2023年高考數(shù)學(xué)搶分（新高考專用）7 概率與離散型隨機變量的期望與方差（6大題型）（解析版）

秘籍07概率與離散型隨機變量的期望與方差

中高考預(yù)測，

概率預(yù)測☆☆☆☆

題型預(yù)測選擇題、填空題、解答題☆☆☆☆☆

考向預(yù)測全概率公式

事應(yīng)試秘籍

概率屬于解答題必考題大多考察兩方面，一個是超幾何分布與二項分布的區(qū)別，還有就是線性回歸方

程與獨立性檢驗。小題中新教材新加的全概率公式和條件概率是重點，當(dāng)然古典概型和相互獨立事件的判

斷以及正態(tài)分布也是需要熟練掌握的。

【題型一】條件概率

一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時（即尸（B）＞0）,已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為條件

概率，記作P（A|8）,而且P（4|8）=靄.

境典例剖析

1.（多選題）（2023?江蘇南京?南京師大附中校考一模）已知事件48滿足P（A）=0.5,尸（B）=0.2,則

（）

A.若則P（AB）=0.5B.若A與B互斥，貝”（A+B）=0.7

C.若A與B相互獨立，則可歷）=。9D.若P（5|A）=0.2,則A與8相互獨立

【答案】BD

【詳解】解：對于A,因為尸（A）=0.5,P（8）=0.2,BeA,

所以P（AB）=P（3）=0.2,故錯誤；

對于B,因為A與8互斥，所以「（A+5）=P（A）+P（B）=0.5+0.2=0.7,故正確;

對于C,因為P（8）=0.2,所以尸（豆）=1一0.2=0.8,所以「（A豆）=0.5x0.8=0.4,故錯誤；

對于D,因為尸（8|A）=0.2,即-（"）=0.2,所以P（AB）=0.2xP（A）=0.1,

P（A）

又因為P（A）xP（8）=0.5x0.2=0.1,所以P（A8）=P（A>P（8）,

所以A與8相互獨立，故正確.

故選：BD

2.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著人們對環(huán)境關(guān)注度的提高，綠色低碳出行越來越受市民重視，小

李早上上班的時候，可以騎電動車，也可以騎自行車，己知小李騎電動車的概率為0.6,騎自行車的概

率為0.4,而且在騎電動車與騎自行車條件下，小李準(zhǔn)時到單位的概率分別為0.9與0.8,則小李準(zhǔn)時到

單位的概率是.

【答案】0.86##”【詳解】由題意可得，小李騎電動車準(zhǔn)時到單位的概率為嚀=0.6x0.9=0.54；

騎自行車準(zhǔn)時到單位的概率為鳥=0.4x0.8=0.32；

則小李準(zhǔn)時到單位的概率是尸=片+6=0.86.

3.（2023?江蘇南京?南京師大附中?？家荒＃┤齻€元件“，b,。獨立正常工作的概率分別是勺，P］,A

把它們隨意接入如圖所示電路的三個接線盒工，T2,心中（一盒接一個元件），

各種連接方法中，此電路正常工作的最大概率是.

7\

-I

【答案】利+鳥6-牝《

【詳解】由題意，元件“，h,。不正常工作的概率分別為（1-4）,（1一巴），（1-片）

電路正常工作的條件為刀正常工作，T2,T,中至少有一個正常工作，

（1）若T2,心接入的元件為a,b,c或a,c,b,

則此電路正常工作的概率是.11-（1-￡）（1-A）］=+利-他巴；

（2）若刀，T2,4接入的元件為b,a,?；?c,a,

則此電路正常工作的概率是小口一（1一幻（1-6）］=4￡+￡打一平^；

（3）若（，T2,4接入的元件為c,。，或c,b,a,

則此電路正常工作的概率是A11—（1-[）（1-￡）]=6呂+-勺4A

因為0<[<鳥<呂<1,

所以KE+P\P「P\PF\<68+8A<^+鳥鳥-“2P3，

所以此電路正常工作的最大概率是《勺+鳥鳥-P、P風(fēng)

故答案為：P^+P^-P^P,

Q名校模擬

1.（多選題）（2023?江蘇徐州?徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎S機變量X服從正態(tài)分布N（l,3?）,則下列結(jié)

論正確的是（）

A.E（X）=1,Q（X）=9B.若尸（X>2）=p,則尸（0<X41）=；-p

C.尸（X>l）=gD.隨機變量y滿足2X+y=4,則￡（y）=4

【答案】ABC

【詳解】因為X~N（13）,所以E（x）="=l,O（X）=o-2=9,A正確；

因為尸（X>2）=尸（X<0）=p,所以尸（O<XMl）=；-0,B正確；

因為〃=1,所以尸（X>l）=g,C正確；

因為2X+y=4,所以y=4—2X,

所以E（y）=E（4-2X）=-2E（X）+4=2,D錯誤，

故選:ABC.

