第5講 體積、面積、周長、距離最值與范圍問題（含解析）

第5講體積、面積、周長、距離最值與范圍問題一、單選題 ，其中a>0,b>0,a+b=2，則三棱錐A一BCD的外接球的表面積的最小值為()22024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）以半徑為R的球為內切球的圓錐中，體積最小值時，圓錐底面半徑r滿足(A.)r=R32024·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知直線BC垂直單位圓O所在的平面，且直線BC交單位圓于點A，AB=BC=1，P為單位圓上除A外的任意一點，l為過點P的單位圓O的切線，則()42024·吉林長春·長春市第二中學?？寄M預測）已知A，B，C，D四點均在半徑為R（R為常數(shù)）的球O的球面上運動，且AB=AC,AB」AC,AD」BC，若四面體ABCD的體積的最大值為，則球O的表面積為()52024·全國·高三專題練習）四棱錐S一ABCD中，側面SBC為等邊三角形，底面ABCD為矩形，外接球的體積為,則BA+AC+CD的最大值為()72024·廣西·模擬預測）在三棱錐V-ABC中，BV」平面VAC，VA=1，AB=AC=，經(jīng)VAC=，點F為棱AV上一點，過點F作三棱錐V-ABC的截面，使截面平行于直線VB和AC，當該截面面積取得82024·北京石景山·統(tǒng)考一模）點M,N分別是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中棱BC,CC1的中點，動點P在正方形BCC1B1(包括邊界)內運動.若PA1//面AMN，則PA1的長度范圍是()92024·江蘇淮安·高三?？茧A段練習）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1」底面ABC，AC＝BC＝2，AA1=4，點D在上底面A1B1C1（包括邊界）上運動，則三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為()「243]「243]「243]「243]102024·浙江溫州·樂清市知臨中學?？寄M預測）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，E是棱DD1的動點，則下列說法正確的個.①若E為DD1的中點，則直線B1E//平面A1BD②三棱錐C1-B1CE的體積為定值a3③E為DD1的中點時，直線B1E與平面CDD1C1所成的角正切值為④過點B1，C，E的截面的面積的范圍是|L2a2,112024·全國·高三專題練習）已知四面體ABCD的所有棱長均為，M,N分別為棱AD,BC的中點，F(xiàn)為棱AB上異于A,B的動點．有下列結論：①線段MN的長度為1；②點C到面MFN的距離范 「)③‘FMN周長的最小值為2+1；④人MFN的余弦值的取值范圍為|L0,3)||.其中正確結論的個數(shù)為()二、多選題122024·山東聊城·高三統(tǒng)考期末）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為側面AA1D1D上的點，Q為側面CC1D1D上的點，則下列判斷正確的是()A．直線AC1l平面A1BDB．若B1QlAC1，則Q=CD1，且直線B1Q//平面A1BDC．若BP=，則P到直線A1D的距離的最小值為D．若P=A1D，則B1P與平面A1BD所成角正弦的最小值為33132024·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習）如圖，在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱BC的中點，點P是線段A1M上的動點，點Q在正方形DCC1D1內（含邊界）運動，則下列四個結論中正確的有()A．存在點Q，使得QC」A1MB．存在點P，使得經(jīng)BPD=90。D．若經(jīng)AQD=經(jīng)MQC，則三棱錐Q一A直線PA與平面ABC所成的角為30。，直線PB與平面ABC所成的角為60。，則下列說法中正確的有()A．三棱錐P一ABC體積的最小值為B．三棱錐P一ABC體積的最大值C．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角P一BC一A的平面角為銳角D．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角P一BC一A的平面角為鈍角152024·全國·高三專題練習）已知邊長為2的等邊三角形ABC，點M,N均在平面ABC的上方，AM=3AN=3，且AM,AN與平面ABC所成角分別為,，則下列說法中正確的是()A．四面體ABCM的體積為定值B．‘AMN面積的最小值為C．四面體ABMN體積的最大值為1D．當四面體ABMN的體積最大時，其外接球的表面積為14π162024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）如圖所示，正方體ABCD一A,B,C,D,的棱長為1，E,F分別是棱AA,,CC,的中點，過直線EF的平面分別與棱BB,,DD,交于點M,N，以下四個命題中正確的是()222A．四邊形EMFN一定為菱形B．四棱錐A-MENF體積為C．平面EMFN」平面DBB,D,D．四邊形EMFN的周長最小值為4172024·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）如圖，多面體ABCDEF，底面ABCD為正方形，BF」底面ABCD，DE//BF，AB=DE=BF=1，動點G在線段AF上，則下列說法正確的是()A．多面體ABCDEF的外接球的表面積為3πC．線段CG長度的取值范圍為,D．CG與平面AEC所成的角的正弦值最大為3182024·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）己知正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為1，點P滿足=λ+μ,A．