第4講 體積、面積、周長、角度、距離定值問題（含解析）

第4講體積、面積、周長、角度、距離定值問題一、單選題12023·全國·高三專題練習）棱長為1的正方體ABCD-A?B?C?D?中，若點P為線段A?B上的動點(不含端點)，則下列結(jié)論錯誤的是()A．平面A?D?P」平面AA?PB．四面體D?-B?CP的體積是定值C.△APD1可能是鈍角三角形D．直線D?P與AB所成的角可能為22023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學?？寄M預測）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱AD上的動點．給出以下四個命題：①A1B」PC1；②異面直線C1P與B1D1所成角的取值范圍為,；③有且僅有一個點P，使得BP」平面CC1P；④三棱錐B-PCC1的體積是定值.其中真命題的個數(shù)為()32024上·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學校聯(lián)考期中）已知正方體每條棱所在直線與平面a所成角相等，平面a截此正方體所得截面邊數(shù)最多時，截面的面積為S，周長為l，則()A．S不為定值，l為定值B．S為定值，l不為定值C．S與l均為定值D．S與l均不為定值42023上·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M,N分別是棱A1B1,A1D1的中點，點E在BD上，點F在B1C上，且BE=CF，點P在線段CM上運動，下列說法正確的是()A．三棱錐N-CME的體積不是定值B．直線B1D1到平面CMN的距離是52023上·河北承德·高三承德市雙灤區(qū)實驗中學?？茧A段練習）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段B1D1，BC1上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是A．DB1平面ACD1B．直線AE與平面BB1D1D所成角的正弦值為定值C．平面A1C1B//平面ACD1D．點F到平面ACD1的距離為定值二、多選題62024·全國·高三專題練習）已知邊長為2的等邊三角形ABC，點M,N均在平面ABC的上方，AM=3AN=3，且AM,AN與平面ABC所成角分別為,，則下列說法中正確的是()A四面體ABCM的體積為定值BΔAMN面積的最小值為C．四面體ABMN體積的最大值為1D．當四面體ABMN的體積最大時，其外接球的表面積為14π72023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P滿足C．當λ+μ=1，且λ、μ均非零時，BP//CD1D．當λ+μ=時，四棱錐P-A1BCD1的體積恒為定值82023上·江蘇南通·高三海安高級中學?？茧A段練習）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是AB,BC的中點，P,Q是線段A1C1上的兩個動點，且PQ=1，以A為頂點的三條棱長都是1，A．EF//平面A1C1DC．三棱錐B-PQE的體積是定值D．三棱錐A1-ABD的外接球的表面積是92023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學校聯(lián)考階段練習）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,動點P在直線CD1上運動,以下四個命題正確的是()A．BD⊥APB．四棱錐P-ABB1A1的體積是定值C．若M為BC的中點,則=2-AC1102023·全國·模擬預測）如圖，正方體ABCDA,B,C,D,的棱長為1，分別是棱AA,，CC,的中點過直線EF的平面分別與棱BB,，DD,交于點M，N，則下列說法中正確的是()A．四邊形MENF定是菱形B．四邊形MENF一定是平行四邊形，但不一定是菱形C．四棱錐AMENF的體積為定值D．四棱錐AMENF的體積不為定值，但存在最值112023·浙江·統(tǒng)考一模）正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點（不含端點且AE=BF，則()A．A1F與AD的距離是定值B．存在點F使得A1F和平面ACD1平行C．A1FC1ED．三棱錐B1BEF的外接球體積有最小值122023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習）在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為棱AD上的動點，則()ABPCABPCB．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為30C．有且僅有一個點P，使得BP平面CC1PD．三棱錐BPCC1的體積是定值132022上·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校考階段練習）在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點P是線段AD1上的動點，則下列命題正確的是()66A．異面直線C1P與CB1所成角的大小為定值B．三棱錐D-BPC1的體積是定值C．直線CP和平面ABC1D1所成的角的大小是定值D．若點Q是線段BD上動點，則直線PQ與A1C不可能平行142024上·山西·高三統(tǒng)考期末）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點，過點E，F(xiàn)的平面分別與棱BB1，DD1交于點G，H，則下列說法正確的是()A．四邊形EGFH的面積的最小值為1B．平面EGFH與平面ABCD所成角的最大值為60。C．四棱錐C1-EGFH的體積為定值2D．點B1到平面EGFH的距離的最大值為2 122則下列結(jié)論中正確的是()A．AC」BEB．EF//平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值D.ΔAEF的面積與△BEF的面積相等162023上·廣東汕頭·高三金山中學?？茧A段練習）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，E是棱DD1的動點，則下列說法正確的是()A．若E為DD1的中點，則直線B1E//平面A1BDB．三棱錐C1-B1CE的體積為定值a3C．E為DD1的中點時，直線B1E與平面CDD1C1所成的角正切值為D．過點B1,C,E的截面的面積的范圍是|L2a2,G分別是棱BC，AC，AD上的動點，且滿足AB，CD均與面EFG平行，則()A．