電路與電子技術(shù)-正弦穩(wěn)態(tài)分析

第5章正弦穩(wěn)態(tài)分析5.1基爾霍夫定律的相量式

5.2歐姆定律的相量式,阻抗及導(dǎo)納

5.3簡(jiǎn)單交流電路的計(jì)算5.4交流電路的功率5.5正弦穩(wěn)態(tài)的功率傳輸5.6正弦電路中的諧振習(xí)題5

精選ppt5.1基爾霍夫定律的相量式 在交流電路中，對(duì)任何一瞬時(shí)而言，基爾霍夫定律都成立，用瞬時(shí)值表示為 對(duì)圖5.1中的節(jié)點(diǎn)A而言，應(yīng)有

i1-i2+i3=0

〔5.1〕精選ppt圖5.1節(jié)點(diǎn)電流精選ppt 由于在正弦交流電路中，所有鼓勵(lì)和響應(yīng)都是同頻率的正弦時(shí)間函數(shù)，因此可以用相應(yīng)的相量表示為 根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法那么可知：各正弦電流旋轉(zhuǎn)相量的虛部的代數(shù)和等于所有旋轉(zhuǎn)相量的代數(shù)和的虛部，于是上式可改寫成

精選ppt 顯然,上式就是節(jié)點(diǎn)電流瞬時(shí)值的相量式。推廣后的一般表示式為

式(5.2)說明流入電路中任一節(jié)點(diǎn)電流相量的代數(shù)和恒等于0。 同理可得到基爾霍夫電壓定律的相量式： 〔5.3〕〔5.2〕精選ppt5.2歐姆定律的相量式,阻抗及導(dǎo)納 1.單參數(shù)交流電路的歐姆定律及阻抗 元件C和L上的電壓電流瞬時(shí)值關(guān)系式為 可見它們不存在類似電阻元件具有的歐姆定律的關(guān)系。R、L、C用相量式表示的歐姆定律為

〔5.4〕精選ppt

上三式各分母項(xiàng)都具有阻礙電流通過的作用，它們的單位都是歐姆。為了統(tǒng)一表示上述關(guān)系，引入復(fù)數(shù)Z，稱為復(fù)數(shù)阻抗，簡(jiǎn)稱復(fù)阻抗。對(duì)于不同的電路，復(fù)阻抗具有不同的意義。例如對(duì)電阻元件有Z=R，對(duì)電容元件有Z=-jXC，對(duì)電感元件有Z=jXL，于是式(5.4)、(5.5)和(5.6)可統(tǒng)一表示為〔5.7〕精選ppt 2.多參數(shù)交流電路的歐姆定律及阻抗 實(shí)際電路往往由假設(shè)干不同性質(zhì)的元件組成。下面以圖5.2所示的RLC串聯(lián)電路為例，推導(dǎo)出它們的歐姆定律的相量式及阻抗表達(dá)式。精選ppt圖5.2RLC串聯(lián)電路(a)電路圖；(b)相量模型圖精選ppt 由KVL知

u=uR+uL+uC 相量式為 把式(5.4)、(5.5)和(5.6)代入上式，得到 式中,〔5.8〕〔5.9〕精選ppt 有時(shí)需要把復(fù)阻抗寫成指數(shù)形式： Z=R+jX=zejφ〔5.10〕 式中,〔5.11〕精選ppt圖5.3阻抗三角形精選ppt 由式(5.11)知,R、X及z三者的關(guān)系可用直角三角形表示，如圖5.3所示。 該三角形稱為阻抗三角形。這里小寫字母z表示復(fù)阻抗的模、簡(jiǎn)稱阻抗；φ是復(fù)阻抗的輻角，或稱為阻抗角。 假設(shè)電壓相量是,電流相量是,那么復(fù)阻抗(5.10)精選ppt 式中, 當(dāng)電抗值不同時(shí)，電路呈現(xiàn)出以下三種不同的特征： (1)當(dāng)X>0時(shí)，說明感抗大于容抗，電路呈現(xiàn)電感性，φ>0，此時(shí)電壓相位超前于電流。 (2)當(dāng)X<0時(shí)，說明容抗大于感抗，電路呈現(xiàn)電容性，φ<0，此時(shí)電流相位超前于電壓。 (3)當(dāng)X=0時(shí)，說明感抗和容抗的作用相等，即XL=XC，電壓與電流同相，φ=0，此時(shí)電路如同純電阻電路一樣，這樣的情況稱為諧振。有關(guān)諧振問題將在后面討論。〔5.13〕精選ppt 例5.1電路如圖5.2(b)所示，其中R=4Ω，XL=3Ω，XC=6Ω，電源電壓=100∠0°V，試求電路的電流相量及各元件上的電壓，并畫出相量圖。 解復(fù)阻抗為 Z=R+j(XL-XC)=4+j(3-6)=4-j3=5∠-36.9°Ω 電流為 各元件上的分電壓為

