2023-2024學年山東省棗莊市臺兒莊區(qū)高一年級下冊期中數(shù)學模擬試題

2023-2024學年山東省棗莊市臺兒莊區(qū)高一下冊期中數(shù)學模擬試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1(2-i)(l+i)=()

A.3+iB,l-2iC.3-iD.3

【正確答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算求解.

【詳解】由題意可得.(2-i)(l+i)=2+i-i2=3+i

故選：A.

2.若向量歷=(3,2),福=(一4,5),則點/的坐標為()

A.(—1,7)B,(7,-3)C.(-1，-3)D.(7,7)

【正確答案】B

【分析】求出CL即可得出點力的坐標.

【詳解】由題意，

?.?礪=(3,2),茄=(-4,5),

Λ04=05=(3,2)-(-4,5)=(7,-3)

.?.4(7,-3),

故選：B.

3.對于橫縱坐標均為整數(shù)的向量，若它們的模相同，坐標不同，則稱這些向量為“等模整向量”如

向量(1,1),(1,-1),(-1,1),(-L-1)是模為后的“等模整向量”，則模為Ji6的“等模整向量”的個

數(shù)為()

A.4B.8C.10D.12

【正確答案】B

【分析】根據(jù)“等模整向量”的概念求解.

【詳解】設向量為(”,b),則a?+/=1。，又α,b為整數(shù),

所以0,6從-1,L3,-3中取值，故符合條件的“等模整向量”為

(-1,3),(-1,-3),(1,3),(1,-3),(3,1),(3,-1),(-3,-1),(-3,1),共有8個.

故選：B

4.“近水亭臺草木欣，朱樓百尺回波清”，位于濟南大明湖畔的超然樓始建于元代，歷代因戰(zhàn)火及災澇

等原因，屢毀屢建.今天我們所看到的超然樓為2008年重建而成，共有七層，站在樓上觀光，可俯

視整個大明湖的風景.如圖，為測量超然樓的高度，小劉取了從西到東相距104（單位：米）的/,B

兩個觀測點，在力點測得超然樓在北偏東60°的點。處（4B,。在同一水平面上），在8點測得超

然樓在北偏西30。，樓頂C的仰角為45°,則超然樓的高度（單位：米）為（）

C.52D.52√3

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意結(jié)合直角三角形分析運算即可.

【詳解】由題意可得：^BAD=30o,ZABD=60°,ΛCBD=45°,AB=I04(米),

在△力8。中，可得408=90°,則8O=∕8?sinN8∕D=104χL=52(米),

2

在RtZ?BCD中，可得2?8Cz)為等腰直角三角形，即。C=BD=52(米).

故選：C

5.矩形NBCD中，NB=3,∕O=2,M為線段/8上靠近Z的三等分點，N為線段BC的中點，則

DM-AN=()

A.-1B.0C.1D.7

【正確答案】C

/----------------?UUULfiUUIl

【分析】以［力民Z。｝為基底向量表示OM,ZN，根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律分析運算.

【詳解】以｛刀,力｝為基底向量，

UUuruuurUUir∣uuruuuruuιrUUrUUurUUrιuuιr

則。河=力四一/。=—/8—/。,/%=/3+3%=43+—4。，

32

UlUUUU

因為N8_L/。，貝!∣∕8?ND=O,

ulr

uuuruuur(1uuruuur、/uurιuuur、ιuur->SUUUur∣uuαr2ιι

所以。Λ∕?∕N=—Z8—Z。?AB+-AD?=-AB——ABAD——AD=-×9一一x4=l

(3J?2√36232

故選：C

PFPF1PG1

6.三棱錐尸一Z8C的側(cè)棱P4P8,PC上分別有三點E,F,G,且一=1,——=-,—=—,則

EAFB2GC3

三棱錐尸—43C與P—ERG的體積之比是（）

A.6B.8C.12D.24

【正確答案】D

【分析】根據(jù)體積公式計算三棱錐尸-EEG的體積與三棱錐尸-48C的體積表達式，再求其比值.

【詳解】設4PFG的面積為5,,設APBC的面積為工，

則Sl=LP∕?PGsinZΛPG,SJ=-PB-PCsinZBPC,又/FPG=NBPC,

22

PF_1PG_1

~PB~3,~PC~4,

,

"S212

則EM//AN,.?.aPEM與APNN相似,

PE_1.EM

乂=—,??=—

PA2AN2

=VE-FPG=；S\.EM，

VP-EFGVP-ABC=VΛ-BPC-?S2.AN,

...々3=24,

Vp-EFG

???三棱錐尸一ZBC與P-MG的體積之比是24.

