2023年天津市河北區(qū)中考數(shù)學一模試卷

第1頁〔共1頁〕2023年天津市河北區(qū)中考數(shù)學一模試卷一、選擇題〔本大題共12小題，每題3分，共36分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的〕1．〔3分〕計算〔﹣6〕+2的結(jié)果等于〔〕A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 2．〔3分〕sin60°的值等于〔〕A． B． C． D．1 3．〔3分〕如圖圖形中，是軸對稱圖形的是〔〕A． B． C． D． 4．〔3分〕據(jù)統(tǒng)計，至2023年末，天津市常住人口總量為15568700人，將15568700用科學記數(shù)法表示為〔〕A．0.155687×108 B．1.55687×107 C．15.5687×106 D．15568.7×103 5．〔3分〕用5個完全相同的小正方體組合成如以下列圖的立體圖形，它的俯視圖為〔〕A． B． C． D． 6．〔3分〕估計的值在〔〕A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間 7．〔3分〕計算+〔〕A． B． C．1 D．﹣1 8．〔3分〕方程組的解是〔〕A． B． C． D． 9．〔3分〕如果兩個變量x、y之間的函數(shù)關(guān)系如以下列圖，那么函數(shù)值y的取值范圍是〔〕A．﹣3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤3 10．〔3分〕反比例函數(shù)y=，當﹣3≤x≤﹣1時，y的最小值是〔〕A．﹣9 B．﹣3 C．﹣1 D．1 11．〔3分〕如圖，兩個三角形的面積分別是7和3，對應(yīng)陰影局部的面積分別是m、n，那么m﹣n等于〔〕A．4 B．3 C．2 D．不能確定 12．〔3分〕如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a＞0〕圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1和3，那么以下結(jié)論正確的選項是〔〕A．2a﹣b=0 B．a(chǎn)+b+c＞0 C．3a﹣c=0 D．當a=時，△ABD是等腰直角三角形 二、填空題〔本大題共6小題，每題3分，共18分，請將答案答在試卷后面的答題紙的相應(yīng)位置〕13．〔3分〕計算2a〔a+3b〕的結(jié)果等于．14．〔3分〕分解因式：x2﹣9=．15．〔3分〕在不透明口袋內(nèi)有形狀、大小、質(zhì)地完全一樣的5個小球，其中黑色球3個，白色球2個，隨機抽取一個小球是白色球的概率是．16．〔3分〕一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，那么這個多邊形的邊數(shù)為．17．〔3分〕關(guān)于x的一元二次方程x2+〔a2﹣2a〕x+a﹣1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，那么a的值為．18．〔3分〕如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B均在格點上．〔1〕在圖1中畫出一個直角△ABC，使得點C在格點上且tan∠BAC=；〔Ⅱ〕在圖2中畫出一個△ABD，使得點D在格點上且tan∠BAD=，請在圖2所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出△ABD，并簡要說明理由．三、解答題〔本大題共7小題，共66分，解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程，請將答案答在試卷后面的答題紙的相應(yīng)位置〕19．〔8分〕解不等式組請結(jié)合題意填空，完成此題的解答：〔I〕解不等式〔1〕，得；〔Ⅱ〕解不等式〔2〕，得；〔Ⅲ〕把不等式〔1〕和〔2〕解集在數(shù)軸上表示出來；〔Ⅳ〕原不等式組的解集為．20．〔8分〕某同學進行社會調(diào)查，隨機抽查了某個地區(qū)的20個家庭的收入情況，并繪制了統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖給出的信息答復(fù)：〔I〕在這20個家庭中，收入為1.1萬元的有個；〔Ⅱ〕求樣本中的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)．21．〔10分〕AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上的一點．〔I〕如圖1，過P作⊙O的切線PC，切點為C．作AD⊥PC于點D，求證：∠PAC=∠DAC；〔II〕如圖2，過P作⊙O的割線，交點為M、N，作AD⊥PN于點D，求證：∠PAM=∠DAN．22．〔10分〕如圖，某數(shù)學興趣小組測量位于某山頂?shù)囊蛔裣馎B高度，山坡面與水平面的夾角為30°，山高BC為285米，組員從山腳D處沿山坡向著雕像方向前進540米后到達E點，在點E處測得雕像頂端A的仰角為60°，求雕像AB的高度．