精選ppt 各元件的相量和為精選ppt

圖5.4例5.1相量圖(a)電壓電流相量關(guān)系；(b)各電壓相量；(c)阻抗三角形精選ppt 3.導(dǎo)納

比較方便。下面按圖5.5所示的RLC并聯(lián)電路，引出導(dǎo)納的概念及關(guān)系式。精選ppt圖5.5RCL并聯(lián)電路精選ppt 設(shè)外加正弦電壓為 u=Umsin(ωt+φu)假設(shè)各支路電流分別為iR、iL和iC，那么總電流i為 i=iR+iL+iC 上式對(duì)應(yīng)的相量式為 因?yàn)?/p>

精選ppt 得到 即(5.14)(5.15)精選ppt 式(5.15)是歐姆定律的又一種相量表示式。式(5.14)中幾個(gè)符號(hào)的名稱和關(guān)系如下，其單位都是西門子(S)。 電導(dǎo) 電感電納 電容電納精選ppt 電納 復(fù)導(dǎo)納 Y=G-jB 復(fù)導(dǎo)納Y不是相量，所以符號(hào)上不加“·〞，只用大寫字母表示。精選ppt 復(fù)導(dǎo)納的指數(shù)形式表示為 式中, 由式(5.17)可知，G、B和y三個(gè)量的關(guān)系也可用直角三角形表示，稱為導(dǎo)納三角形，如圖5.6所示。

〔5.16〕〔5.17〕精選ppt圖5.6導(dǎo)納三角形精選ppt 就一段無源支路而言，既可以用復(fù)阻抗表示，也可以用復(fù)導(dǎo)納表示。一段無源支路在同樣電壓下取得相同電流時(shí)，復(fù)導(dǎo)納Ｙ與復(fù)阻抗Ｚ互為倒數(shù)，即有 從式(5.18)可以看出: φ=-φ′〔5.19〕 即阻抗角和導(dǎo)納角等值異號(hào)。精選ppt5.3簡(jiǎn)單交流電路的計(jì)算 1.阻抗串聯(lián)電路 如圖5.7所示，有n個(gè)復(fù)阻抗串聯(lián)。精選ppt圖5.7阻抗串聯(lián)電路精選ppt 假設(shè)每個(gè)阻抗元件的參數(shù)是 Z1=R1+jX1 Z2=R2+jX2 …= Zn=Rn+jXn每個(gè)阻抗元件都應(yīng)服從歐姆定律的相量形式，即有精選ppt 從式(5.20)知總電阻、總電抗和總復(fù)阻抗分別為

R=R1+R

2+:+R

n=

X=X

1+X2+:+Xn=

Z=Z

1+Z2+:+Zn= 串聯(lián)電路中各元件上的電壓分別是〔5.21〕〔5.22〕精選ppt 例5.2電路如圖5.8所示，電流相量=5∠0°A，電容電壓UC=25V，阻抗Z1=(7.07+j12.07)Ω。求電路的總阻抗Z與端電壓。 解電路中的容抗為 電路中的總阻抗為 電壓相量為

精選ppt圖5.8例5.2電路圖精選ppt 2.阻抗并聯(lián)電路 有n個(gè)阻抗并聯(lián)，如圖5.9所示。 每個(gè)阻抗的參數(shù)分別是：

Z1=R1+jX

1

Z2=R2+jX2 …

Zn=Rn+jX

n 每個(gè)阻抗元件上電壓電流關(guān)系都應(yīng)服從歐姆定律，即

精選ppt圖5.9阻抗并聯(lián)電路精選ppt

由KCL知精選ppt 式中的Y為并聯(lián)電路總的復(fù)導(dǎo)納： Y=Y1+Y2+:+Yn= 當(dāng)只有兩個(gè)復(fù)阻抗并聯(lián)時(shí)，有