2.（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知隨機事件A,B,P（4）=!，P（B）=^-,P（A\8）=],則2（用A）=________.

344

7

【答案】-7

lo

【詳解】依題意得P（A|8）=g^=:,所以尸（AB）=3p（5）=jx9=2

P（B）444416

3

T697

故尸（例A）=1-布’所以P⑻A)=l-尸網(wǎng)4)=兀.

3-

3.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加高中社會實踐活動，高中社會實踐活動共

有博物館講解、養(yǎng)老院慰問、交通宣傳、超市導(dǎo)購四個項目，每人限報其中一項，記事件A為"4名同學(xué)所

報項目各不相同"，事件B為“只有甲同學(xué)一人報交通宣傳項目，則尸（A|8）=.

【答案】I

【詳解】P幽岑，尸（B）q,故P（A|8）=需4

故答案為：

4.（2023?天津?校聯(lián)考一模）為了組建一支志愿者隊伍，欲從3名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人

聘為志愿者隊的隊長，則在“抽取的3人至少有一名男志愿者"的前提下"抽取的3人中全是男志愿者”的概率

是,若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則E（X）=.

11-5/|

【答案】

19

【詳解】設(shè)事件A="抽取的3人至少有一名男志愿者"，事件8="抽取的3人中全是男志愿者〃

3等吟“噌則…二得自斯

即在“抽取的3人至少有一名男志愿者"的前提下"抽取的3人中全是男志愿者”的概率是看

X可取0,1,2,3,P(X=0)=||=q，P(X=l)=萼=K

尸(X=2)=卑=2,p(x=3)=4=L

C；20C：20

0x14-1x9+2x9+3x130,「

則E(X)=------------------------------=—=1.5

2020

故答案為：—；1.5

【題型二】全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式

■—般地，設(shè)45A2,…5A”是一組兩兩互斥的事件,A1UA2U…UAn=Q,且P（Ai）＞0,i=l,2,…，n,則對

任意的事件BUQ,有

P(B)=2尸(A,)P(BA)

我們稱上面的公式為全概率公式.

*貝葉斯公式：

一般地，設(shè)A.&，A,是一組兩兩互斥的事件，有2Vz

且P(A)>0,i=l,2,,n，則對任意的事件B±Q,P(B)>0有

P⑻A”P(AJP⑻AJ="P(AM⑻AJH,2,n

，⑻EP(A,.)P(B|A,.)

1=1

學(xué)典例剖析

1.(2023?湖北?荊泉中學(xué)校聯(lián)考二模)據(jù)美國的一份資料報道，在美國總的來說患肺癌的概率約為0.1%,

在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%,則不吸煙患肺癌的概率為()

A.0.025%B.0.032%C.0.048%D.0.02%

【答案】A

【詳解】設(shè)不吸煙患肺癌的概率為x,

貝IJ0.2x0.004+0.8%=0.001,

解得x=0.00025=0.025%.

故選：A

2.(2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模)已知某產(chǎn)品的一類部件由供應(yīng)商A和B提供，占比分別為1；和2;，供應(yīng)商A提

供的部件的良品率為0.96,若該部件的總體良品率為Q92,則供應(yīng)商B提供的部件的良品率為.

【答案】0.9

【詳解】記隨機取一件產(chǎn)品由供應(yīng)商A提供為事件M,由供應(yīng)商8提供為事件N,為良品為事件C,

17

則尸(M)=：,P(N)=§,P(C|M)=0.96,P(C)=0.92,

Io

由P(C)=P(M)P(C|M)+P(N)P(C|N),即().92=；xO.96+：P(C|N),解得P(C|N)=0.9,

即供應(yīng)商8提供的部件的良品率為0.9.

故答案為：0.9

3.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈?馬爾可夫得名，其過程具備"無記憶”的性

質(zhì)，即第”+1次狀態(tài)的概率分布只跟第"次的狀態(tài)有關(guān)，與第n-1,〃-2,〃-3-一次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.

現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個

球交換，重復(fù)進行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為X“，甲盒中恰有1個黑球的概率為4,恰有

2個黑球的概率為也.

