2023-2024學(xué)年科大附中數(shù)學(xué)高二年級上冊期末聯(lián)考模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年科大附中數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.過拋物線V=6x焦點R的直線與拋物線交于A,3兩點，人尸=3所，拋物線的準(zhǔn)線/與無軸交于點C，則ABC

的面積為（）

A.6A/2B.6君

C.3V2D.36

2.設(shè)aeH,貝U“a=l”是“直線/i：ax+2y—1=0與直線4：x+（a+Dy—〃=0”平行的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.即不充分也不必要條件

3.設(shè)直線/：or+（a—2）y+l=0,Z2:x+ay-3=0.±/2,則"的值為（）

A.0或1B.0或—1

C.1D.-1

221

4.已知點耳，工是橢圓C：工+==1（?！?〉0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為了的直

ab4

線上，△尸月耳為等腰三角形，且N68P=150。，則C的離心率為（）

3—1

A.---------B.-

63

DT

6

5.若向量。二(1,2,0),6=(—2,0,1),貝!JO

/人1

A.cos\62,b/——B.

2

D.iE

C.allb

6.已知向量a=(x,l),6=(4,x),貝!J"x=2”是“a〃匕”的。

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知向量a=(無2,5)與b=(Ly—3)平行，則()

A.孫=2B.x-2y=15

C.x+2y=15D.孫=一2

8.曲線y=e'+l上的點到直線無一丁―2=0的距離的最小值是。

A.3B.近

C.2D.2拉

9.設(shè)向量a=(x,l,l),b=(i,y,l),c=(2,-4,2),且。,。，b//c>則，+,=()

A.272B.V10

C.3D.4

10.已知向量。=(—1,2,3),力=(2,-1,—4),則下列向量中，使寸能構(gòu)成空間的一個基底的向量是()

A.c=(-2,1,4)B.c=(l,l,-1)

C.c=(-8,7,18)D.c=(—1,2,-4)

11.圓d+j?-2x+4y-4=0的圓心坐標(biāo)與半徑分別是()

A.(l,-2),2B.(-l,2),2

C.(1,-2),3D.(-l,2),3

12.現(xiàn)從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊”，用A表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，3表示

事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則P(叫A)=()

14

A.-B.-

37

-23

C.—D.一

34

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知橢圓「+卓=1(?！等恕?)的短軸長為2,上頂點為A,左頂點為B,左、右焦點分別是片，F(xiàn)2,且

2-J311

的面積為甘點尸為橢圓上的任意一點，則西+西的取值范圍是.

14.某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一2400人、高二2000人、高三"人中，抽取90人進行問

卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為36,那么高二被抽取的人數(shù)為

15.在空間直角坐標(biāo)系。一孫z中，向量3=(1,3,—2)為平面ABC的一個法向量，其中A。,—1J),3(3,1,4),則向

量AB的坐標(biāo)為

16.如圖所示，高爾頓釘板是一個關(guān)于概率的模型，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上

一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間.小球每次下落時，將隨機的向兩邊等概率的落下.當(dāng)有大量

的小球都落下時，最終在釘板下面不同位置收集到小球.現(xiàn)有5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知數(shù)列｛4｝的首項4=1,且滿足a=+i=f1("eN*).

(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

(2)設(shè)g=一,求數(shù)列｛%｝的前"項和S..

an

18.(12分)某公園有一形狀可抽象為圓柱的標(biāo)志性景觀建筑物，該建筑物底面直徑為8米，在其南面有一條東西走

向的觀景直道，建筑物的東西兩側(cè)有與觀景直道平行的兩段輔道，觀景直道與輔道距離10米.在建筑物底面中心。

的東北方向200米的點A處，有一360°全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物的高度

?A

攝像頭

西輔道(7)東輔道

西景蠡/物光景直道東

(1)在西輔道上距離建筑物1米處的游客，是否在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)？

(2)求觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度

2

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：V=2px(p>0)的焦點尸到雙曲線(-產(chǎn)=1的漸近線

的距離為L

(1)求拋物線C的方程；

(2)若不經(jīng)過原點。的直線/與拋物線C交于A、B兩點,且Q4LO3,求證：直線/過定點.

20.(12分)已知圓C的方程為(1-的2+丁2=4.

(1)直線八過點P(3,1),傾斜角為45。，且與圓C交于A,8兩點，求45的長；

(2)求過點P(3,1)且與圓C相切的直線b的方程.

