第5講 體積、面積、周長、距離最值與范圍問題（含解析）

第5講體積、面積、周長、距離最值與范圍問題一、單選題 ，其中a>0,b>0,a+b=2，則三棱錐A一BCD的外接球的表面積的最小值為()22024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）以半徑為R的球?yàn)閮?nèi)切球的圓錐中，體積最小值時(shí)，圓錐底面半徑r滿足(A.)r=R32024·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線BC垂直單位圓O所在的平面，且直線BC交單位圓于點(diǎn)A，AB=BC=1，P為單位圓上除A外的任意一點(diǎn)，l為過點(diǎn)P的單位圓O的切線，則()42024·吉林長春·長春市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知A，B，C，D四點(diǎn)均在半徑為R（R為常數(shù)）的球O的球面上運(yùn)動(dòng)，且AB=AC,AB」AC,AD」BC，若四面體ABCD的體積的最大值為，則球O的表面積為()52024·全國·高三專題練習(xí)）四棱錐S一ABCD中，側(cè)面SBC為等邊三角形，底面ABCD為矩形，外接球的體積為,則BA+AC+CD的最大值為()72024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐V-ABC中，BV」平面VAC，VA=1，AB=AC=，經(jīng)VAC=，點(diǎn)F為棱AV上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作三棱錐V-ABC的截面，使截面平行于直線VB和AC，當(dāng)該截面面積取得82024·北京石景山·統(tǒng)考一模）點(diǎn)M,N分別是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中棱BC,CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng).若PA1//面AMN，則PA1的長度范圍是()92024·江蘇淮安·高三校考階段練習(xí)）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1」底面ABC，AC＝BC＝2，AA1=4，點(diǎn)D在上底面A1B1C1（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為()「243]「243]「243]「243]102024·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，E是棱DD1的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的個(gè).①若E為DD1的中點(diǎn)，則直線B1E//平面A1BD②三棱錐C1-B1CE的體積為定值a3③E為DD1的中點(diǎn)時(shí)，直線B1E與平面CDD1C1所成的角正切值為④過點(diǎn)B1，C，E的截面的面積的范圍是|L2a2,112024·全國·高三專題練習(xí)）已知四面體ABCD的所有棱長均為，M,N分別為棱AD,BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱AB上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)．有下列結(jié)論：①線段MN的長度為1；②點(diǎn)C到面MFN的距離范 「)③‘FMN周長的最小值為2+1；④人MFN的余弦值的取值范圍為|L0,3)||.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()二、多選題122024·山東聊城·高三統(tǒng)考期末）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為側(cè)面AA1D1D上的點(diǎn)，Q為側(cè)面CC1D1D上的點(diǎn)，則下列判斷正確的是()A．直線AC1l平面A1BDB．若B1QlAC1，則Q=CD1，且直線B1Q//平面A1BDC．若BP=，則P到直線A1D的距離的最小值為D．若P=A1D，則B1P與平面A1BD所成角正弦的最小值為33132024·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段A1M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在正方形DCC1D1內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的有()A．存在點(diǎn)Q，使得QC」A1MB．存在點(diǎn)P，使得經(jīng)BPD=90。D．若經(jīng)AQD=經(jīng)MQC，則三棱錐Q一A直線PA與平面ABC所成的角為30。，直線PB與平面ABC所成的角為60。，則下列說法中正確的有()A．三棱錐P一ABC體積的最小值為B．三棱錐P一ABC體積的最大值C．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時(shí)，二面角P一BC一A的平面角為銳角D．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時(shí)，二面角P一BC一A的平面角為鈍角152024·全國·高三專題練習(xí)）已知邊長為2的等邊三角形ABC，點(diǎn)M,N均在平面ABC的上方，AM=3AN=3，且AM,AN與平面ABC所成角分別為,，則下列說法中正確的是()A．四面體ABCM的體積為定值B．‘AMN面積的最小值為C．四面體ABMN體積的最大值為1D．當(dāng)四面體ABMN的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為14π162024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）如圖所示，正方體ABCD一A,B,C,D,的棱長為1，E,F分別是棱AA,,CC,的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱BB,,DD,交于點(diǎn)M,N，以下四個(gè)命題中正確的是()222A．四邊形EMFN一定為菱形B．四棱錐A-MENF體積為C．平面EMFN」平面DBB,D,D．四邊形EMFN的周長最小值為4172024·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）如圖，多面體ABCDEF，底面ABCD為正方形，BF」底面ABCD，DE//BF，AB=DE=BF=1，動(dòng)點(diǎn)G在線段AF上，則下列說法正確的是()A．多面體ABCDEF的外接球的表面積為3πC．線段CG長度的取值范圍為,D．CG與平面AEC所成的角的正弦值最大為3182024·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）己知正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為1，點(diǎn)P滿足=λ+μ,A．當(dāng)λ=1時(shí)，存在點(diǎn)P，使得B1P∥平面A1C1DB．當(dāng)μ=1時(shí)，不存在點(diǎn)P，使得D1P」平面A1C1DC．當(dāng)λ,μ滿足λ2=μ時(shí)，點(diǎn)B1到平面PC1D1的距離的最小值為D．