直線AB與平面ACD所成的角的余弦值為B．四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值1D四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為182023上·廣西柳州·高三柳州高級中學校考階段練習）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E,F，且EF=，則下列結(jié)論中正確的是()A．EF//平面ABCD 4πB．直線BC1與平面ABCD 4πC.ΔAEF的面積與△BEF的面積相等D．三棱錐A-BEF的體積為定值192022上·福建福州·高三?？茧A段練習）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱AA1、CC1的中點，過點E、F的平面分別與棱BB1、DD1交于點G、H，則下列命題正確的是()A．平面EGFH與平面ABCD所成角的最大值為45。B．四邊形EGFH的面積的最小值為1C．四棱錐C1-EGFH的體積為定值D．點B1到平面EGFH的距離的最大值為202023·浙江溫州·樂清市知臨中學校考二模）已知拋物線C:y2=x的焦點為F，準線交x軸于點D，過點F作傾斜角為θ(θ為銳角）的直線交拋物線于A,B兩點（其中點A在第一象限）.如圖，把平面ADF沿x軸折起，使平面ADF平面BDF，則以下選項正確的為()A．折疊前ΔABD的面積的最大值為B．折疊前DF平分ZADBC．折疊后三棱錐VB-ADF體積為定值D．折疊后異面直線AD,BF所成角隨θ的增大而增大212023上·江蘇鹽城·高三?？茧A段練習）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=4，點E、F分別為A,BC的中點，點P滿足=+μ,λe0,1],μe[0,1，則下列說法正確的是()A．若λ+μ=1，則四面體PEFD1的體積為定值B．若λ=,μ=，則C1P」平面EFD1C．若λ=1,μ=0，則四面體PCFD1的外接球的表面積為36πD．平面EFD1截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面的周長為++3222023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┮阎拿骟wABCD的棱長為2，其外接球的球心為O.點E滿足=(0<λ<1)，=(0<μ<1)，過點E作平面a行于AC和BD，平面a分別與該正四面體的棱BC，CD，AD相交于點M，G，H，則()A．四邊形EMGH的周長為定值B．四棱錐A-EMGH的體積的最大值為C．當λ=時，平面C截球O所得截面的周長為πD．當λ=μ=時，將正四體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)90。后與原四面體的公共部分體積為C分別交BB1，AB于點E，F(xiàn).下列說法正確的是()A．截面C是三角形B．截面C的周長為定值C．存在點M，使CF」CED．CF2+6CE2一2EF2為定值242023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預測）已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為2，P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列結(jié)論正確的是()B．存在點P，使得D1P」平面A1BC1C．若D1P」B1D，則P點在正方形底面ABCD內(nèi)的運動軌跡長為2D．若點P是AB的中點，點Q是BC的中點，經(jīng)過D1,P,Q三點的正方體的截面周長為2+3252021上·廣東深圳·高三紅嶺中學?？计谀┮阎庵鵄BC﹣A1B1C1的底面邊長為1，AA1=1，點P滿足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，下列選項正確的是()A．當λ=1時，△AB1P的周長為定值B．當μ=1時，三棱錐P﹣A1BC的體積為定值C．當λ=時，有且僅有兩個點P，使得A1P⊥BPD．當μ=時，有且僅有一個點P，使得A1B⊥平面AB1P262023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，ABCD一A,B,C,D,為正方體.任作平面C與對角線AC,垂直，使得C與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l.則()A．S為定值B．S不為定值C．l為定值D．l不為定值272023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知三棱錐P一ABC，PA=BC=2,PB=AC=PC=AB=3，D為棱PC上一點，且PD=λDC，過點D作平行于直線PA和BC的平面C，分別交棱PB,AB,AC于E,F,G．下列說法正確的是()A．四邊形DEFG為矩形B．四邊形DEFG的周長為定值C．四邊形的DEFG面積為定值D．當λ=1時，平面C分三棱錐P一ABC所得的兩部分體積相等282023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）在四面體ABCD中，AB=CD=2，AC=BD=5，AD=BC=，同時平行于AD,BC的平面C分別與棱AB,BD,CD,CA交于E,F,G,H四點，則()A．EF//ADB．BC」ADC．四邊形EFGH的周長為定值D．四邊形EFGH的面積最大值是3292023·江蘇·江蘇省木瀆高級中學校聯(lián)考模擬預測）如圖，四棱錐S平面ABCD，SA=AB，O，P分別是AC，SC的中點，M是棱SD上的動點，則下列選項正確的是()A．OM」PAB．存在點M，使OM//平面SBCC．存在點M，使直線OM與AB所成的角為30。D．點M到平面ABCD與平面SAB的距離和為定值302023上·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學?？计谀┤鐖D，已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為2,P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的一動點，則下列結(jié)論正確的是()A．存在點P，使得C1P」平面B1CD1C．當點P在棱CD上時，PA+PB1的最小值為2+2E,FD．