⑴求X1的分布列；

（2）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑶求X“的期望.

【答案】⑴答案見解析

c32/1V

（2）a"=5+5V9）

（3）1

【詳解】（1）（1）由題可知，X1的可能取值為0,1,2.由相互獨立事件概率乘法公式可知：

^（^=0）=-x-=-；P（X1=1）=言+^^/（乂=2）=§X§=3，

故X1的分布列如下表:

X1012

252

p

999

(2)由全概率公式可知：

尸(X,,M=1)

=p(X“=1)?P(Xz=1|X?=1)+P(X?=2)-P(X?+I=l|x?=2)

+P(X?=O)P(X?+1=I|X?=O)

=(2+泊卜(")+(別P(X”=2)+N|卜(X“=0)

522

=sP(x“=i)+J(x.=2)+j(x“=0),

yJJ

522

即：=§%+§4+§(1-4-紇),

所以4+1=-3《,+三，

所以凡+WO

又4=尸(X|=1)=],

所以，數(shù)列卜為以為首項，以-!為公比的等比數(shù)列,

[JJJ>r

(3)由全概率公式可得:

P(X,向=2)

=P(X?=1)-P(X?+1=2|X?=1)+P(X?=2)-P(X?+,=2|X?=2)

+P(X?=O)-P(X?+I=2|X?=O)

=(汨｝P(X"=1)+(311P(X"=2)+0/(X“=0),

21

即：%=3%+/，

rr,,,1、2(32(1丫、

所以%='+§-+---

向n

所以2+l-g+g

=-[/??--+-],

3"55

又…出=2)=1

y

所以4_"+gx2」__L=o,

9545

所以2

所以它3)

所以E(X“)=4+為+0(l-a,-bn)=an+2bn=l.

f名校模擬

1.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，

在強化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我

們的序列狀態(tài)是…，X-X-,X,,X,+1,那么X”時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)X,,即

P（X,+I|-,X,?2,X,_?X,）=P（X,+I|X,）.

現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可以贏得1元，每

一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%,且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束

賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預(yù)期的8元，賭徒停止賭博.記賭徒的

本金為A（AeN*,A<B）,賭博過程如下圖的數(shù)軸所示.

0.50.5

,A-\AA+\,

AV_1——1——1_L-LW_L

0B

0.50.5

當(dāng)賭徒手中有〃元〃eN）時，最終輸光的概率為P（〃），請回答下列問題:

（1）請直接寫出尸（0）與P⑻的數(shù)值.

（2）證明｛2（〃）｝是一個等差數(shù)列，并寫出公差d.

⑶當(dāng)A=100時，分別計算3=200,8=1000時，P（A）的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當(dāng)時，P（A）的

統(tǒng)計含義.

【答案】⑴P（0）=l,P（B）=0

⑵證明見解析；）

⑶3=200時，P（A）=50%,當(dāng)5=1000時，尸（A）=90%,統(tǒng)計含義見解析

【詳解】（1）當(dāng)〃=0時，賭徒已經(jīng)輸光了，因此P（O）=I.

當(dāng)〃時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率P（B）=0.

(2)記M：賭徒有〃元最后輸光的事件，M賭徒有〃元上一場贏的事件,

P(M)=P(N)P(M|N)+P(N)P(M|N),

即尸(〃)=!?P("-I)+4P("+I),

22

所以P(n)-P(n-l)=P(n+l)-P(n),

所以｛P(〃)｝是一個等差數(shù)列，

設(shè)P(〃)-P(〃-l)=d,則P(〃-l)-P(n_2)=d,,P(l)-P(O)=d,

累加得P(〃)-P(0)=初，故P(B?P⑼=Bd，得4=-1,

B

、A

(3)4=100,由P(〃)—P(0)=加/得尸(A)—P(0)=Ad,即尸(A)=l-\

B

當(dāng)8=200時，P(A)=50%,

當(dāng)B=1000時,P(A)=90%,

當(dāng)8-8時，P(A)fl,因此可知久賭無贏家,

即便是一個這樣看似公平的游戲，

只要賭徒一直玩下去就會100%的概率輸光.

2.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考二模)有〃個編號分別為1,2,〃的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，

其余盒子中均為1個白球1個黑球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取

一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是,從第l個盒子中取到白球的

概率是.