當(dāng)λ,μ滿足λ2+μ2=時(shí)，三棱錐P-ACD1的體積的最小值為192024·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=4,D是棱CC1上任一點(diǎn)，則()A．正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為48+8B．三棱錐A1-ABD的體積為C．‘A1BD周長的最小值為8+4D．三棱錐A1-ABD外接球的表面積最小值為202024·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段B1C上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)則下列結(jié)論正確的是()A．PQ//平面A1C1DB．Q到平面A1C1D的距離為C．PQ與A1D所成角的取值范圍為,D．三棱錐B-PCQ外接球體積的最小值為AB=2AC=2，過點(diǎn)A的平面a分別與棱PB，PC交于點(diǎn)M，N，則下列說法正確的是()A．三棱錐P一ABC外接球的表面積為6πB．若PC」平面AMN，則|MN|=C．若M，N分別為PB，PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面AMN的距離為332222024·全國·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點(diǎn)A,B距離之比為常數(shù)λ(λ>0且λ子1)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓,該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息解決下面的問題:=6,點(diǎn)E在棱AB上,BE=2AE,動(dòng)點(diǎn)P滿足BP=PE,F為棱C1D1的中點(diǎn),M為CP的中點(diǎn).以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.下列說法正確的是()阿波羅尼奧斯A．若點(diǎn)P只在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為3B．若點(diǎn)P只在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),則△PBC的面積最小值為9一3C．類比阿氏圓定義,點(diǎn)P在長方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí),P的軌跡為球面的一部分D．若點(diǎn)P在平面ADD1A1內(nèi)運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)M到平面FCB1的距離最小值為232024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）在邊長為2的正方體ABCD一A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)M滿足-------------AM=xAB+yAD+zAA1，(x,y,zeR且x之0,y之-------------B．當(dāng)x=y=1,z=時(shí)，異面直線BM與CD1所成角的余弦值為C．當(dāng)x+y+z=1，且AM=時(shí)，則M的軌跡長度為D．當(dāng)x+y=1,z=0時(shí)，AM與平面AB1D1所成角的正弦值的最大值為63242024·甘肅·高三武威第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正四面體ABCD的棱長為4，點(diǎn)P是棱AC上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)過點(diǎn)P作平面β平行于AD、BC，與棱AB、BD、CD交于Q,S,T，則()A．該正四面體可以放在半徑為的球內(nèi)B．該正四面體的外接球與以A點(diǎn)為球心，2為半徑的球面所形成的交線的長度為C．四邊形PQST為矩形 π3D．四棱錐C一PQST體積的最大值為252024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）如圖，一塊邊長為10cm正方形鐵片上有四個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的全等的等腰三角形（如圖1將這4個(gè)等腰三角形（‘OAA,，△OBB,，△OCC,，‘ODD,）裁下來，然后用余下的四塊陰影部分沿虛線折疊拼接，使得A，A,重合，B，B,重合，C，C,重合，D，D￠重合，P1，P，P3，P4重合為點(diǎn)P，得到正四棱錐OABCD（如圖2則在正四棱錐OABCD中，以下結(jié)論正確的是()A．平面OAC」平面OBDB．正四棱錐O一ABCD中OA的長可以為8cm5πcmC．當(dāng)AP=2cm5πcmD．當(dāng)正四棱錐的體積取到最大值時(shí)，AP=4cm262024·廣東·高三統(tǒng)考期末）如圖，AB為圓錐PO1底面的直徑，PA=2，點(diǎn)C是圓O1上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，球O內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面相切點(diǎn)Q是球O與圓錐側(cè)面的交線上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．若PA⊥PB，三棱錐P-ABC體積的最大值為8B．若PA⊥PB，平面PBC與底面ABC所成角的取值范圍為,C．若PA=AB，內(nèi)切球O的表面積為D．若PA=AB，QA+QB的最大值為4272024·全國·模擬預(yù)測(cè)）斜圓錐顧名思義是軸線與底面不垂直的類似圓錐的錐體．如圖，斜圓錐PO的底面是半徑為2的圓，AB為直徑，C是圓周上一點(diǎn)，且滿足經(jīng)COB=60。．斜圓錐的頂點(diǎn)P滿足PB與底面垂直，PB=6,D是PB中點(diǎn)，Q是線段PC上任意一點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是()A．存在點(diǎn)Q，使得OQ」BCB．在劣弧上存在一點(diǎn)R，使得OD//QRC．當(dāng)PQ=時(shí)，DQ」平面PACD．三棱錐Q-ACD體積的最大值為2282024·廣東惠州·統(tǒng)考三模）在四面體ABCD分別是棱BC，AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AB,CD均與面EFG平行，則()A．直線AB與平面ACD所成的角的余弦值為B．四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值1C．三角形EFG的面積的最大值為D．四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為292024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐P-ABCD中，已知底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面‘PAD為正三角形．則()A．當(dāng)四棱錐P-ABCD為正四棱錐時(shí)．其側(cè)面積為12B．側(cè)棱PA與底面ABCD所成角的最大值為C．四棱錐P-ABCD體積的最大值為12 π 4D．四棱錐P-ABCD外接球體積的最小值為8π302024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)M，N分別為BC和CC1的中點(diǎn)，則()A．