〔5.24〕〔5.25〕

精選ppt 3.阻抗串并聯(lián)電路 例5.3如圖5.10(a)所示電路中，L=20mH，C=10μF，R1=50Ω，R2=30Ω，=150∠0°V，ω=1000rad/s。求各支路電流并畫出相量圖。

精選ppt圖5.10例5.3電路圖(a)電路；(b)相量圖精選ppt 解容抗和感抗為

X

L=ωL=1000×20×10-3=20Ω 并聯(lián)支路阻抗

Z2=R2+jωL=30+j20Ω 總阻抗

Z=Z1+Z2=(40-j20)+(30+j20)=70Ω精選ppt 各支路電流為精選ppt 4.相量分析法的一般解題步驟 應(yīng)用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的一般步驟如下： (1)將電壓、電流寫成相應(yīng)的相量形式。 為了運(yùn)算或畫圖方便，一般選取初相為0的相量為參考相量；假設(shè)相量中初相均不為0，那么可根據(jù)題意任選一個(gè)相量為參考相量。 (2)把電路參數(shù)寫成相應(yīng)的復(fù)阻抗或復(fù)導(dǎo)納形式，并畫出它們的相量模型電路圖。

精選ppt 一般串聯(lián)電路或僅含有兩條支路的并聯(lián)電路以復(fù)阻抗形式表示比較簡(jiǎn)便，多支路并聯(lián)電路以復(fù)導(dǎo)納形式表示比較簡(jiǎn)便。 (3)根據(jù)相量模型電路圖，應(yīng)用基爾霍夫定律的相量式，列出相應(yīng)的相量方程進(jìn)行相量運(yùn)算。 在運(yùn)算中，假設(shè)能畫出它們的相量圖，那么可以幫助了解各相量之間的幾何關(guān)系，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過程。 (4)將求解出的相量式變換成相應(yīng)的正弦函數(shù)的瞬時(shí)值表達(dá)式。精選ppt 5.復(fù)雜交流網(wǎng)絡(luò)的分析交流復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的求解需要用第2章的所有定理和方法，例如支路電流法、網(wǎng)孔電流法、疊加原理、電壓源與電流源的等效變換以及戴維南定理等等。精選ppt5.4交流電路的功率 5.4.1根本元件的功率 1.電阻元件的功率 設(shè)電阻元件R上的端電壓u為 u=Umsin(ωt+φ) 那么流過R的電流為 i=Imsin(ωt+φ)精選ppt 那么，電阻R上的瞬時(shí)功率p為 p=u·i=UmImsin+2(ωt+φ) =UI［1-cos2(ωt+φ)］ =UI-UIcos２(ωt+φ) 圖5.11所示。由于u和i同相,因此瞬時(shí)功率恒為正，這說明電阻是個(gè)耗能元件。衡量電阻元件消耗功率的大小，用瞬時(shí)功率在一個(gè)周期的平均值，稱為平均功率或有功功率，單位是瓦〔W〕或千瓦〔kW〕，用大寫字母P表示，即〔5.26〕〔5.27〕精選ppt圖5.11電阻元件的功率(a)電路模型；(b)波形圖精選ppt 2.電感元件的功率 設(shè)電感元件中的電流和端電壓分別為i=Imsinωt和u=Umsin(ωt+π/2)，那么電感元件的瞬時(shí)功率為 如圖5.12所示。精選ppt圖5.12電感元件的功率(a)電路模型；(b)波形圖精選ppt 電感元件的平均功率

〔5.28〕 為了衡量能量交換的規(guī)模，取其瞬時(shí)功率的最大值來表示，稱為無功功率，單位是乏〔var〕或千乏〔kvar〕，用字母QL表示，即

〔5.29〕精選ppt 從第3章式(3.12)知電感的儲(chǔ)能為 平均儲(chǔ)能為〔5.30〕精選ppt 3.電容元件的功率 對(duì)電容元件的分析過程和電感元件相同。設(shè)電容元件中的電流和端電壓分別為uC=UCmsinωt和iC=Imsin(ωt+π/2)，那么電容元件的瞬時(shí)功率為如圖5.13所示。精選ppt圖5.13電容元件的功率(a)電路模型；(b)波形圖精選ppt 電容元件的平均功率 為了衡量能量交換的規(guī)模，取其瞬時(shí)功率的最大值來表示，稱為無功功率，單位也是乏〔var〕，用字母QC表示，即