【詳解】記事件A表示從第《=1,2,,〃)個盒子里取出白球，則尸(4)=1，P(A)=I-/>(A)=1-

所以P(4)=尸(A4)+P(*)=P(A)尸⑷A)+尸⑷P(4同等滑

P(4)=P(4)P(A|4)+P%)網(wǎng)闋4)=尸(4)X：+P閭x?(4)+g=果

尸(4)=P(A)P(4闖+P(4)尸⑷4)=P(A)x|+P(&xg=；p⑷+：,

進而可得尸(4)=gp(A,i)+g,P(A?)-1=1[P(A,->)-1])

A=

乂P（A）-：=:，,（&）一;=2，P（2）-11P（A）-g,

ZOZloZJ[_z_

所以[尸（4）-U是首項為"公比為《的等比數(shù)列，

I2J63

所以P（4）3=3。），即尸⑷=3電4,

故答案為：,

9

3.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考二模）有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)，其中甲、乙、丙工廠分

別生產(chǎn)3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工廠的次品率依次為6%、5%、5%,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中

任取一件，則

（1）取到次品的概率為

（2）若取到的是次品，則其來自甲廠的概率為

0.053/^-18

【答案】

100053

【詳解】設(shè)任取一件產(chǎn)品來自甲廠為事件A、來自乙廠為事件為、來自丙廠為事件4,則彼此互斥，且

AD&D&=C,

A、30003a%、30003?,、40002

PNZ(A)=----------------=一，P(4)=----------------=—,P(A,)=-----------------=—

“3000+3000+400010-3000+3000+40001033000+3000+40005

設(shè)任取一件產(chǎn)品，取到的是次品為事件B,

則P(B)=P(A,B)+P(A2B)+P(4B)

=P（A）P（5|A）+P（&）P（5|&）+P（A）尸（以4）

33253

=-x6%+—x5%+-x5%=--=0.053

101051000

如果取得零件是次品，那么它是來自甲廠生產(chǎn)的概率為

p(A^)_m)^|A)fox6%

=18

尸（4忸）=

P(B)P(B)5353

1000

1Q

故答案為：0.053,—

【題型三】離散型隨機變量的分布列和概率性質(zhì)

設(shè)離散型隨機變量X的分布列為:

…???

XXIX2XiXn

.??

PP\P2???PiPn

則(l)Pi》O,i=l,2,…，n；

(2)pi+p2H-------1-pH------Hp"=l；

(3)E(X)=xi/7i+x2〃2H-------1-xWi-l----------l-X"為；

(4)D(X)=(為一E(X))2『十——E(X))2〃+“?+(*—E(X))2%.

隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差

⑴如果E(〃)和EQ)都存在，則EY+〃)=E(Q+E(〃).

(2)若〃=aj+b,則E(n)=aE(O+b,D(>i)=a2D(c).

(3)期望與方差的轉(zhuǎn)化：￡>?=￡(3)一(￡■?>.

歲|典例剖析?

1.（2021?黑龍江哈爾濱?哈師大附中?？既＃┫旅嬲f法情送的是（）

A.離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的：

B.利用頻率分布直方圖計算的樣本數(shù)字特征是樣本數(shù)字特征的估計值；

C.兩個相關(guān)變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;

D.在分層抽樣的過程中，哪一層的樣本越多，該層中個體被抽取的可能性越大.

【答案】D

【詳解】對于A中，離散型隨機變量的各個可能值表示的事件時彼此互斥的不會同時發(fā)生，所以A正確；

對于B中，利用頻率分布直方圖計算的一般數(shù)字特征是樣本數(shù)字特征的估計值，所以B正確：

對于C中，兩個相關(guān)變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近與1,所以C正確；

對于D中，在分層抽樣的過程中，哪一層的樣本即便越多，該層中個體被抽到的可能性也是相同的，所以D

不正確.

故選：D.

2.（2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考二模）已知隨機變量X的分布列為

【答案】D

171

【詳解】由題可知，-+m+--2m=l,解得〃?=；,

362

則￡（X）=0X1+2XL+4XL3.

3263

故選：D.

（多選）3.（2023?遼寧大連?校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列結(jié)論中，正確的有（）

A.數(shù)據(jù)1,2,4,5,6,8,9的第百分之60分位數(shù)為5.

B.已知隨機變量X服從二項分布若E（3X+1）=6,則“=5.

C.已知回歸直線方程為》=良+1.8,且元=2,5=20,則6=9.1.

D.對變量x與y的統(tǒng)計量/來說，/值越小，判斷“x與y有關(guān)系”的把握性越大.