直線AD1//平面A1MNB．直線AM與直線D1N為異面直線C．點(diǎn)D到平面AMN的距離為D．若點(diǎn)Q為線段A1C上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)則經(jīng)AQD1的范圍為,312024·廣東揭陽·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為4，Q是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H在棱AA1上，且HA1=1，在側(cè)面BCC1B1內(nèi)作邊長為1的正方形EFGC1，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長，下列說法正確的是()A．A1Q∥平面AD1CB．A1Q與平面BCC1B1所成角的正切值得最大值為D．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，|HP|2的范圍是22,三、填空題322024·北京海淀·高三北京市十一學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BD上，點(diǎn)F在B1C上，且BE=CF，點(diǎn)P在線段CM上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論:①當(dāng)點(diǎn)E是BD中點(diǎn)時(shí)，直線EF//平面DCC1D1；②直線B1D1到平面CMN的距離是；④△PDD1面積的最小值是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.332024·河北石家莊·石家莊二中校考一模）已知三棱錐P-ABC頂點(diǎn)均在一個(gè)半徑為5的球面上，AB」BC,AC=8，P到底面ABC的距離為5，則PA2+PB2+PC2的最小值為.點(diǎn)F是線段AA1的中點(diǎn)，若D1E」CF，則當(dāng)‘EBC的面積取得最小值時(shí)，D1E=.352024·海南省直轄縣級(jí)單位·高三嘉積中學(xué)校考開學(xué)考試）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的數(shù)學(xué)著作，其中第十一卷稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．已知圓錐PO是直角圓錐，底面直徑AB=4,M是圓錐側(cè)面上一點(diǎn)，若點(diǎn)M到圓錐底面的距離為1，則三棱錐P一AMB體積的最大值為.362024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，經(jīng)B=,BC=2AB=4,D,E分別在AC,AB上，DE∥BC，沿DE將‘ABC翻折，使平面ADE」平面BCDE，則四棱錐A一BCDE的體積的最大值372024·全國·武鋼三中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P一ABC中，AP，AB，AC兩兩互相垂直，AB=AC,AB+AP=9，當(dāng)三棱錐P一ABC的體積取得最大值時(shí)，該三棱錐的內(nèi)切球半徑為.382024·全國·一模）在四面體ABCD中，AB」BC，BC」CD，AB=CD=，AD=，則四面體ABCD體積的最大值為.392024·河北唐山·高三開灤第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P在半徑為2的球面上,過點(diǎn)P作球的兩兩垂直的三條弦PA,PB,PC,若PA=PB,則PA+PB+PC的最大值為.402024·河北滄州·高三滄縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)M，N分別是棱CD,DD1的中點(diǎn)，則異面直線BN與CD所成角的余弦值為；若動(dòng)點(diǎn)P在正方形CDD1C1（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且B1PⅡ平面BMN，則線段B1P的長度范圍是.第5講體積、面積、周長、距離最值與范圍問題一、單選題√a2=2，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積的最小值為()【答案】C【解析】由題設(shè)知，三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)長方體的四個(gè)頂點(diǎn)，如圖.因三棱錐A-BCD中三組相對(duì)的棱長分別相等，長度分別為√1+a2，√1+b2，√a2+b2，故該長方體從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為1,a,b，且三棱錐A-BCD的外接球即為長方體的外接球，故外接球的直徑長為長方體的體對(duì)角線長√1+a2+b2，設(shè)外接球半徑為R，22故選:C.22024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）以半徑為R的球?yàn)閮?nèi)切球的圓錐中，體積最小值時(shí)，圓錐底面半徑r滿足(A.)r=R【答案】D【解析】設(shè)圓錐的高為h，如圖，為圓錐的軸截面，所以圓錐體積最小值時(shí)，圓錐底面半徑r滿足r=R.故選：D.32024·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線BC垂直單位圓O所在的平面，且直線BC交單位圓于點(diǎn)A，AB=BC=1，P為單位圓上除A外的任意一點(diǎn)，l為過點(diǎn)P的單位圓O的切線，則()【答案】D【解析】過A作AM」l于M，連接MB、MC，如圖所示，因?yàn)橹本€BC垂直單位圓O所在的平面，直線l在平面內(nèi)，且直線BC交單位圓于點(diǎn)A，所以AC」l，AM,AC一平面AMC，AMnAC=A，所以l」平面AMC，MC,MB一平面AMC，所以l」MC，l」MB，由已知得te(0,2]，2tanc=2tanc=t令f(t)=，則，tanθ=tan(c-β)=1t=1=t2f,(t)=t2-f,(t)=t22t22，當(dāng)te(0,)時(shí)，f,(t)>0，f(t)單調(diào)遞增，當(dāng)te(,2時(shí)，f,(t)<0，f(t)單調(diào)遞減，所以te(0,2]，當(dāng)t=時(shí)，f(t)取最大值，沒有最小值，即當(dāng)t=時(shí)tanθ取最大值，從而θ取最大值，由對(duì)稱性知當(dāng)t=時(shí)，對(duì)應(yīng)P點(diǎn)有且僅有兩個(gè)點(diǎn)，所以有且僅有兩點(diǎn)P使二面角B﹣l﹣C取得最大值.故選：D.42024·吉林長春·長春市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知A，B，C，D四點(diǎn)均在半徑為R（R為常數(shù)）的球O的球面上運(yùn)動(dòng)，且AB=AC,AB」AC,AD」BC，若四面體ABCD的體積的最大值為，則球O的表面積為()【答案】D【解析】因AB=AC,AB」AC,取BC中點(diǎn)為N，則AN」BC，又AD」BC，AN,AD仁平面AND，ANnAD=A，則BC」平面AND，BC仁面ABC，則平面ABC」平面AND，要使四面體ABCD的體積最大，則有DN」平面ABC，且球心O在DN上.設(shè)球體半徑為R，則OA=OD=R，則VD-ABC=SABC.DN=BC.AN.