故選：D.

7.已知“8C的內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為α,b,ct若云=(b,b),〃=(cosC,JJsinC),

加?拉=Q+C，則3=()

兀兀兀兀

A.—B.-C.—D.一

2346

【正確答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算可推得bcosC+/SinC=a+c，正弦定理邊化角可得

sinScosC+JJsinBsinC=Sin/+sinC.然后根據(jù)三角形內(nèi)角和以及兩角和的正弦定理化簡可推

得JiSin8-cos6=l，輔助角公式化簡可求得Sin(3-=(,然后根據(jù)角的范圍，即可得出答

案.

【詳解】由已知可得，m?n=hcosC+yfibsinC=α+c?

由正弦定理邊化角可得，sinBcosC+?/?sinBsinC=Sin/+sinC?

因為SinZ=Sin(8+C)=sin8cosC+cosSsinC,

所以有百sinBsinC-CoSBSinC=sinC?

又SinC≠0,所以JJSin8—cosB=1，

即2sin(5-E)=1,所以=g.

ττττSJT

因為0<8<π,所以一月<8—乙<」，

666

所以8—二=工，所以8=1.

663

故選：B.

8.已知4,B,C,。四點都在表面積為IOO兀的球。的表面上，若/0球。的直徑，且

BC=4,NH4C=150°,則三棱錐Z。體積的最大值為()

A.4√3B.8√3C.4(2-√3)D.8(2-√3)

【正確答案】D

【分析】設4/8C的外接圓半徑為，?，圓心為。「根據(jù)正弦定理可求〃根據(jù)幾何關(guān)系可求。到平面

48C的距離為定值200∣,當AZBC面積最大時，三棱椎/-BCO體積最大，利用余弦定理、基本不

等式、三角形面積公式可求4/BC面積的最大值，即得.

【詳解】設球。的半徑為R,因為球。的表面積為IOO兀，故4πR2=ιoo兀，即R=5,

?.?8C=4,/BZC=120°,設4/8C的外接圓半徑為心圓心為0，

|。Oj=y∣Oβ2-O,β2=√52-42=3，

。是直徑，。是4。中點，故。到平面NBC的距離為2|。?卜6,

在4/2C中，根據(jù)余弦定理得，BC2AB2+AC2-2AB-AC-COSZBAC>

^?6=AB1+AC1+>∣3AB-AC≥2ABAC+^AB-AC，

：.AB?AC416(2-5,當且僅當ZB=ZC時，等號成立，

.?.ΛABC面積的最大值為S=；Z8-NC-sinN8ZC=；xl6(2—7J)x；=4(2—G),

/.三棱錐A-BCD體積的最大值K=∣×4(2-√3)×6=8(2-√3).

故選：D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得O分.

9.關(guān)于復數(shù)z∣,Z2,Z3,下列說法中正確的是()

22

A.㈤=目B.z1=∣z1∣

C.Z∣?(Z2+Z3)=Z∣?Z2+4?Z3D.zl+z2=z1+z2

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)復數(shù)的模及復數(shù)的乘法判斷B,C選項，根據(jù)復數(shù)的共物復數(shù)判斷D選項，結(jié)合共施復

數(shù)及模長判斷A選項.

【詳解】設Z]=Q+biz2=C+di∕3=加+而，

22,z

z∣=a-hi,?zy?=da?+b?,∣∑l∣=Jq+l,..∣∑1∣=∣ι∣A選項正確；

12

Z；=(Q+6i)^^=/—〃+24bijzj=(Ja2+〃)-a+〃,.?.??≠㈤一,B選項錯誤；

z1?(z2+z3)=(a+6i)(c+di+Tn+〃i)=(a+bi)(c+di)+(a+bi)(?n+〃i)=z1?z2+z1?z3,C選項

正確；

ZI÷z2=(c+m)+(d+")z,Z]+z2=(C+〃?)一(1+W)Z,

zλ+z1=c-di-?-m-ni-(c+m)一(d+〃)，

Z1+z2=z1÷z2,D選項正確;.

故選:ACD.

10.已知正四棱臺NBc。-44GA中，/8=4,4q=2,44=2,則關(guān)于該正四棱臺，下列說法

正確的是()

A.ZA1AB=-B.高為J5C.體積為"YZD.表面積為126

63

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征逐項分析判斷.

