河南省2023年數(shù)學(xué)試題(附答案)

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)(必修+選修∏)

本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩局部.第卷1至2頁，第卷3至4頁.考

試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一卷

考生注意：

1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、

填寫清楚，并貼好條形碼.請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目.

2.每題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.

3.本卷共12小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一

項符合題目要求的.

參考公式：

如果事件4B互斥，那么球的外表積公式

P(A+3)=P(A)+P(B)S=4πR?

如果事件A,B相互獨立，那么其中R表示球的半徑

P(A-S)=P(A)-P(B)球的體積公式

4

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P,那么V=-πR3

3

n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生4次的概率其中R表示球的半徑

一、選擇題

(1)設(shè)集合A={4,5,7,9),B={3,4,7,8,9),全集U=A.B,那么集合L(Al8)中

的元素共有()

(A)3個(B)4個(C)5個(D)6個

Z

(2)-r-=2+i,那么復(fù)數(shù)Z=()

l÷i

(A)-l+3i(B)l-3i(C)3+i(D)3-i

Y1

(3)不等式f<1的解集為()

X-I

(A){χ∣O<x<l}J{ψ>l}(B){x∣0<x<l}

(C){x∣-l<x<0}(D){Λ∣Λ<0}

(4)設(shè)雙曲線二—4=1(a>O,b>O)的漸近線與拋物線y=Y+l相切，那么該雙曲線的

ab~

離心率等于()

(A)√3(B)2(C)√5(D)√6

(5)甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。假設(shè)從甲、乙兩組

中各選出2名同學(xué)，那么選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有()

(A)150種⑻180種(C)300種(D)345種

(6)設(shè)。、b、C是單位向量，且。.b=0,那么(α-c)?(b-c)的最小值為()

(A)-2(B)√2-2(C)-1(D)l-√2

(7)三棱柱ABC-AqG的側(cè)棱與底面邊長都相等，A在底面ABC上的射影為BC的中

點，那么異面直線AB與Ce所成的角的余弦值為()

(A)—(B)—(C)—(D)3

4444

(8)如果函數(shù)y=3cos(2H0)的圖像關(guān)于點(手，θ］中心對稱，那么|例的最小值為

兀兀兀兀

(A)-(B)-(C)-(D)-

6432

(9)直線y=x+l與曲線y=ln(x+α)相切，那么ɑ的值為()

(A)I(B)2(C)-1(D)-2

(10)二面角a—/—，為60°,動點P、Q分別在面a、B內(nèi)，P到B的距離為Q到

a的距離為26，那么P、Q兩點之間距離的最小值為()

(A)(B)2(C)2√3(D)4

(11)函數(shù).f(x)的定義域為R,假設(shè)/(x+l)與/(x—1)都是奇函數(shù)，那么()

(A)/(x)是偶函數(shù)(B)f(x)是奇函數(shù)(C)/(x)=∕(x+2)(D)/(x+3)是奇

函數(shù)

2

12.橢圓C:,+y2=i的右焦點為F,右準(zhǔn)線為/,點AG/,線段AE交C于點8,假設(shè)

E4=377B,那么IAfj=()

(A).√2(B).2(C).√3(D).3

第II卷

二、填空題：

13.(X—y)∣°的展開式中，∕y3的系數(shù)與χ3y7的系數(shù)之和等于。

14.設(shè)等差數(shù)列｛0,,｝的前〃項和為S“，假設(shè)S9=72,那么4+4+。9=。

15.直三棱柱ABC-A4G的各頂點都在同一球面上，假設(shè)AB=AC=A4=2,

NfiAC=120°,那么此球的外表積等于?