若點P到直線BB1與到直線AD的距離相等，CD的中點為E，則點E,F312023·全國·模擬預測）如圖，在正方體ABCD一A,B,C,D,中，分別為CD,CC,上的一點，且滿足DE=λEC，C,F=λFC，設(shè)正方體ABCD一A,B,C,D,的體積為V1，幾何體ECFMBN的體積為V2，則下列結(jié)論正確的是()A．MN∥EFB．點F到平面BDD,的距離為定值322023上·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┤鐖D，已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為2，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的一動點，則下列結(jié)論正確的是()A．存在點P，使得A1P//平面B1CD1C．當點P在棱CD上時，PA+PB1的最小值為2+2D．若點P到直線BB1與到直線AD的距離相等，CD的中點為E，則點P到直線AE332023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預測）如圖所示，棱長為3的正方體ABCD一A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動點（不含端點則下列結(jié)論正確的是()A．D1P」AB1B．D1P與AC所成的角可能是C．AP.DC1是定值D．當A1P=2PB時，點C1到平面D1AP的距離為1342023上·云南昆明·高三云南民族大學附屬中學?？茧A段練習）如圖，在正方體ABCD一A1B1C1D1中，點P是AD1的中點，點Q是直線CD1上的動點，則下列說法正確的是()A.△PBD是直角三角形B．異面直線PD與CD1所成的角為C．當AB的長度為定值時，三棱錐D一PBQ的體積為定值D．平面PBD」平面ACD1352023上·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習）如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD一A1B1C1D1的表面上一個動點，則()A．當P在平面BCC1B1上運動時，三棱錐P一AA1D的體積為定值B．當P在線段AC上運動時，D1P與A1C1所成角的取值范圍是,C．若F是A1B1的中點，當P在底面ABCD上運動，且滿足PF」BD1時，PF長度的最小值是D．使直線AP與平面ABCD所成的角為45。的點P的軌跡長度為π+4362023上·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）在棱長為2的正方體ABCD一A1B1C1D1中，點E是棱BB1的中點，點F在底面ABCD內(nèi)運動（含邊界則()A．若F是棱CD的中點，則EF//平面A1BDB．若F在AC上運動，則EF」BD1C．若F在棱CD上運動，則四面體A1B1EF的體積為定值4D．若直線A1F，EF與底面ABCD所成的角相等，則點F372023上·江西·高三鷹潭一中校聯(lián)考期中）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E,F滿足AE=xAB+yAD,A1F=zA1D1，且x,y,ze(0,1).記EF與AA1所成角為C,EF與平面A．若x=，三棱錐E-BCF的體積為定值B．若z=，存在x=y，使得EF//平面BDD1B1C．vx,y,ze(0,1),C+β=D．若x=y=z=，則在側(cè)面BCC1B1內(nèi)必存在一點P，使得PE」PF第4講體積、面積、周長、角度、距離定值問題一、單選題12023·全國·高三專題練習）棱長為1的正方體ABCD一A?B?C?D?中，若點P為線段A?B上的動點(不含端點)，則下列結(jié)論錯誤的是()A．平面A?D?P」平面AA?PB．四面體D?一B?CP的體積是定值C.△APD1可能是鈍角三角形D．直線D?P與AB所成的角可能為【答案】D【解析】在正方體ABCD一A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動點（不含：D1A1平面A1D1P，:平面A1D1P」平面AA1P，故A正確；，CD1平面B1D1C，所以BP//平面B1D1C，因此四面體P一B1D1C的底面是確定的，高也是定值，其體積為定值，所以四面體D?一B?CP的體積是定值，故B正確；因為正方體的棱長為1，所以AD1=A1B=， 若P是A1B上靠近A1的一個四等分點，則A1P=1A 442因為D1P2+AP2<AD12，此時經(jīng)D1PA為鈍角，△APD1是鈍角三角形，故C正確；過P點作PQ//AB，交A1A于Q，正方體中AB」平面ADD1A1，則PQ」平面ADD1A1，，PQ」D1Q，直線D?P與AB所成的角為經(jīng)D1PQ，而tan=<，故D錯誤.故選：D.22023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學?？寄M預測）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱AD上的動點．給出以下四個命題：①A1B」PC1；②異面直線C1P與B1D1所成角的取值范圍為,；③有且僅有一個點P，使得BP」平面CC1P；④三棱錐B-PCC1的體積是定值.其中真命題的個數(shù)為()【答案】C【解析】以A1為坐標原點，分別以A1B1，A1D1，A1A所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如B」PC1，所以①正確；-------CP.BDaa-------CP.BDaa當a=0時，cos,=0，此時異面直線C1P與B1D1所成的角為；所以異面直線C1P與B1D1所成角的取值范圍為,|，綜上可知異面直線C1P與B1D1所成角的取值范圍為,，所以②正確；2-a因為方程a2-a+1=0無實數(shù)解，所以BP」CP不成立，所以③不正確；在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在AD上，且AD//平面BCC1B1，所以點P到平面BCC1B1的距離等于點D到平面BCC1B1的距離，因為DC」平面BCC1B1，所以三棱錐P-BCC1的高為DC，因為VB-PCC=VP-BCC=SΔBCCxDC=xx1x1x1=，所以④正確.故選：C.32024上·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學校聯(lián)考期中）已知正方體每條棱所在直線與平面a所成角相等，平面a截此正方體所得截面邊數(shù)最多時，截面的面積為S，周長為l，則()A．S不為定值，l為定值B．S為定值，l不為定值C．S與l均為定值D．