21.(12分)已知拋物線。：/=2°%(2>0)的焦點為R，點機)在拋物線上，且的面積為，(。為

坐標(biāo)原點)

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點A、3是拋物線。上異于原點。的兩點，直線Q4、08的斜率分別為4、k2,若k&=-2,求證：直線A3

恒過定點

22.(10分)中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽(ChineseBasketballAssociation),簡稱中職籃(CBA),由中國國家體育總局籃球

運動管理中心舉辦的男子職業(yè)籃球賽事，旨在全面提高中國籃球運動水平，其中誕生了姚明、王治郅、易建聯(lián)、朱芳

雨等球星.該比賽分為常規(guī)賽和季后賽.由于新冠疫情關(guān)系，某年聯(lián)賽采用賽會制：所有球隊集中在同一個地方比賽，

分兩個階段進行，每個階段采用循環(huán)賽，分主場比賽和客場比賽，積分排名前8球隊進入季后賽.下表是A隊在常規(guī)

賽60場比賽中的比賽結(jié)果記錄表.

階段比賽場數(shù)主場場數(shù)獲勝場數(shù)主場獲勝場數(shù)

第一階段30152010

第二階段30152515

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完成下面2x2列聯(lián)表:

A隊勝A隊負(fù)合計

主場5

客場20

合計60

(2)根據(jù)(1)中2x2列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認(rèn)為比賽的“主客場”與“勝負(fù)”之間有關(guān)?

n[ad-bcf

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K->k)0.1000.0500.025

k2.7063.8415.024

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】畫出圖形，利用已知條件結(jié)合拋物線的定義求解邊長CRBK,然后求解三角形的面積即可

【詳解】如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為/,過A作AM，/于過B作BN上1于N,過3作于K,

設(shè)忸同=m,則根據(jù)拋物線的定義可得忸N|=m,\AF\=\AM\=3m,\AB\=4m,

|=2m,cosNBAM=——=—=>/BAM=60,|CF|=p=—m=3,m=2,二忸K[=2sf3m=4s/3,

AB22

：.ABC的面積為S=Se+SBCF=g-|CF|-忸K|=673,

【解析】由兩直線平行確定參數(shù)值，根據(jù)充分必要條件的定義判斷

【詳解】。=1時，兩直線方程分別為x+2y-1=0,x+2y-1=0,它們重合，不平行，因此不是充分條件;

反之，兩直線平行時，a(a+l)—2=0,解得。=1或a=—2,

由上知。=1時，兩直線不平行，

a=—2時，兩直線方程分別為—2x+2y—1=0,%—y—4=0,平行，

因此a=-2,本題中也不是必要條件

故選：D

3、A

【解析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實數(shù)。的等式，即可解得實數(shù)。的值.

【詳解】因為丸，/2,則a+a(a—2)=a(a—1)=0,解得a=0或1.

故選：A.

4、D

cl

【解析】設(shè)由區(qū)|=2c,先求出點P((l+百)c,c),得°+理+JZ，化簡即得解

【詳解】由題意可知橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，設(shè)比閶=2c,則|0閶=°,

?.?△P片乙為等腰三角形，且/4心尸=150。，

尸閭=閨司=2c.

過P作PE垂直x軸于點￡,則NP8E=30。，

：.\F2E\=43C,\PE\=C,即點P((l+若卜,cj.

V點P在過點A且斜率為-的直線上，

4

C1QR

???砰即J,解得

3+73

6

故選：D

【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出橢圓的。，c代入離心率的公式即得解）；（2）方

程法（通過已知找到關(guān)于離心率的方程解方程即得解）.

5、D

【解析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得數(shù)量積，模，結(jié)合向量的共線定義判斷

【詳解】由已知,卜爐百奇=逐，|^|=7（-2）2+02+12=75,

a-b=lx（-2）+2x0+0xl=-2,b與a不垂直

若b=ka，則0=2左，k=0,但是，IwOxO,因此匕與。不共線

故選：D

6、A

【解析】根據(jù)〃〃人得出根據(jù)充分必要條件的定義可判斷.

【詳解】解：:a〃Z?,向量8=（x,l）,b=（4,x）,

**.x2—4=0,即x=±2,

根據(jù)充分必要條件的定義可判斷：

“九=2”是//b”的充分不必要條件，

故選：A.

7、D

【解析】根據(jù)兩向量平行可求得X、y的值，即可得出合適的選項.

—3%=556

【詳解】由已知L,解得％=—彳，y==，則孫=—2.

5y=635

故選：D.

8、D

【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點為(天，e與+1)，依題意即過切點的切線恰好與直線尤-丁-2=0平行，此時切點

到直線的距離最小，求出切點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式計算可得；

【詳解】解：因為y=e*+l,所以y'=e',設(shè)切點為則力/=田=1,解得%=0,所以切點為(0,2),

點(0,2)到直線無一y-2=0的距離d=擊=20,所以曲線丁=e'+1上的點到直線無一y-2=0的距離的最小值

是2e；

故選：D

9、C

【解析】根據(jù)空間向量垂直與平行的坐標(biāo)表示，求得羽y的值，得到向量。+6=(2,-1,2),進而求得，+目，得到答

案.

