2022-2023學年河北省唐山市遵化石門鎮(zhèn)中學高二數(shù)學理模擬試卷含解析

2022-2023學年河北省唐山市遵化石門鎮(zhèn)中學高二數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)a，b為兩條不同的直線，為兩個不同的平面.下列命題中，正確的是（

）A．若則.B．若則C．若則D．若則參考答案：C在A中，若，，則與相交、平行或異面，故A錯誤；在B中，可以舉出反例，如圖示，在正方體中，令為，面為面，為，面為面，滿足，但是不成立，故B錯誤；在C中，因為，所以由可得，在平面內(nèi)存在一條直線，使得，因為，所以，所以，故C正確；在D中，若，，，則由面面垂直的判定定理得，故D錯誤；故選C.

2.設(shè)命題：方程的兩根符號不同；命題：方程的兩根之和為3，判斷命題“”、“”、“”、“”為假命題的個數(shù)為

(

)A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C3.命題，則命題的否定是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.已知函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）

不確定

參考答案：C略5.已知函數(shù)有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A-1<a<2

B

-3<a<6

C

a<-3或a>6

Da≤-3或a≥6

參考答案：C略6.已知雙曲線的焦點在x軸上，焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線x﹣2y+1=0平行，則雙曲線的標準方程為（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)雙曲線的標準方程為（a＞0，b＞0），由2c=2，則c=，由雙曲線的一條漸近線與直線x﹣2y+1=0平行，即=，c2=a2+b2，即可求得a和b的值，即可求得雙曲線的標準方程．【解答】解：由題意可知：設(shè)雙曲線的標準方程為（a＞0，b＞0），由2c=2，則c=，雙曲線的一條漸近線與直線x﹣2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，∴雙曲線的標準方程為：，故選A．【點評】本題考查雙曲線的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B為整數(shù)集，則A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}參考答案：D【考點】交集及其運算．【分析】由題意，可先化簡集合A，再求兩集合的交集．【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B為整數(shù)集，故A∩B={﹣1，0，1，2}故選D．8.如圖，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為A.1

B.

C.

D.參考答案：D略9.若關(guān)于x的方程有一個正根和一個負根，則實數(shù)a的取值范圍為(A)≤≤

(B)<<

(C)≤≤

(D)<<參考答案：D略10.已知集合A={1，﹣1}，B={1，0，﹣1}，則集合C={a+b|a∈A，b∈B}中元素的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：D【考點】15：集合的表示法．【分析】當a=1時，b=1、0、﹣1，則a+b=2、1、0；當a=﹣1時，b=1、0、﹣1，則a+b=0、﹣1、﹣2；從而列舉出集合C中的元素即可．【解答】解：當a=1時，b=1、0、﹣1，則a+b=2、1、0；當a=﹣1時，b=1、0、﹣1，則a+b=0、﹣1、﹣2；集合C={a+b|a∈A，b∈B}={﹣2，﹣1，0，1，2}故選：D．【點評】本題考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知：sin230°+sin290°+sin2150°=sin25°+sin265°+sin2125°=通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題：____________________。參考答案：sin2α+sin2(α+60°)+sin2（α+120°）=或sin2(α-60°)+sin2α+sin2α（α+60°）=.略12.

已知的展開式中x的系數(shù)為19，求的展開式中的系數(shù)的最小值．．參考答案：解：．由題意，．項的系數(shù)為．，根據(jù)二次函數(shù)知識，當或10時，上式有最小值，也就是當，或，時，項的系數(shù)取得最小值，最小值為81．13.函數(shù)f（x）=lnx﹣|x﹣2|的零點的個數(shù)為．參考答案：2函數(shù)f（x）=lnx﹣|x﹣2|的零點的個數(shù)，即函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=|x﹣2|圖象的交點個數(shù)，在同一坐標系中畫出函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=|x﹣2|圖象如下圖所示：由圖可得函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=|x﹣2|圖象有兩個交點，所以函數(shù)的零點個數(shù)為2，故答案為：214.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為______________.參考答案：略15.將正奇數(shù)按一定規(guī)律填在5列的數(shù)表中，則第51行，自左向右的第3列的數(shù)是