當λ=1時，存在點P，使得B1P∥平面A1C1DB．當μ=1時，不存在點P，使得D1P」平面A1C1DC．當λ,μ滿足λ2=μ時，點B1到平面PC1D1的距離的最小值為D．當λ,μ滿足λ2+μ2=時，三棱錐P-ACD1的體積的最小值為192024·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=4,D是棱CC1上任一點，則()A．正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為48+8B．三棱錐A1-ABD的體積為C．‘A1BD周長的最小值為8+4D．三棱錐A1-ABD外接球的表面積最小值為202024·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點P是線段AC的中點，點Q是線段B1C上的動點（不含端點則下列結論正確的是()A．PQ//平面A1C1DB．Q到平面A1C1D的距離為C．PQ與A1D所成角的取值范圍為,D．三棱錐B-PCQ外接球體積的最小值為AB=2AC=2，過點A的平面a分別與棱PB，PC交于點M，N，則下列說法正確的是()A．三棱錐P一ABC外接球的表面積為6πB．若PC」平面AMN，則|MN|=C．若M，N分別為PB，PC的中點，則點B到平面AMN的距離為332222024·全國·高三專題練習）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點A,B距離之比為常數(shù)λ(λ>0且λ子1)的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓,該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息解決下面的問題:=6,點E在棱AB上,BE=2AE,動點P滿足BP=PE,F為棱C1D1的中點,M為CP的中點.以A為原點,AB,AD,AA1所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.下列說法正確的是()阿波羅尼奧斯A．若點P只在平面ABCD內運動,則點P所形成的阿氏圓的半徑為3B．若點P只在平面ABCD內運動,則△PBC的面積最小值為9一3C．類比阿氏圓定義,點P在長方體內部運動時,P的軌跡為球面的一部分D．若點P在平面ADD1A1內運動,則點M到平面FCB1的距離最小值為232024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）在邊長為2的正方體ABCD一A1B1C1D1中，動點M滿足-------------AM=xAB+yAD+zAA1，(x,y,zeR且x之0,y之-------------B．當x=y=1,z=時，異面直線BM與CD1所成角的余弦值為C．當x+y+z=1，且AM=時，則M的軌跡長度為D．當x+y=1,z=0時，AM與平面AB1D1所成角的正弦值的最大值為63242024·甘肅·高三武威第六中學校聯(lián)考開學考試）已知正四面體ABCD的棱長為4，點P是棱AC上的動點（不包括端點過點P作平面β平行于AD、BC，與棱AB、BD、CD交于Q,S,T，則()A．該正四面體可以放在半徑為的球內B．該正四面體的外接球與以A點為球心，2為半徑的球面所形成的交線的長度為C．四邊形PQST為矩形 π3D．四棱錐C一PQST體積的最大值為252024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）如圖，一塊邊長為10cm正方形鐵片上有四個以O為頂點的全等的等腰三角形（如圖1將這4個等腰三角形（‘OAA,，△OBB,，△OCC,，‘ODD,）裁下來，然后用余下的四塊陰影部分沿虛線折疊拼接，使得A，A,重合，B，B,重合，C，C,重合，D，D￠重合，P1，P，P3，P4重合為點P，得到正四棱錐OABCD（如圖2則在正四棱錐OABCD中，以下結論正確的是()A．平面OAC」平面OBDB．正四棱錐O一ABCD中OA的長可以為8cm5πcmC．當AP=2cm5πcmD．當正四棱錐的體積取到最大值時，AP=4cm262024·廣東·高三統(tǒng)考期末）如圖，AB為圓錐PO1底面的直徑，PA=2，點C是圓O1上異于A,B的動點，球O內切于圓錐（與圓錐底面和側面相切點Q是球O與圓錐側面的交線上的動點，則下列結論正確的是()A．若PA⊥PB，三棱錐P-ABC體積的最大值為8B．若PA⊥PB，平面PBC與底面ABC所成角的取值范圍為,C．若PA=AB，內切球O的表面積為D．若PA=AB，QA+QB的最大值為4272024·全國·模擬預測）斜圓錐顧名思義是軸線與底面不垂直的類似圓錐的錐體．如圖，斜圓錐PO的底面是半徑為2的圓，AB為直徑，C是圓周上一點，且滿足經(jīng)COB=60。．斜圓錐的頂點P滿足PB與底面垂直，PB=6,D是PB中點，Q是線段PC上任意一點．下列結論正確的是()A．存在點Q，使得OQ」BCB．在劣弧上存在一點R，使得OD//QRC．當PQ=時，DQ」平面PACD．三棱錐Q-ACD體積的最大值為2282024·廣東惠州·統(tǒng)考三模）在四面體ABCD分別是棱BC，AC，AD上的動點，且滿足AB,CD均與面EFG平行，則()A．直線AB與平面ACD所成的角的余弦值為B．四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值1C．三角形EFG的面積的最大值為D．四面體ABCD的內切球的表面積為292024·全國·模擬預測）在四棱錐P-ABCD中，已知底面ABCD是邊長為2的正方形，側面‘PAD為正三角形．則()A．當四棱錐P-ABCD為正四棱錐時．其側面積為12B．側棱PA與底面ABCD所成角的最大值為C．四棱錐P-ABCD體積的最大值為12 π 4D．四棱錐P-ABCD外接球體積的最小值為8π302024·全國·模擬預測）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點M，N分別為BC和CC1的中點，則()A．直線AD1//平面A1MNB．直線AM與直線D1N為異面直線C．點D到平面AMN的距離為D．