湖北省黃岡市荊州中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達標檢測模擬試題含解析

湖北省黃岡市荊州中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達標檢測模擬試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.已知橢圓乙+乙=1,則它的短軸長為()

164

A.2B.4

C.6D.8

22

2.“0<〃<2”是“方程」-----匚=1表示雙曲線”的

1+〃3-n

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)y=e-2x+%os(-尤2+%)的導(dǎo)數(shù)為()

A.y'=e_2x+11^2sin-x)+(2x-l)cos^x2-%)J

B.y'=-e-[2cos(%2-x)+(2x-l)sin(x2-%)]

Cy'=—e—2x+i12sin(x2-x)+(2x-l)cos(x2

D.y'=[2cos(x?-%)+(2%-1)sin(%2-x)]

4.已知數(shù)列｛aa｝為等比數(shù)列，貝!為常數(shù)列”是“6,外，4成等差數(shù)列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知明(—1,0),Fz(1,0)是橢圓的兩個焦點，過Fi的直線1交橢圓于M,N兩點，若AMTzN的周長為8,則橢圓方

程為()

6.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S,,且S4=10,§8=36,則幾為()

A.42B.62

C.78D.90

7.已知圓錐的表面積為12萬，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為（）

A.4萬

3

D.”

C.8兀

3

8.直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,8兩點，點P在圓爐+:/一4x+2=0上，則△ABP面積的取值范

圍是（）

A[2,6]B.[4,8]

D.[2A/2,3>/2]

9.若離散型隨機變量J的所有可能取值為1,2,3,…，n,且J取每一個值的概率相同，若P（2<《<5）=0.2,則

n的值為（）

A.4B.6

C.9D.10

10.已知直線乙：x+ay+6=0和4：（a-2）x+3y+2a=0,若乙〃/則實數(shù)。的值為（）

1

A.—B.3

2

C.-1或3D.-1

11.已知〃x）=Mnx+]x2,若對于且x產(chǎn)羽都有上包上巫J>4成立，則實數(shù)。的取值范圍

2石一尤2

是。

A.[1,+co）B.（0,4]

C.（0,1）D.[4,-+<o）

12.“a>>”是"log?a>log,?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知空間向量“=（—2,1,5）,沙=（4,辦—10）且；〃{,,貝！|m=

X.-x,

14.若a,A，巧，不，b與a,%,%，%，為，％，b均為等差數(shù)列，則----=

15.已知正方體ABC。—A4Gq的棱長為2,E為CD的中點，P為面ABC。內(nèi)一點.若點P到面?。?4的距離

與到直線BB1的距離相等，則三棱錐Dx-PAE體積的最小值為

22

16.已知尸是雙曲線￡=1的左焦點，圓O：V+y2=4+方2與雙曲線在第一象限的交點「，若p尸的中點在

雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，協(xié)，平面ABC。，AD//BC,ADLCD,且AO=C0=1,BC=2,PA=1

(1)求證：AB±PC；

(2)點M在線段上，二面角M-AC-O的余弦值為走，求三棱錐M-ACP體積

3

18.(12分)某企業(yè)2021年年初有資金5千萬元，由于引進了先進生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長率可達到50%.每年年

底扣除下一年的消費基金1.5千萬元后，剩余資金投入再生產(chǎn).設(shè)從2021年的年底起，每年年底企業(yè)扣除消費基金后

的剩余資金依次為4,出，。3，…

(1)寫出為,。2，。3,并證明數(shù)列｛%—3｝是等比數(shù)列；

(2)至少到哪一年的年底，企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元？

(Ig2^0.3010,1^3-0.4771)

19.(12分)如圖，在AABC中，內(nèi)角A、8、C的對邊分別為a、b、c.已知》=3,c=6,sin2C=sin5,且AZ)為

8c邊上的中線，AE為N5AC的角平分線

BDEC

(1)求cos。及線段8C的長;