【答案】BC

【詳解】對于A項，7x60險4.2,所以第百分之60分位數(shù)為6,故A項錯誤；

對于B項，因為X所以E（X）="p=g〃，

所以E（3X+1）=3E（X）+1="+1=6,解得：〃=5,故B項正確；

對于C項，回歸直線必過樣本中心可得：20=26+1,8）解得：方=9.1，故C項正確；

對于D項，由獨立性檢驗可知，/值越大，判斷"x與y有關(guān)系”的把握性越大，故D項錯誤.

故選：BC.

?名校模擬

（多選）1.（2023?遼寧錦州?統(tǒng)考二模）已知我市某次考試高三數(shù)學(xué)成績X?N（80,36）,從全市所有高三學(xué)

生中隨機抽取6名學(xué)生，成績不少于80分的人數(shù)為丫，則（）

1V_on

A.P（X>80）=4B.三吧服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

236

c.o（r）=3D.p（r>3）=^

【答案】AD

【詳解】X~N（80,36）,故〃=80,a2=36,b=6,

對選項A：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到P（X280）=；,正確；

對選項B：服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，錯誤：

6

對選項C：尸（X480）=g,則故￡>a）=6xgx（l-￡|=|,錯誤;

P（y>3）=叱］

對選項D：正確.

故選：AD

2.（2023?山西運城?統(tǒng)考二模）現(xiàn)在世界正處于百年未見之大變局，我國面臨著新的考驗，為增強學(xué)生的愛

國意識和凝聚力，某學(xué)校高二年級組織舉辦了“中國國情和當(dāng)今世界局勢"的知識對抗競賽，主要是加深對新

中國成立以來我國在經(jīng)濟建設(shè)、科技創(chuàng)新、精神文明建設(shè)等方面取得的成就和最新世界經(jīng)濟、政治時事的

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手搶到試題且回答正確得10分，對方選手得0分；選手搶到試題但回答錯誤或沒有回答得。分，對方選手

得5分；2道題目搶答完畢后得分多者獲勝.已知甲、乙兩名選手被分在同一組進行對抗賽，每道試題甲回

答正確的概率為彳2，乙回答正確的概率為三4，兩名選手回答每道試題是否正確相互獨立.2道試題搶答后的

各自得分作為兩位選手的個人總得分.

⑴求乙總得分為10分的概率;

⑵記X為甲的總得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

337

【答案】⑴麗

23

⑵分布列見解析，￡（X）=y

【詳解】（1）由題意，乙得10分的基本事件有｛乙搶到兩題且一道正確一道錯誤或沒有回答｝、｛甲，乙各搶

到一題都回答正確｝、（甲搶到兩題都回答錯誤或沒有回答｝

所以乙總得分為10分的概率P=2x±1x4，±1x1±+2J1x4±x±1x2±+±1x1±11=337

252525232323900

（2）由題意得，甲的總得分X可能取值為0,5,10,15,20

P(X=0)=ixlxlxl+2xixlxlxl+ixlxlx^=^

232323252525900

…u、c1111c141117

r(X=5)=2X—X—X—X—+2x—X—X—X—=---?

25232525150

n”s、c12111111c1214349c11121

P(X=10)=2x—X—X—X—4-—X—X—X—+2x—X—X—X—=---；P(X=15)=2x—x—x—x—=—

232325252325900252315

P(X=20)=lxjx|xj=l.

分布列如下:

X05101520

289173491￡

P

900150900百9

―…、八289u17s349?12123

斯.以E(X)=0x---+5x----F10x----F15x1-20x—=—,

9001509001593

3.(2023?安徽?校聯(lián)考二模)近年來，一種全新的營銷模式開始興起一一短視頻營銷.短視頻營銷以短視頻

平臺為載體，通過有限時長，構(gòu)建一個相對完整的場景感染用戶，與用戶產(chǎn)生吸引、了解、共鳴、互動、

需求的心理旅程.企業(yè)通過短視頻作為營銷渠道，打通新的流量入口，挖掘受眾群體，獲得新的營銷空間.某

企業(yè)準(zhǔn)備在三八婦女節(jié)當(dāng)天通過"抖音"和"快手"兩個短視頻平臺進行直播帶貨.