S與l均不為定值【答案】A【解析】正方體的所有棱中，實際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，如圖：與面A1BD平行的面且截面是六邊形時滿足條件，不失一般性設(shè)正方體邊長為1，可得平面a與其他各面的交線都與此平面的對角線平行，即EF//A1B等設(shè) AB AB1 AB AB NEAE AEABAB∴EF+NE=λ+(1-λ)=，同理可得六邊形其他相鄰兩邊的和為，∴六邊形的周長l為定值3.°如上圖，當MNEFGH均為中點時，六邊形的邊長相等即截面為正六邊形時截面面積最大，截面面積為2DB平移到B1CD1的過程中，截面面積的變化過程是由小到大，再由大到小，故可得周長l為定值，面積S不為定值，故選：A.42023上·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習）如圖，在棱長為2的正方體ABCD一A1B1C1D1中，M,N分別是棱A1B1,A1D1的中點，點E在BD上，點F在B1C上，且BE=CF，點P在線段CM上運動，下列說法正確的是()A．三棱錐N一CME的體積不是定值B．直線B1D1到平面CMN的距離是C．存在點P，使得經(jīng)B1PD1=90?！敬鸢浮緾【解析】對于A，M,N分別是棱A1B1,A1D1的中點，則B1D1//MN，因為BB1//DD1，且BB1=DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，所以B1D1//BD，所以BD//MN，因為MN一平面CMN，BD丈平面CMN，所以BD//平面CMN，因為E在BD上，所以點E在平面CMN的距離不變，而ΔCMN面積是定值，則三棱錐E一CMN的體積不變，即三棱錐N一CME的體積不變，故A錯誤；對于B，因為B1D1//MN，B1D1丈平面CMN，MN一平面CMN，于是B1D1//平面CMN，因此直線B1D1到平面CMN的距離等于點D1到平面CMN的距離h，V3對C，以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則M(1,0,2)，C(2,2,0)，B1(2,0,2)，D1(0,2,2),------24t19,，所以當t=時，S取得最小值為，D錯誤.故選：C52023上·河北承德·高三承德市雙灤區(qū)實驗中學?？茧A段練習）在正E，F(xiàn)分別為線段B1D1，BC1上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是A．DB1」平面ACD1B．直線AE與平面BB1D1D所成角的正弦值為定值C．平面A1C1B//平面ACD1D．點F到平面ACD1的距離為定值【答案】B【解析】以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，令=λ=λ(1,1,0)，得E(1λ,λ,1)，即DB1」AC，DB1」AD1，而ACIAD1=A，AC,AD1一平面ACD1，因此DB1」平面ACD1，A正確；對于B，由BB1」平面ABCD，AC一平面ABCD，得BB1」AC，因為AC」BD，BB1（BD=B，BB1,BD一平面BB1D1D，則AC」平面BB1D1D，設(shè)直線AE與平面BB1D1D所成角為θ,|AC.AE1 2.2λ22λ+2不是定值，B錯誤；對于C，由選項A知DB1」平面ACD1，即DB1=(1,一1,1)為平面ACD1.A即有DB1」A1C1,DB1」A1B，又A1C1nA1B=A1，A1C1,A1B一則平面A1C1B//平面ACD1，C正確；因此點F到平面ACD1的距離為d=||故選：B二、多選題62024·全國·高三專題練習）已知邊長為2的等邊三角形ABC，點M,N均在平面ABC的上方，AM=3AN=3，且AM,AN與平面ABC所成角分別為,，則下列說法中正確的是()A．四面體ABCM的體積為定值C．四面體ABMN體積的最大值為1D．當四面體ABMN的體積最大時，其外接球的表面積為14π【答案】BCD【解析】由題意知，AM與AN是共軸的圓錐母線，如圖所示，π因為AM=3且AM與平面ABC所成角為，π6所以點M到平面ABC的距離為定值3sin=，所以四面體ABCM的體積為定值xx=，故A項錯誤；對于B項，AM與AN是共軸的圓錐母線，所以一<經(jīng)MA當經(jīng)MAN=時，△MAN的面積最小，最小值為x1x3xsin對于C項，當經(jīng)MAN=時，△MAN的面積最大，最大值為x1x3=3,2當△MAN所在平面旋轉(zhuǎn)至與AB垂直時，四面體ABMN的高最長，最長值為2，對于D項，當四面體ABMN體積最大時，線段AM，AN，AB兩兩垂直，所以其外接球直徑2R==，所以外接球的表面積為4πR2=14π,故D項正確.故選：BCD.72023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預測）如圖，在棱長為1的正方體ABCD一A1B1C1D1中，點P滿足C．當λ+μ=1，且λ、μ均非零時，BP//CD1D．當λ+μ=時，四棱錐P一A1BCD1的體積恒為定值【答案】ACD即點P與點B1重合，則BP=BB1=1,A正確；//，即A,P,B1三點共線，,易知AB1//C1D,所以AP//C1D,故B錯誤；對于C，當λ+μ=1，且λ、μ均非零時，則B,P,A1三點共線，易得BA1//CD1,所以BP∥CD1，故C正確；116V對于D,當λ+μ=時，由C知結(jié)合下圖可知，P為AH的中點，B,H,A1三點共線，AABCDAABCD也為定值，故D正確，故選：ACD.82023上·江蘇南通·高三海安高級中學?？茧A段練習）在平行六面體ABCD一A1B1C1D1中，E,F分別是AB,BC的中點，P,Q是線段A1C1上的兩個動點，且PQ=1，以A為頂點的三條棱長都是1，。，則()A．EF//平面A1C1DC．三棱錐B一PQE的體積是定值D．三棱錐A1一ABD的外接球的表面積是【答案】ACD【解析】對于A，連接AC，則AC//EF，四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以AC//A1C1，所以EF//平面A1C1D，故A正確； 得AC1+2AB.BCcos60+2BCCC1cos60+2ABCC 所以AC1=，可得AC1=，故B錯誤；對于C，因為A1C1//EF，所以A1C1、EF之間的距離為定值，即為△EPQ的高，又PQ=1，所以SΔEPQ為定值，且B點到平面A1C1FE的距離為定值，所以三棱錐B一PQE的體積是定值，故C正確；所以A1在底面ABD的射影M是ΔABD的中心，連接AM，且三棱錐A1ABD外接球的球心在AM上，設(shè)為O，連接OA，設(shè)外接球的半徑為R，則A1O=AO=R，232311AA2-AM2=((3)2 ,3AO2=(A1M-A1O)2+AM2，即R2=22，解得R=，故選：ABD.92023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學校聯(lián)考階段練習）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,動點P在直線CD1上運動,以下四個命題正確的是()A．