(2)求A4OE的面積

20.(12分)已知雙曲線°：三—±=1,>0力〉0)的左、右焦點分別為耳卜，市,0),^(A/10,0),動點M滿足

\MF^-\MF^2

(1)求動點M的軌跡方程；

(2)若動點M在雙曲線C上，設(shè)雙曲線C的左支上有兩個不同的點尸，Q,點N(4,0),且/ONP=/ONQ,直線

N0與雙曲線C交于另一點反證明：動直線P5經(jīng)過定點

21.(12分)已知直線/過點P(l,2),與兩坐標軸的正半軸分別交于4,B兩點,。為坐標原點

25

(1)若。鉆的面積為:，求直線/的方程；

4

(2)求Q鉆的面積的最小值

22.(10分)已知ABC。為直角梯形，ZZMB=ZABC=90°,上4,平面ABC。，PA=AB=BC=2,AD=1.

P

(1)求證：BC,平面上4B；

(2)求平面P45與平面PC。所成銳二面角的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】根據(jù)橢圓短軸長的定義進行求解即可.

【詳解】由橢圓的標準方程可知：b=2,所以該橢圓的短軸長為2x2=4,

故選：B

2、A

22

【解析】方程」-----匚=1表示雙曲線則a+〃)?(3—力>0,解得,

1+〃3—n

22

0<〃<2是“方程」-----匚=1表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A

1+n3—n

3、B

【解析】由導(dǎo)數(shù)運算法則可求出.

【詳解】-y=e-2x+1cos(-x2+x),

y'=(0-2"+1)COS(―+x)+e-2*+[cOS(―%2+%)]

=-2/x+icos(-尤2+x)-e~2x+lsin(-x?+尤卜(-2x+l)

=一2AI[2cos(-f+x)+(-2x+l)sin(-x2+x)]

=-e^+i12cos(J一%)+(2x-1)sin^x2-x)].

故選:B.

4、C

【解析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.

【詳解】解：如果｛/｝為常數(shù)列，則%,外,生成等差數(shù)列，所以“｛。"｝為常數(shù)列''是"4，/，%成等差數(shù)列”的充分條件;

%,a?,%等差數(shù)列，所以2a2=q+%，?,2a1q=%+.q=1,所以數(shù)列為%,q,，

所以數(shù)列是常數(shù)列，所以“｛4｝為常數(shù)列”是“6,外，生成等差數(shù)列”的必要條件.

所以“｛??｝為常數(shù)列”是“6,出，。3成等差數(shù)列”的充要條件.

故選：C

5、A

【解析】由題得c=l,再根據(jù)AMFaN的周長=4a=8得。=2,進而求出b的值得解.

【詳解】???￡(-1,0),4(1,0)是橢圓的兩個焦點，???c=l,又根據(jù)橢圓的定義，△咽”的周長=4a=8,得a=2,進

22

而得b=幣,所以橢圓方程為L+匕=1.

43

故答案為A

【點睛】本題主要考查橢圓的定義和橢圓方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.

6、C

【解析】直接由等差數(shù)列求和公式結(jié)合=10,Sg=36求出q,d,再由求和公式求出42即可.

S4=4a,+—~~—xd=1Q

412解得則…+曾=

【詳解】由題意知:78.

8x7

58=8qH---xd=36

故選：C.

7、D

【解析】設(shè)圓錐的半徑為廣，母線長/,根據(jù)已知條件求出廠、/的值，可求得該圓錐的高，利用錐體的體積公式可求

得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓錐的半徑為廣，母線長/,因為側(cè)面展開圖是一個半圓，則㈤=2%r，即/=2廠，

又圓錐的表面積為12萬，則;+萬〃=]2%，解得r=2,1=4,

則圓錐的高/z=獷=7=2百，所以圓錐的體積V==W萬，

故選：D.

8、A

【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點到直線的距離.

