2023-2024學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

2023-2024學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.已知向量:=(l,-2),?=(-2Λ),且4〃匕，那么實(shí)數(shù)左=()

A.1B.-1C.4D.-A

【正確答案】C

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示列出方程即可求解女的值.

【詳解】?.I=(1,一2),?=(-2,?),且〃〃人

—2×(—2)=l×k9

解得k—4.

故選：C.

2.用二分法求方程的近似解，求得/(x)=V+2x-9的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示:

X121.51.6251.751.8751.8125

f(χ)-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793

則當(dāng)精確度為0.1時(shí)，方程d+2x—9=0的近似解可取為A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

【正確答案】C

【分析】利用零點(diǎn)存在定理和精確度可判斷出方程的近似解.

【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知/(L75)=-O.14<O,∕(1.8125)=O?5793>O,由精確度為0.1可知1.75=1.8,

1.8125≈1.8,故方程的一個(gè)近似解為1.8,選C.

不可解方程的近似解應(yīng)該通過零點(diǎn)存在定理來(lái)尋找，零點(diǎn)的尋找依據(jù)二分法(即每次取區(qū)間的中點(diǎn)，

把零點(diǎn)位置精確到原來(lái)區(qū)間的一半內(nèi))，最后依據(jù)精確度四舍五入，如果最終零點(diǎn)所在區(qū)間的端點(diǎn)的

近似值相同，則近似值即為所求的近似解.

3.將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)以后，有一個(gè)公式：∕=cosx+isinx,i是虛數(shù)單位，e為自然對(duì)

數(shù)的底數(shù).它建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，此公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中

的天橋”.根據(jù)公式可知，e爭(zhēng)表示的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面中的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【正確答案】B

【分析】由題設(shè)公式以及復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】e爭(zhēng)=CoS至+isin型=cos%∕]+isinj-q=J+"i

33(3)[3J22

即e爭(zhēng)表示的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于復(fù)平面中的第二象限.

故選：B

4.cos28cos17-sin28cos73=()

A.?B.走C.—D.--

2222

【正確答案】C

【分析】利用誘導(dǎo)公式及和角余弦公式，即可求值.

5

(詳解】原式=cos280Cosl7o-sin28osin170=cos(28o+17o)=cos45°=-?.

故選：C

5.已知ZiABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為4,b,c,若A=g,COSB=M6=3,則〃=()

A,?√7B.-√7C.—D.√3

272

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意和三角函數(shù)的同角關(guān)系求出sin8,利用正弦定理計(jì)算即可求出α.

【詳解】因?yàn)镃oSB=紐，8∈(0z),

7

所以sin8=Λ∕1-COS2B=,

7

由正弦定理，得上b

sinB

卜.4?sin?A7a萬(wàn)

所以AlnA_3.oχ√3χ7_3√7.

sinBsinB2√212

故選：A.

6.在_43C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c.若AJ-C,貝|J_A3C的形狀是（）

acosA

A.銳角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【正確答案】C

【分析】通過正弦定理將邊化為角，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.

【詳解】由正弦定理得SinBcosA=SinA-SinAeoS5,即sinC=SinA,

由于AC為三角形內(nèi)角，所以C=A.

故選：C.

7.在邊長(zhǎng)為2的等邊AABC中，。為AC的中點(diǎn)，”為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則MC?MO的最小值為（）

A.?B.UC.2D,

2816

【正確答案】D

【分析】以｛AB,AC｝為基底向量，利用向量的線性運(yùn)算可得MC=AC-=再

根據(jù)數(shù)量積可得MCMD=4λ2-3λ+2,結(jié)合二次函數(shù)求最小值.

【詳解】如圖：以｛48,4C｝為基底向量，∣A8∣=k4=2,AB?AC=∣A胤AqeoSzBAC=2

?AM=ΛAB,Λe[O,1]

MC=AC-AM=AC-ΛAB,MDAD-AM=^AC-AAB

MCMD=^AC-λAB^?^AC-λAB?=-AC2-^λAC?AB+λ1Al^=4萬(wàn)_32+2當(dāng)2=。時(shí)，取至IJ

8

最小值三23

Io

故選：D.