23．〔10分〕某公司方案組裝A、B兩種型號的健身器材共40套，用于公司職工的鍛煉．組裝一套A型健身器材甲種部件7個和乙種部件4個，組裝一套B型健身器材甲種部件3個和乙種部件6個．公司現(xiàn)有甲種部件228個，乙種部件194個，設(shè)組裝A型器材的套數(shù)為x〔x為正整數(shù)〕．〔Ⅰ〕根據(jù)題意，填寫下表組裝A型器材的套數(shù)為x組裝B型器材的套數(shù)為〔40﹣x〕需用甲種部件7x需用乙種部件〔Ⅱ〕公司在組裝A、B兩種型號的健身器材時，共有多少種組裝方案？〔Ⅲ〕組裝一套A型健身器材需費用50元，組裝一套B型健身器材需費用68元，求總組裝費用最少的組裝方案，最少總組裝費用是多少？24．〔10分〕在平面直角坐標系中，點A〔2，0〕，點B〔0，2〕，點O〔0，0〕．△AOB繞著O順時針旋轉(zhuǎn)，得△A′OB′，點A、B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為A′、B′，記旋轉(zhuǎn)角為α．〔I〕如圖1，假設(shè)α=30°，求點B′的坐標；〔Ⅱ〕如圖2，假設(shè)0°＜α＜90°，設(shè)直線AA′和直線BB′交于點P，求證：AA′⊥BB′；〔Ⅲ〕假設(shè)0°＜α＜360°，求〔Ⅱ〕中的點P縱坐標的最小值〔直接寫出結(jié)果即可〕．25．〔10分〕如圖，拋物線y=ax2﹣2x+3與x軸交于A、B兩點〔點A在點B左邊〕，與y軸交于C點，B〔1，0〕．第二象限內(nèi)有一點P在拋物線上運動，OP交線段AC于點E．〔Ⅰ〕求拋物線的解析式及點A、C的坐標；〔Ⅱ〕設(shè)△PAC的面積為S．當S最大時，求點P的坐標及S的最大值；〔Ⅲ〕是否存在點P，使點E是OP的中點．假設(shè)存在，求出點P的坐標；假設(shè)不存在，說明理由．

2023年天津市河北區(qū)中考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題〔本大題共12小題，每題3分，共36分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的〕1．〔3分〕計算〔﹣6〕+2的結(jié)果等于〔〕A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 【分析】絕對值不等的異號加法，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0．依此即可求解．【解答】解：〔﹣6〕+2=﹣4．應(yīng)選：B．【點評】考查了有理數(shù)的加法，在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法那么．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號，后絕對值〞．2．〔3分〕sin60°的值等于〔〕A． B． C． D．1 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接解答即可．【解答】解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可知：sin60°=．應(yīng)選：C．【點評】此題比較簡單，只要熟記特殊角的三角函數(shù)值即可解答．3．〔3分〕如圖圖形中，是軸對稱圖形的是〔〕A． B． C． D． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的局部能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行解答即可．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、是軸對稱圖形，故此選項正確；C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；應(yīng)選：B．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的概念．4．〔3分〕據(jù)統(tǒng)計，至2023年末，天津市常住人口總量為15568700人，將15568700用科學記數(shù)法表示為〔〕A．0.155687×108 B．1.55687×107 C．15.5687×106 D．15568.7×103 【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：將15568700用科學記數(shù)法表示為：1.55687×107．應(yīng)選：B．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．5．〔3分〕用5個完全相同的小正方體組合成如以下列圖的立體圖形，它的俯視圖為〔〕A． B． C． D． 