【詳解】x+y+2=0與x,y軸的交點，分別為4（—2,0）,B（0,-2）,點P（x,y）在圓爐+V一?+2=0,

即（x-2y+y2=2上，

所以|AB|=2夜，圓心（2,0）到直線距離為d=￡^=20,

所以△ABP面積的最小值為?！?gx2也義（20-血）=2,

最大值為Sa=1X2A/2X（2A/2+V2）=6.

故選：A

【解析】根據(jù)分布列即可求出

【詳解】因為P(2<J<5)=P(J=3)+P(J=4)=：+：=0.2,所以“=10

故選：D

10、D

【解析】利用兩直線平行列式求出。值，再驗證即可判斷作答.

【詳解】因'〃3貝!2)=1X3,解得“=3或。=-1,

當a=3時，4與4重合，不符合題意，當。=-1時，//k,符合題意，

所以實數(shù)。的值為-1.

故選：D

11、D

【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對于且王時，都有/(%)—4%</(%2)-恒成立，構(gòu)造函數(shù)

g(%)=/(x)-4x,轉(zhuǎn)化為xe(O,4w)時，g'(x)之。恒成立，求得g(x)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為a2—f+4%在(0,+。)上

恒成立，即可求解.

【詳解】由題意，對于內(nèi),田e(0,+<句且x,都有"、)—'(々)>4成立,

再-x2

不妨設(shè)玉<%，可得/(%)一/(%2)<4%一4%恒成立，

即對于€(。,*?)且占<%時，都有/(%)-4方</(%2)-4X2恒成立，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-4x=alnx+^x2-4x,

可轉(zhuǎn)化為xe(O,+8),函數(shù)g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以當xe（O,+a））時,g'（x）之。恒成立，

又由g'（x）=@+x—4,所以0+x—420在（0,+“）上恒成立，

JCX

即a2—x2+4x在（。,+°°）上恒成立，

又由—V+4x=—（x—2f+4<4,所以a?4,

即實數(shù)。取值范圍為［4,+8）.

故選：D

12、B

【解析】求出Iog2a〉log2〃的等價條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】log2a>log26oa>>>。，因“”聲“a>Z?>0"且ua>bn<=aa>b>0>>,

因此，“a>6”是“l(fā)og?a>log2b”的必要不充分條件.

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-2

【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標表示可得出關(guān)于冽的等式，求出〃7的值即可.

4m—10

【詳解】由已知可得：=T==，解得加=—2.

-215

故答案為：-2.