BD⊥APB．四棱錐P-ABB1A1的體積是定值C．若M為BC的中點,則=2-AC1 1D．PA·PC的最小值為-4【答案】BCD【解析】對于A,假設(shè)BD⊥AP,AB=AA1=2,∠BAD=60°,由余弦定理易得BD=,：BD2+AD2=AB2,BD」AD,BD（AD=D，BD,AD一平面ACD1,則BD⊥平面ACD1,因為AC?平面ACD1,所以BD⊥AC,則四邊形ABCD是菱形,AB=AD,A不正確;對于B,由平行六面體ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱錐P-ABB1A1的底面積和高都是定值,所以體積是定值,B正確;對于D,設(shè)=λ,=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos60°-λ×2cos60°+4λ2+λ·2cos60°=4λ2-2λ=(2λ-2-≥-,當且僅當λ=時,等號成立,所以·的最小值為-,故D正確.故選：BCD.102023·全國·模擬預測）如圖，正方體ABCD一A,B,C,D,的棱長為1，分別是棱AA,，CC,的中點過直線EF的平面分別與棱BB,，DD,交于點M，N，則下列說法中正確的是()A．四邊形MENF定是菱形B．四邊形MENF一定是平行四邊形，但不一定是菱形C．四棱錐A一MENF的體積為定值D．四棱錐A一MENF的體積不為定值，但存在最值【答案】AC【解析】因為平面ADD,A,∥平面BCC,B,，平面MENF（平面ADD,A,=EN，平面MENF（平面BCC,B,=MF，所以EN∥MF．同理可證EM∥NF，所以四邊形MENF為平行四邊形.如圖1，連接MN，AC，BD，D,B,.因為四邊形ABCD是正方形，所以AC」BD，因為BB,」平面ABCD，所以BB,」AC，因為BB,nBD=B，所以AC」平面BDD,B,，因為平MN一面BDD,B,，所以AC」MN.因為EA與FC平行且相等，所以四邊形ACFE是平行四邊形，AC∥EF，所以EF」MN，從而四邊形MENF是菱形.故A正確，B錯誤.如圖2，連接AF，AN，AM，則四棱錐A_MENF被分割成兩個小三棱錐，它們都以ΔAEF為底，分別以M，N為頂點.ΔAEF的面積是定值. 2 2同證明AC」平面BDD,B,的方法，可證明BD」平面ACC,A,，則點B到平面AEF的距離為因為BB,∥AA,，所以BB,∥平面AEF，BD.所以點M到平面AEF的距離即為點B到平面AEF的距離，為BD，同理，點N到平面AEF的距離也為BD，所以點M，N到平面AEF的距離之和是定值BD，所以四棱錐A_MENF的體積為定值.故C正確，D錯誤.故選：AC112023·浙江·統(tǒng)考一模）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點（不含端點且AE=BF，則()A．A1F與AD的距離是定值B．存在點F使得A1F和平面ACD1平行C．A1F」C1ED．三棱錐B1-BEF的外接球體積有最小值【答案】ACD【解析】以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AB=1,AE=BF=ae(0,1)，則A,A,E,F)對A，由圖可知，因為A1F與AD是異面直線，轉(zhuǎn)化為求異面直線的距離，因為AD//BC,AD丈平面A1BC，所以AD//面A1BC，所以點A到面A1BC的距離為AB1的一半，等于，即為異面直線A1F與AD的距離；故A正確；若存在點F使得A1F和平面ACD1平行，，-a=0Ta=0，不符合題意，故B錯誤；則A1F×1E=-1+a-a+1=0，所以A1F」C1E，故C對D，采用補體積法，將三棱錐B1-BEF補到以BEF為底面以BB1為高的長方體里，則長方體的體對角線為外接球的半徑的二倍，當且僅當1-a=a時取等號；故D正確；故選：ACD122023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱AD上的動點，則()B．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為30C．有且僅有一個點P，使得BP」平面CC1PD．三棱錐B-PCC1的體積是定值【答案】ABD【解析】對于A，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可知A1B//D1C，且D1C」C1D；又AD」平面DCC1D1，D1C仁平面DCC1D1，所以可得D1C」AD，即D1C」DP；又DP（C1D=D，DP,C1D仁平面DPC1，所以D1C」平面DPC1，又PC1仁平面DPC1，所以D1C」PC1，A1B//D1C，可得A1B」PC1，即A正確；對于B，連接A1C1,B1D1交于點O，連接OB，如下圖所示：仁平面BDD1B1，所以A1C1」平面BDD1B1，所以經(jīng)C1BO即為直線BC1與平面BB1D1D所成角的平面角，對于C，如下圖所示：若使得BP」平面CC1P，則只需滿足BP」PC，因為BP」C1C，C1CnPC=C,C1C,PC仁平面CC1P，所以BP」平面CC1P；此時經(jīng)BPC=90o，所以P的軌跡為以BC為直徑的圓與線段AD的交點，顯然以BC為直徑的圓與線段AD沒有交點，即不存在點P，使得BP」平面CC1P，所以C錯誤；對于D，如下圖所示：不妨設(shè)正方體的棱長為a，易知三棱錐B一PCC1的體積為V=S=xBC.AB.CC1=a3，是定值；可得D正確.故選：ABD132022上·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學?？茧A段練習）在棱長為1的正方點P是線段AD1上的動點，則下列命題正確的是()A．異面直線C1P與CB1所成角的大小為定值C．直線CP和平面ABC1D1所成的角的大小是定值D．若點Q是線段BD上動點，則直線PQ與A1C不可能平行【答案】AB【解析】在棱長為1的正方體ABCD一A1B1C1D1中，連接BC1，對角面ABC1D1是矩形，AB」平面BCC1B1，CB1一平面BCC1B1，則AB」CB1，而BC1」CB1，ABIBC1AB,BC1一平面ABC1D1，于是CB1」平面ABC1D1，又C1P一平面ABC1D1，因此CB1」C1P，即異面直線C1P與CB1所成角的大小為定值，A正確；由矩形ABC1D1，得AD1//BC1，而BC1一平面BDC1，AD1丈平面BDC1，則AD1//平面BDC1，22即點P到平面BDC1的距離為定值，而ΔBDC1的面積為定值，因此VD-BPC=VP-BDC為定值，B正確；由CB1」平面ABC1D1，知點C到平面ABC1D1的距離為CB1= ,2 sinθ=令直線CP和平面ABC1D1 sinθ= 不是定值，θ不是定值，C錯誤；=2CP取AD中點E，連接CEnBD=Q，連接A1EnAD1=P1，連接P1Q，//A1C，則當P與P1重合時，有PQ//A1C，D錯誤.