COS2I7cos%

故答案為.5

I..........

14.已知e∣,e2是單位向量，Z8=2e∣+02,8。=-,+3e2,CZ>=Xe]-C?，若4B,D三

點共線，則實數(shù)4=

【正確答案】5

【分析】先由己知求出血，再由Z,B,。三點共線，可得而=〃?而，從而列方程組可

求出4的值

【詳解】解：由紀=—1+3],麗=癡—"，得麗=數(shù)+3=(4—1)1+2],

因為兒B,。三點共線，

所以令BD-mAB?即(X—l)β∣+2e,=m(2e∣+e?)，

Λ-l=2m

所以VC,解得4=5,

2=m

故5

15.如圖，在三棱錐尸―ZBC中，PA=PB=PC=8,ZAPB?ZAPC=ZBPC?40°,

過點/作截面，分別交側(cè)棱P8,尸C于E,F兩點,則△/!EF周長的最小值為.

【分析】沿著側(cè)棱尸/把三棱錐P-ZBC展開在一個平面內(nèi)，如圖，則44'即為AZE/周

長的最小值，在△「44'中，由余弦定理能求出44'的值.

【詳解】如圖，沿著側(cè)棱刃把三棱錐P-ZBC展開在一個平面內(nèi)，如圖所示：

A

則AA'即為八4EF的周長的最小值，

在△尸NH中，NZPH=3x40°=120°,PA=A1P=S,

由余弦定理得：AA'=JP*+wp2-2P∕.WPCoSl20。=?82+82-2×8×8×^-∣^∣=8√3.

故答案為.8√3

16.德國機械學家萊洛設(shè)計的菜洛三角形在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.如圖，分別以等邊三角形

Z6C的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角

形.若該等邊三角形ZBC的邊長為1，尸為弧ZB上的一個動點，則萬?（而+定）的最

小值為.

【分析】以C為原點建立平面直角坐標系，則P為單位圓上一點，利用任意角的三角函數(shù)

定義，設(shè)點P的坐標，用向量的坐標運算求解即可.

由已知，弧/8是以C為圓心，1為半徑的圓的一部分，

以C為原點，6C所在直線為X軸，過C與直線BC垂直的直線為夕軸，建立平面直角坐標

系，則由已知N1―,8(—1,0),C(0,0),

2τr

由任意角的三角函數(shù)的定義，設(shè)P(CoSe,sin。)，θ∈-,π

則尸/=-?-eos^,?-sin^,=(-I-CoSe,-sin。)，PC=(-COSe,-sin。),

.?.而+定=(一1一2CoSe,—2Sine),

Λ4?(P8+PC)=I—g-cose]?(-I-2cos6)+孝一Sine?(—2sin6)

=-+2cos+2cos2-?/?sin+2sin2θ

2

5CoSe-平Sine

—+

2近)

2向_______S

令c0sφ=7^,Sine=J=,則尸Z?(PB+尸c)=5+J7cos(6+e),

當。+S幾時，θ-π-φ,

/、22π1

COSe=CoS[π-φ)=-cosφ=--∣=<cos-=--

Sine=Sin(兀一e)=sin夕=W<sing=^,

工存在?！?-,兀,使6+9=冗，即COS(O+°)=-1,

3

.?.當cos(e+8)=-ι時，莎?(而+定)的最小值為西.(而+無)=√7.

故答案為.—J7

2

第∏卷

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.

?.

17.已知向量α=(l,2),6=(—3,2).

(1)若i+2B與Z+B垂直，求實數(shù)，的值；

(2)若左￡+2坂與2￡—43的夾角為鈍角,求實數(shù)后的取值范圍.

14

【正確答案】(1)t=—一；(2)

3R，T)嘲多3

【分析】(1)首先可求出2+2B=(-62+4)?3+3=(—2,4),然后根據(jù)

(日+24R+5)=0即可得出結(jié)果;

(2)本題首先可求出屆+23=(左一6,2左+4)、2α-4Λ=(14,-4),然后根據(jù)題意得出

(ka+2b)-(2a-4b)<0,解得左<三，最后排除后+25與方-禍平行的情況即可得出

結(jié)果.

【詳解】(1)因為)=(1,2),e=(-3,2).

所以tα+2b=(/—6,2/+4),α+b=(-2,4),

因為fα+2B與α+B垂直,所以卜α+2耳.(q+3=O,

BP-2(/-6)+4(2/+4)=0,解得/=—?.

(2)左α+2^=(左一6,2左+4),2a-4b=(14,-4),

因為左￡+23與23-4］的夾角為鈍角，

所以(左Q+2可?(2Q-4B)<0,

即14(米-6)-4磔+4)<0,解得左<三,

當忘+23與二一45平行時，

-4(?-6)-14(2?+4)=0,解得左=一1,此時石+2B與22—石夾角為180。，

故實數(shù)左的取值范圍為卜￥,-1)E

18.如圖，在四棱錐尸-ZBCD中，底面/8C。是矩形，以為點P到平面Co的距離，

PM

AB=A,∕D=3,PA=3,點￡、Af分別在線段/8、PC上，其中E是45中點，——=2,

MC

連接WE.