【詳解】過4分別作底面/88、的垂線，垂足分別為“、N,

則W=LNC=EZN=LZB=I,

44

2222

可得AxM=y∣AiA-AM=√2,AN=y∣AiA-AN=√3.

對于A：在RtN中，可得sinN∕∕N=4^=走,

1

AAi2

TT

且N//N為銳角，則///6=一，故A錯誤；

3

對于B：正四棱臺的高即為4"=J5,故B錯誤;

對于c：正四棱臺的體積/^4×4+2×2+V4×4×2×2j×V2=,故C正確;

對于D：四棱臺的表面積s=4χ4+2χ2+4χ9?^=20+12G,故D錯誤;

2

11.石墨的二維層狀結(jié)構(gòu)存在如圖所示的環(huán)狀正六邊形，正六邊形力8CQE/為其中的一個六元環(huán),

設Z8=l,P為正六邊形/8CZ)EF內(nèi)一點(包括邊界)，則下列說法正確的是()

b?ACAD^3AB2

13

C.力在荔上的投影向量為萬D.萬?益的取值范圍為一務,]

【正確答案】BCD

【分析】建系，利用向量坐標的運算判斷A、B、C,對于D：結(jié)合向量的投影分析運算.

【詳解】如圖，以點/為坐標原點建立平面直角坐標系，

則4(0,0),電,書,書,一用,D(2,0),E(∣?,抖尸(言

UUr?野斃=36UUlTUUlTi_r

可得/8=-γ,力力二（2,0）,4尸二

222,^2^

UuIUuUlUUUUUlUUUl

對于A：因為4∕8+4NE=(4,O),則力Q≠4/8+4月F，故A錯誤;

uιπruuαr3UUr2

對于B：ΛC?ΛD=-×2+×0=3=3AB,故B正確;

2

UUUl-UUrUUUTv1

對于c：因為｛48,40)=60。，則ADCOS〈AB,AD)=2、=1,

AB

所以而在布上的投影向量為=4B,故C正確;

AB

對于D：分別過C、尸作直線ZB的垂線，垂足分別為M、N,

則8M=∕N=1,可得萬在萬上的投影的取值范圍為一;17,3

2j22

13

且網(wǎng)=ι,所以I〉.］豆的取值范圍為-彳,，故D正確;

22

B,。所對的邊分別為〃，b,c,^ABC內(nèi)一點N滿足

sin,?該+sin8?赤+sinC?祝=0,NN與8C交于點。，則下列說法正確的是（）

rABACy

A.a?NA+b?NB+c?NC=QB.AN-O

jAB?~^[AC?y

D.AN=b'AB+C'AC

C.c-AD+b-AD=—besinA

2α+b+c

【正確答案】ABD

【分析】由正弦定理判斷A,再由向量的線性運算判斷D,根據(jù)數(shù)量積運算判斷B,由B知/N在角

平分線上可判斷C.

【詳解】VsinA?NA÷sinβ?NB+sinC?NC=O，

由正弦定理可得4.而+b?福+c?近=2R?0=d,故A正確;

.?.a(-^)+h(AB-AN)+c(AC-AN)=O，

可得麗=&C，故D正確；

a+b+c

(bAB+cAC)(bAB-CAC)-(h2c2-c2b2)

Λ___________be____________be故B正確:

^??-?a+h+ca+b+c

如圖,

??.是/力的角平分線，

.?.?e?AD?sin?√1+?/)??sin—A--bcs,mA,故C不正確.

22222

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.j2023=__________

【正確答案】-i

【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的周期性求解.

【詳解】i2023=i4×55÷3=i3=-i,

故-i

14.-8C中，ZD為邊BC的中線，48=3,4C=2,NBZC=60。，則中線的長為

【正確答案】巫##LM

22

【分析】由己知益=；（荏+就），然后平方根據(jù)數(shù)量積的運算律，即可得出答案.

C

所以，/=[1將珂回+k+2"可=；X(32+22+2X3X2X；)=?

所以，I布卜平，

所以，中線的長為丑.

2

故答案為.匣

2

15.設M為/BC內(nèi)一點，且而=J刀+4%,則AM3C與-3C的面積之比為

23---------------

【正確答案】-

【分析】根據(jù)題意結(jié)合三點共線的結(jié)論確定點M的位置，進而分析運算即可.