【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．【解答】解：該幾何體的主視圖為：俯視圖為：左視圖為：應(yīng)選：C．【點評】此題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．6．〔3分〕估計的值在〔〕A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間 【分析】估算確定出范圍即可．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，那么的值在3和4之間，應(yīng)選：B．【點評】此題考查了估算無理數(shù)的大小，以及算術(shù)平方根，熟練掌握各自的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．7．〔3分〕計算+〔〕A． B． C．1 D．﹣1 【分析】先根據(jù)同分母分式的加法計算，再約分即可得．【解答】解：原式===﹣1，應(yīng)選：D．【點評】此題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握同分母分式加減法法那么：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．8．〔3分〕方程組的解是〔〕A． B． C． D． 【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：，①+②，得：4x=8，解得：x=2，將x=2代入①，得：2+y=6，解得：y=4，所以方程組的解為，應(yīng)選：A．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．9．〔3分〕如果兩個變量x、y之間的函數(shù)關(guān)系如以下列圖，那么函數(shù)值y的取值范圍是〔〕A．﹣3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤3 【分析】根據(jù)圖象，找到y(tǒng)的最高點是〔﹣2，3〕及最低點是〔1，0〕，確定函數(shù)值y的取值范圍．【解答】解：∵圖象的最高點是〔﹣2，3〕，∴y的最大值是3，∵圖象最低點是〔1，0〕，∴y的最小值是0，∴函數(shù)值y的取值范圍是0≤y≤3．應(yīng)選：D．【點評】此題考查了函數(shù)的圖象，解答此題的關(guān)鍵是會觀察圖象，找到y(tǒng)的最高點及最低點．10．〔3分〕反比例函數(shù)y=，當﹣3≤x≤﹣1時，y的最小值是〔〕A．﹣9 B．﹣3 C．﹣1 D．1 【分析】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，由x的取值范圍并結(jié)合反比例函數(shù)的圖象，即可得到y(tǒng)的取值范圍．【解答】解：∵k=3＞0，∴在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，又∵當x=﹣3時，y=﹣1，當x=﹣1時，y=﹣3，∴當﹣3≤x≤﹣1時，﹣3≤y≤﹣1，∴y的最小值是﹣3．應(yīng)選：B．【點評】此題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)：當k＞0時，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當k＜0時，在每一個象限，y隨x的增大而增大．11．〔3分〕如圖，兩個三角形的面積分別是7和3，對應(yīng)陰影局部的面積分別是m、n，那么m﹣n等于〔〕A．4 B．3 C．2 D．不能確定 【分析】設(shè)重疊局部的面積為x．由題意，m=7﹣x，n=3﹣x，由此即可解決問題；【解答】解：設(shè)重疊局部的面積為x．由題意，m=7﹣x，n=3﹣x，∴m﹣n=〔7﹣x〕﹣〔3﹣x〕=4，應(yīng)選：A．【點評】此題考查整式的加減，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．12．〔3分〕如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a＞0〕圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1和3，那么以下結(jié)論正確的選項是〔〕A．2a﹣b=0 B．a(chǎn)+b+c＞0 C．3a﹣c=0 D．當a=時，△ABD是等腰直角三角形 【分析】由于拋物線與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1，3，得到對稱軸為直線x=1，那么﹣=1，即2a+b=0，得出，選項A錯誤；當x=1時，y＜0，得出a+b+c＜0，得出選項B錯誤；根據(jù)a＞0，c＜0，可得到3a與c的關(guān)系，得出選項C錯誤；由a=，那么b=﹣1，c=﹣，對稱軸x=1與x軸的交點為E，先求出頂點D的坐標，由三角形邊的關(guān)系得出△ADE和△BDE都為等腰直角三角形，得出選項D正確；即可得出結(jié)論．