16.假設(shè)工＜x＜工，那么函數(shù)y=tan2xta∏3尤的最大值為_________。

42

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17(本小題總分值10分)(注意：在試題卷上作答無效)

在AABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為。、b、c,a2-c2=2b,且

sinAcosC=3cosΛsinC,求b

18.(本小題總分值12分)(注意：在試題卷上作答無效)

如圖，四棱錐S—ABCD中，底面ABcD為矩形，SD_L底面

ABCD,AD=?,DC=SD=2,點M在側(cè)棱SC上，

ZABM=60°

(I)證明：M在側(cè)棱SC的中點

(II)求二面角S-AM-B的大小。

19.（本小題總分值12分）（注意：在試題卷上作答無效）

甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假

設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,各局比賽結(jié)果相互獨立，前2局

中，甲、乙各勝1局。

（I）求甲獲得這次比賽勝利的概率；

（II）設(shè)J表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求J得分布列及數(shù)學(xué)期望。

20.（本小題總分值12分）（注意：在試題卷上作答無效）

在數(shù)歹U｛4｝中，q=l,%=（1+3%+*

nZ

（I）設(shè)d=4,求數(shù)列｛2｝的通項公式

n

（II）求數(shù)列｛%｝的前〃項和5.

21（本小題總分值12分）（注意：在試題卷上作答無效）

如圖，拋物線E：y2=x與圓M：（》一4）2+丁2=/（r>0）相交于

A、B、C、。四個點。

（I）求r得取值范圍；

（II）當(dāng)四邊形ABC。的面積最大時，求對角線AC、BD

的交點P坐標(biāo)

22.本小題總分值12分。（注意：在試題卷上作答無效）

設(shè)函數(shù)/（x）=χ3+3Z√+3cx在兩個極值點不、X2,且

x1∈[-1,0],%2∈[1,2].

（I）求氏C滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫

出滿足這些條件的點優(yōu),c）的區(qū)域；

(H)證明：一10≤∕(x2)≤-g

答案詳解

一、選擇題

I：AW:A8={3,4,5,7,8,9},AB={4,7,9).'.Cu(A5)={3,5,8}應(yīng)選A。也可

用摩根律：Gy(AlB)=(CσA)i(CUB)

2：B解：z=(l+z)?(2+0=l+3z,.?.z=l-3z應(yīng)選B。

3：D解：驗X=-I即可。

4：C解：設(shè)切點P(XO，%)，那么切線的斜率為y∣LB=2%Λ.由題意有比=2%又

Λ^Λ0I'X

%=??2+1

b

解得：x9=L，一=2,e==>/5.

0a

5：D解：分兩類⑴甲組中選出一名女生有C?G?C*;=225種選法

(2)乙組中選出一名女生有C；?C：?C；=120種選法.故共有345種選法.選D

6：D解:4,b,C是單位向量二

=?-?a+b???c?=?-V2cos<a+b,c>≥l-V2應(yīng)選D.

7：D解：設(shè)BC的中點為D,連結(jié)AJ),AD,易知e=NΛ1A3即為異面

直線AB與CG所成的角，由三角余弦定理，易知

ADAD3

cosθ=cosNAAD-cosZDAB—.應(yīng)選D

AAAB4

8：A解：函數(shù)y=3cos(2je+0)的圖像關(guān)于點OJ中心對稱

.?.2-+φ=kπ+-.?φ=kπ--[k^Z)由此易得10Imin=三.應(yīng)選A

3266

1

9：B解:設(shè)切點P(X°,γ),那么為=%+1,%=1∏(Λ+a),又：yIE=--------=1

000V-LZTf

-l.a=2.故答案選

.?.Λ0+?=1.?.%=0,%0=?B

10：C解:如圖分別作QA1a于AAC1/于C,PB?β千B,

Q

1/

PD±/于D,連CQ,B。則ZACQ=NPBD=60°,

Z

Aβ=2√3,BF=√3,.?.AC=PD^2?ɑ,a

__________________-----#■

222

又PQ?y∣AQ+AP=√12+AP>2√3P

當(dāng)且僅當(dāng)AP=O,即點4與點尸重合時取最小值。故答案選C。

11：D解：/(x+l)與/(x—1)都是奇函數(shù)，

??√(-x+D=-/(x+l),∕(-x-l)=-/(X-I)，

.?.函數(shù)/(x)關(guān)于點(1,0),及點(一1,0)對稱，函數(shù)/(x)是周期T=2[l-(-1)]=4的周期

函數(shù)x—1+4)=-√(x-1+4),/(—x+3)=-∕(x+3),即/(x+3)是奇函數(shù)。應(yīng)