3

14、-##1.5

2

【解析】由題意利用等差數(shù)列的定義和通項公式，求得要求式子的值

【詳解】設(shè)等差數(shù)列a,A,巧，￡，b的公差為機，

等差數(shù)列a,%,%，%，%，%，6的公差為“，

貝!1有Z?=a+4加，且/?=a+6〃，

所以4m=6〃，

X,-x,2mm3

則-....=—=—=彳，

%-%2nn2

3

故答案為：-

2

15、—##0.5

2

【解析】由題意可知，點P在平面ABC。內(nèi)的軌跡是以3為焦點，直線A。為準線的拋物線，如圖在底面ABC。建

立平面直角坐標系，求出拋物線方程，直線AE的方程，將直線AE向拋物線平移，恰好與拋物線相切時，切點為點P,

此時△AEP的面積最小，則三棱錐D「PAE體積的最小

【詳解】因為P為面ABCD內(nèi)一點，且點P到面AD24的距離與到直線8月的距離相等，

所以點P在平面ABCD內(nèi)的軌跡是以B為焦點,直線為準線的拋物線，

如圖在底面ABC。，以A3所在的直線為x軸，以A3的中垂線為V軸建立平面直角坐標系，則

A(-1,0),3(1,0),玫0,2),

設(shè)拋物線方程為>2=2px,則々=1,得，=2,所以拋物線方程為V=4x,0<%<1,

直線AE的方程為二+2=1,即y=2x+2,

-12

設(shè)與直線AE平行且與拋物線相切的直線方程為y^2x+m,

y2-4%

由《，Wy2-2y+2m=0,

y=2x+m

由A=4—8帆=0,得加=g,所以與拋物線相切的直線為y=2x+g,

此時切點為P,且△AEP的面積最小，

I2--I2

因為點P到直線AE的距離為|2|_2，

〃二寸飛

3

所以△AEP的面積的最小值為34回4=工*君*2=2，

211-2加一工

1131

所以三棱錐，—PAE體積的最小值為

3342

故答案為：—

Di

16、45

【解析】計算點F(-c,0)漸近線y=-的距離，從而得忙同，由勾股定理計算戶戶|,由雙曲線定義列式，從而

b

計算得一，即可計算出離心率.

a

b

【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為尸'，因為PF的中點加在雙曲線的漸近線y=—-x上，由爐+丁2=/+尸=02可知，

a

NFPF'=9。，因為。為尸產(chǎn)'中點，所以O(shè)M//PF',所以尸尸，即垂直平分線段PP,所以尸(―c,0)

b

到漸近線丁=—-X的距離為，可得忸同=2"所以

a

I--------------------------------------------U

[pv[=—|P耳2=，4。2—4k=2a，由雙曲線定義可知，|?盟—|/*'|=2。，即％—2a=2a,所以7=2,

所以=6

故答案為：7?

【點睛】雙曲線的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：

①求出代入公式e=￡；

a

②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于心仇。的齊次式，結(jié)合/=02一/轉(zhuǎn)化為。工的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別

除以?；?轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）證明見解析

⑵—

12

【解析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明45_L平面協(xié)C,然后結(jié)合已知可證；

（2）建立空間直角坐標系，用向量法結(jié)合已知先確定點”位置，然后轉(zhuǎn)化法求體積可得.

【小問1詳解】

由題意得四邊形AOC3是直角梯形,AZ>=CZ>=1,故NACZ>=45。，ZACB=45°,AC=72-X5c=2,所以0=生=走，

ACBC2

所以△CZMs^CAB,所以又取，平面A8CZ）,Abu平面ABC。，所以HILAR而揚u平面MC,ACu

平面JR4C,PAAC=A,所以A5_L平面P4C.又PCu平面PAC,所以4BJ_PC

【小問2詳解】

過點A作AEL3c于E,易知E為3C中點，以A為原點，AE,AD,AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐

標系，則C(1/,O),A(0,0,0),D(O,1,O),尸(0,0,1).

則AC=(1,1,0),AP=(0,0,1),PD=(0,l,-l)

設(shè)AM=AP+2PD=(0,0,1)+X(0,1,—1)=(0,%1—X),0<Zv1.顯然，AP是平面^CD的一個法向量,

設(shè)平面MAC的一個法向量為n=(x,y,z).則有

n-AC=x+y=0

?。?—1,解得〃=

n-AM=Ay+(1-2)z=0A—1

2

APnJZi

由二面角M-AC-D的余弦值為昱,解得2=3，所以”為9中點.

有n————二

3

所以％—AC尸二^M-ACD~不VP-ACD二不義^\AD\\CD\\AP\=^-

乙乙J乙X.乙

18、(1)q=6,a2=7.5,%=9.75,證明見解析

(2)至少到2026年的年底,企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元

【解析】(1)由題意可知，q=6,%=7.5,?3=9.75,再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解

(2)由⑴知，?！啊?=3X1.5"T,則。"=3+3X1.5"T,令3+3X1.5"T>21，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)運算，即可求解

【小問1詳解】

依題意知，q=5xL5-1.5=6,

%—6x1.5—1.5=7.5,

a3=7.5x1.5-1.5=9.75,

L

。八+i=1?S%—1.5,

所以4+i-3=L5（a“一3）,

又q_3=3,

所以｛4-3｝是首項為3,公比為1.5的等比數(shù)歹U.