若點Q為線段A1C上的動點（含端點則經(jīng)AQD1的范圍為,312024·廣東揭陽·?？寄M預測）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為4，Q是BC1上一動點，點H在棱AA1上，且HA1=1，在側面BCC1B1內作邊長為1的正方形EFGC1，P是側面BCC1B1內一動點，且點P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長，下列說法正確的是()A．A1Q∥平面AD1CB．A1Q與平面BCC1B1所成角的正切值得最大值為D．當點P運動時，|HP|2的范圍是22,三、填空題322024·北京海淀·高三北京市十一學校?？茧A段練習）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1B1，A1D1的中點，點E在BD上，點F在B1C上，且BE=CF，點P在線段CM上運動，給出下列四個結論:①當點E是BD中點時，直線EF//平面DCC1D1；②直線B1D1到平面CMN的距離是；④△PDD1面積的最小值是.其中所有正確結論的序號是.332024·河北石家莊·石家莊二中?？家荒＃┮阎忮FP-ABC頂點均在一個半徑為5的球面上，AB」BC,AC=8，P到底面ABC的距離為5，則PA2+PB2+PC2的最小值為.點F是線段AA1的中點，若D1E」CF，則當‘EBC的面積取得最小值時，D1E=.352024·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學?？奸_學考試）《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的數(shù)學著作，其中第十一卷稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．已知圓錐PO是直角圓錐，底面直徑AB=4,M是圓錐側面上一點，若點M到圓錐底面的距離為1，則三棱錐P一AMB體積的最大值為.362024·全國·高三專題練習）如圖，在Rt△ABC中，經(jīng)B=,BC=2AB=4,D,E分別在AC,AB上，DE∥BC，沿DE將‘ABC翻折，使平面ADE」平面BCDE，則四棱錐A一BCDE的體積的最大值372024·全國·武鋼三中校聯(lián)考模擬預測）在三棱錐P一ABC中，AP，AB，AC兩兩互相垂直，AB=AC,AB+AP=9，當三棱錐P一ABC的體積取得最大值時，該三棱錐的內切球半徑為.382024·全國·一模）在四面體ABCD中，AB」BC，BC」CD，AB=CD=，AD=，則四面體ABCD體積的最大值為.392024·河北唐山·高三開灤第一中學?？茧A段練習）已知點P在半徑為2的球面上,過點P作球的兩兩垂直的三條弦PA,PB,PC,若PA=PB,則PA+PB+PC的最大值為.402024·河北滄州·高三滄縣中學校考階段練習）已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為1，點M，N分別是棱CD,DD1的中點，則異面直線BN與CD所成角的余弦值為；若動點P在正方形CDD1C1（包括邊界）內運動，且B1PⅡ平面BMN，則線段B1P的長度范圍是.第5講體積、面積、周長、距離最值與范圍問題一、單選題√a2=2，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積的最小值為()【答案】C【解析】由題設知，三棱錐A-BCD的四個頂點是一個長方體的四個頂點，如圖.因三棱錐A-BCD中三組相對的棱長分別相等，長度分別為√1+a2，√1+b2，√a2+b2，故該長方體從同一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為1,a,b，且三棱錐A-BCD的外接球即為長方體的外接球，故外接球的直徑長為長方體的體對角線長√1+a2+b2，設外接球半徑為R，22故選:C.22024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）以半徑為R的球為內切球的圓錐中，體積最小值時，圓錐底面半徑r滿足(A.)r=R【答案】D【解析】設圓錐的高為h，如圖，為圓錐的軸截面，所以圓錐體積最小值時，圓錐底面半徑r滿足r=R.故選：D.32024·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知直線BC垂直單位圓O所在的平面，且直線BC交單位圓于點A，AB=BC=1，P為單位圓上除A外的任意一點，l為過點P的單位圓O的切線，則()【答案】D【解析】過A作AM」l于M，連接MB、MC，如圖所示，因為直線BC垂直單位圓O所在的平面，直線l在平面內，且直線BC交單位圓于點A，所以AC」l，AM,AC一平面AMC，AMnAC=A，所以l」平面AMC，MC,MB一平面AMC，所以l」MC，l」MB，由已知得te(0,2]，2tanc=2tanc=t令f(t)=，則，tanθ=tan(c-β)=1t=1=t2f,(t)=t2-f,(t)=t22t22，當te(0,)時，f,(t)>0，f(t)單調遞增，當te(,2時，f,(t)<0，f(t)單調遞減，所以te(0,2]，當t=時，f(t)取最大值，沒有最小值，即當t=時tanθ取最大值，從而θ取最大值，由對稱性知當t=時，對應P點有且僅有兩個點，所以有且僅有兩點P使二面角B﹣l﹣C取得最大值.故選：D.42024·吉林長春·長春市第二中學?？寄M預測）已知A，B，C，D四點均在半徑為R（R為常數(shù)）的球O的球面上運動，且AB=AC,AB」AC,AD」BC，若四面體ABCD的體積的最大值為，則球O的表面積為()【答案】D【解析】因AB=AC,AB」AC,取BC中點為N，則AN」BC，又AD」BC，AN,AD仁平面AND，ANnAD=A，則BC」平面AND，BC仁面ABC，則平面ABC」平面AND，要使四面體ABCD的體積最大，則有DN」平面ABC，且球心O在DN上.設球體半徑為R，則OA=OD=R，則VD-ABC=SABC.DN=BC.AN.