選D

12：A解:過點B作于M,并設(shè)右準(zhǔn)線/與X軸的交點為N,易知FN=L由題意E4=3bB,

故I3MI=2.又由橢圓的第二定義,得IBFl=亞?2=也.?,∣AFl=√L應(yīng)選A

3233

二、填空題：

13：解：-C；)+y)=-2C：)=-240

14：解：｛αzι｝是等差數(shù)列,由$9=72,得.?.S9=9α5,4=8

/.a2+a4+%=(/+%)+%=(%+〃6)+。4=3%=24.

15：解：在ZVWC中A3=AC=2,NBAC=120°,可得BC=26，由正弦定理，可得

ΔA8C外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為0',球心為0,在RTAOBO'中，易得球半徑

R=B故此球的外表積為4mR2=20萬.

JlJl

16：解：令tanx=f,—<x<—r>1,

42

C32tan4X2〃22_<2__8

?\?—tIoclnll//人YtIoclnll_Λv一—______~_—一_____~—一_~_____\—一_

l-tan2xl-r211(?1)211

t4t2夕-5)-~4~4

三、解答題:

17：

分析:此題事實上比擬簡單,但考生反響不知從何入手.對條件(1)α2-c2=2b,左側(cè)是

二次的右側(cè)是一次的，學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理，而對條件⑵

SinAcosC=ScosAsinC,過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在

已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分.

解法一：在AABC中?.SinACoSC=3cosAsinC,那么由正弦定理及余弦定理

有：a—”-0-3"-+c'-∏.c,化簡并整理得:2(a2-c2)=b2.又由

2ab2bc

22

a-c=2b.??4〃=〃.解得/?=4或人=0(舍).

解法二：

由余弦定理得：

a2-c2=b2-2〃CCOSA.

22

又a-C=2bf∕?≠00

所以Z?=2ccosA+2.............................................①

又sinAcosC=3cosAsinC,

.?.sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC

sin(A+C)=4cosAsinC,

即sinB=4cosAsinC

由正弦定理得SinB=^sinC,

c

故b-4ccosA...............................②

由①，②解得8=4。

評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提

高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈巧運用能力.另外提醒：兩綱中明確不

再考的知識和方法了解就行，不必強化訓(xùn)練。

18：解法一：

(I)

作M七〃CD交So于點E,那么ME〃/LB,MEJ"平面SAD

連接AE,那么四邊形ABME為直角梯形

作MELA3,垂足為F,那么AFME為矩形

設(shè)"E=x,那么SE=X,AE=?∣ED2+AD2=V(2-x)2+2

MF=AE=7(2-X)2+2,FB=I-X

2

由M尸=R3?tan60,Mλ∕(2-x)+2=√3(2-x)

解得x=l

即ME=1,從而ME=LoC

2

所以M為側(cè)棱SC的中點

(IDMB=NB-MC?=2,又NABM=60,AB=2,所以ΔABM為等邊三角形,

又由(I〕知M為SC中點

SM=e,SA=瓜AM=2,故SA2=S"+A”,NSMA=90

取AM中點G,連結(jié)BG,取SA中點H,連結(jié)GH,那么BG，AM,G"_LAV,由此知

ZBGH為二面角S-AM-B的平面角

連接BH,在ΔBG”中，

BG=-AM=y∕3,GH=-SM=-,BH=yjAB2+AH2=^L

2222

所以cosZBGH=BG+GH工BH-__76

2?BG?GH^3

二面角S-AM—6的大小為arccos(--)

解法二:

以D為坐標(biāo)原點，射線DA為X軸正半軸，建立如下圖的直角坐標(biāo)系D-XyZ

設(shè)A(√Σ,0,0),那么B(JΣ,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2)

(I)設(shè)SM=AMC(A)O),那么

2/2——二2—2

又而=(O,2,0),(MB,AB)-60

故MB?AB=|M3∣?∣AB∣cos60

即?=J(√2)2+(-^-)2+(-)2

1+2\1+21+2

解得；1=1,即而=標(biāo)

所以M為側(cè)棱SC的中點

(II)

由M(0,1,1),A(√2,0,0),得AM的中點G(—,?,?)