【解答】解：∵拋物線與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1，3，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，那么﹣=1，∴2a+b=0，∴選項A錯誤；∴當自變量取1時，對應(yīng)的函數(shù)圖象在x軸下方，∴x=1時，y＜0，那么a+b+c＜0，∴選項B錯誤；∵a＞0，c＜0，∴3a＞0，﹣c＞0．∴3a﹣c＞0，∴選項C錯誤；當a=，那么b=﹣1，c=﹣，對稱軸x=1與x軸的交點為E，如圖，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣，把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，∴D點坐標為〔1，﹣2〕，∴AE=2，BE=2，DE=2，∴△ADE和△BDE都為等腰直角三角形，∴△ADB為等腰直角三角形，∴選項D正確．應(yīng)選：D．【點評】此題考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與系數(shù)的關(guān)系：當a＞0，拋物線開口向上；拋物線的對稱軸為直線x=﹣；拋物線與y軸的交點坐標為〔0，c〕．二、填空題〔本大題共6小題，每題3分，共18分，請將答案答在試卷后面的答題紙的相應(yīng)位置〕13．〔3分〕計算2a〔a+3b〕的結(jié)果等于2a2+6ab．【分析】根據(jù)單項式乘多項式的運算法那么計算可得．【解答】解：2a〔a+3b〕=2a2+6ab，故答案為：2a2+6ab．【點評】此題主要考查單項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是掌握單項式乘多項式的運算法那么．14．〔3分〕分解因式：x2﹣9=〔x+3〕〔x﹣3〕．【分析】此題中兩個平方項的符號相反，直接運用平方差公式分解因式．【解答】解：x2﹣9=〔x+3〕〔x﹣3〕．故答案為：〔x+3〕〔x﹣3〕．【點評】主要考查平方差公式分解因式，熟記能用平方差公式分解因式的多項式的特征，即“兩項、異號、平方形式〞是防止錯用平方差公式的有效方法．15．〔3分〕在不透明口袋內(nèi)有形狀、大小、質(zhì)地完全一樣的5個小球，其中黑色球3個，白色球2個，隨機抽取一個小球是白色球的概率是．【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【解答】解：由于袋子中共有5個小球，其中白色小球有2個，所以隨機抽取一個小球是白色球的概率是，故答案為：．【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P〔A〕=．16．〔3分〕一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，那么這個多邊形的邊數(shù)為6．【分析】利用多邊形的外角和以及多邊形的內(nèi)角和定理即可解決問題．【解答】解：∵多邊形的外角和是360度，多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，那么內(nèi)角和是720度，720÷180+2=6，∴這個多邊形是六邊形．故答案為：6．【點評】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．17．〔3分〕關(guān)于x的一元二次方程x2+〔a2﹣2a〕x+a﹣1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，那么a的值為0．【分析】由兩根互為相反數(shù)可知兩根之和為0，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得到關(guān)于a的方程，即可求得a的值．【解答】解：∵方程x2+〔a2﹣2a〕x+a﹣1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，∴a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，當a=2時，方程為x2+1=0，該方程無實數(shù)根，舍去，∴a=0，故答案為：0．【點評】此題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，由條件得出兩根和為0是解題的關(guān)鍵．18．〔3分〕如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B均在格點上．〔1〕在圖1中畫出一個直角△ABC，使得點C在格點上且tan∠BAC=；〔Ⅱ〕在圖2中畫出一個△ABD，使得點D在格點上且tan∠BAD=，請在圖2所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出△ABD，并簡要說明理由．