(R+ON)，又注意到BC=2AN，AN2=OA2-ON2=R2-ON2，則VD-ABC=SABC.DN=AN2.(R+ON)=R+ON)2(R-ON).注意到R+ON)2(R-ON)=R+ON)(R+ON)(2R-2ON)<.3=.3.223a2a2當且僅當2R2ONRON，即R3ON時取等號.又四面體ABCD的體積的最大值為，則14R34R3.則球的表面積為4πR29π.故選：D52024·全國·高三專題練習）四棱錐SABCD中，側面SBC為等邊三角形，底面ABCD為矩形，BC2,ABa，頂點S在底面ABCD的射影為H，當H落在AD上時，四棱錐SABCD體積的最大值是()【答案】A【解析】取BC的中點E，連接SE,HE，因為△SBC為等邊三角形，則SEBC，又因為SH平面ABCD，HE,BC平面ABCD，則SHHE,SHBC，且SEISHS，SE,SH平面SHE，可得BC平面SHE，由HE平面SHE，可得BCHE，如圖BCAB，則AB//HE，可知H為AD的中點，在△SBC為等邊三角形，可知BC2，則SE，在Rt‘SHE中，可知EHABa，SH，可得VSABCD可得V2a33a2323a2a242，即a=時，等號成立，所以VSABCD的最大值為1.故選：A.外接球的體積為,則BA+AC+CD的最大值為()【答案】A【解析】因為AB=AD,BC=CD,AC=AC，所以△ABC≌△ACD，又因為AB」BC，所以AD」CD，取AC的中點O，連接OA=OB=OC=OD=AC，所以O為三棱錐A一BCD的外接球的球心，外接球的體積為,因為BA2+BC2當且僅當BA=BC=2時等號成立，則BA+AC+CD的最大值為4+故選：A.72024·廣西·模擬預測）在三棱錐V一ABC中，BV」平面VAC，VA=1點F為棱AV上一點，過點F作三棱錐VABC的截面，使截面平行于直線VB和AC，當該截面面積取得最大值時，CF()【答案】C【解析】根據(jù)題意，在平面VAC內，過點F作EF∥AC，交VC于點E；在平面VBC內，過點E作EQ∥VB，交BC于點Q；在平面VAB內，過點F作FD∥VB，交AB于點D，連接DQ，如圖所示，VFVEEFVAVCACVFVEEFVAVCAC則 2 2則 2 2又因為VA1，2VA2AC2，22又BV平面VAC，VC，VA平面VAC，所以BVVC，BVVA.又AB，則BV1，BC.因為FD∥VB，則ΔAFD-ΔAVB，同理可得QE1k，即QEFD，因為EQ∥VB，F(xiàn)D∥VB，則EQ∥AFVAFDADABFDVBk，即FD1k，故四邊形EFDQ為平行四邊形；而EQ平面EFDQ，VB平面EFDQ，故VB∥平面EFDQ，同理AC//平面EFDQ，即四邊形EFDQ為截面圖形；又BV平面VAC，EF平面VAC，則BVEF，又FD∥VB，所以FD」EF.故平行四邊形EFDQ為矩形，則S矩形EFDQ=EF.FD=k.(1-k)=-(|（k-2+，所以當k=時，S矩形EFDQ有最大值，則VF=kVA=，在RtΔCVF中，CF===.故選：C.82024·北京石景山·統(tǒng)考一模）點M,N分別是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中棱BC,CC1的中點，動點P在正方形BCC1B1(包括邊界)內運動.若PA1//面AMN，則PA1的長度范圍是()【答案】B【解析】取B1C1的中點E，BB1的中點F，連結A1E，A1F，EF，取EF中點O，連結A1O，EM,∵點M，N分別是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中棱BC，CC1的中點，:AA1//BB1,AA1=BB1，BB1//EM,BB1=EM,:AA1//EM,AA1=EM，:四邊形A1AME為平行四邊形，:A1E//AM，而在平面B1BCC1中，易證MN//EF，∵A1E“平面AMN，AM仁平面AMN，:A1E//平面AMN，：EF“平面AMN，MN仁平面AMN，:EF//平面AMN，又：A1E（EF=E，A1E,EF仁平面A1EF，∴平面AMN//平面A1EF，∵動點P在正方形BCC1B1（包括邊界）內運動，且PA1//平面AMN，4∴點P的軌跡是線段EF，==，EF==，∴A1OLEF，∴當P與O重合時，PA1的長度取最小值A1O=(5)2-=，:ΔA1EF為等腰三角形，∴P在點E或者點F處時，此時PA1最大，最大值為.「3]「3]故選：B.92024·江蘇淮安·高三?？茧A段練習）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1L底面ABC，AC＝BC＝2，AA1=4，點D在上底面A1B1C1（包括邊界）上運動，則三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為()「243]「243]「243]「243]【答案】A【解析】如下圖所示：連接O1與A1B1的中點E，則O1E//AA1，所以O1EL面ABC.設球心為O，由球的截面性質可知，O在O1E上，，半徑為R，因為OA=OD=R，所以=， π外接球表面積最小為4πR2==6時，外接球表面積最大為4πR2=24π π外接球表面積最小為4πR2=「81]「81]故選：A102024·浙江溫州·樂清市知臨中學?？寄M預測）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，E是棱DD1的動點，則下列說法正確的個.①若E為DD1的中點，則直線B1E//平面A1BD②三棱錐C1-B1CE的體積為定值a3③E為DD1的中點時，直線B1E與平面CDD1C1所成的角正切值為④過點B1，C，E的截面的面積的范圍是|L2a2,【答案】B【解析】如圖,以A為原點,AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,(a)2所以點E到直線B1所以點E到直線B1C的距離為h=E2-d2.則B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，A1(0,0,a),B1(a,0,a)，D1(0,a,a).所以B1=(-a,a,-)，A1=(a,0,-a),B=(-a,a,0).對于①：當E為DD1的中點時，E(0,a,).