故選：AB142024上·山西·高三統(tǒng)考期末）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點，過點E，F(xiàn)的平面分別與棱BB1，DD1交于點G，H，則下列說法正確的是()A．四邊形EGFH的面積的最小值為1B．平面EGFH與平面ABCD所成角的最大值為60。C．四棱錐C1-EGFH的體積為定值D．點B1到平面EGFH的距離的最大值為【答案】ACD【解析】連接EF，GH，因為平面A1D1DA//B1C1CB，平面EHFGnA1D1DA=EH，平面EHFGnB1C1CB=GF，所以EH//GF，因為平面A1B1BA//D1C1CD，平面EHFGnA1B1BA=EG，平面EHFGnD1C1CDHF，所以EG//HF，所以四邊形EGFH為平行四邊形，因為ACBD，BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1AC，BDBB1B，BD、BB1平面D1B1BD，所以AC平面D1B1BD，又EF//AC，所以EF平面D1B1BD，HG平面D1B1BD，所以EFHG，所以邊形EGFH為菱形，故S菱形EGFHEFGHGH，因為GHmin，所以S菱形EGFH最小為1，故A正確；平面EGFH與平面ABCD所成的角即BD與GH所成的角，最大角為D1BD，而tanD1BD，所以D1BD60。，故B錯誤；AB2FC1BCABVAB2FC1BCABV2V2VCEGFHCEGFE故C正確；,3BEGFHBEGFEGFBAB21313設(shè)點B1到平面EGFH的距離為h，B1Gx，只需考慮x(0,2]的情況，因為VBEGFHSEGFHhEFGHh又GHGHh，故h BGH22442xx,因為x(0,2]，所以當x時，有hmax故選：ACD.，故D正確.，線段B1D1上有兩個動點E,F，且EF=則下列結(jié)論中正確的是() 1,2A．AC」BEB．EF//平面ABCDC．三棱錐ABEF的體積為定值D.ΔAEF的面積與△BEF的面積相等【答案】ABC【解析】對于A選項，連接AC、BD，因為四邊形ABCD為正方形，則AC」BD，」平面ABCD，AC一平面ABCDAC」BB1，：BDnBB1=B,BD,BB1一平面BB1D1D，所以AC」平面BB1D1D，因為BE一平面BB1D1D，因此AC」BE，A選項正確；對于B選項，因為平面A1B1C1D1//平面ABCD，EF一平面A1B1C1D1，所以EF//平面ABCD，B選項正確；故點A到平面BEF的距離為定值.因為△BEF的面積為S△BEF=EF.BB1點A到平面BEF的距離為定值，1,4故三棱錐A一BEF的體積為定值，C選項正確；對于D選項，設(shè)ACnBD=O，取B1D1的中點M，連接OM、AM，由A選項可知，AC」平面BB1D1D，即AO」平面BB1D1D，一平面BB1D1D，則AO」B1D1，因為BB1//DD1且BB1=DD1，故四邊形BB1D1D為平行四邊形，則BD//B1D1且BD=B1D1，因為M、O分別為B1D1、BD的中點，故DO//D1M且DO=D1M，所以四邊形DD1MO為平行四邊形，」平面ABCD，DO一平面ABCD，所以DD1」DO，故四邊形DD1MO為矩形，所以O(shè)M」B1D1AOnOM=O,AO,OM一平面AOM，所以」平面AOM，：AM一平面AOMAM」B1D1AM=AO2+OM2>DD1=BB1，所以S△AEF=EF.AM>EF.BB1=S△BEF，D選項錯誤.故選：ABC.162023上·廣東汕頭·高三金山中學?？茧A段練習）如圖，正的動點，則下列說法正確的是()A．若E為DD1的中點，則直線B1E//平面A1BDB．三棱錐C1-B1CE的體積為定值a3 C．E為DD1的中點時，直線B1E與平面CDD1C1所成的角正切值為「22]「22]【答案】BCD【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系，((，---所以直線B1E//平面A1BD不成立，故A錯誤；設(shè)直線B1E與平面CDD1C1所成的角θ(|(θe0,，則sinθ=則1EB.DA1EB1EB.DA2a 2=3，所以tanθ=sinθ5 1-sinsinθ5設(shè)D1E=λa(λe[0,1])，作EF//A1D，則易知EF=λa，EF//A1D//B1C，由平面的性質(zhì)可知過點B1,C,E的截面即平面EFB1C，所以EB1=D1B1-D1E=(a,a,0)-λ(0,0,-a)=(a,a,則EF與B1C的距離為d=2-2=a，令f(λ)=λ4+4λ+3(λe[0,1])，易知函數(shù)f(λ)在[0,1]內(nèi)單調(diào)遞增，所以f(λ)e[3,8]，故Se,a2，D正確.3，故B正確；故選：BCDG分別是棱BC，AC，AD上的動點，且滿足AB，CD均與面EFG平行，則() A直線AB與平面ACD所成的角的余弦值為 B．四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值1D．四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為【答案】ACD【解析】對于A，取AB的中點Q，CD的中點M，連接AM,BM,QM，2由于ACADBCBD2，故CDAM,CDBM，而AMnBMM,AM,BM平面ABM，故CD平面ABM，又CD平面ACD，故平面ACD平面ABM，則BAM即為直線AB與平面ACD所成的角，又AQAB,AM，而BM,故AMBM，則MQAB，故cosBAM1，A正確；對于B，設(shè)平面EFG與棱BD的交點為P，因為AB∥平面EFG，且AB平面ABC，平面ABC平面EFGEF，故AB∥EF，且由題意知ABEF，否則AB,EF重合，不合題意，故四邊形ABEF為梯形，同理四邊形FCDG為梯形，所以,，又因為AB∥EF，同理可證AB∥GP，則EF//GP；同理證明FG∥EP，則四邊形EFGP為平行四邊形，故四邊形EFGP的周長為2，即四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值2，B錯誤；對于C，因為CD平面ABM，AB平面ABM，故CDAB；而AB∥EF，同理可證FG∥CD，故EFFG，結(jié)合EFFG1，故SEFGEFFG2， 12當且僅當EFFG 12時等號成立，即EFG的面積的最大值為，C正確；對于D，由以上分析知AMBM,AB1，442(2,而CD平面ABM，CD1，設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為r，則VABCD(SS故四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為4π()2故選：ACD182023上·廣西柳州·高三柳州高級中學?？