〔5.31〕〔5.32〕精選ppt 由第3章式(3.6)知電容的儲(chǔ)能為 平均儲(chǔ)能為

5.4.2二端網(wǎng)絡(luò)的功率和功率因數(shù) 圖5.14(a)所示為一線性無源二端網(wǎng)絡(luò)?！?.33〕精選ppt圖5.14無源二端網(wǎng)絡(luò)的功率(a)電路模型；(b)波形圖精選ppt 為討論問題簡(jiǎn)便起見，設(shè) i=Imsinωt u=Umsin(ωt+φ) 那么二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率為 p=u·i=2UmImsinωtsin(ωt+φ)=UI［cosφ(1-cos2ωt)+sinφsin2ωt］=UIcosφ(1-cos2ωt)+UIsinφ(sin2ωt)〔5.34〕 式(5.34)說明二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率為2個(gè)分量的疊加。第一項(xiàng)始終為正，它表示二端網(wǎng)絡(luò)從電源吸取的功率(其實(shí)就是電路中所有電阻R上消耗的功率之和)，其平均值為精選ppt

上式是計(jì)算正弦交流電路有功功率的一般公式。cosφ稱為功率因數(shù);角φ稱為功率因數(shù)角，其大小由電路的參數(shù)、頻率和結(jié)構(gòu)決定。對(duì)于純電阻電路，φ=0，cosφ=1，P=UI；對(duì)于純電容或純電感電路，φ=±π/2，cosφ=0，P=0；一般情況下，0≤φ≤1，cosφ≤1，P≤UI。式〔5.34〕的第二項(xiàng)表示二端網(wǎng)絡(luò)中的電抗元件與電源之間能量交換的速率，其振幅為UIsinφ，它表示二端網(wǎng)絡(luò)與外電路能量交換的規(guī)模，定義其為無功功率，用Q表示：〔5.35〕〔5.36〕精選ppt 電路中總的無功功率等于各電感元件和各電容元件的無功功率的代數(shù)和，即 在交流電路中，把電壓有效值與電流有效值的乘積UI稱為視在功率或設(shè)備容量，用字母S表示，單位是伏安(V·A)或千伏安(kV·A)，即 S=UI〔5.38〕〔5.37〕精選ppt 二端網(wǎng)絡(luò)的有功功率P與視在功率S的關(guān)系為 P=UIcosφ=Scosφ〔5.39〕 一般交流用電設(shè)備，如發(fā)電機(jī)、變壓器等都是按照平安運(yùn)行規(guī)定的額定電壓UN和額定電流IN運(yùn)行的，所以把UN和IN的乘積稱為額定視在功率，用SN表示，即 SN=UNIN〔5.41〕〔5.40〕精選ppt

SN表示了電源設(shè)備可能提供的最大有功功率，該功率也稱為額定容量，簡(jiǎn)稱容量。 有功功率P、無功功率Q、視在功率S之間的關(guān)系可用圖5.15的三角形表示，該三角形稱為功率三角形。精選ppt圖5.15功率三角形精選ppt 從功率三角形可看出

P=UIcosφ=Scosφ

Q=UIsinφ=Ssinφ

S2=P

2+Q2

S=

φ=arctan〔5.42〕精選ppt 5.4.3復(fù)功率 把功率三角形放在復(fù)平面里，用復(fù)數(shù)來表示的功率稱為復(fù)功率，用表示: 例5.4電路如圖5.16所示，電源頻率為50Hz，電壓為220V，求： (1)電路的功率因數(shù)cosφ，電路消耗的有功功率P，無功功率Q； (2)在電路a,b端并入一個(gè)80μF的電容后，電路的功率因數(shù)?！?.43〕精選ppt圖5.16例5.4電路圖精選ppt 解(1)電路的阻抗為 Z=4+16+j20=20+j20=20∠45°Ω 功率因數(shù)為 cosφ=cos45°=0.707 設(shè)電源電壓相量=220∠0°V,那么電路的電流為 有功功率P為 P=IUcosφ=7.78×220×0.707=1210W 無功功率Q為 Q=UIsinφ=7.78×220×0.707=1210var精選ppt (2)并入一個(gè)80μF的電容后，電容的阻抗為 電路的總阻抗變?yōu)? 功率因數(shù)cosφ為 cosφ=cos11.3°=0.98精選ppt5.5正弦穩(wěn)態(tài)的功率傳輸 如圖5.17所示電路，設(shè)負(fù)載Z=R+jX，電源為=U0∠0°，電源的內(nèi)阻抗為Z0=r0+jX