設平面A1BD的一個法向量為=(x,y,z),(|（-=-豐0，所以與B1不垂直，所以直線B1E//平面A1BD不成立.故①錯誤；對于②：三棱錐C1-B1CE的體積等于三棱錐E-C1B1C的體積.對于③：當E為DD1的中點時，E(0,a,).平面CDD1C1的一個法向量為A=(0,a,0),而B1E=|設直線B1E與平面CDD1C1所成的角為θ,所以a22 2所以cosθ=11-sin2θ即直線B1E與平面CDD1C1所成的角正切值為.故③正確；對于④：設E(0,a,z),(0<z<a).因為B1=(0,a,-a)，E=(a,0,-z)，所以E在B1上得到投影為d===.222za+當z=0，即D、E重合時，截面為矩形，其面積為a根a=a2. 當0<z<a時，截面為等腰梯形.設截面交A1D1于F.所以EF=2(a-z)， 高h=2za+22<0，所以f(z)在[0,a]上單調遞減函數(shù)，所以f(a)<f(z)<f(0)，即a4<f(z)<2a4.綜上所述：a2<S<a2.故④正確.故選：B112024·全國·高三專題練習）已知四面體ABCD的所有棱長均為，M,N分別為棱AD,BC的中點，F(xiàn)為棱AB上異于A,B的動點．有下列結論：()①線段MN的長度為1；②點C到面MFN的距離范圍為|（0,2)||； 「)③ΔFMN周長的最小值為2+1；④ZMFN的余弦值的取值范圍為|L0,3)||.其中正確結論的個數(shù)為()【答案】D【解析】：四面體ABCD所有棱長均為，:四面體ABCD為正四面體；對于①,作OD」平面ABC，垂足為O，：四面體ABCD為正四面體，:O為ΔABC的中心，:OeAN且AO=AN；取AO中點G，連接MG，則MG//DO，MG=DO且MG」平面ABC；2一2 2:AO=GN=AN=，：MG」平面ABC，GN仁平面ABC，:MG」GN，:MN==1，①正確；對于②,在AB上取點T，使得AT=AB，則OT//BC，:AN」OT，則以O為坐標原點，OT,ON,OD正方向為x,y,z()()()(2)()()()()設F(x,y,z)，A=λA(0<λ<1)，()():x=λλ，設平面MNF的法向量=(a,b,c)，:=,1,，n:d==，1()1()對于③,將等邊三角形ABC與ABD沿AB展開，可得展開圖如下圖所示，則MF+NF之MN（當且僅當F為AB中點時取等號：四邊形ACBD為菱形，M,N分別為AD,BC中點，:MN=，:MF+NF之，則在四面體ABCD中，ΔFMN周長的最小值為+1，③正確；對于④,設Q為AB中點，若點F在線段BQ上，設BF= x，2 +x，2 ,2π()21()122x+2；在‘AMF中，同理可得：MF2=x2+x+，2MF.NF2|(221)(2|(221)(221)2xx 2：.4x4 2 2<x2x+2x21cos經(jīng)MFN=2.2x2.2x2++4x4「)同理可得：當F在線段AQ上時，cos經(jīng)MFN的取值范圍為0,；「)綜上所述：經(jīng)MFN的余弦值的取值范圍為|L0,3)||，④正確.故選：D.二、多選題122024·山東聊城·高三統(tǒng)考期末）正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為1，P為側面AA1D1D上的點，Q為側面CC1D1D上的點，則下列判斷正確的是()B．若B1QAC1，則QCD1，且直線B1Q//平面A1BDC．若BP，則P到直線A1D的距離的最小值為D．若PA1D，則B1P與平面A1BD所成角正弦的最小值為【答案】AB【解析】對于A項，如圖，連結AC，AD1.33因為CC1平面ABCD，BD平面ABCD，所以CC1BD.又BDAC，AC平面ACC1，CC1平面ACC1，ACnCC1C，所以BD平面ACC1.又AC1平面ACC1，所以BDAC1.同理可得，A1DAC1.又BD平面A1BD，A1D平面A1BD，A1DBDD，所以AC1平面A1BD.故A項正確；對于B項，由A項可知：AC1平面A1BD.又B1QAC1，B1平面A1BD，所以直線B1Q//平面A1BD，故B項正確； 2對于C 252所以P在以B52為半徑的球上.又P為側面AA1D1D上的點，所以P在球被平面AA1D1D截得的交線上.因為AB平面AA1D1D，AB1，BP ,2所以APBPBP2AB2 1,2所以P為以A點為圓心，為半徑的圓上.11-n---BPλ11-n---BPλλλλ223如圖，AP1」A1D，則AP1=，P到直線A1D的距離對于D項，以點D為坐標原點，分別以為x，y，z軸的正方向，因為PeA1D，設=λ=(λ,0,λ)0≤λ≤1----------B----------BD的一個法向量.----則cosn1,B1P〉--------2nB----2nBP.(λ1)2+1《所以B1P與平面A1BD所成角正弦的最大值為，故D項錯誤.故選：AB.132024·湖南株洲·高三株洲二中校考階段練習）如圖，在棱長為6的正方體ABCD一A1B1C1D1中，M是棱BC的中點，點P是線段A1M上的動點，點Q在正方形DCC1D1內（含邊界）運動，則下列四個結論中正確的有()A．存在點Q，使得QC」A1MB．存在點P，使得經(jīng)BPD=90。D．若經(jīng)AQD=經(jīng)MQC，則三棱錐Q一A【答案】BCD得A1D1」QC，而A1MnA1D1于是QC」平面A1BCD1，又D1C一平面A1BCD1，因此QC」D1C，而點Q在正方形DCC1D1內（含邊界）運動，顯然不存在這樣的點Q，A錯誤；對于BC，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1(6,0,6),M(3,6,0),B(6,6,0),D(0,0,0)，故選：BCD令==λ(3,6,6)=(3λ,6λ,6λ)=(3λ,66λ,6λ6),=(3λ6,6λ,6λ6)，假定存在點P，使得經(jīng)BPD=90。，則.=3λ(3λ6)6λ(66λ)+(6λ6)2=0，整理得9λ214λ+4=0，而0≤λ≤1，解得λ=7一9，因此存在點P，使得經(jīng)BPD=90。