【分析】〔Ⅰ〕依據(jù)點C在格點上且tan∠BAC=，即可得到直角△ABC；〔Ⅱ〕依據(jù)點D在格點上且tan∠B=，即可得到△ABD，利用平行線分線段成比例定理，即可得到結(jié)論．【解答】解：〔Ⅰ〕如圖，選取點C，連接AC、BC，那么點C即為所求．〔答案不唯一〕〔Ⅱ〕如圖，選取點D，連接AD，BD，點D即為所求．理由：如圖，∵DE∥AB且ED=AB，∴，∴BF=BE，由圖可得，AB=EB，BE⊥AB，∴tan∠BAD=．【點評】此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖以及解直角三角形，首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和根本作圖的方法作圖．三、解答題〔本大題共7小題，共66分，解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程，請將答案答在試卷后面的答題紙的相應(yīng)位置〕19．〔8分〕解不等式組請結(jié)合題意填空，完成此題的解答：〔I〕解不等式〔1〕，得x≤1；〔Ⅱ〕解不等式〔2〕，得x≥﹣2；〔Ⅲ〕把不等式〔1〕和〔2〕解集在數(shù)軸上表示出來；〔Ⅳ〕原不等式組的解集為﹣2≤x≤1．【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，表示在數(shù)軸上找出解集的公共局部確定出不等式組的解集即可．【解答】解：〔I〕解不等式〔1〕，得x≤1；〔Ⅱ〕解不等式〔2〕，得x≥﹣2；〔Ⅲ〕把不等式〔1〕和〔2〕解集在數(shù)軸上表示出來，如以以下列圖所示：〔Ⅳ〕原不等式組的解集為﹣2≤x≤1．故答案為：〔I〕x≤1；〔Ⅱ〕x≥﹣2；〔Ⅳ〕﹣2≤x≤1．【點評】此題考查了解一元一次不等式組，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，準確求出每個不等式的解集是解此題的關(guān)鍵．20．〔8分〕某同學進行社會調(diào)查，隨機抽查了某個地區(qū)的20個家庭的收入情況，并繪制了統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖給出的信息答復(fù)：〔I〕在這20個家庭中，收入為1.1萬元的有3個；〔Ⅱ〕求樣本中的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)．【分析】〔Ⅰ〕利用條形圖提供的數(shù)據(jù)完成所給表，并計算平均數(shù)；〔Ⅱ〕根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；【解答】解：〔Ⅰ〕根據(jù)條形圖填表如下：年收入〔萬元〕0.60.91.01.11.21.31.49.7戶數(shù)11234531在這20個家庭中，收入為1.1萬元的有3個；〔Ⅱ〕平均收入為〔20×0.05×0.6+20×0.05×0.9+20×0.1×1.0+20×0.15×1.1+20×0.2×1.2+20×0.25×1.3+20×0.15×1.4+20×0.05×9.7〕÷20=32÷20=1.6〔萬元〕，數(shù)據(jù)中的第10和11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.2〔萬元〕，所以中位數(shù)是1.2〔萬元〕；眾數(shù)是最高的條形圖的數(shù)據(jù)1.3〔萬元〕；故答案為：3；【點評】此題考查的是平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的概念和其意義．要注意：當所給數(shù)據(jù)有單位時，所求得的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)與原數(shù)據(jù)的單位相同，不要漏單位．21．〔10分〕AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上的一點．〔I〕如圖1，過P作⊙O的切線PC，切點為C．作AD⊥PC于點D，求證：∠PAC=∠DAC；〔II〕如圖2，過P作⊙O的割線，交點為M、N，作AD⊥PN于點D，求證：∠PAM=∠DAN．【分析】〔Ⅰ〕根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明即可；〔Ⅱ〕連接BM．利用直徑和內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：〔Ⅰ〕如圖1，連接OC，∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵PC是⊙O的切線，∴OC⊥PC，∵AD⊥PC，∴AD∥OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，即∠PAM=∠DAN；〔Ⅱ〕如圖2，連接BM，∵AB是⊙O的直徑，∴∠1+∠2=90°，∵AD⊥PN，∴∠AND+∠3=90°，∵ABMN時⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AND=∠2，∴∠1=∠3，即∠PAM=∠DAN．