2022-2023學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高一年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高一下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)模擬試題

(含解析)

一、單選題

1,已知復(fù)數(shù)Z滿足回=不，且z-l為純虛數(shù)，則2=()

A.1+2/B.2-zC.2±zD.l±2i

【答案】D

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=4+6i(“,bGR),根據(jù)復(fù)數(shù)的模和純虛數(shù)的概念，由“^二君,a-1=0求解.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+加(a,6e&),

因?yàn)殁?有，且z-l為純虛數(shù)，

所以'ja2+b2=y/5,a—1=0>

解得a=\,b=±2,

所以z=1±2i,

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念和模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知方=3，AC=b<筋=3反，用2，坂表示瓦，貝I」而=()

313

一

5一

3-1Da+b

A.—aH—b7B.4-4-4-

44

【答案】D

【分析】結(jié)合平面圖形的幾何性質(zhì)以及平面向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)槎?=3反，

所以而=次+而=布+—團(tuán)=刀—(-而+前>AB-i-AC,

44、744

又因?yàn)閆8=Q，AC=b>

所以通=,￡+3九

44

故選：D.

3.如圖所示，隔河可以看到對(duì)岸兩目標(biāo)A,B,但不能到達(dá)，現(xiàn)在岸邊取相距4km的C,D兩點(diǎn),

測(cè)得/ACB=75。，NBCD=45。，NADC=30。，ZADB=45°(A,B,C,D在同一平面內(nèi))，則兩目

標(biāo)A,B間的距離為km.

——-------?

\'、、、/\

\y\

'\75?/''、、羋。\

'臺(tái)45°30。、?4一

C4km口

A.送B.亞C.巫D.2亞

333

【答案】B

【分析】由已知可求NC4)=30。，ZACD=\2Q°,由正弦定理可求4。的值，在ASC。中,

ZC5Z)=60°,由正弦定理可求8。的值，進(jìn)而由余弦定理可求N8的值.

【詳解】由已知，A4C。中，/。。=30。，乙48=120。,

CDAD

由正弦定理,

sinZCADsinZACD

CDsinZACD。百,

所以力。=4.120=4

sinZCADsin30°

在ABCQ中，NCBD=60。，

CDBD

由正弦定理,

sinZCBDsinZSCD

叱iccCDsinZBCD4sin4504/-

所以B￡)=-；-------------=-=76,

sin/CBDsm6003

在AJ8O中，由余弦定理，AB2=AD2+BD2-2ADBDZADB=—,解得：AB=^^-

33

所以A與B的距離/8=生叵

3

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思

想，屬于中檔題.

4.如圖，正方形OWB'C的邊長(zhǎng)為1,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是

()

【答案】B

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法得出原圖形四邊形0/8C的性質(zhì)，然后可計(jì)算周長(zhǎng).

【詳解】由題意0?=應(yīng)，所以原平面圖形四邊形O48C中，OA=BC=1,OB=2立,OBVOA,

所以O(shè)C==+(2jiy=3，

所以四邊形的周長(zhǎng)為：2X(1+3)=8.

故選：B.

5.如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是

A.該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體

B.該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)

C.該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形

D.該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，其余均為三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)幾何體的直觀圖，得出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，由此判斷選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D

錯(cuò)誤.

【詳解】根據(jù)幾何體的直觀圖，得

該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體，

且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND,共12條；

頂點(diǎn)是M、A、B、C、D和N共6個(gè)；

且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共個(gè)，且每個(gè)

面都是三角形.

所以選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間幾何體的直觀圖判斷幾何體結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.

6.已知&=(-1,3),5=(2,-1)，且(己+很)_1_(a-25),則k=

44c33

A.-B.—C.-D.—

3344

【答案】C

【解析】求出％“+的坐標(biāo)，利用垂直的坐標(biāo)表示列方程求解.

【詳解】由題意知，ka+b=(2—k,3k—l),a—2b=(—5,5),S.(ka+b)-(a-21))=0>

故-5(2-左)+5(3%-1)=0,

解得及=：3

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示，垂直的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題.

7.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是2,側(cè)棱長(zhǎng)是6,則該正四棱錐的表面積為()

A.GB.12C.8D.473

【答案】B

【解析】根據(jù)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，求出側(cè)面面積與底面面積，然后求出表面積即可.

【詳解】如圖所示，

S

E

B

在正四棱錐S-HBCD中，取BC中點(diǎn)E,連接SE,

則ASBE為直角三角形，

所以SE=dSB?-BE2=51=2,

所以表面積S=S正方MBCD+4X%SPC=2X2+4X；X2X2=12.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正棱錐的表面積，屬于基礎(chǔ)題.