(R+ON)，又注意到BC=2AN，AN2=OA2-ON2=R2-ON2，則VD-ABC=SABC.DN=AN2.(R+ON)=R+ON)2(R-ON).注意到R+ON)2(R-ON)=R+ON)(R+ON)(2R-2ON)<.3=.3.223a2a2當(dāng)且僅當(dāng)2R2ONRON，即R3ON時(shí)取等號(hào).又四面體ABCD的體積的最大值為，則14R34R3.則球的表面積為4πR29π.故選：D52024·全國·高三專題練習(xí)）四棱錐SABCD中，側(cè)面SBC為等邊三角形，底面ABCD為矩形，BC2,ABa，頂點(diǎn)S在底面ABCD的射影為H，當(dāng)H落在AD上時(shí)，四棱錐SABCD體積的最大值是()【答案】A【解析】取BC的中點(diǎn)E，連接SE,HE，因?yàn)椤鱏BC為等邊三角形，則SEBC，又因?yàn)镾H平面ABCD，HE,BC平面ABCD，則SHHE,SHBC，且SEISHS，SE,SH平面SHE，可得BC平面SHE，由HE平面SHE，可得BCHE，如圖BCAB，則AB//HE，可知H為AD的中點(diǎn)，在△SBC為等邊三角形，可知BC2，則SE，在Rt‘SHE中，可知EHABa，SH，可得VSABCD可得V2a33a2323a2a242，即a=時(shí)，等號(hào)成立，所以VSABCD的最大值為1.故選：A.外接球的體積為,則BA+AC+CD的最大值為()【答案】A【解析】因?yàn)锳B=AD,BC=CD,AC=AC，所以△ABC≌△ACD，又因?yàn)锳B」BC，所以AD」CD，取AC的中點(diǎn)O，連接OA=OB=OC=OD=AC，所以O(shè)為三棱錐A一BCD的外接球的球心，外接球的體積為,因?yàn)锽A2+BC2當(dāng)且僅當(dāng)BA=BC=2時(shí)等號(hào)成立，則BA+AC+CD的最大值為4+故選：A.72024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐V一ABC中，BV」平面VAC，VA=1點(diǎn)F為棱AV上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作三棱錐VABC的截面，使截面平行于直線VB和AC，當(dāng)該截面面積取得最大值時(shí)，CF()【答案】C【解析】根據(jù)題意，在平面VAC內(nèi)，過點(diǎn)F作EF∥AC，交VC于點(diǎn)E；在平面VBC內(nèi)，過點(diǎn)E作EQ∥VB，交BC于點(diǎn)Q；在平面VAB內(nèi)，過點(diǎn)F作FD∥VB，交AB于點(diǎn)D，連接DQ，如圖所示，VFVEEFVAVCACVFVEEFVAVCAC則 2 2則 2 2又因?yàn)閂A1，2VA2AC2，22又BV平面VAC，VC，VA平面VAC，所以BVVC，BVVA.又AB，則BV1，BC.因?yàn)镕D∥VB，則ΔAFD-ΔAVB，同理可得QE1k，即QEFD，因?yàn)镋Q∥VB，F(xiàn)D∥VB，則EQ∥AFVAFDADABFDVBk，即FD1k，故四邊形EFDQ為平行四邊形；而EQ平面EFDQ，VB平面EFDQ，故VB∥平面EFDQ，同理AC//平面EFDQ，即四邊形EFDQ為截面圖形；又BV平面VAC，EF平面VAC，則BVEF，又FD∥VB，所以FD」EF.故平行四邊形EFDQ為矩形，則S矩形EFDQ=EF.FD=k.(1-k)=-(|（k-2+，所以當(dāng)k=時(shí)，S矩形EFDQ有最大值，則VF=kVA=，在RtΔCVF中，CF===.故選：C.82024·北京石景山·統(tǒng)考一模）點(diǎn)M,N分別是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中棱BC,CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng).若PA1//面AMN，則PA1的長度范圍是()【答案】B【解析】取B1C1的中點(diǎn)E，BB1的中點(diǎn)F，連結(jié)A1E，A1F，EF，取EF中點(diǎn)O，連結(jié)A1O，EM,∵點(diǎn)M，N分別是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中棱BC，CC1的中點(diǎn)，:AA1//BB1,AA1=BB1，BB1//EM,BB1=EM,:AA1//EM,AA1=EM，:四邊形A1AME為平行四邊形，:A1E//AM，而在平面B1BCC1中，易證MN//EF，∵A1E“平面AMN，AM仁平面AMN，:A1E//平面AMN，：EF“平面AMN，MN仁平面AMN，:EF//平面AMN，又：A1E（EF=E，A1E,EF仁平面A1EF，∴平面AMN//平面A1EF，∵動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且PA1//平面AMN，4∴點(diǎn)P的軌跡是線段EF，==，EF==，∴A1OLEF，∴當(dāng)P與O重合時(shí)，PA1的長度取最小值A(chǔ)1O=(5)2-=，:ΔA1EF為等腰三角形，∴P在點(diǎn)E或者點(diǎn)F處時(shí)，此時(shí)PA1最大，最大值為.「3]「3]故選：B.92024·江蘇淮安·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1L底面ABC，AC＝BC＝2，AA1=4，點(diǎn)D在上底面A1B1C1（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為()「243]「243]「243]「243]【答案】A【解析】如下圖所示：連接O1與A1B1的中點(diǎn)E，則O1E//AA1，所以O(shè)1EL面ABC.設(shè)球心為O，由球的截面性質(zhì)可知，O在O1E上，，半徑為R，因?yàn)镺A=OD=R，所以=， π外接球表面積最小為4πR2==6時(shí)，外接球表面積最大為4πR2=24π π外接球表面積最小為4πR2=「81]「81]故選：A102024·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，E是棱DD1的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的個(gè).①若E為DD1的中點(diǎn)，則直線B1E//平面A1BD②三棱錐C1-B1CE的體積為定值a3③E為DD1的中點(diǎn)時(shí)，直線B1E與平面CDD1C1所成的角正切值為④過點(diǎn)B1，C，E的截面的面積的范圍是|L2a2,【答案】B【解析】如圖,以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,(a)2所以點(diǎn)E到直線B1所以點(diǎn)E到直線B1C的距離為h=E2-d2.則B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，A1(0,0,a),B1(a,0,a)，D1(0,a,a).所以B1=(-a,a,-)，A1=(a,0,-a),B=(-a,a,0).對(duì)于①：當(dāng)E為DD1的中點(diǎn)時(shí)，E(0,a,).設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為=(x,y,z),(|（-=-豐0，所以與B1不垂直，所以直線B1E//平面A1BD不成立.故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：三棱錐C1-B1CE的體積等于三棱錐E-C1B1C的體積.