【點評】此題考查切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明．22．〔10分〕如圖，某數(shù)學興趣小組測量位于某山頂?shù)囊蛔裣馎B高度，山坡面與水平面的夾角為30°，山高BC為285米，組員從山腳D處沿山坡向著雕像方向前進540米后到達E點，在點E處測得雕像頂端A的仰角為60°，求雕像AB的高度．【分析】作EF⊥AC于F，EG⊥DC于G，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出EG，根據(jù)題意求出BF，根據(jù)正切的定義求出AF，計算即可．【解答】解：作EF⊥AC于F，EG⊥DC于G，在Rt△DEG中，EG=DE=270，∴BF=BC﹣CF=285﹣270=15，EF==15，∵∠AEF=60°，∴∠A=30°，∴AF==45，∴AB=AF﹣BF=30〔米〕，答：雕像AB的高度為30米．【點評】此題是解直角三角形﹣仰角俯角問題，主要考查了銳角三角函數(shù)的意義，解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．23．〔10分〕某公司方案組裝A、B兩種型號的健身器材共40套，用于公司職工的鍛煉．組裝一套A型健身器材甲種部件7個和乙種部件4個，組裝一套B型健身器材甲種部件3個和乙種部件6個．公司現(xiàn)有甲種部件228個，乙種部件194個，設(shè)組裝A型器材的套數(shù)為x〔x為正整數(shù)〕．〔Ⅰ〕根據(jù)題意，填寫下表組裝A型器材的套數(shù)為x組裝B型器材的套數(shù)為〔40﹣x〕需用甲種部件7x3〔40﹣x〕需用乙種部件4x6〔40﹣x〕〔Ⅱ〕公司在組裝A、B兩種型號的健身器材時，共有多少種組裝方案？〔Ⅲ〕組裝一套A型健身器材需費用50元，組裝一套B型健身器材需費用68元，求總組裝費用最少的組裝方案，最少總組裝費用是多少？【分析】〔Ⅰ〕依據(jù)組裝一套A型健身器材甲種部件7個和乙種部件4個，組裝一套B型健身器材甲種部件3個和乙種部件6個，可得代數(shù)式；〔Ⅱ〕根據(jù)題中條件列出不等式組，解不等式租得出整數(shù)即可解得組裝方案；〔Ⅲ〕根據(jù)組裝方案的費用y關(guān)于x的一次函數(shù)，解得當x=27時，組裝費用y最小為2234．【解答】解：〔Ⅰ〕依題意得，組裝B型器材需用甲種部件3〔40﹣x〕個，需用乙種部件6〔40﹣x〕個；組裝A型器材需用乙種部件4x個；故答案為：3〔40﹣x〕，6〔40﹣x〕，4x；〔Ⅱ〕依題意得，，解得23≤x≤27，∵x為正整數(shù)，∴x的取值為23，24，25，26，27，∴組裝A、B兩種型號的健身器材時，共有5種組裝方案；〔Ⅲ〕總組裝費用y=50x+68〔40﹣x〕=﹣18x+2720，∵k=﹣18＜0，∴y隨著x的增大而減小，∴當x=27時，y有最小值2234，此時的組裝方案為：組裝A型健身器材27套，組裝B型健身器材13套．最小組裝費用為2234元．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)和一元一次不等式組的實際應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．24．〔10分〕在平面直角坐標系中，點A〔2，0〕，點B〔0，2〕，點O〔0，0〕．△AOB繞著O順時針旋轉(zhuǎn)，得△A′OB′，點A、B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為A′、B′，記旋轉(zhuǎn)角為α．〔I〕如圖1，假設(shè)α=30°，求點B′的坐標；〔Ⅱ〕如圖2，假設(shè)0°＜α＜90°，設(shè)直線AA′和直線BB′交于點P，求證：AA′⊥BB′；〔Ⅲ〕假設(shè)0°＜α＜360°，求〔Ⅱ〕中的點P縱坐標的最小值〔直接寫出結(jié)果即可〕．【分析】〔Ⅰ〕設(shè)A'B'與x軸交于點H，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BO∥A'B'，即可得到OH=OB'=，B'H=3，進而得出點B'的坐標為〔，3〕；〔Ⅱ〕依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BOB'=∠AOA'=α，OB=OB'，OA=OA'，即可得出∠OBB'=∠OA'A=〔180°﹣α〕，再根據(jù)∠BOA'=90°+α，四邊形OBPA'的內(nèi)角和為360°，即可得到∠BPA'=90°，即AA'⊥BB'；〔Ⅲ〕作AB的中點M〔1，〕，連接MP，依據(jù)點P的軌跡為以點M為圓心，以MP=AB=2為半徑的圓，即可得到當PM∥y軸時，點P縱坐標的最小值為﹣2．【解答】解：〔Ⅰ〕如圖1，設(shè)A'B'與x軸交于點H，∵OA=2，OB=2，∠AOB=90°，∴∠ABO=∠B'=30°，∵∠BOB'=α=30°，∴B