222

一J?31——-----r-

又GB=(學(xué),$-5),MS=(O,-1,1),AM=(-√2,1,1)

GB?^M=0,MS?AM=O

所以加人而,麗，府

因此(說,布)等于二面角S—AM—3的平面角

TTTGB?MS?/e

cos(GB,MS)=-———=------

?/?GB???MS?3

所以二面角S-AM-B的大小為arccos(一日)

總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半

壁江山的狀況。命題人在這里一定會照顧雙方的利益。

19：分析：此題較常規(guī)，比08年的概率統(tǒng)計題要容易。

需提醒的是：認(rèn)真審題是前提，局部考生由于考慮了前兩局的概率而導(dǎo)致失分，這是很

可惜的，主要原因在于沒讀懂題。

另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)。

解：記4表示事件：第i局甲獲勝，i=3,4,5

嗎表示事件：第j局乙獲勝，j=3,4

(I)記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利

因前兩局中，甲、乙各勝一局，故中獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲

先勝2局，從而

B=A7i?A4+?A4?A5+A7i?B4?A5

由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故

P(B)=P(A3?A4)+P(B3?A1?A5)+P(A3?3?4)

=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)

=0.6X0.6+0.4X0.6X0.6+0.6X0.4X0.6

=0.648

(IDJ的可能取值為2,3

由于各局比賽結(jié)果相互獨立，所以

P(^=2)=P(A3.A4+B3.B4)

=P(A,.A4)+P(B3.B4)

=P(A3).P(Λ)+P(B3).P(B4)

=0.6×0.6+0.4X0.4

=0.52

Pe=3)=1-P?=2)=1.0.52=0.48

專的分布列為

423

P0.520.48

EJ=2χPC=2)+3xP?=3)

=2X052+3×0.48

二2.48

20：解：(I)由得偽=%=ι,且&L=4L+-L

11n+1n2"

即%=d+-L

〃+1n2”

從而b2^b,+-

212

b3,=b2+/

2=2-1+擊(〃22)

工曰,

于Ztib”=b[,T---1-1—y1+H——1j-

"'2222"^'

-2-----r(〃—2)

2"^,

又bi=1

故所求的通項公式2=2-擊

(II)由(I)知a"="(2—?)=2"-

〃Lr?nU

Sz,=f(2左-布)=f(2k)-f市

k=?Nit=lk=l乙

而￡(2Q="(〃+1),又支與是一個典型的錯位相減法模型,

Λ=Ik=?2

日/曰v^,k/7+2_.八〃+2.

易得二F=4-三丁Sll=n(n+l)+---4

評析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國（一）試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯位相減法求

前n項和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和

一線教師重視教材和根底知識、根本方法根本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人

在有意識降低難度和求變的良苦用心。

21：分析：（I）這一問學(xué)生易下手。

將拋物線E：V=x與圓/：（8―4）2+>2=/”>0）的方程聯(lián)立，消去>2,整理得

%2-7%+16-r2-O(*)

拋物線E：V=x與圓加：。一4)2+^=產(chǎn)(r>0)相交于4、βc。四個點的

充要條件是：方程(*)有兩個不相等的正根即可.

Δ=(-7)2-4(16-r2)>0

由此得,xl+x2=7>0

2

xlx2=16-r>0

15,

解得一</<16

4

又r>0

考生利用數(shù)形結(jié)合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以.

(II)考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代入

的方法處理本小題是一個較好的切入點。

設(shè)E與M的四個交點的坐標(biāo)分別為：

,毒)、-嘉)、

A(Xl3(X],C(X2,-Λ∕Λ~)^D(x2,λ∕?)c

那么直線AC、JBo的方程分別為

'_嘉=R禽?(x-x∣),y+毒=?+禽.(Xf)