⑴已知小李3月7日選擇平臺"抖音"、"快手"購物的概率分別為0.6,0.4,且小李如果第一天選"抖音"平臺，

那么第二天選擇"抖音"平臺的概率為0.6；如果第一天選擇"快手"平臺，那么第二天選擇"抖音"平臺的概率

為0.7.求3月8日小李選擇“抖音”平臺購物的概率；

⑵三八婦女節(jié)這天，"抖音”平臺直播間進行秒殺搶購活動，小李一家三人能下單成功的概率分別為P,2p,

0.5,三人是否搶購成功互不影響.若X為三人下單成功的總?cè)藬?shù)，且E(X)=1.7,求p的值及X的分布列.

【答案】(1)0.64

(2)0.4；分布列見解析

【詳解】(1)設(shè)4="第一天選擇‘抖音‘平臺"，B尸"第一天選擇，快手，平臺"，4="第二天選擇，抖音，平臺”，

則P(A)=0.6,P(4)=0.4,P(&⑷=0.6,P(&14)=0.7,

貝iJP(4)=P(A)P(A2lA)+P(4)P(4|g)=0.6x0.6+0.4x0.7=0.64.

(2)由題意得，X的取值為0,1,2,3,

且尸(X=0)=(1—p)(l-2p)(l-0.5)=p,2-13p+-1,

1,

P(X=])=^(1-2/7)(1-0.5)+(1-/?)-2/7-(1-0.5)+(1-/?)(1-2/7)0.5=--/?2,

3,

P(X=2)=p-2p.(l-0.5)+(l-p)-2p0.5+p-(l-2/7)-0.5=-p-p2,

?(X=3)=/?-2pO.5=p2,

所以E(X)=；_p2+2(|p_p2)+3/=o5+3p=i7,解得

故X的分布列為

X0123

P0.060.340.440.16

【題型四】二項分布

二項分布：一般地，在〃次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件4發(fā)生的次數(shù)為用在每次試驗中事件/發(fā)生的概率為

P，則事件］恰好發(fā)生〃次的概率為P(X=4)=C/(l-p)"T,4=0,1,2,…，n,則稱隨機變量X服從二

項分布，記作p),并稱0為成功概率.

事件N發(fā)生的概率

事件/沒生的款率

乃'A：/>!**(尸(其中…㈤

試愴總次政

事件/發(fā)生的次數(shù)

二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差：若X?B(n,p),則E(X)=〃p.D(X)=np(1-p)

胃典例剖析

1.(2023?河南?洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)32名業(yè)余棋手組隊與甲、乙2名專業(yè)棋手進行車輪挑戰(zhàn)賽，

每名業(yè)余棋手隨機選擇一名專業(yè)棋手進行一盤比賽，每盤比賽結(jié)果相互獨立，若獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)不少

于10名，則業(yè)余棋手隊獲勝.已知每名業(yè)余棋手與甲比賽獲勝的概率均為：，每名業(yè)余棋手與乙比賽獲勝

的概率均為!，若業(yè)余棋手隊獲勝，則選擇與甲進行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)至少為()

4

A.24B.25C.26D.27

【答案】A

【詳解】設(shè)選擇與甲進行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為X,選擇與乙進行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為Y-.

設(shè)選擇與甲進行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為小則選擇與乙進行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為32-n.

X所有可能的取值為0,1,2,…，n,則*~81,￡|,E(X)=；；

y所有可能的取值為0,1，2,…，32-〃，貝1」丫-8（32-〃,［）,￡"）=%三，

所以獲勝的業(yè)余棋手總?cè)藬?shù)的期望E（x+y）=E（x）+E（y）=§>7+y—P=」H^-I-06zio,解得〃*24.

故選：A.

（多選）2.（2023?湖北?統(tǒng)考二模）以下說法正確的有（）

A.某醫(yī)院住院的8位新冠患者的潛伏天數(shù)分別為10,3,8,3,2,18,7,4,則該樣本數(shù)據(jù)的第50百分

位數(shù)為5.5

B.經(jīng)驗回歸直線￥=%+》至少經(jīng)過樣本點數(shù)據(jù)中的一個點

C.若尸（B|A）=0.3,尸（B）=0.3,則事件A,8相互獨立

D.若隨機變量4~《21,；）,則尸0=女）取最大值的必要條件是％=10

【答案】AC

【詳解】A：數(shù)列從小到大為2,3,3,4,7,8,10,18,則8x50%=4,故第50百分位數(shù)為34+7=5.5,正確；

B：回歸直線不一定過樣本點，但必過樣本中心，錯誤；

C：山尸（AB）=P（例A）P（A）,貝"（4）=^^;,故尸（A）尸（8）=「（普:￡）=P（AB）,

r\D|A）r（D|A）

所以事件A,B相互獨立，正確；

D：由%要使*=%）取最大值，

只需CW取最大，顯然當(dāng)化=10或11時C%最大，故左=10是P（J=A）取最大的充分條件，錯誤.