對(duì)于③：當(dāng)E為DD1的中點(diǎn)時(shí)，E(0,a,).平面CDD1C1的一個(gè)法向量為A=(0,a,0),而B1E=|設(shè)直線B1E與平面CDD1C1所成的角為θ,所以a22 2所以cosθ=11-sin2θ即直線B1E與平面CDD1C1所成的角正切值為.故③正確；對(duì)于④：設(shè)E(0,a,z),(0<z<a).因?yàn)锽1=(0,a,-a)，E=(a,0,-z)，所以E在B1上得到投影為d===.222za+當(dāng)z=0，即D、E重合時(shí)，截面為矩形，其面積為a根a=a2. 當(dāng)0<z<a時(shí)，截面為等腰梯形.設(shè)截面交A1D1于F.所以EF=2(a-z)， 高h(yuǎn)=2za+22<0，所以f(z)在[0,a]上單調(diào)遞減函數(shù)，所以f(a)<f(z)<f(0)，即a4<f(z)<2a4.綜上所述：a2<S<a2.故④正確.故選：B112024·全國·高三專題練習(xí)）已知四面體ABCD的所有棱長均為，M,N分別為棱AD,BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱AB上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)．有下列結(jié)論：()①線段MN的長度為1；②點(diǎn)C到面MFN的距離范圍為|（0,2)||； 「)③ΔFMN周長的最小值為2+1；④ZMFN的余弦值的取值范圍為|L0,3)||.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()【答案】D【解析】：四面體ABCD所有棱長均為，:四面體ABCD為正四面體；對(duì)于①,作OD」平面ABC，垂足為O，：四面體ABCD為正四面體，:O為ΔABC的中心，:OeAN且AO=AN；取AO中點(diǎn)G，連接MG，則MG//DO，MG=DO且MG」平面ABC；2一2 2:AO=GN=AN=，：MG」平面ABC，GN仁平面ABC，:MG」GN，:MN==1，①正確；對(duì)于②,在AB上取點(diǎn)T，使得AT=AB，則OT//BC，:AN」OT，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OT,ON,OD正方向?yàn)閤,y,z()()()(2)()()()()設(shè)F(x,y,z)，A=λA(0<λ<1)，()():x=λλ，設(shè)平面MNF的法向量=(a,b,c)，:=,1,，n:d==，1()1()對(duì)于③,將等邊三角形ABC與ABD沿AB展開，可得展開圖如下圖所示，則MF+NF之MN（當(dāng)且僅當(dāng)F為AB中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)：四邊形ACBD為菱形，M,N分別為AD,BC中點(diǎn)，:MN=，:MF+NF之，則在四面體ABCD中，ΔFMN周長的最小值為+1，③正確；對(duì)于④,設(shè)Q為AB中點(diǎn)，若點(diǎn)F在線段BQ上，設(shè)BF= x，2 +x，2 ,2π()21()122x+2；在‘AMF中，同理可得：MF2=x2+x+，2MF.NF2|(221)(2|(221)(221)2xx 2：.4x4 2 2<x2x+2x21cos經(jīng)MFN=2.2x2.2x2++4x4「)同理可得：當(dāng)F在線段AQ上時(shí)，cos經(jīng)MFN的取值范圍為0,；「)綜上所述：經(jīng)MFN的余弦值的取值范圍為|L0,3)||，④正確.故選：D.二、多選題122024·山東聊城·高三統(tǒng)考期末）正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為1，P為側(cè)面AA1D1D上的點(diǎn)，Q為側(cè)面CC1D1D上的點(diǎn)，則下列判斷正確的是()B．若B1QAC1，則QCD1，且直線B1Q//平面A1BDC．若BP，則P到直線A1D的距離的最小值為D．若PA1D，則B1P與平面A1BD所成角正弦的最小值為【答案】AB【解析】對(duì)于A項(xiàng)，如圖，連結(jié)AC，AD1.33因?yàn)镃C1平面ABCD，BD平面ABCD，所以CC1BD.又BDAC，AC平面ACC1，CC1平面ACC1，ACnCC1C，所以BD平面ACC1.又AC1平面ACC1，所以BDAC1.同理可得，A1DAC1.又BD平面A1BD，A1D平面A1BD，A1DBDD，所以AC1平面A1BD.故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由A項(xiàng)可知：AC1平面A1BD.又B1QAC1，B1平面A1BD，所以直線B1Q//平面A1BD，故B項(xiàng)正確； 2對(duì)于C 252所以P在以B52為半徑的球上.又P為側(cè)面AA1D1D上的點(diǎn)，所以P在球被平面AA1D1D截得的交線上.因?yàn)锳B平面AA1D1D，AB1，BP ,2所以APBPBP2AB2 1,2所以P為以A點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.11-n---BPλ11-n---BPλλλλ223如圖，AP1」A1D，則AP1=，P到直線A1D的距離對(duì)于D項(xiàng)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x，y，z軸的正方向，因?yàn)镻eA1D，設(shè)=λ=(λ,0,λ)0≤λ≤1----------B----------BD的一個(gè)法向量.----則cosn1,B1P〉--------2nB----2nBP.(λ1)2+1《所以B1P與平面A1BD所成角正弦的最大值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.132024·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為6的正方體ABCD一A1B1C1D1中，M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段A1M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在正方形DCC1D1內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的有()A．存在點(diǎn)Q，使得QC」A1MB．存在點(diǎn)P，使得經(jīng)BPD=90。D．若經(jīng)AQD=經(jīng)MQC，則三棱錐Q一A【答案】BCD得A1D1」QC，而A1MnA1D1于是QC」平面A1BCD1，又D1C一平面A1BCD1，因此QC」D1C，而點(diǎn)Q在正方形DCC1D1內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，顯然不存在這樣的點(diǎn)Q，A錯(cuò)誤；對(duì)于BC，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(6,0,6),M(3,6,0),B(6,6,0),D(0,0,0)，故選：BCD令==λ(3,6,6)=(3λ,6λ,6λ)=(3λ,66λ,6λ6),=(3λ6,6λ,6λ6)，假定存在點(diǎn)P，使得經(jīng)BPD=90。，則.=3λ(3λ6)6λ(66λ)+(6λ6)2=0，整理得9λ214λ+4=0，而0≤λ≤1，解得λ=7一9，因此存在點(diǎn)P，使得經(jīng)BPD=90。