1357

151311917192123

31292725……………………參考答案：

40516.以三棱柱的頂點為頂點共可組成________個不同的三棱錐？參考答案：12

略17.已知數(shù)列{an}的首項a1=m，其前n項和為Sn，且滿足Sn+Sn+1=3n2+2n，若對?n∈N+，an＜an+1恒成立，則m的取值范圍是．參考答案：（﹣2，）【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】Sn+Sn+1=3n2+2n，n=1時，2a1+a2=5，解得a2．n≥2時，利用遞推關(guān)系可得：an+1+an=6n﹣1，于是an+1﹣an﹣1=6，因此數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，對n分類討論即可得出【解答】解：∵Sn+Sn+1=3n2+2n，∴n=1時，2a1+a2=5，解得a2=5﹣2m．n≥2時，Sn﹣1+Sn=3（n﹣1）2+2（n﹣1），∴an+1+an=6n﹣1，∴an+an﹣1=6n﹣7，∴an+1﹣an﹣1=6，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，a2k=5﹣2m+6（k﹣1）=6k﹣1﹣2m，a2k﹣1=m+6（k﹣1）=6k+m﹣6．∵對?n∈N*，an＜an+1恒成立，∴n=2k﹣1時，6k+m﹣6＜6k﹣1﹣2m，解得m＜．n=2k時，6k﹣1﹣2m＜6（k+1）+m﹣6，解得：m＞﹣2．綜上可得m的取值范圍是：﹣2＜m＜．故答案為：（﹣2，）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）某校為了探索一種新的教學模式，進行了一項課題實驗，甲班為實驗班，乙班為對比班，甲乙兩班的人數(shù)均為50人，一年后對兩班進行測試，測試成績的分組區(qū)間為[80，90）、[90，100）、[100，110）、[110，120）、[120，130），由此得到兩個班測試成績的頻率分布直方圖：（Ⅰ）完成下面2×2列聯(lián)表，你能有97.5%的把握認為“這兩個班在這次測試中成績的差異與實施課題實驗有關(guān)”嗎？并說明理由；

成績小于100分成績不小于100分合計甲班a=_________b=_________50乙班c=24d=2650合計e=_________f=_________100（Ⅱ）現(xiàn)從乙班50人中任意抽取3人，記ξ表示抽到測試成績在[100，120）的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ．附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.2046.6357.87910.828參考答案：（Ⅰ）a=12，b=38，e=36，f=64,

………………2分，……………………4分，∴有97.5%的把握認為這兩個班在這次測試中成績的差異與實施課題實驗有關(guān).…6分（Ⅱ）乙班測試成績在[100，120）的有25人，可取0，1，2，3，……8分的分布列是0123

………………（12分）．

………………（14分）

19.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，側(cè)面APD為等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，E為棱PC上的一點．（1）求證：PA⊥DE；（2）在棱PC上是否存在一點E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值為﹣，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】幾何法：（1）推導(dǎo)出CD⊥平面PAD，從而PA⊥CD，進而PA⊥平面PCD，由此能證明PA⊥DE．（2）取AD的中點O，連接PO，CO，設(shè)CO與BD交于點F．推導(dǎo)出CD⊥平面ABCD，從而∠EFO是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出棱PC上存在一點E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值為，并且．向量法：（1）取AD的中點O，連接PO，OB，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PA⊥DE．（2）求出平面BDA的一個法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出棱PC上存在一點E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值為，并且．【解答】（本小題滿分12分）幾何法：證明：（1）∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD∴CD⊥平面PAD（面面垂直的性質(zhì)定理），∴PA⊥CD（線面垂直的定義），又∵PA⊥PD，CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD（線面垂直的判定定理）∴PA⊥DE（線面垂直的定義）．解：（2）如圖，取AD的中點O，連接PO，CO，設(shè)CO與BD交于點F．等腰直角三角形PAD中，PO⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴CD⊥平面ABCD（面面垂直的性質(zhì)定理）．∴PO⊥CO，PO⊥BD（線面垂直的定義）由題意知四邊形BCDO是正方形，CO⊥BD，∴BD⊥平面POC（線面垂直的判定定理），∴BD⊥EF（線面垂直的定義），∴∠EFO是二面角E﹣BD﹣A的平面角，∴，∴，由題意知PO=1，，∴注意到直角△POC中，，∴∠EFC+∠ECF=90°，即EF⊥CE，∴，∴，即．故棱PC上存在一點E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值為，并且．向量法：證明：（1）取AD的中點O，連接PO，OB∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴CD⊥平面ABCD（面面垂直的性質(zhì)定理），由題意知四邊形BCDO是正方形，OA⊥OB∴可如圖建立空間直角坐標系，則P（0，0，1），C（﹣1，1，0），A（1，0，0），D=（﹣1，0，0），，，，∵E為棱PC上的一點，∴可設(shè)．∴∴，∴，即PA⊥DE．解：（2）平面BDA的一個法向量為，設(shè)平面BDE的法向量為，由（1），∴??，令x0=1，則y0=﹣1，，即面BDE的一個法向量，∴，整理得3λ2﹣4λ+1=0，解得或λ=1．∵λ∈（0，1），∴．故棱PC上存在一點E，使得二面角E﹣BD﹣A的余弦值為，并且．【點評】本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．20.已知,函數(shù).（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線的斜率；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）是否存在的值，使得方程有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.參考答案：略21.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD（Ⅰ）求證：AD∥平面PBC（Ⅱ）求證：AC⊥平面PDB．參考答案：【考點】LW：直線與平面垂直的判定；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）利用線面平行的判定定理，由線線平行?線面平行．（Ⅱ）由線面垂直得AC⊥PD，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由此能證明AC⊥平面PBD．【解答】解：（Ⅰ）證明：∵底面ABCD為正方形，∴AD∥BC，又∵AD?平面PBC，BC?平面PBC，∴AD∥平面PBC．（Ⅱ）證明：∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，∴AC⊥PD，又∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD，而PD與BD交于點D，∴AC⊥平面PBD，【點評】本題考查了線線垂直、線面垂直，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．屬于中檔題22.求滿足下列條件的點的軌跡方程①已知動圓過定點P（1，0）且與直線相切，求動圓圓心M的軌跡方程。②已知△ABC的周長為1