3uuur1Uiir1Uinr∣UUrιuu?r

【詳解】在ZC取點N,使得∕C=2∕N,則N/=—Z8+—NC=—Z8+—NN,

22322

可知：點M為BN的中點，

可得SAMBC

所以AMBC與“BC的面積之比為L.

6

故答案為.一

6

16.早在15世紀，達?芬奇就曾提出一種制作正二十面體的方法：如圖(1),先制作三張一樣的黃

金矩形Z8CZ）于奈=，然后從長邊C。的中點E出發(fā)，沿著與短邊平行的方向，即

（長邊2

EF=-AD,再沿著與長邊48行的方向剪出相同的長度，即尸E=EG；將這三個矩形穿插兩兩垂

2

直放置（如圖（2））,連接所有頂點即可得到一個正二十面體（如圖（3））.若黃金矩形的短邊長為2,

則按如上制作的正二十面體的表面積為，其內(nèi)切球的表面積為.

【分析】正二十面體的表面是20個全等的等邊三角形，且每個等邊三角形的邊長都等于黃金矩形的

短邊長可得其表面積，根據(jù)對稱性可知內(nèi)切球的球心在所有黃金矩形的對角線交點處，從而可求出球

的半徑，得出答案.

【詳解】正二十面體的表面是20個全等的等邊三角形，

且每個等邊三角形的邊長都等于黃金矩形的短邊長2.

所以表面積為：20×?×2×2×sin60o=20y∕3

2

根據(jù)對稱性可知：三個黃金矩形的對角線交于一點，設該點為。

由對稱性可知，內(nèi)切球和外接球的球心在所有黃金矩形的對角線交點處，

點。連接其中一個面/8C,如圖，作Oa_1面/8。，則。!為外接球半徑，。。為內(nèi)切球的半徑.

O

B

黃金矩形的短邊長為2,設長邊為2少，則_L=避二1,即2y=-7i-x2=>Λ+l

2y2√5-l

所以黃金矩形的對角線長為+(J?+Iy=JlO+26

所以外接球的半徑為：∣√10+2√5

由正三棱錐的性質(zhì)可知，O∣為-BC的中心，OC為-8C的外接圓半徑,

2迪，所以OC=述

所以2。C=

sin60°3,3

所以。*。…八空子喑

所以內(nèi)切球的表面積為乃電LS≥

故20√L(14+60

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知復數(shù)z=—

1+21

(1)求∣z∣;

(2)若Z是關(guān)于X的方程/+αχ+b=O的一個根，求實數(shù)。，6的值.

【正確答案】(1)√5

(2)a——2,h-5

【分析】(1)根據(jù)復數(shù)的除法求z,進而求模長;

(2)將Z代入方程，根據(jù)復數(shù)相等列式求解.

【小問1詳解】

55(1-2i)

因為Z=T^l-2i

(l+2i)(l-2i)

所以IZI=Λ∕1+22=y[5.

【小問2詳解】

由(1)可得：Z=I—2"

將Z代入方程/+6+b=O得：(l-2i)2+a(l-2i)+?=(a+6-3)+i(-2α-4)=0,

α+6-3=0

則，解得：a=-2,b=5.

2。+4=0

18.已知￡,及工是同一平面內(nèi)的三個向量，其中Z=(1,√J).

(1)若卜|=4,且?！ā?求C坐標；

⑵若W=I,且(a+B)_L(2”5B),求Z與B的夾角.

【正確答案】(1)工=(2,26)或"=(一2,-275)

π

(2)

3

【分析】(1)設Z=(X)),然后根據(jù)向量模以及向量垂直的坐標表示，列出方程組，求解即可得出

答案；

(2)根據(jù)已知可推得￡/=1，然后即可得出CoSG3)=；，進而得出答案?

【小問1詳解】

設C=(XM,

X2+y2=16[x=2X=-2

由已知可得｛r-,解得〈廣或＜

y-y∣3x=0=2√3y=-2y∕3

所以Z=(2,2√3)或"=卜2,-2碼.

【小問2詳解】

由已知可得，同=^l2+(√3j2=2.

由(a+B)_L(2a-5B)得(α+B)?(24-5B)=0,

即2α~—3α?B—5b~=O,

即8—3U=0,

所以α?B=l,

I--r?a`b1

所以cos（α））=Fm=

?a???b?2

因為，0≤G,B）≤π,

故（詞=]?

19.如圖，圓錐So的底面半徑為3,此圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓.