0。精選ppt圖5.17電路模型圖精選ppt 由電路圖知

電流的有效值為 負(fù)載獲得的功率為

精選ppt 由上式可知，假設(shè)r不變，僅改變X，那么為了獲得最大功率，應(yīng)使 X+X0=0 即X=-X0 這時(shí)電路變?yōu)榧冸娮桦娐?，其功率? 在X=-X0的條件下，改變R使負(fù)載獲得最大傳輸功率的條件應(yīng)該是

從而可得出R=r0。精選ppt 綜上所述，負(fù)載獲得最大功率的條件是 R=r0及X=-X0〔5.44〕 用復(fù)數(shù)形式可以寫成 Z=Z*0〔5.45〕 即負(fù)載阻抗為電源內(nèi)阻抗的共軛值時(shí)〔或稱負(fù)載阻抗與電源或信號(hào)源相匹配，這種匹配也稱為共軛匹配〕，負(fù)載可獲得最大傳輸功率，其最大功率為〔5.46〕精選ppt 例5.5如圖5.18(a)所示，假設(shè)ZL中的RL和XL均可改變，那么ZL等于多少時(shí)，負(fù)載才能獲得最大功率?最大功率為多少？圖5.18例5.5電路圖精選ppt 解首先可求出ZL端口的戴維南等效電路，如圖5.18(b)所示。等效內(nèi)阻抗為 等效電源為 所以，ZL獲得最大功率的條件是

ZL=Z*0=1.2-j0.4Ω精選ppt

ZL獲得的最大功率為精選ppt5.6正弦電路中的諧振 5.6.1串聯(lián)電路的諧振 在圖5.19所示的RLC串聯(lián)電路中，電路的總阻抗為精選ppt圖5.19RLC串聯(lián)電路精選ppt 當(dāng)ωL-1/(ωC)=0時(shí)，Z=R，阻抗角φ=0，電壓與電流同相。這種狀態(tài)稱為串聯(lián)諧振，其特點(diǎn)如下： (1)阻抗為純電阻，且為最小值。 設(shè)諧振時(shí)的阻抗為Z0，那么(2)電流為最大值。 設(shè)諧振時(shí)的電流為，那么精選ppt (3)諧振頻率為 諧振時(shí)有 那么

〔5.47〕精選ppt (4)電感和電容上的電壓相等，且為鼓勵(lì)源電壓的Q倍。由于調(diào)諧時(shí) 因此〔5.48〕精選ppt 其中, 5.6.2并聯(lián)電路的諧振 在圖5.20所示的RLC并聯(lián)電路中，其回路導(dǎo)納Y為精選ppt圖5.20RLC并聯(lián)電路精選ppt (1)回路導(dǎo)納為純電阻性，且為最小值。 設(shè)諧振時(shí)的導(dǎo)納為Y0，那么 Y=Y0=G-jB= 由于Y0為最小值，因此Z0為最大值。當(dāng)電路的品質(zhì)因數(shù)Q=很大時(shí)，有Z=Z0= (2)電壓為最大值。 設(shè)諧振時(shí)的電壓為U0，那么 由于IS恒定，Z0為最大，因此U0為最大值。精選ppt (3)諧振頻率為 由于諧振時(shí) 因此可求出精選ppt (4)電感和電容上的電流大小、相位相反，且為鼓勵(lì)電流的Q倍。由于 因此當(dāng)Q值較大時(shí)，有精選ppt習(xí)題5 1.試求題圖5.1所示各電路的輸入阻抗Z和導(dǎo)納Y。精選ppt題圖5.1精選ppt 2.題圖5.2所示電路中=2∠0°A，求電壓，并作出電路的相量圖。題圖5.2精選ppt 3.電路如題圖5.3所示，試求 和，并畫出表示它們關(guān)系的相量圖。題圖5.3精選ppt 4.電路如題圖5.4所示，=4∠0°A， =80+j200V，ω=10+3rad/s，求電容C。題圖5.4精選ppt 5.電路如題圖5.5所示，R=50Ω，L=2.5mH，C=5μF，=10∠0°V，ω=10+4rad/s，求 和,并畫出相量圖。題圖5.5精選ppt 6.電路如題圖5.6所示，Z2=j60Ω，各交流電表V,V1,