M

×V'?

D,A--f?----------->C

AEB

（1）當/1=1時，證明：直線ME//平面以。；

（2）當2=2時，求三棱錐"-8Cz）的體積.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）2

【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即可.

PM_

（2）根據(jù)——=2,求出三棱錐BC。的高，然后利用體積公式即可.

MC

【小問1詳解】

取P。中點N,連接MN.AN,

?.?Λ∕N是△尸CO的中位線，.?.MN∕∕α）,且MN=」。。，

2

REIICD,且ZE=LC。，.?.四邊形/ENN為平行四邊形，

2

--MEIIAN

又Λ∕E<Z平面刈。，4Nu平面PID,ME〃平面RiD

MC

二匕”-BS=；X；X4X3X1=2.

19.如圖所示，在A∕8C中，。為Be邊上一點，且麗=2灰，過。的直線EE與直線/8

相交于E點，與直線NC相交于尸點（E，尸兩點不重合）.

（1）用而，AC表示AD；

（2）若近=%萬，^AF^μAC,求24+〃的最小值.

—1—2—

【正確答案】（1）AD=-AB+-AC

33

8

(2)

3

【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化用近，萬■表示N萬，根據(jù)。、E、尸三點共線找出等量

關(guān)系，再利用基本不等式計算可得；

【小問1詳解】

因為麗=2覺，所以通一赤=2衣一2而，

—1—2一

化簡得40=-28+—ZC；

33

【小問2詳解】

—..—..''一"1'1—2''

因為4E=4∕β,AF—μAC,AD=-AB4—AC，

j33

所以詬=±?衣+2-萬，由圖可知；1〉0,//>0

3Λ3μ

12

又因為。、E、E三點共線，所以=+丁=1，

3z3μ

_1+—2>/+衛(wèi)+3+2]μ4Λ_8

所以24+〃=(24+〃)?

3/13〃J33/13〃33∑'ξJ^3,

μ4248

當三==，即〃=22=—時，24+〃取最小值一.

3/13〃33

20,設(shè)函數(shù)/(x)=SinX+cosX(XeR).

(1)求函數(shù)y=∣∕X+yI的最小正周期;

TT?TT

(2)求函數(shù)y=∕(χ)/χ--?O,-上的最大值.

\4)L」一

【正確答案】(1)π.(2)1+注.

2

【分析】(1)由題意結(jié)合三角恒等變換可得V=l-sin2x,再由三角函數(shù)最小正周期公式即

可得解；

(2)由三角恒等變換可得y=sin(2x-5)+#，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.

【詳解】(1)由輔助角公式得/(x)=SinX+cosX=J5sin[x+^j,

則

>∕2sin-2sin21x+—1=1-cosI2x+—J=I-Sin2x

所以該函數(shù)的最小正周期r=/-=萬；

(2)由題意，y-f(x)fx~~^=0sin(x+()V∑sinx=2sin[x+j^sinx

=2sinx?Isinx+^-cos%=√2sin2x+?∣2sinxcosx

[22)

∕τ1-cos2xy∣2.V∑.y∣2y∣2.(π?V∑

=72-------------1-----sin2x=—sin2x------cos2xH-------sin2x-----H-------,

22222<4j2

,C式一，0`TC713τr

由x∈0,—-可得2x------

24494

所以當2x—2=?即X=四時，函數(shù)取最大值1+也.

4282

21.在A4SC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且小3C的周長為6,

6sin力

sinA+sinB-sinC

2

(1)求角C的大小;

(2)若。是邊/6的中點，且CD=百，求AZBC的面積.

TT

【正確答案】(1)一

3

(2)若

【分析】⑴利用正弦定理化簡已知條件,結(jié)合三角形NBC的周長以及余弦定理求得COSC,

進而求得C.

(2)利用向量運算、三角形ZBC的周長以及(1)求得a,b,c,從而求得三角形/6C的

面積.

【小問1詳解】

因為sin/+SinB-SinC=幺叫且，由正弦定理可得a+b—c=效

22

又由α+b+c=6,可得(α+b-c)(α+b+c)=34b,

整理得/+/-￠2=仍，所以CoSC="+"一.=.

2ab2

又因為Ce(O,兀)，

Tt

所以C=乙；

3

【小問2詳解】

因為。是邊ZB的中點，所以2麗=0+國.

即4麗聞2=^+23?赤+/"+α2+αb=4χ(可=12

又α+b+c=6,a1+b2-c2=ab>

解得α=b=c=2.

所以^ABC的面積S=-absmC=4i.

2

22.已知Ia,b,c分別為“BC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，

COS2√4+cos2C=1+cos2β且b-?,

(1)求B；

—■—-111

(2)若ABAC<-,求上+上的取值范圍；

2ac

(3)若。。為“BC的外接圓，若PM、PN分別切。。于點M、N,求

PMPN的最小值.

TT

【正確答案】(1)B=—；

2

(2)(2Λ∕Σ,+∞);

3

（3）T

4

【分析】（1）由題目條件可證得sin2∕+sin2c=sin28,可得/B