8.現(xiàn)有一個(gè)封閉的正三棱柱容器，高為3,內(nèi)裝水若干（如圖甲，底面處于水平狀態(tài)），將容器放

倒（如圖乙，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài)），這時(shí)水面所在的平面麻武尸與各棱的交點(diǎn)分別為其所在棱

的中點(diǎn)，則圖甲中水面的高度為（）

圖甲圖乙

A.GB.2C.空D.-

24

【答案】D

【解析】首先利用圖乙求出水的體積，再利用等體積法求出圖甲中水面的高度.

【詳解】設(shè)正三棱柱的底面積為S,

；E,F,片，片分別為其所在棱的中點(diǎn)，

???*=；，即品杵=9，

.3

**S四邊形8C7T=，

?39

,?81cM一"水=aSx3=1S，

99

因?yàn)閊=^?S-8c=aSn〃水=4，

所以圖甲中水面的高度為;.

4

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用等體積法求高，屬于基礎(chǔ)題.

二、多選題

9.復(fù)數(shù)z滿足*-z+3i=2,則下列說(shuō)法正確的是（）

3-2;

A.z的實(shí)部為_3B.z的虛部為2C.z=3-2zD.|z|=713

【答案】AD

【分析】由已知可求出z=-3-2i,進(jìn)而可求出實(shí)部、虛部、共輾復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模，進(jìn)而可選出正確

答案.

【詳解】解：由空-z+3i=2知，普.z=2-3i,BPz=（2-3/）—-3i\（3-2i）

3-Z3-2/'72+3Z13

-39-26z

"13=~3~2/，所以z的實(shí)部為-3,A正確；z的虛部為.2,B錯(cuò)誤；

z=-3+2z-C錯(cuò)誤；|z卜J（-3）2+（-2）2=岳，D正確：

故選:AD.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的概念，考查了共輒復(fù)數(shù)的求解，考查了復(fù)數(shù)模

的求解，屬于基礎(chǔ)題.

10.正三棱錐S-4BC的外接球半徑為2,底面邊長(zhǎng)為力8=3,則此三棱錐的體積為（）

A9百n373?270n373

4442

【答案】AB

【分析】首先設(shè)三棱錐S-18C的外接球的球心為。，三角形/8C的中心為。，得到8=百，再

分類討論求解三棱錐體積即可。

【詳解】設(shè)三棱錐S-ZBC的外接球的球心為。，三角形/8C的中心為。，

由題知：2CD=――,解得百.

sin60

當(dāng)外接球球心。在線段SD上時(shí)，如圖所示：

8

OD=yj22—(V3j=1>SO=1+2=3,

所以匕,BC=-x—x3x3x—x3=2石.

STBC3224

當(dāng)外接球球心O在線段S。的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示:

OD='2?！?1，SD=2—1=1,

所以匕=—x—x3x3x-x1=—\[3■

s"3224

故選：AB

11.（多選）已知向量$不共線，若在=4萬(wàn)+B，AC=a+^b＞且/，B,。三點(diǎn)共線，則關(guān)

于實(shí)數(shù)4，4的值可以是（）

A.2,yB.-3,

~3

C.2,—D.-3,

23

【答案】AB

【分析】利用平面向量共線基本定理即可求解.

【詳解】因?yàn)?B,C三點(diǎn)共線，

則存在實(shí)數(shù)2,使得羽=4萬(wàn)，

即43+/=*+砌,

即4彳+5?

所以(4-2"+(1_義4?=6，

又因?yàn)橄蛄咳隑不共線,

（Z-A=O

所以「3八，解得44=1，

[1—4七=u

所以實(shí)數(shù)4，4的值互為倒數(shù)即可求解.

故選：AB

12.某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)0/。2,在軸截面，8。中，AB=

AD=BC^2cm,且CD=24S,下列說(shuō)法正確的有（）

B.該圓臺(tái)的體積為也cn?

3

C.該圓臺(tái)的母線力。與下底面所成的角為30°

D.沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到/。中點(diǎn)的最短距離為5cm

【答案】ABD

【分析】求出圓臺(tái)的高=百，根據(jù)梯形面積公式可求圓臺(tái)軸截面的面積，從而可判斷A；

根據(jù)圓臺(tái)的體積公式可判斷B；圓臺(tái)的母線ND與下底面所成的角為4。。，從而可判斷C；由圓

臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長(zhǎng)為4cm,底面半徑為2cm,設(shè)/。的中點(diǎn)為P,連接CP,求出CP,

即為沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到/。中點(diǎn)的最短距離，從而可判斷D.