茧A段練習）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E,F，且EF，則下列結(jié)論中正確的是()A．EF//平面ABCD 4πB．直線BC1與平面ABCD 4πC.ΔAEF的面積與△BEF的面積相等D．三棱錐ABEF的體積為定值【答案】ABD【解析】由B1D1//BD，而BD平面ABCD，B1D1平面ABCD，故B1D1//平面ABCD，可知EF∥平面ABCD，故A正確； π4由正方體特點可得CC1底面ABCD，故C1BC就是直線BC1與平面ABCD所成的角，顯然C1BC π4故B也正確；B到B1D1的距離為BB11，A到B1D1的距離大于上下底面中心的連線，則A到B1D1的距離大于1，所以ΔAEF的面積大于△BEF的面積，故C錯誤；連接BD交AC于O，如圖所示：則AOBD，因為B1B平面ABCD，AO平面ABCD，所以AOB1B，又B1BBDB，BD平面BDD1B1，B1B平面BDD1B1，所以AO平面BDD1B1， 所以AO為三棱錐ABEF的高，又S△BEF1，AO，所以三棱錐ABEF的體積為為定值，D正確.故選：ABD.192022上·福建福州·高三?？茧A段練習）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱AA1、CC1的中點，過點E、F的平面分別與棱BB1、DD1交于點G、H，則下列命題正確的是()A．平面EGFH與平面ABCD所成角的最大值為45。B．四邊形EGFH的面積的最小值為1C．四棱錐C1EGFH的體積為定值D．點B1到平面EGFH的距離的最大值為【答案】BCD63【解析】對于A，因為平面AA1B1B//平面CC1D1D，平面EGFHn平面AA1B1BEG，平面EGFHn平面CC1D1DFH，所以，EG//FH，同理可得EH//FG，所以，四邊形EGFH為平行四邊形，又直角梯形CBGF和直角梯形ABGE全等，得EGFG，所以四邊形EGFH為菱形，且GHEF，取DD1的中點M，連接EM、FM，取EF的中點O，連接MO、HO，因為AA1//DD1，AA1DD1，E、M分別為AA1、DD1的中點，所以，AE//DM且AEDM，所以，四邊形ADME為平行四邊形，所以，EM//AD且EMAD，因為EM平面ABCD，AD平面ABCD，所以，EM//平面ABCD，同理可得，F(xiàn)M//平面ABCD，且FMCDADEM，因為EMnFMM，EM、FM平面EFM，所以，平面EFM//平面ABCD，所以，平面EGFH與平面ABCD所成的角等于平面EGFH與平面EFM所成的角，因為EMFM，O為EF的中點，所以，MOEF，同理可知HOEF，又因為平面EFMn平面EGFHEF，所以，平面EGFH與平面ABCD的平面角等于MOH，因為DD1平面ABCD，所以，DD1平面EFM，因為OM平面EFM，所以，OMDD1，易知四邊形ACFE為平行四邊形，則EFACAB，因為EM//AD，F(xiàn)M//CD，ADCD，則EMFM，所以，OMEF，對于B，因為0HM 1,2OHHMHM2OM21HM22所以，S菱形EGFH2 所以，S菱形EGFH2 OHEFOHEFOH1,，B對；GFC1對于C，四棱錐C1EGFH的體積為V2VC1EGF2VEGFC1對于D，設(shè)BGx，則x0,1，VBEFGVEBFG1111x10x1，2222432 x x x設(shè)B1到平面EGFH的距離為d，可得VBEFG=d.S△EFG=dxxx所以x+x2（其中t=1x)，故選：BCD.之1，故當x=0即t=1時，d取得最大值，故D正確.202023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？级＃┮阎獟佄锞€C:y2=x的焦點為F，準線交x軸于點D，過點F作傾斜角為θ(θ為銳角）的直線交拋物線于A,B兩點（其中點A在第一象限）.如圖，把平面ADF沿x軸折起，使平面ADF」平面BDF，則以下選項正確的為()A．折疊前ΔABD的面積的最大值為B．折疊前DF平分經(jīng)ADB 14C．折疊后三棱錐VB一ADF體積為定值D．折疊后異面直線AD,BF所成角隨θ的增大而增大【答案】BCD2(1)1(1)【解析】由題意可得：拋物線C:y=x的焦點為F|（4,0)|，準線x=-4，則D|（2(1)1(1)((14，消去x得y2-my-=0，22m2 1 2 221 可得折疊前ΔABD的面積S△ABD=根(m2+1=，所以當m=0時，折疊前ΔABD的面積的最小值為，故A錯誤；對于選項B：因為即折疊前直線AD,BD關(guān)于y1 y22y1 y22 +1 +1my21my212x軸對稱，所以折疊前DF平分ZADB，,-m+m =112故B正確；0,對于選項C：因為平面ADF」平面BDF，則可知點A到平面BDF的距離即為點A到x軸的距離y1，所以折疊后三棱錐體積VB-ADF=根y1根y2=y1y2=（定值故C正確；可得x1=+AFcosθ=,y1=AFsinθ=，x2=-BFcosθ=,y2=-BFsinθ=-2，根據(jù)題中所給的空間直角坐標系，可得「-cosθ]2「sinθ]2「-cosθ]2「sinθ]2|cosθθθ1-sin22 θ2cosθ=θ2θθ22可得cosθ2-θ2-cosθcos222θ-1θ2θ2所以cos22θ-1,即折疊后異面直線AD,BF所成角的余弦值為222θ-,且y=在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則y=-1在(|（0,上單調(diào)遞減，所以折疊后異面直線AD,BF所成角隨θ的增大而增大，故D增大；故選：BCD.212023上·江蘇鹽城·高三?？茧A段練習）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=4，點E、F分別為A,BC的中點，點P滿足=+μ,λe0,1],μe[0,1，則下列說法正確的是()A．若λ+μ=1，則四面體PEFD1的體積為定值B．若λ=,μ=，則C1P」平面EFD1C．若λ=1,μ=0，則四面體PCFD1的外接球的表面積為36πD．