，顯然點P(6一3λ,6λ,6一6λ)在直線DD1上的投影為點(0,0,6一6λ)，當且僅當λ=時取等號，因此△PDD1面積的最小值是x6x=，C正確；在平面DCC1D1內以直線DC為x軸，線段DC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，如圖，因此以點E(5,0)為圓心，4為半徑的圓E在正方形DCC1D1及內部的圓弧即為點Q的軌跡，當點Q為線段CC1與圓E的交點時，點Q到底面ABCD的距離最大，最大距離為42一|CE|2=2，所以三棱錐Q一ABD體積的最大值為xx62x2=12，D正確.2142024·廣東肇慶·高三廣東肇慶中學?？茧A段練習）三棱錐P-ABC中，AB=2，BC=1，AB」BC，直線PA與平面ABC所成的角為30。，直線PB與平面ABC所成的角為60。，則下列說法中正確的有()A．三棱錐P-ABC體積的最小值為B．三棱錐P-ABC體積的最大值C．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角P-BC-A的平面角為銳角D．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時，二面角P-BC-A的平面角為鈍角【答案】AC【解析】如圖（1）所示，作PH」面ABC，連接AH,BH,CH,因為直線PA與平面ABC所成的角為30。，直線PB與平面ABC所成的角為60。， PHBHPHAH PHBHPHAH,所以AH=PHPH=BH，即AH=3BH.,以AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立如圖（2）平面直角坐標系，設H(x,y)，A(,0)，B(-,0)，222(5)229故點H的軌跡為x2(5)229故點H的軌跡為x22易知圓心Q-4 r=Q-48設點圓H與x軸的交點分別為M,N，BQ=r-BQBQ=r-BQBMBM<BH2又有PH=3BH又有 所以2PHe[6,6所以22332336 33根min23根min23max3故A正確，B錯誤；(5)229PHCHtana=，設直線PC與平面PHCHtana=，3BHPHCH可得2x23BHPHCH可得2x2CH又由BH又由 x22x22 22x 22x-52x-2+2-2y+3-2x-2y+12x+4y-2+x,令k=y，結合斜率公式，可得k表示點H(x,y)與點(|（0,連線的斜率， 12由k=y-即kx-y 12x(5)2926可得kk23，解得k=48或k=2242248,BHCH取得最小值，此時點H在BHCH取得最小值，此時點H在‘ABC外故當如圖：此時，二面角P-BC-A為銳角，故C正確；D錯誤.故選：AC152024·全國·高三專題練習）已知邊長為2的等邊三角形ABC，點M,N均在平面ABC的上方，AM=3AN=3，且AM,AN與平面ABC所成角分別為,，則下列說法中正確的是()A．四面體ABCM的體積為定值B．‘AMN面積的最小值為C．四面體ABMN體積的最大值為1D．當四面體ABMN的體積最大時，其外接球的表面積為14π【答案】BCD【解析】由題意知，AM與AN是共軸的圓錐母線，如圖所示，對于A項，由題意知S‘ABC=2對于A項，由題意知 π因為AM=3且AM與平面ABC所成角為 π 2 2所以四面體ABCM的體積為定值xx當經(jīng)MAN=時，△MAN的面積最小，最小值為x1x3xsin對于C項，當經(jīng)MAN=時，△MAN的面積最大，最大值為x1x3=3,2當△MAN所在平面旋轉至與AB垂直時，四面體ABMN的高最長，最長值為2，所以體積的最大值為xx2=1，故C項正確；對于D項，當四面體ABMN體積最大時，線段AM，AN，AB兩兩垂直，所以其外接球直徑2R==，所以外接球的表面積為4πR2=14π,故D項正確.故選：BCD.162024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）如圖所示，正方體ABCD一A,B,C,D,的棱長為1，E,F分別是棱AA,,CC,的中點，過直線EF的平面分別與棱BB,,DD,交于點M,N，以下四個命題中正確的是()A．四邊形EMFN一定為菱形B．四棱錐A一MENF體積為C．平面EMFN」平面DBB,D,D．四邊形EMFN的周長最小值為4【答案】ACD【解析】由題意，正方體截面的性質易知EM//NF,EN//MF，即EMFN為平行四邊形，取G,H為DD,,BB,中點，因為E,F分別是棱AA,,CC,的中點，則EHFG為正方形，由M,N到面AEF的距離之和為底面對角線為，AMENFMAEFNAEF3‘AEF3226AMENFMAEFNAEF3‘AEF3226由菱形性質知MN」EF，由正方體性質知DD,」面EHFG，EF一面EHFG，則DD,」EF，又MNnDD,=N，MN,DD,一面DBB,D,，故EF」面DBB,D,，而EF一面EMFN，所以平面EMFN」平面DBB,D,，C對；M,N在運動過程中，僅當它們?yōu)閷€段中點時，菱形EMFN各邊最短且為1，此時EMFN為正方形，周長為4，D對.故選：ACD172024·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）如圖，多面體ABCDEF，底面ABCD為正方形，BF」底面ABCD，DE//BF，AB=DE=BF=1，動點G在線段AF上，則下列說法正確的是()A．多面體ABCDEF的外接球的表面積為3πC．線段CG長度的取值范圍為,D．CG與平面AEC所成的角的正弦值最大為3【答案】AC【解析】對于A，由題意可知，多面體ABCDEF可以放在如圖所示的正方體當中，設DF中點為O，則O為多面體ABCDEF的外接球球心，所以多面體ABCDEF的外接球半徑為=，將△ADF,△AFC如下圖所示展開，當D,G,C三點共線時，CG+GD最小，在‘ACD中，由余弦定理得，CD2=AD2+AC2一2AC.ACcos∠150。， () ()則△CGD的周長最小為+1，故B錯誤.對于C，建立如圖所示的空間直角坐標系，------------------設平面AEC法向量=(x,y,z)，---CG.2m---則CG與平面AEC所成角的正弦值為=3x2(m2-m+1) 取得CG與平面AEC所成角的正弦值的最大值(1)233故選：AC其中λe[0,1]，μe[0,1]，則()A．