【詳解】由題意，向量a=(x,l,l),b=(l,y,l),c=(2,T,2),

因為o_l_c，可得a?c=2x—4+2=0，解得九=1，即a=

又因為6〃c，可得g=解得y=-2,即〃=(1,—2,1),

可得a+人=(1,1,1)+(1,-2,1)=(2,-1,2),所以,+0=J4+1+4=3.

故選：C.

10、D

【解析】根據(jù)向量共面基本定理只需［=無解即可滿足｛a，'c｝構(gòu)成空間向量基底，據(jù)此檢驗各選項即可得

解.

【詳解】因為c=(—2,1,4)=-匕，所以A中的向量,不能與b構(gòu)成基底；

因為c=(l,L—1)=。+匕，所以B中的向量°不能與a，8構(gòu)成基底；

—X+2y=-8,

對于c=(—8,7,18),^c=xa+yb,則(2x—y=7,,解得x=2,y=—3,

3X-4V=18

所以c=2a-3b，故a，b>c為共面向量，所以C中的向量c不能與a，b構(gòu)成基底；

—x+2y=-1,

對于c=(一1,2,T),設(shè)C=xa+y6,則2x-y=2,,此方程組無解，所以八,不共面，故D中的向量c與

3x-4y=-4

a，可以構(gòu)成基底.

故選：D

11、C

【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案.

【詳解】由題可知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—1)?+(丁+2)2=9,

所以圓心為(L-2),半徑為3,

故選C.

12、A

【解析】先求出抽到的兩名醫(yī)生性別相同的事件的概率，再求抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生事件的概率，然后代入條件

概率公式即可

C2+C293C231

【詳解】解：由已知得P(A)=*；L=5T=5，P(AB)=U=方=亍,

乙A/V?-7乙J./

1

則P(四A)=今普

J-3

7

故選:A

【點睛】此題考查條件概率問題，屬于基礎(chǔ)題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13,[1,4]

【解析】根據(jù)小A3的面積和短軸長得出“，b,c的值，從而得出|尸客|的范圍，得到西+而關(guān)于忸叫的函數(shù),

從而求出答案

【詳解】由已知得23=2,故〃=1,?.?△占A3的面積為二二8,

2

—c)Z?=2',a—c—2—yj3?又a?—c?=(Q—C)(Q+C)=/??=],

..“=2,°=G??西西一附||叫|明(4-附I)-附『+4|*'

又2—6<|尸耳歸2+百，二1<—歸片「+4歸用<4,

1II/

?1<-----+-----<4

..一版|\PF2\~

11「、

即國+西的取值范圍為[1，4].

故答案為[1,4]

點睛】本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，函數(shù)最值的計算，熟練掌握橢圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題

14、30

【解析】利用分層抽樣可求得”的值，再利用分層抽樣可求得高二被抽取的人數(shù).

2400

【詳解】高一年級抽取的人數(shù)為：90x—...............=36人，貝！|〃=1600,

2400+2000+71

2000

則高二被抽取的人數(shù)90x=30,

2400+2000+1600

故答案為：30.

15、(2,2,4)

【解析】根據(jù)向量1=(1,3,-2)為平面A3C的一個法向量，由AB.V=O求解.

【詳解】因為A(L-M),5(3,1,4),

所以AB=(2,2,4—。，

又因為向量1=(1,3,-2)為平面ABC的一個法向量，

所以AB-v=lx2+3x2—2x(4—7)=0,

解得1=0,

所以=(2,2,4),

故答案為：(22,4)

45

16、一

512

【解析】先研究一個小球從正上方落下的情況，從而可求出一個小球從正上方落下落到2號位置的概率，進而可求出

5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率

【詳解】如圖所示，先研究一個小球從正上方落下的情況，11,12,13,14指小球第2層到第3層的線路圖，以此類

推，小球所有的路線情況如下：

01-11-21-31,01-11-21-32,01-11-22-33,01-11-22-34,01-12-23-33,01-12-23-34,01-12-24-35,01-12-24-36,02-14-26-38,

02-14-26-37,02-14-25-35,02-14-25-36,02-13-24-36,02-13-24-35,02-13-23-34,02-13-23-33,共16種情況，其中落

入2號位置的有4種，

41

所以每個球落入2號位置的概率為一=一,

164

所以5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率為

故答案為：——

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）證明見解析

（2）S?=（4?-7）-2/,+1+14

an11.1

【解析】（1）化簡％+1=丁'得到--------=4,由此證得數(shù)列一為等差數(shù)列.