故選：AC

3.（2023?全國?東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）調(diào)查問卷中常常涉及到個人隱私或本人不愿正面回答的問題,

被訪人可能拒絕回答，即使回答，也不能期望答案是真實的.某小區(qū)要調(diào)查業(yè)主對物業(yè)工作是否滿意的真實

情況，現(xiàn)利用"隨機化選答抽樣"方法制作了具體調(diào)查方案，其操作流程如下：在一個箱子里放3個紅球和2

個白球，被調(diào)查者在摸到球后記住顏色并立即將球放回，如果抽到的是紅球,則回答"你的性別是否為男性？"

如果抽到的是白球，則回答“你對物業(yè)工作現(xiàn)狀是否滿意？”兩個問題均用"是"或"否"回答.

⑴共收取調(diào)查問卷100份，其中答案為"是"的問卷為60份，求一個業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意的概率，已知

該小區(qū)共有業(yè)主500人，估計該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作滿意的人數(shù)；

（2）現(xiàn)為了提高對物業(yè)工作滿意的業(yè)主比例，對小區(qū)業(yè)主進行隨機訪談，請表示不滿意的業(yè)主在訪談中提出

兩個有待改進的問題.

（i）若物業(yè)對每一個待改進的問題均提出一個相應(yīng)的解決方案，該方案需要由5名業(yè)主委員會代表投票決

定是否可行.每位代表投贊同票的概率均為;，方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，并最終解決該問

題，求某個問題能夠被解決的概率P。；

（ii）假設(shè)業(yè)主所提問題各不相同，每一個問題能夠被解決的概率都為無，并且都相互獨立.物業(yè)每解決一

個問題，業(yè)主滿意的比例將提高一個百分點.為了讓業(yè)主滿意的比例提高到80%,試估計至少要訪談多少位

業(yè)主？

【答案_】⑴；3，375人

4

17

⑵（i）—；（ii）至少要訪談48位業(yè)主

O1

【詳解】⑴記：事件A="業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意"，則「（4祥+":=黑=2伊）==,

55210074

3

所以，500x^=375（人），

4

故該小區(qū)業(yè)主對?物業(yè)工作表示滿意的人數(shù)約為375人：

（2）（i）由已知得，每位代表投贊同票的概率均為:，

方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，所以《=（：[￡|:6]+砥（￡]4?|+^[￡[=3，

故某個問題能夠被解決的概率4=S17;

O1

（ii）設(shè)至少要訪談"位業(yè)主，由（1）知，該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作滿意的概率為33,

4

要使業(yè)主滿意的比例提高到80%,則有

|1--|x—x2>（80%--|xioo^>n>—?47.6,

I4）81I4j17

故至少要訪談48位業(yè)主.

學(xué)名校模擬

1.（2023?安徽安慶?校聯(lián)考模擬預(yù)測）體育課上，體育老師安排了籃球測試，規(guī)定：每位同學(xué)有3次投籃機

會，若投中2次或3次，則測試通過，若沒有通過測試，則必須進行投籃訓(xùn)練，每人投籃20次.已知甲同

學(xué)每次投中的概率為g且每次是否投中相互獨立.

⑴求甲同學(xué)通過測試的概率;

（2）若乙同學(xué)每次投中的概率為|且每次是否投中相互獨立.設(shè)經(jīng)過測試后，甲、乙兩位同學(xué)需要進行投籃

訓(xùn)練的投籃次數(shù)之和為X,求X的分布列與均值；

⑶為提高甲同學(xué)通過測試的概率，體育老師要求甲同學(xué)可以找一個"最佳搭檔"，該搭檔有2次投籃機會，

規(guī)定甲同學(xué)與其搭檔投中次數(shù)不少于3次，則甲同學(xué)通過測試.若甲同學(xué)所找的搭檔每次投中的概率為

夕（0＜。＜1）且每次是否投中相互獨立，問：當(dāng)p滿足什么條件時可以提高甲同學(xué)通過測試的概率？

【答案】⑴g

（2）分布列見解析，合410

⑶”（川

【詳解】（1）由條件知甲同學(xué)通過測試的概率為

（2）由（1）可知甲同學(xué)沒有通過測試的概率為

22

根據(jù)題意乙同學(xué)通過測試的概率為C；x（|jx；+C：x停）=稱,

所以乙同學(xué)沒有通過測試的概率為1-9207,

2727

則X=0,20,40,

因尸（x=。）毛碟吟

…171201

P（X=20）=—x----1—x—=一

'72272272

、177

P（X=40）=—x—=——

'722754

于是X的分布列為:

X02040

107

P

27254

所以E（X）=0xW+20x，+40xN=..