【小問2詳解】

由（1）知，3=3xl.5"T,所以a“=3+3xl.5"i

解得“-］〉7^二Ig3+lg2

令3+3X1.5"T>21，a4.42,

lgl.5Ig3-lg2

所以〃>5.42,

所以至少到2026年的年底，企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元

19、（1）cosC=—,BC=6

4

⑵巫

8

【解析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化簡已知條件，求得cos。，結(jié)合余弦定理求得。，也即BC.

（2）求得三角形ABC的面積，結(jié)合角平分線、中線的性質(zhì)求得三角形ADE的面積.

小問1詳解】

；sinZCusinB,2sinCeosC=sinB?/.2ccosC=￡>,cosC=—

4

a2+9-361

由余弦定理得cosC='J°=±na=6（負值舍去），即BC=6.

6a4

【小問2詳解】

VcosC=->0,Ce|0,^-1,AsinC=，?>.S=-CACB-sinC=,

4k2j4的24

VAE平分NBAC,sinZBAE=sinZ.CAE,

BEA5CEAC

由正弦定理得:

sin/BAEsinZAEB'sinZCAE~sinZAEC

其中sinZAEB二sinZAEC,

9

ACCEAA￡C3'△'ABC

?.?4。為3（7邊的中線，...54比=35

?c_c_c_J_c3V15

??^ADE-0ADC口AAEC一右^ABC

O8

20、(1)x2-^-=l(x<-l)

(2)證明見解析

【解析】(1)根據(jù)雙曲線的定義求得。涉的值得雙曲線方程；

(2)確定PQ垂直于％軸，設(shè)直線5P的方程為》=沖+力，設(shè)P(0另)，5(%,%)，則。(七,一%)，直線方程代

入雙曲線方程，由相交求得加范圍，由韋達定理%+%,%%，利用N、B、。三點共線，且NQ斜率存在，由斜率相

等得出％,%的關(guān)系，代入韋達定理的結(jié)論可求得〃的值，從而得直線3尸所過定點

【小問1詳解】

因為|叫卜M耳|=2<|耳閭=2麗，

所以，動點M的軌跡是以點片、B為左、右焦點的雙曲線的左支，

_________2

則2。=2,可得。=1,3=J10—片=3,所以，點M的軌跡方程為\~=l(xV—1)；

【小問2詳解】

證明：?.?NONP=NONQ,.?.直線尸。垂直于x軸，

易知，直線3尸的斜率存在且不為0,設(shè)直線3尸的方程為％=〃9+〃，

設(shè)P(4K),B(x2,y2),則Q(%,—%),

聯(lián)立<922gQ9化簡得：(9加2-I)、？+18加〃y+9〃2-9=0,

11—18/zzzz_Q

直線與雙曲線左支、右支各有一個交點，需滿足機〉—或加<-一，.?.%+%=「一，

33-9m2-1129m2-1

X△=182m2n2-36(9m2-1)(n2-1)=9m2+n2-1>0,又N、B、。三點共線，且N。斜率存在，

一%%

/.kNQ=kNB,即一=—：.-yl(my2+n-4)=y2(myl+n-4),

萬一4%—4

???27叫%+(〃—4)(%+%)=o，???2m-咒―：+(n-4)-=0,

9m-19m-1

化簡得：18m(^n2-l)+(n-4)(-18mn)=0,:.n2-l-(n-4)n=0,

n——x—rayH-I"T'u|

—1=0,即4,滿足判別式大于0,即直線3P方程為-4,所以直線BP過定點14)

21、(1)/:x+2y—5=0或8x+y—10—0

(2)4

【解析】(1)設(shè)直線方程為2+2=1("/>0),根據(jù)所過的點及面積可得關(guān)于的方程組，求出解后可得直線方

程，我們也可以設(shè)直線/：y-2=左(％-1),利用面積求出左后可得直線方程.

(2)結(jié)合(1)中直線方程的形式利用基本不等式可求面積的最小值.

【小問1詳解】

=1

法一：(1)設(shè)直線/>0),貝卜

ab

124

a—55

d——

解得75或<4,所以直線/:x+2y-5=0或8x+y-10=0

b=—