，顯然點(diǎn)P(6一3λ,6λ,6一6λ)在直線DD1上的投影為點(diǎn)(0,0,6一6λ)，當(dāng)且僅當(dāng)λ=時(shí)取等號(hào)，因此△PDD1面積的最小值是x6x=，C正確；在平面DCC1D1內(nèi)以直線DC為x軸，線段DC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，因此以點(diǎn)E(5,0)為圓心，4為半徑的圓E在正方形DCC1D1及內(nèi)部的圓弧即為點(diǎn)Q的軌跡，當(dāng)點(diǎn)Q為線段CC1與圓E的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q到底面ABCD的距離最大，最大距離為42一|CE|2=2，所以三棱錐Q一ABD體積的最大值為xx62x2=12，D正確.2142024·廣東肇慶·高三廣東肇慶中學(xué)校考階段練習(xí)）三棱錐P-ABC中，AB=2，BC=1，AB」BC，直線PA與平面ABC所成的角為30。，直線PB與平面ABC所成的角為60。，則下列說法中正確的有()A．三棱錐P-ABC體積的最小值為B．三棱錐P-ABC體積的最大值C．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時(shí)，二面角P-BC-A的平面角為銳角D．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時(shí)，二面角P-BC-A的平面角為鈍角【答案】AC【解析】如圖（1）所示，作PH」面ABC，連接AH,BH,CH,因?yàn)橹本€PA與平面ABC所成的角為30。，直線PB與平面ABC所成的角為60。， PHBHPHAH PHBHPHAH,所以AH=PHPH=BH，即AH=3BH.,以AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立如圖（2）平面直角坐標(biāo)系，設(shè)H(x,y)，A(,0)，B(-,0)，222(5)229故點(diǎn)H的軌跡為x2(5)229故點(diǎn)H的軌跡為x22易知圓心Q-4 r=Q-48設(shè)點(diǎn)圓H與x軸的交點(diǎn)分別為M,N，BQ=r-BQBQ=r-BQBMBM<BH2又有PH=3BH又有 所以2PHe[6,6所以22332336 33根min23根min23max3故A正確，B錯(cuò)誤；(5)229PHCHtana=，設(shè)直線PC與平面PHCHtana=，3BHPHCH可得2x23BHPHCH可得2x2CH又由BH又由 x22x22 22x 22x-52x-2+2-2y+3-2x-2y+12x+4y-2+x,令k=y，結(jié)合斜率公式，可得k表示點(diǎn)H(x,y)與點(diǎn)(|（0,連線的斜率， 12由k=y-即kx-y 12x(5)2926可得kk23，解得k=48或k=2242248,BHCH取得最小值，此時(shí)點(diǎn)H在BHCH取得最小值，此時(shí)點(diǎn)H在‘ABC外故當(dāng)如圖：此時(shí)，二面角P-BC-A為銳角，故C正確；D錯(cuò)誤.故選：AC152024·全國·高三專題練習(xí)）已知邊長為2的等邊三角形ABC，點(diǎn)M,N均在平面ABC的上方，AM=3AN=3，且AM,AN與平面ABC所成角分別為,，則下列說法中正確的是()A．四面體ABCM的體積為定值B．‘AMN面積的最小值為C．四面體ABMN體積的最大值為1D．當(dāng)四面體ABMN的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為14π【答案】BCD【解析】由題意知，AM與AN是共軸的圓錐母線，如圖所示，對(duì)于A項(xiàng)，由題意知S‘ABC=2對(duì)于A項(xiàng)，由題意知 π因?yàn)锳M=3且AM與平面ABC所成角為 π 2 2所以四面體ABCM的體積為定值xx當(dāng)經(jīng)MAN=時(shí)，△MAN的面積最小，最小值為x1x3xsin對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)經(jīng)MAN=時(shí)，△MAN的面積最大，最大值為x1x3=3,2當(dāng)△MAN所在平面旋轉(zhuǎn)至與AB垂直時(shí)，四面體ABMN的高最長，最長值為2，所以體積的最大值為xx2=1，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)四面體ABMN體積最大時(shí)，線段AM，AN，AB兩兩垂直，所以其外接球直徑2R==，所以外接球的表面積為4πR2=14π,故D項(xiàng)正確.故選：BCD.162024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）如圖所示，正方體ABCD一A,B,C,D,的棱長為1，E,F分別是棱AA,,CC,的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱BB,,DD,交于點(diǎn)M,N，以下四個(gè)命題中正確的是()A．四邊形EMFN一定為菱形B．四棱錐A一MENF體積為C．平面EMFN」平面DBB,D,D．四邊形EMFN的周長最小值為4【答案】ACD【解析】由題意，正方體截面的性質(zhì)易知EM//NF,EN//MF，即EMFN為平行四邊形，取G,H為DD,,BB,中點(diǎn)，因?yàn)镋,F分別是棱AA,,CC,的中點(diǎn)，則EHFG為正方形，由M,N到面AEF的距離之和為底面對(duì)角線為，AMENFMAEFNAEF3‘AEF3226AMENFMAEFNAEF3‘AEF3226由菱形性質(zhì)知MN」EF，由正方體性質(zhì)知DD,」面EHFG，EF一面EHFG，則DD,」EF，又MNnDD,=N，MN,DD,一面DBB,D,，故EF」面DBB,D,，而EF一面EMFN，所以平面EMFN」平面DBB,D,，C對(duì)；M,N在運(yùn)動(dòng)過程中，僅當(dāng)它們?yōu)閷?duì)應(yīng)線段中點(diǎn)時(shí)，菱形EMFN各邊最短且為1，此時(shí)EMFN為正方形，周長為4，D對(duì).故選：ACD172024·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）如圖，多面體ABCDEF，底面ABCD為正方形，BF」底面ABCD，DE//BF，AB=DE=BF=1，動(dòng)點(diǎn)G在線段AF上，則下列說法正確的是()A．多面體ABCDEF的外接球的表面積為3πC．線段CG長度的取值范圍為,D．CG與平面AEC所成的角的正弦值最大為3【答案】AC【解析】對(duì)于A，由題意可知，多面體ABCDEF可以放在如圖所示的正方體當(dāng)中，設(shè)DF中點(diǎn)為O，則O為多面體ABCDEF的外接球球心，所以多面體ABCDEF的外接球半徑為=，將△ADF,△AFC如下圖所示展開，當(dāng)D,G,C三點(diǎn)共線時(shí)，CG+GD最小，在‘ACD中，由余弦定理得，CD2=AD2+AC2一2AC.ACcos∠150。， () ()則△CGD的周長最小為+1，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，------------------設(shè)平面AEC法向量=(x,y,z)，---CG.2m---則CG與平面AEC所成角的正弦值為=3x2(m2-m+1) 取得CG與平面AEC所成角的正弦值的最大值(1)233故選：AC其中λe[0,1]，μe[0,1]，則()A．當(dāng)λ=1時(shí)，存在點(diǎn)P，使得B1P∥平面A1C1DB．當(dāng)μ=1時(shí)，不存在點(diǎn)P，使得D1P」平面A1C1DC．