（1）求圓錐So的表面積：

（2）若圓錐SO的底面圓周和頂點S都在球。'的球面上，求球0'的體積.

【正確答案】（1）27π

（2）32√3π

【分析】（1）設C%=OB=r,S4=55=/,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，由兀∕=2ɑ=6兀求

得母線后再利用表面積公式求解.

（2）令So'=R,利用球的截面圓性質(zhì)，由OCP+OB?=。％?求得半徑即可.

【小問1詳解】

解：設OA-OB-r,SA-SB-I,

由題意得：兀∕=2πr=6兀，貝！I/=6.

所以SIM=TU7=18兀,S底=9τt,S表=S（W+S底=27π.

【小問2詳解】

令So'=R,

由0'。2+。82=o%2,得（3G-R）2+9=R2,

解得R=2√3.

4r-

故喂=-πΛ3=32√3π.

20.“SC中,內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知(6+c)(sin3+sinC)=αsinN+36sinC.

(1)求角A的大??；

(2)若“=2,求c-b的取值范圍.

TT

【正確答案】(1)A=-

(2)c一b€(-2,2)

【分析】(1)根據(jù)題意利用正、余弦定理分析運算；

(2)利用正弦定理進行邊化角，在結(jié)合三角恒等變換及余弦函數(shù)分析運算.

【小問1詳解】

因為S+C)(SinB+sinC)=4sin/+36SinC,

由正弦定理得(b+c)(b+c)=q2+3bc,整理得/+c?-q2=bc,

且4∈(0,7Γ),故/=

【小問2詳解】

a_b_c_2_4Λ∕3

4√3.d4√3.,,

因為sin/sin6sinC=τrτ^?,可得b=-----sin6,c=SinC，

33

T

則c-b=(SinC-Sin8)=+-sin5

=到1(@CoS8+'sin8-sin8

3122J

_4仆(下1.‰4√3(π}

=------------IcosdB—sinDB-........cosBT—

3122J3I6)f

因為0<8<=，所以色<8+4<型，則COS(B-卜AeL近,在、

366616H22J

所以竽cos(8+[)e(—2,2),即c-6e(-2,2)

21.已知“8C是邊長為2的等邊三角形，。為邊BC的中點，E為邊ZC上任一點（包括端點），F(xiàn)

在線段EO延長線上，且麗=而.

（1）當I3I最小時，求而?屁的值;

（2）求而.萬ζ的取值范圍.

3

【正確答案】（1）----

2

-9'

（2）0,-

【分析】（1）設在=4%（＞le[0,l]）,把麗轉(zhuǎn)化為質(zhì)一丸％，由IekI=J商I求出

ICFI=√4Λ2-4Λ+4,λ∈[0,1]＞從而可知當4=；時，|而|最小，把7萬.礪轉(zhuǎn)化為用彳瓦刀

表示，再把/1=；代入即可求出而.爐的值；

（2）把次.刀轉(zhuǎn)化為用刀,元表示，化簡為只含變量;I的二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值的方法

即可求得）萬.萬ζ的取值范圍.

【小問1詳解】

如圖，

設方=4次(2e[0,1])

CF=AF-AC=AE+2ED-AC=AE+2(AD-AE)-AC

2AD-AE-ACAB+AC-λAC-ACAB-AAC

2222

?CFI=y∣(AB-λAC)=y∣AB-2λAB-AC+λAC

因為刀?X=2'所以I醞I="7=177,4e[0,1]

當4=g時，I而I最小,

—>—-1—>—-(1—?—1—-21—?—-1—-23

此時Z0?8E=—(∕8+∕C)?—NC-ZB=--AB一一ABAC+-AC=一一.

212)2442

【小問2詳解】

由(1)知萬ζ—就=萬一;I就，故萬ζ=布+(1-2)%,

因為萬.萬=4就?[益+(1—；I)X]

=AAB-AC+(A-A2)AC2

=-4A2+6λ，

因為/IG[0,1],所以荏?#W0,義.

_4_

22.A48C中，內(nèi)角Z,B,C所對的邊分別為α,b,c.己知4αsinZ=6sinCcosZ+csinZcos8.

,、sinA.…

(1)求一^；的值；

s?nC

(2)若80是/力BC的角平分線.

(i)證明：BD2=BA-BC-DA-DC

(ii)若α=l,求8D?ZC的最大值.

qin/41

【正確答案】(1)