【詳解】由4B=4D=BC=2,且8=2/8,可得8=4,高O.=（-1一）=6,

則圓臺(tái)軸截面/8CZ）的面積為:X（2+4）X^=36cm）故A正確；

圓臺(tái)的體積為展9（1+2+4）＞＜5/5=￥兀＜：0?,故B正確；

圓臺(tái)的母線與下底面所成的角為N/OQ,其正弦值為正，

2

所以44。。1=60。，故C錯(cuò)誤；

由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長(zhǎng)為4cm,底面半徑為2cm,

側(cè)面展開圖的圓心角e=t—=九

4

設(shè)工。的中點(diǎn)為尸，連接CP,可得NCOP=9()o,OC=4,OP=2+l=3,

則CP="2+3?=5.

所以沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到/。中點(diǎn)的最短距離為5cm,故D正確.

故選:ABD.

三、填空題

13.已知i是虛數(shù)單位，若含=a+bi(a,6eR),則lg(a+6)的值為.

【答案】0

【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的定義即可得解.

，>1,2+i(2+i)(I—i)3—i31.,.

【詳解】因m為——=-——-——-=——=---i=a+hi,

1+i2222

所以q='|,6=-；,a+6=l,lg(a+Z>)=0.

故答案為：0

14.已知同=問(wèn)=2,(a+2b\(a-b]=-2,則，與5的夾角為.

【答案】60

【詳解】根據(jù)已知條件僅+2在)0-垃=-2,去括號(hào)得：

|a|2+a-^-2|fe|=4+2x2xcos0-2x4=-2,ncos。==60、

15.如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正六棱錐P-ABCDEF,則此正六棱錐的側(cè)面積是

【答案】6

【詳解】顯然正六棱錐P—ABCDEF的底面的外接圓是球的一個(gè)大圓，由已知，可得大圓的半徑為

2.易得其內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為2.又正六棱錐P—ABCDEF的高為2,則斜高為=,所以該正六棱錐

的側(cè)面積為6xx2x=6.

16.如圖，△/8C為等腰三角形，N84C=120。，N8=/C=4,以/為圓心，1為半徑的圓分別交

AB,AC與點(diǎn)、E,E,點(diǎn)P是劣弧夕7上的一點(diǎn)，則方.定的取值范圍是.

【答案】[TL-9]

【詳解】以A為原點(diǎn)，以8c的垂線平行線為V軸，建立直角坐標(biāo)系，由/A4c=120。，AB=AC=4,

可得川-2A/J,-2）,C（26-2）,v\^P\=I,.-.可設(shè)尸（cosa,si"a）,\?rVa<-1<sina<,

PB=^-2A/3-cosa,-2-sinaj,PC=^2y/3-cosa,-2-sin,

PBPC=cos2-12+（2+sin）2=-7+4sina€[-11,-9]，故答案為[T1,-9].

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積以及向量的坐標(biāo)表示、利用三角函數(shù)的有界性求范圍,

屬于難題.求范圍問(wèn)題往往先將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù):①配方法（適合二次函數(shù)）；

②換元法（代數(shù)換元與三角換元）；③不等式法（注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相

等”）；④三角函數(shù)法（注意恒等變形）；⑤圖像法（根據(jù)圖象的最高和最低點(diǎn)求解）；⑥函數(shù)單調(diào)

性法求解（根據(jù)其單調(diào)性求曲數(shù)的取值范圍即可），本題主要應(yīng)用方法④解答的.

四、解答題

uuir1uurUUT1UUT

17.如圖所示，在A48O中，OC=-OAOD=—OB,4。與相交于點(diǎn)”.設(shè)04=Q,OB=b.

4

（1）試用向量￡、否表示兩；

（2）在線段NC上取一點(diǎn)E,在線段8。上取一點(diǎn)F,使EF過(guò)點(diǎn)加，設(shè)瓦=幾a，OFpOB,

七'TJ3

求證：：+-=7.

A.〃

【答案】（1）OM=^+h.（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】（1）設(shè)麗=用￡+/，由A、D、M三點(diǎn)共線以及8、C、M三點(diǎn)共線可得出關(guān)于加與〃

的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)，即可得出兩關(guān)于￡、區(qū)的表達(dá)式；

（2）設(shè)而=i而,利用向量的減法運(yùn)算可得出的=3一￡+爭(zhēng)友結(jié)合兩=：￡+=坂可建立

1+771+777

13

等式，通過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算可得出了+—=7,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）不妨設(shè)=+

由于A、D、例三點(diǎn)共線，則存在a（aw-l）使得旃=［礪,

即兩-E=a（而-麗），于是麗歷

.a.

uinr!uniOA-^-OB.

a7

y.OD=-OB,所以而=__」=工+-----七，

乙\+a\+a2(1+67)

1

m=-----

1+a

則夕,即加+2〃=1.①

n=-：----

2(l+a)

由于8、C、〃三點(diǎn)共線，則存在夕（夕片-1）使得由=￡麗,

即兩-反=?（歷-兩），于是麗="0+￡0'

\71+0

uuur1uur-OA+POB..