當(dāng)λ,μ滿足λ2=μ時(shí)，點(diǎn)B1到平面PC1D1的距離的最小值為D．當(dāng)λ,μ滿足λ2+μ2=時(shí)，三棱錐P-ACD1的體積的最小值為【答案】ACD【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，當(dāng)λ=1時(shí)，取μ=0，則點(diǎn)P與A重合，得P(1,0,0)，--------------，∴B1P∥C1D--------------∵B1P丈平面A1C1D,C1D一平面A1C1D,∴B1P∥平面A1C1D，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)μ=1時(shí)，取λ=1，則點(diǎn)P與B重合，得P(1,1,0)，--------------------------------.D1P------------------------,A,A∴D1P」平面A1C1D，故B錯(cuò)誤；------------------得=(λ,λ2,0)，則P(λ,λ2,0),0<λ<1，-----------------------------DB.m-m3-----DB.m-m33設(shè)平面PC1D1的法向量為=(x1,y1,z1)，+λy11∴點(diǎn)B1到平面PC1D1的距離為1+λ222S△ACD1λ20λ20<λ<則可設(shè)則可設(shè)則則--------------設(shè)平面ACD1的法向量為=(x2,y2,z2)，y2∴點(diǎn)P到平面ACD1的距離為12123----DP.n1∵1∵=nn∴三棱錐P一ACD1的體積的最小值為S△ACD.hmin故選：ACD. 從而hmin 從而hmin= 2222192024·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=4,D是棱CC1上任一點(diǎn)，則()A．正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為488B．三棱錐A1ABD的體積為C．‘A1BD周長的最小值為84D．三棱錐A1ABD外接球的表面積最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A,正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1AB4，所以正三棱柱的表面積為S342242sin488，故A正確；對(duì)于B，過點(diǎn)C作CEAB,交AB于E,則E為AB的中點(diǎn)，依題可知平面A1ABB1平面ABC,且平面A1ABB1平面ABCAB,又CE平面ABC，則CE平面A1ABB1，則CE為點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離，正三角形ABC中，可求得CE2,又因?yàn)镈是棱CC1上任一點(diǎn),且CC1//平面A1ABB1，所以點(diǎn)D到平面A1ABB1的距離等于點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離，設(shè)點(diǎn)D到平面A1ABB1的距離為h，則h=2，‘AAB故B正確；對(duì)于C，由側(cè)面展開圖所示，‘A1BD周長所以其最小值為4+4，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,依題知，三棱錐A1-ABD外接球與四棱錐D-A1ABB1重合，半徑設(shè)為R,球心設(shè)為O,G為AB的中點(diǎn)，則DG=2,且CC1//平面A1ABB1,所以當(dāng)CC1與球外切時(shí)，球的半徑最小，此時(shí)，點(diǎn)D位于CC1的中點(diǎn)，如圖所示:OG2+GB2=OB2則(2-R22,解得R=，表面積為4πR2=,故D正確，故選:ABD.202024·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段B1C上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)則下列結(jié)論正確的是()A．PQ//平面A1C1DB．Q到平面A1C1D的距離為C．PQ與A1D所成角的取值范圍為,D．三棱錐B-PCQ外接球體積的最小值為【答案】ACD【解析】A：由題意可知PC//A1C1,B1C//A1D,PCnB1C=C,A1C1nA1D=A1，且PC,B1Cì面ACB1，A1C面A1C1D，所以面ACB1//面A1C1D，又因?yàn)镻Q仁面ACB1，所以PQ//平面A1C1D，故A正確；B：因?yàn)镻Q//平面A1C1D，所以Q到平面A1C1D的距離等于P到平面A1C1D的距離，以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖--------------------設(shè)平面A1C1D的法向量為=(x,y,z)，所以P到平面A1C1D的距離d=---n 33因?yàn)锽1C//A1D，所以PQ與A1D所成的角就是PQ與B1C所成的角，因?yàn)辄c(diǎn)Q是線段B1C上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)所以PQ與B1C所成角的最大值為π2所以PB+PC2=B1C2，所以在RtΔB1PC中，DPB1C=，即為PQ與B1C所成角的最小值，但不能取得，所以PQ與A1D所成角的取值范圍為,，故C正確；D：33因?yàn)閂B-PCQ=VQ-PBC，又‘PBC是直角三角形，BP」PC，取BC的中點(diǎn)E，則PE=BE=EC，因?yàn)槔忮FB-PCQ外接球體積最小，所以Q在PQ」QC處，所以QE=BE=EC，所以E為Q-PCB外接球的球心，所以BE=BC=1=R，所以VB-PCQ=VQ-PBC=πR3=π,故D正確；故選：ACDAB=2AC=2，過點(diǎn)A的平面C分別與棱PB，PC交于點(diǎn)M，N，則下列說法正確的是()A．三棱錐P-ABC外接球的表面積為6πB．若PC」平面AMN，則|MN|=2C．若M，N分別為PB，PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面AMN的距離為2D．‘AMN周長的最小值為3【答案】BCD【解析】取PB,AB中點(diǎn)為E,F，連接AE,EF,CF,,因?yàn)镻A」平面ABC，AB,CF一平面ABC，所以PA」AB,PA」CF,EF//PA,所以EFCF,又ACBC，且PA，AB2AC2，所以CFAB1,EFPA,CE因此EAEBEPEC,所以三棱錐PABC外接球的半徑R，表面積S4πR27π,A不正確.若PC平面AMN，AN,MN平面AMN,則PCAN，PCMN.PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC,又ACBC,PCBC,ACPAA,PA,AC平面PAC，所以BC平面PAC，PC平面PAC，故PCBC，所以MN//BC. 又NCACcos60，所以PN，M，解得|MN|343，B正確.因?yàn)镸，N分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以MN//BC，由于BC平面ANC,則MN平面ANC，又BC平面AMN，MN平面AMN，故BC//平面AMN，則點(diǎn)B到平面AMN的距離等于點(diǎn)C到平面AMN的距離. 4設(shè)點(diǎn)C到平面AMN的距離為d，易知AN1，MN，S△AMNANMN 4由VCAMNVMANC，得d，解得d，C正確.