V72725427

（3）由題意知甲投中1次，其搭檔投中2次的概率為C；xTx（；Jxp2=|p2：

甲投中2次，其搭檔至少投中1次的概率為：

x；x[c；p（l-p）+p[=?2p-p2）；

所以甲同學(xué)通過測試的概率為[□/+a（22-/）+101

88、7848

根據(jù)題意可知;p+1>g,則p>:,

又pe（O,l），

所以當(dāng)Pe（；，1）時.，可以提高甲同學(xué)通過測試的概率.

2.（2023?湖南常德,二模）某大學(xué)一個專業(yè)團隊為某專業(yè)大學(xué)生研究了多款學(xué)習(xí)軟件，其中有A,B,C=

款軟件投入使用，經(jīng)一學(xué)年使用后，團隊調(diào)查了這個專業(yè)大一四個班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)

⑴從這12人中隨機抽取2人，求這2人恰好來自同一班級的概率；

⑵從這12名學(xué)生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習(xí)時間每人選擇一款軟件，其中選A,B

兩款軟件學(xué)習(xí)的概率都是!，且他們選擇A,B,C任一款軟件都是相互獨立的，設(shè)這三名學(xué)生中下午自習(xí)

時間選軟件c的人數(shù)為3求g的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴913

OO

（2）分布列見解析,E⑷=2

【詳解】（1）解：由題知，從這12人中隨機抽取2人，共有C2=66種可能情況，

記"這2人恰好來自同一班級"為事件A,

則事件A包含的可能情況有：6+C；+C；+C；=3+1+3+6=13種,

13

所以，P（A）=—

oo

（2）解：由題知，&的可能取值為0』,2,3,

因為選A,B兩款軟件學(xué)習(xí)的概率都是!，且他們選擇A,B,C任一款軟件都是相互獨立的

0

112

所以，他們選擇C款軟件學(xué)習(xí)的概率是1-7-7=!

663

所以，這三名學(xué)生中下午自習(xí)時間選軟件C的人數(shù)為48（3彳）

所以，%=。）=嚅MV，P（I）=4|J?吟心

尸（g=3）=c；停詞Y

3.（2023?湖南株洲?統(tǒng)考一模）2023年亞運會在中國杭州舉辦,開幕式門票與其他賽事門票在網(wǎng)上開始預(yù)定，

亞奧理事會規(guī)定：開幕式門票分為A、B兩檔，當(dāng)預(yù)定A檔未成功時，系統(tǒng)自動進入8檔預(yù)定，己知獲得A

檔門票的概率是:，若未成功，仍有。的概率獲得8檔門票的機會;而成功獲得其他賽事門票的概率均為5,

542

且獲得每張門票之間互不影響.甲預(yù)定了一張A檔開幕式門票，一張賽事門票；乙預(yù)定了兩張賽事門票.

⑴求甲乙兩人都沒有獲得任何門票的概率；

⑵求乙獲得的門票數(shù)比甲多的概率.

【答案】⑴二3

嗚

【詳解】（1）由題意可得：預(yù)定一張開幕式門票不成功的概率《=（1成功的概率為

設(shè)甲獲得的門票數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,

故尸(X=o)=1n/v211

|x(i和(x=i)=MLM—,P(X=2)=—x—=—

I10'7525217525

故X的分布列為:

X012

3j_]_

P

Io25

設(shè)乙獲得的門票數(shù)為y,則y42,g）,

故尸(y=0)=(j；I14

故y的分布列為:

313

故甲乙兩人都沒有獲得任何門票的概率p=p（x=。）叩=。）=而3,

（2）由（1）可得：乙獲得的門票數(shù)比甲多的概率

3131117

p=p(x=o)p(y=i)+p(x=o)p(y=2)+p(x=i)p(y=2)=—x-+^x-+-x-=—

【題型五】超幾何分布

超幾何分布列

「k「n-k

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則25=期=2",-0,1,2,…，m,

其中，/=min{M,”}，且〃WN,MWN,w,M,NWN"?.

X01…m

?~?00x-?/n「n-m

"4N-M

P.??

1C'N

若隨機變量X的分布列具有上表的形式，則