當λ=1時，存在點P，使得B1P∥平面A1C1DB．當μ=1時，不存在點P，使得D1P」平面A1C1DC．當λ,μ滿足λ2=μ時，點B1到平面PC1D1的距離的最小值為D．當λ,μ滿足λ2+μ2=時，三棱錐P-ACD1的體積的最小值為【答案】ACD【解析】以D為坐標原點，以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，對于A，當λ=1時，取μ=0，則點P與A重合，得P(1,0,0)，--------------，∴B1P∥C1D--------------∵B1P丈平面A1C1D,C1D一平面A1C1D,∴B1P∥平面A1C1D，故A正確；對于B，當μ=1時，取λ=1，則點P與B重合，得P(1,1,0)，--------------------------------.D1P------------------------,A,A∴D1P」平面A1C1D，故B錯誤；------------------得=(λ,λ2,0)，則P(λ,λ2,0),0<λ<1，-----------------------------DB.m-m3-----DB.m-m33設平面PC1D1的法向量為=(x1,y1,z1)，+λy11∴點B1到平面PC1D1的距離為1+λ222S△ACD1λ20λ20<λ<則可設則可設則則--------------設平面ACD1的法向量為=(x2,y2,z2)，y2∴點P到平面ACD1的距離為12123----DP.n1∵1∵=nn∴三棱錐P一ACD1的體積的最小值為S△ACD.hmin故選：ACD. 從而hmin 從而hmin= 2222192024·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=4,D是棱CC1上任一點，則()A．正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為488B．三棱錐A1ABD的體積為C．‘A1BD周長的最小值為84D．三棱錐A1ABD外接球的表面積最小值為【答案】ABD【解析】對于A,正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1AB4，所以正三棱柱的表面積為S342242sin488，故A正確；對于B，過點C作CEAB,交AB于E,則E為AB的中點，依題可知平面A1ABB1平面ABC,且平面A1ABB1平面ABCAB,又CE平面ABC，則CE平面A1ABB1，則CE為點C到平面A1ABB1的距離，正三角形ABC中，可求得CE2,又因為D是棱CC1上任一點,且CC1//平面A1ABB1，所以點D到平面A1ABB1的距離等于點C到平面A1ABB1的距離，設點D到平面A1ABB1的距離為h，則h=2，‘AAB故B正確；對于C，由側面展開圖所示，‘A1BD周長所以其最小值為4+4，故C錯誤；對于D,依題知，三棱錐A1-ABD外接球與四棱錐D-A1ABB1重合，半徑設為R,球心設為O,G為AB的中點，則DG=2,且CC1//平面A1ABB1,所以當CC1與球外切時，球的半徑最小，此時，點D位于CC1的中點，如圖所示:OG2+GB2=OB2則(2-R22,解得R=，表面積為4πR2=,故D正確，故選:ABD.202024·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點P是線段AC的中點，點Q是線段B1C上的動點（不含端點則下列結論正確的是()A．PQ//平面A1C1DB．Q到平面A1C1D的距離為C．PQ與A1D所成角的取值范圍為,D．三棱錐B-PCQ外接球體積的最小值為【答案】ACD【解析】A：由題意可知PC//A1C1,B1C//A1D,PCnB1C=C,A1C1nA1D=A1，且PC,B1Cì面ACB1，A1C面A1C1D，所以面ACB1//面A1C1D，又因為PQ仁面ACB1，所以PQ//平面A1C1D，故A正確；B：因為PQ//平面A1C1D，所以Q到平面A1C1D的距離等于P到平面A1C1D的距離，以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸，以D為原點建立空間直角坐標系，如圖--------------------設平面A1C1D的法向量為=(x,y,z)，所以P到平面A1C1D的距離d=---n 33因為B1C//A1D，所以PQ與A1D所成的角就是PQ與B1C所成的角，因為點Q是線段B1C上的動點（不含端點所以PQ與B1C所成角的最大值為π2所以PB+PC2=B1C2，所以在RtΔB1PC中，DPB1C=，即為PQ與B1C所成角的最小值，但不能取得，所以PQ與A1D所成角的取值范圍為,，故C正確；D：33因為VB-PCQ=VQ-PBC，又‘PBC是直角三角形，BP」PC，取BC的中點E，則PE=BE=EC，因為棱錐B-PCQ外接球體積最小，所以Q在PQ」QC處，所以QE=BE=EC，所以E為Q-PCB外接球的球心，所以BE=BC=1=R，所以VB-PCQ=VQ-PBC=πR3=π,故D正確；故選：ACDAB=2AC=2，過點A的平面C分別與棱PB，PC交于點M，N，則下列說法正確的是()A．三棱錐P-ABC外接球的表面積為6πB．若PC」平面AMN，則|MN|=2C．若M，N分別為PB，PC的中點，則點B到平面AMN的距離為2D．‘AMN周長的最小值為3【答案】BCD【解析】取PB,AB中點為E,F，連接AE,EF,CF,,因為PA」平面ABC，AB,CF一平面ABC，所以PA」AB,PA」CF,EF//PA,所以EFCF,又ACBC，且PA，AB2AC2，所以CFAB1,EFPA,CE因此EAEBEPEC,所以三棱錐PABC外接球的半徑R，表面積S4πR27π,A不正確.若PC平面AMN，AN,MN平面AMN,則PCAN，PCMN.PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC,又ACBC,PCBC,ACPAA,PA,AC平面PAC，所以BC平面PAC，PC平面PAC，故PCBC，所以MN//BC. 又NCACcos60，所以PN，M，解得|MN|343，B正確.