如圖，將ΔPAC，ΔPCB翻折至平面PAB內(nèi)，連接AA，易知AA即ΔAMN周長的最小值，AA PA2PA22PAPAcosAPA3，ΔAMN周長的最小值為3，D正確.2故選:BCD222024·全國·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點(diǎn)A,B距離之比為常數(shù)λ(λ>0且λ士1)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓,該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息解決下面的問題:在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=6,點(diǎn)E在棱AB上,BE=2AE,動(dòng)點(diǎn)P滿足BP=PE,F為棱C1D1的中點(diǎn),M為CP的中點(diǎn).以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.下列說法正確的是()阿波羅尼奧斯A．若點(diǎn)P只在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為3B．若點(diǎn)P只在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),則△PBC的面積最小值為9-3C．類比阿氏圓定義,點(diǎn)P在長方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí),P的軌跡為球面的一部分D．若點(diǎn)P在平面ADD1A1內(nèi)運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)M到平面FCB1的距離最小值為【答案】BC【解析】在xAy平面內(nèi),B(6,0),E(2,0),設(shè)點(diǎn)P(x,y),由BP=PE,得(x-6)2+y2=3(x-2)2+y2,即x2+y2=12,所以若點(diǎn)P只在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為2.44當(dāng)點(diǎn)P在長方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)P(x,y,z),B(6,0,0),E(2,0,0),:P的軌跡為球面的一部分,故C正確；當(dāng)點(diǎn)P在平面ADD1A1內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)P(0,m,n),所以點(diǎn)M到平面FCB1的距離為=. 所以點(diǎn)M到面FCB1的距離最小值為.故D錯(cuò)誤.故選：BC.232024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)M滿足-------------AM=xAB+yAD+zAA1，(x,y,zeR且x之0,y之-------------B．當(dāng)x=y=1,z=時(shí)，異面直線BM與CD1所成角的余弦值為C．當(dāng)x+y+z=1，且AM=時(shí)，則M的軌跡長度為D．當(dāng)x+y=1,z=0時(shí)，AM與平面AB1D1所成角的正弦值的最大值為63【答案】AD---1------1---【解析】對(duì)于A，在AB上取點(diǎn)H，使AH=AB，在DC上取點(diǎn)K，使DK=DC，因?yàn)閤=,z=0,ye[0,1]將平面B1HKC1與平面AHKD沿著HK展開到同一平面內(nèi)，如圖：連接B1D交HK于P，此時(shí)B,P,D三點(diǎn)共線，B1M+MD取到最小值即B1D的長，------22(3)252即此時(shí)B1M+MD的最小值為，A正確；1----------1------1----此時(shí)M為CC1的中點(diǎn)，取C1D1的中點(diǎn)為N，連接BM,MN,BN，則MN∥CD1,故經(jīng)BMN即為異面直線BM與CD1所成角或其補(bǔ)角，BM2+MN2BN25+232BM2+MN2BN25+2322BM.MN25.210而異面直線所成角的范圍為(0,]，故異面直線BM與CD1所成角的余弦值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)x+y+z=1時(shí)，可得點(diǎn)M的軌跡在ΔA1BD內(nèi)（包括邊界由于CC1」平面ABCD，BD一平面ABCD，故CC1」BD，又BD」AC，ACnCC1=C,AC,CC1一平面ACC1，故BD」平面ACC1，AC1一平面ACC1，故BD」AC1，同理可證A1B」AC1,ABnBD=B,A1B,BD平面A1BD，故AC1」平面A1BD，BD為邊長為2的正三角形，則點(diǎn)A到平面A1BD的距離為AP=若AM=AMAM2AP233即M點(diǎn)落在以P為圓心，3P點(diǎn)到ΔA1BD三遍的距離為xx2=<，22332,即M點(diǎn)軌跡是以P為圓心，為半徑的圓的一部分，其軌跡長度小于圓的周長,C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)锽1D1∥BD,BD丈平面AB1D1，B1D1一平面AB1D1，故BD∥平面AB1D1，點(diǎn)M到平面AB1D1的距離等于點(diǎn)B到平面AB1D1的距離，設(shè)點(diǎn)B到平面AB1D1的距離為d，ABB.AD‘AB1D1為邊長為2的正三角形，即S‘ABD.d=xx(2)2xd=，解得d=，又M在BD上，當(dāng)M為BD的中點(diǎn)時(shí)，AM取最小值，設(shè)直線AM與平面AB1D1所成角為θ,θE[0,]，則sinθ==<=，即AM與平面AB1D1所成角的正弦值的最大值為，D正確，故選：AD242024·甘肅·高三武威第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正四面體ABCD的棱長為4，點(diǎn)P是棱AC上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)過點(diǎn)P作平面β平行于AD、BC，與棱AB、BD、CD交于Q,S,T，則()A．該正四面體可以放在半徑為的球內(nèi)B．該正四面體的外接球與以A點(diǎn)為球心，2為半徑的球面所形成的交線的長度為C．四邊形PQST為矩形 π3D．四棱錐C一PQST體積的最大值為【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖，將正四面體放置到正方體中，易知正四面體外接球即正方體的外接球，因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長為4，所以正方體的邊長為2，易知正方體的外接球直徑為體對(duì)角線DE的長，又DE=2，所以正四面體的外接球半徑R==<，所以該正四面體可以放入半徑為的球內(nèi)，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知四面體外接球的半徑R=，AE2+AO2EO222+()2()2 2AE.AO2x2x66,所以sin經(jīng)EAO6,易知兩個(gè)球面的交線為圓，設(shè)AO與圓面的交點(diǎn)為O2，在Rt‘EO2A中，EO2=EAsin經(jīng)EAO2=2X=，所以兩個(gè)球面的交線的周長為2πX=π,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，取BC的中點(diǎn)M，連接AM,DM，易知DM」BC,AM」BC，又DM（AM=M，DM,AM一面ADM，所以BC」平面ADM，又AD一面ADM，所以BC」AD，又AD//平面β,平面βn平面ABD