平面EFD1截正方體ABCD_A1B1C1D1所得截面的周長為++3【答案】BCD【解析】對于D，如圖1，取AB的中點G，連接DG，易得D1E∥DG，取CD的中點H，連接BH，易得BH∥DG，再取CH的中點M，連接FM,D1M，則FM∥BH，所以FM∥D1E，則FM是平面EFD1與正方體底面ABCD的交線，延長MF，與AB的延長線交于N，連接EN，交BB1于P，則BB1=3BP，且五邊形D1EPFM即平面EFD1交正方體ABCD_A1B1C1D1的截面，由F是BC中點且BN//CM得BN=CM=CH=B1E，又由BN//B1E得BP=B1P=BB1，所以平面EFD1截正方體ABCD_A1B1C1D1所得的截面的周長為++3，故D正確；所以P,D,A1三點共線，所以點P在A1D上，因為A1D與平面EFD1不平行，所以四面體PEFD1的體積不為定值，A錯誤；對于B，如圖2，以A為原點，分別以AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，故C1P是平面EFD1的一個法向量，所以C1P」平面EFD1，故B正確；對于C，若λ=1,μ=0，則點P即點D，由正方體的性質(zhì)可知幾何體D1一DCF是側(cè)棱D1D垂直于底面DCF的三棱錐，而底面DCF是直角三角形，易得DF===2，所以ΔDCF外接圓的半徑為r=DF=，設(shè)其外接球的半徑為R，則R2=r2+DD12所以四面體PCFD1，即三棱錐D1一DCF的外接球的表面積為4πR2=36π,故C正確.故選：BCD.222023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┮阎拿骟wABCD的棱長為2，其外接球的球心為O.點E滿足=(0<λ<1)，=(0<μ<1)，過點E作平面a行于AC和BD，平面a分別與該正四面體的棱BC，CD，AD相交于點M，G，H，則()A．四邊形EMGH的周長為定值B．四棱錐AEMGH的體積的最大值為C．當λ=時，平面C截球O所得截面的周長為πD．當λ=μ=時，將正四體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)90。后與原四面體的公共部分體積為【答案】ABD【解析】對于邊長為2的正方體AB1CD1一A1BC1D，則ABCD為棱長為2的正四面體，則球心O即為正方體的中心，連接B1D1，設(shè)ACIB1D1=N，∵BB1//DD1，BB1=DD1，則BB1D1D為平行四邊形，又∵BD//平面C，B1D1丈平面C，D1//平面C，又∵AC//平面C，ACIB1D1=N，AC,B1D1ì平面AB1CD1，∴平面C//平面AB1CD1，對A：如圖1，∵平面C//平面AB1CD1，平面Cn平面ABC=EM，平面AB1CD1n平面ABC=AC，λ)，同理可得：HE//GM//B1D1，HE=GM=2λ,EM//GH//AC，EM=GH=2(1一λ)，∴四邊形EMGH的周長L=EM+MG+GH+EH=4（定值A(chǔ)正確；對B：如圖1，由A可知：HE//GM//B1D1，HE=GM=2λ,EM//GH//AC，EM=GH=2(1-λ)，∵AB1CD1為正方形，則AC」B1D1，∴EMGH為矩形，根據(jù)平行可得：點A到平面a的距離d=λAA1=2λ,故四棱錐A-EMGH的體積V=根2λ根2λ根2(1-λ)=λ2-λ3)，則V,=2-3λ)，∴當λ=時，V取到最大值，故四棱錐A-EMGH的體積的最大值為，B正確；對C：正四面體ABCD的外接球即為正方體AB1CD1-A1BC1D的外接球，其半徑R=，設(shè)平面a截球O所得截面的圓心為O1，半徑為r，λ=時，=，平面EMGH過外接球球心O，平面a截球O所得截面圓半徑為R=，截面圓周長為2πR=2π,C錯誤；對D：如圖2，將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)90。后得到正四面體A1B1C1D1，設(shè)A1D1IAD=P,A1C1IBD=K,B1C1IBC=Q,B1D1IAC=N，∵λ=μ=，則E,F,P,Q,K,N分別為各面的中心，∴兩個正四面體的公共部分為EFPQKN，為兩個全等的正四棱錐組合而成，根據(jù)正方體可得：EP=，正四棱錐K-PEQF的高為AA1=1，故公共部分的體積V=2VK-PEQF故選：BD.，D正確；C分別交BB1，AB于點E，F(xiàn).下列說法正確的是()A．截面C是三角形B．截面C的周長為定值C．存在點M，使CF」CED．CF2+6CE2一2EF2為定值【答案】AD【解析】以D為原點，DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系；則B(b,a,0)，C(0,a,0)，設(shè)M(t,0,2a)，0<t<b，E(b,a,z)，F(xiàn)(b,y,0)，2b2所以點F在線段AB上（不與A和B重合2a，即點E在線段BB1上（不與B和B1重合5z25z2所以截面C是三角形CEF，故A正確；bb2+4z2zz2+(a-y)2,所以截面C的周長為CE+CF+EF=b2+z2+b2+4z2+5z2，因為b為常數(shù)，所以當z增大時，周長也增大，故周長不為定值，故B錯誤；由以上知，CF2+6CE2-2EF2=b2+4z2+6b2+6z2-10z2=7b2為定值，故D正確.故選：AD242023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預測）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列結(jié)論正確的是()A．三棱錐B1-C1D1P的體積為定值B．存在點P，使得D1P」平面A1BC1C．若D1P」B1D，則P點在正方形底面ABCD內(nèi)的運動軌跡長為2D．若點P是AB的中點，點Q是BC的中點，經(jīng)過D1,P,Q三點的正方體的截面周長為2+3【答案】AC【解析】對于A，由等體積法VB-CDP=VP-BCD，三棱錐P-B1C1D1的高等于BB1=2，底面積SBC,所以VB-CDP34,3所以三棱錐B1-C1D1P的體積為定值，故A正確；對于B，以D為坐標原點，以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)P(x,y,0)，0<x,y<2，若D1P」平面A1BC1，則D1P」A1B，D1P」A1C1，解得x=y=2，不符合0<x,y<2，故B錯誤；P.B1D所以點P的軌跡就是線段AC，軌跡長為AC==2，故C正確；對于D，連接PQ并延長交DC的延長線于N，連接D1N交CC1于F，連接QF，延長QP交DA的延長線于M，連接D1M交AA1于E，連接PE，則五邊形D1EPQF即為經(jīng)過D1,P,Q三點的正方體的截面，如圖：則ΔAMP為等腰直角三角形，則AM=1，根據(jù)△AME∽△A1D1E得，==，同理可得D1F=,QF=，而PQ=，故選：AC.252021上·廣東深圳·