因為M，N分別為PB，PC的中點，所以MN//BC，由于BC平面ANC,則MN平面ANC，又BC平面AMN，MN平面AMN，故BC//平面AMN，則點B到平面AMN的距離等于點C到平面AMN的距離. 4設點C到平面AMN的距離為d，易知AN1，MN，S△AMNANMN 4由VCAMNVMANC，得d，解得d，C正確.如圖，將ΔPAC，ΔPCB翻折至平面PAB內，連接AA，易知AA即ΔAMN周長的最小值，AA PA2PA22PAPAcosAPA3，ΔAMN周長的最小值為3，D正確.2故選:BCD222024·全國·高三專題練習）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點A,B距離之比為常數(shù)λ(λ>0且λ士1)的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓,該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息解決下面的問題:在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=6,點E在棱AB上,BE=2AE,動點P滿足BP=PE,F為棱C1D1的中點,M為CP的中點.以A為原點,AB,AD,AA1所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.下列說法正確的是()阿波羅尼奧斯A．若點P只在平面ABCD內運動,則點P所形成的阿氏圓的半徑為3B．若點P只在平面ABCD內運動,則△PBC的面積最小值為9-3C．類比阿氏圓定義,點P在長方體內部運動時,P的軌跡為球面的一部分D．若點P在平面ADD1A1內運動,則點M到平面FCB1的距離最小值為【答案】BC【解析】在xAy平面內,B(6,0),E(2,0),設點P(x,y),由BP=PE,得(x-6)2+y2=3(x-2)2+y2,即x2+y2=12,所以若點P只在平面ABCD內運動,則點P所形成的阿氏圓的半徑為2.44當點P在長方體內部運動時,設P(x,y,z),B(6,0,0),E(2,0,0),:P的軌跡為球面的一部分,故C正確；當點P在平面ADD1A1內運動時,設P(0,m,n),所以點M到平面FCB1的距離為=. 所以點M到面FCB1的距離最小值為.故D錯誤.故選：BC.232024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，動點M滿足-------------AM=xAB+yAD+zAA1，(x,y,zeR且x之0,y之-------------B．當x=y=1,z=時，異面直線BM與CD1所成角的余弦值為C．當x+y+z=1，且AM=時，則M的軌跡長度為D．當x+y=1,z=0時，AM與平面AB1D1所成角的正弦值的最大值為63【答案】AD---1------1---【解析】對于A，在AB上取點H，使AH=AB，在DC上取點K，使DK=DC，因為x=,z=0,ye[0,1]將平面B1HKC1與平面AHKD沿著HK展開到同一平面內，如圖：連接B1D交HK于P，此時B,P,D三點共線，B1M+MD取到最小值即B1D的長，------22(3)252即此時B1M+MD的最小值為，A正確；1----------1------1----此時M為CC1的中點，取C1D1的中點為N，連接BM,MN,BN，則MN∥CD1,故經(jīng)BMN即為異面直線BM與CD1所成角或其補角，BM2+MN2BN25+232BM2+MN2BN25+2322BM.MN25.210而異面直線所成角的范圍為(0,]，故異面直線BM與CD1所成角的余弦值為，B錯誤；對于C，當x+y+z=1時，可得點M的軌跡在ΔA1BD內（包括邊界由于CC1」平面ABCD，BD一平面ABCD，故CC1」BD，又BD」AC，ACnCC1=C,AC,CC1一平面ACC1，故BD」平面ACC1，AC1一平面ACC1，故BD」AC1，同理可證A1B」AC1,ABnBD=B,A1B,BD平面A1BD，故AC1」平面A1BD，BD為邊長為2的正三角形，則點A到平面A1BD的距離為AP=若AM=AMAM2AP233即M點落在以P為圓心，3P點到ΔA1BD三遍的距離為xx2=<，22332,即M點軌跡是以P為圓心，為半徑的圓的一部分，其軌跡長度小于圓的周長,C錯誤；對于D，因為B1D1∥BD,BD丈平面AB1D1，B1D1一平面AB1D1，故BD∥平面AB1D1，點M到平面AB1D1的距離等于點B到平面AB1D1的距離，設點B到平面AB1D1的距離為d，ABB.AD‘AB1D1為邊長為2的正三角形，即S‘ABD.d=xx(2)2xd=，解得d=，又M在BD上，當M為BD的中點時，AM取最小值，設直線AM與平面AB1D1所成角為θ,θE[0,]，則sinθ==<=，即AM與平面AB1D1所成角的正弦值的最大值為，D正確，故選：AD242024·甘肅·高三武威第六中學校聯(lián)考開學考試）已知正四面體ABCD的棱長為4，點P是棱AC上的動點（不包括端點過點P作平面β平行于AD、BC，與棱AB、BD、CD交于Q,S,T，則()A．該正四面體可以放在半徑為的球內B．該正四面體的外接球與以A點為球心，2為半徑的球面所形成的交線的長度為C．四邊形PQST為矩形 π3D．四棱錐C一PQST體積的最大值為【答案】AC【解析】對于選項A，如圖，將正四面體放置到正方體中，易知正四面體外接球即正方體的外接球，因為正四面體ABCD的棱長為4，所以正方體的邊長為2，易知正方體的外接球直徑為體對角線DE的長，又DE=2，所以正四面體的外接球半徑R==<，所以該正四面體可以放入半徑為的球內，故選項A正確，對于B，由選項A可知四面體外接球的半徑R=，AE2+AO2EO222+()2()2 2AE.AO2x2x66,所以sin經(jīng)EAO6,易知兩個球面的交線為圓，設AO與圓面的交點為O2，在Rt‘EO2A中，EO2=EAsin經(jīng)EAO2=2X=，所以兩個球面的交線的周長為2πX=π,故選項B錯誤，對于選項C，取BC的中點M，連接AM,DM，易知DM」BC,AM」BC，又DM（AM=M，DM,AM一面ADM，所以BC」平面ADM，又AD一面ADM，所以BC」AD，又AD//平面β,平面βn平面ABD