4a“+1an+lana

（2）先求得然后利用錯位相減求和法求得S”.

【小問1詳解】

=,J_=4+J_,J_1,1

一=4.又一=1

44+1an+iana,+i

數(shù)列!是以1為首項，4為公差等差數(shù)列.

【小問2詳解】

由（1）知：—=1+4（/?-1）=4H-3,

an

則數(shù)列｛??｝的通項公式為an=:/，則g=（4〃—3）?2",

S?=21+5X22+9X23++(4n-3)-2n0,

2S?=22+5X23+9X24++(4〃-3>2用②，

①-②得：—S.=2+4(2?+23++2")—(4〃—3>2"+i,

-Sn=2+"(I2)_(4〃_3).2"+i,

n1-217

,,+1n+1

-Sn=2-16+4-2-(4?-3)-2,

-S?=-14+(7-4zz)-2/,+1,

ra+1

Sn=(4n-7)-2+14.

18、(1)不在(2)17.5米

【解析】(1)以。為原點，正東方向為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出直線A3方程，判斷直線A3與

圓。的位置關(guān)系即可；

(2)攝像頭監(jiān)控不會被建筑物遮擋，只需求出過點A的直線/與圓。相切時的直線方程即可.

【小問1詳解】

以。為原點，正東方向為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系

則0(0,0),4(20,20),觀景直道所在直線的方程為y=-10

依題意得：游客所在點為5(-5,0)

則直線A3的方程為噌=蕓三，化簡得4x—5y+20=0,

|20|20,

所以圓心。到直線AB的距離d==i—<4,

%+52A/41

故直線A3與圓O相交，

所以游客不在該攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi).

【小問2詳解】

由圖易知：過點A的直線/與圓。相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物遮擋,

所以設(shè)直線/過A且恰與圓0相切，

①若直線/垂直于x軸，則/不可能與圓。相切;

②若直線/不垂直于x軸，設(shè)/：y-20=左(％-20),整理得Ax-y-20左+2。=0

|-204+20|，34

所以圓心O到直線I的距離為dJ=y◎+[-=4,解得&=z或左=§,

34

所以直線/的方程為y—20=\(x—20)或y—20=§(x—20),

即3x—4y+20=0或4x—3y—20=0,

設(shè)這兩條直線與丁=-10交于。，E

y=—10y=-10

由＜，解得x=—20，由＜14…-2。=。'解得戶一25

[3x—4y+20=0

所以|￡＞同=17.5,

觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度為17.5米.

攝像頭

19、(1)y2=8x

(2)證明見解析

【解析】(1)求出雙曲線的漸近線方程，由點到直線距離公式可得參數(shù)。值得拋物線方程；

(2)設(shè)直線方程為x=+直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達定理得%+%，%%，代入

。4?03=0可得加值，得定點坐標(biāo)

【小問1詳解】

已知雙曲線的一條漸近線方程為，=石丁，即x-石y=0,

P\P-Q\

拋物線的焦點為(上,0),所以2],解得。=4(因為。＞0),

2E=i

所以拋物線方程為V=8x；

【小問2詳解】

由題意設(shè)直線I方程為x=ty+m,設(shè)A&,%),5(x2,%)

x=ty+m

由《2得y-89-8m=0,弘+%=8，，%%=一8機，

y=Sx

又Q4JLOB,所以。4。8=西%2+%%=0，

所以再%2+=（。1+加）（。2+m）+必％=（1++儂（必+%）+加之

=-8m（l+r2）+8r2m+m2=0,直線不過原點，mwO,所以羽=8

所以直線/過定點(8,0)

20、(1)。

(2)x=3或3x+4y-13=0

【解析】(i)首先利用點斜式求出直線4的方程，再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最后利用垂直

定理、勾股定理計算可得；

(2)依題意可得點P在圓外，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率不存在直線得到直線方程，但

直線的斜率存在時設(shè)直線方程為y-i=Hx-3),利用點到直線的距離公式得到方程，解得左，即可得解；

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意，直線4的方程為y-l=lx(x-3),即x-y-2=0,

則圓心(1,0)到直線4的距離為d=?總=—

V1+12

故|=2A/22—d2=2J4—g=V14；

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意，點P在圓外，分兩種情況討論：

當(dāng)直線。的斜率不存在時，過點P(3,l)的直線方程是x=3,

此時4與圓C：(x—l『+y2=4相切，滿足題意；

當(dāng)直線4的斜率存在時，設(shè)直線方程為y-1=左(％-3),

即辰_y_3A+l=0,

/、|-2左+1|

直線與圓相切時，圓心(1,0)到直線的距離為卜危=2

3

解得上=_