又。。=^。力，所以兩

“F-=而7M專

]

m=

4(1+/?)

所以，即4m+M=1.②

n=-B

1+萬(wàn)

13——,1-3—

由①②可得f,所以?！?嚴(yán)產(chǎn)

（2）由于￡、M,尸三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得由=?訴,

^\]OM-OE=r]{OF-OM),于是兩="了”

又赤=祝,而=〃痂，所以兩=也警絲=々+”，

1+〃1+71+77

21

=

1-3-1+〃J,可得，11+7

所以;=上+嗎,則<

771+〃l+rj_33__7〃

-7

,1+7串1+〃

13

兩式相加得力+1=7.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)乘，向量的線性運(yùn)算及向量表示三點(diǎn)共線，屬中檔題.

18.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i(a,6eR,。>0,i是虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)z滿足目=W，復(fù)數(shù)(l+2i)z在復(fù)

平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上.

⑴求復(fù)數(shù)z；

(2)若彳+~m為—i純虛數(shù)(其中加€區(qū))，求實(shí)數(shù)加的值.

1+/

【答案】(1)z=3-i；(2)m=-5.

22

【詳解】試題分析：(1)設(shè)2=。+陽(yáng)a,6eR,a>0),由目=可得：a+b=}0,又復(fù)數(shù)

(1+2，”=(1+2。(°+必=(4-2/>)+(2a+6?在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，則

a-2b=2〃+6即a=-3b.聯(lián)立求解即可(2)由彳=3+i,可得

_m-i..m-i.(w-z)(l-?).(zn-i)(l-z)m+5A,???，+霍為純虛數(shù)，

z+----=3+/+----=3+/+^————r=3+z+-----———J----\

1+/1+ZQ+i)Q-i)22

，然后解方程即可

do

2

試題解析：

⑴設(shè)z=a+6i(a,6eR,a>0),由|z|=Jid得：/+〃=10.①

又復(fù)數(shù)(l+2?=(l+2i)(a+加)=("26)+(2a+b)/?在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線

上，貝!］。-26=2〃+6即a--3h.(2).

〃2.L2_

由①②聯(lián)立方程組｛，解得〃=3,6=-1或a=-3,b=]

a=-3b9

??d——3,b=1.

/.z=3-z.

,..L,_m-i_.m-i_.(w—/)(1—f).(in-i)(1—z)m+5\-m

⑵由"3+i用得2+而=3+,+17r3+1+鬲尋3+,+\21_1丁-

S=0

???彳+粵為純虛數(shù)，.2,

1+Z1一加八

------W0

2

解得/w=—5.

19.一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm,兩底面面積分別為4兀cn?和25冗cn?.

（1）求圓臺(tái)的高；

（2）求截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng).

【答案】（1）3>/15cm.（2）20cm.

【分析】（1）作出圓臺(tái)的軸截面圖示，利用勾股定理計(jì)算相關(guān)長(zhǎng)度；（2）將軸截面的梯形補(bǔ)形成三

角形，利用相似的知識(shí)去計(jì)算出母線長(zhǎng).

【詳解】（1）如圖，過(guò)圓臺(tái)的軸作截面，則截面為等腰梯形48C。，。-。分別為8c的中

點(diǎn)，作/MJ.8c于點(diǎn)"，連接00.

由已知可得上底半徑。/=2cm,下底半徑08=5cm,且腰長(zhǎng)/8=12cm,

?*.AM=>/122—32=?>y[\5(cm),即圓臺(tái)的IWJ為3JF5cm.

（2）如圖，延長(zhǎng)氏4,OQ交于點(diǎn)S,設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為/cm,則由

得曇=%，即與=■!，.??即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20cm.

SBBOI5

【點(diǎn)睛】本題考查圓臺(tái)的相關(guān)量的簡(jiǎn)單計(jì)算，難度一般.處理圓臺(tái)有關(guān)問(wèn)題時(shí)一定要將圓臺(tái)和圓錐聯(lián)

系在一起，有時(shí)利用圓錐能很方便解決圓臺(tái)問(wèn)題.

20.如圖，A,B是海面上位于東西方向相距5（3+6）海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45。,

B點(diǎn)北偏西60。的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60。且與B點(diǎn)相距206海里的C

點(diǎn)的救援船立即即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？

D

【答案】救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).

解：由題意知力8=5(3+J5)海里，

/DBA=90°-60°=30°,ZDAB=45°,

ZADB=\05°

【詳解】在皿8中，由正弦定理得一2^_AB

sin/DABsinAADB

0

.D[iAB?sinZDAB_5(3+75)?sin45=5(3W5)*in45。

sinAAD