5tanCLI

8.已知e,∕∈((),7t),sin(a-/?)=-,=,貝!]α+Q=()

A.-πB.πC.-πD.—π

666

【正確答案】C

【分析】先利用三角函數(shù)的符號(hào)確定角。、β、c+月的范圍，再利用兩角差的正弦公式、同角三角

函數(shù)基本關(guān)系的商數(shù)關(guān)系得到關(guān)于SinaCoS"和COSCSin∕?的方程組，再利用兩角和的正弦公式求出

sin(ɑ+/?)=-1,進(jìn)而結(jié)合角α+6的范圍進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)棣?/?G(O,π),黑苴=-；<°，

JTJT

若0<0<5,5<￡<兀，貝IJ一兀vα-∕vθ,

此時(shí)sin（α-P）VO（舍）；

TTTT

若0</?<一,一<α<π,則0<。一/?<兀，

22

此時(shí)sin（。-尸）>0（符合題意），

所以O(shè)</<5,]<α<π,

口C（兀3兀）

即rι0+般〔/,引；

因?yàn)镾in（"0=∣且黑=q,

LLlCC5LSincrcosyff1

所以sinacos∕?一cosasinp=—且-----;=一~7

6cosasιn∕>4

12

解得SinaCos/=—,CoSaSin0=——,

63

則sin（α+￡）=-；,

所以α+4=?.

O

故選：C.

二、多選題

9.下列有關(guān)復(fù)數(shù)Z的敘述正確的是()

A.若zl,則三=iB.若z=l+1,則Z的虛部為一i

1

C.若z=α+αi,(αwR),貝IJZ不可能為純虛數(shù)D.若復(fù)數(shù)Z滿足'eR,則z∈R

Z

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的概念判斷各選項(xiàng)即可.

3

【詳解】對(duì)A,z=i=-i,所以彳=i,A正確；

對(duì)B,z=l÷τ=l-i,虛部是-1,B錯(cuò)誤；

1

對(duì)C,z=α+αi,(α∈R),若。=0,則Z=O是實(shí)數(shù)，若QW0,則z=α+tri是虛數(shù)，不是純虛數(shù)，C正

確；

.、1a-b?ab.

對(duì)于D，設(shè)z=α+阮(McR),因?yàn)閆=再和F=∕7瓦一/市I，

由一∈R得/?=0,則z∈R,所以D正確.

z

故選：ACD.

10.已知向量M=I,W=2,它們的夾角為60。，則()

A.ab=?B.∣2a+?∣=2>∕3

C.∣2o-?∣=2√3D.向量“與向量0_方的夾角為90°

【正確答案】ABD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)數(shù)量積的定義即可判斷；對(duì)于B,?2a+b?=y∣4a2+b2+4a-b,即可判斷；對(duì)于

C,∣2"-6∣=J4=?+b2-44)即可判斷;對(duì)于D,判斷e(4-b)是否為0即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,w??=∣w∣?∣?∣?cos60o=l×2×∣=l,所以A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,∣2a+?∣=y∣4a2+h2+4a-b=√4+4+4=,所以B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,?2a-b?=?∣4a2+b2-4ab=√4+4-4=2,所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,a-^a-b^=d2-cι?b=1-1=0,所以dd,(ɑ-b),所以D正確，

故選：ABD

11.(多選題)下列各式中，值為J的是()

Atan22.5°

A____________B.tan15?cos215

-1-tan222.5°

C.且cos2二—且Sin2±tan30°

312312，l-tan230°

【正確答案】AC

【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用切化弦以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦

公式可求解C；利用正切的二倍角公式的可求解D；

【詳解】A符合，原式，.S瞥2.5/fan45?

21-tan222.522

B不符合，原式=tanl5?cos215-cos215=cosl5sin15=JSin30??；

cos1524

序式-tan3012tan30°?tan60-^.

D不符合,∕ΛKΛ?∣?---------------∑:-X-------------—T

l-tan^3021-tan-3022

故選：AC.

12.在jABC中，內(nèi)角A、B、。所對(duì)應(yīng)邊分別為。、b、c,則下列說法正確的是（）

A.若A>B,則CoSA<cosB

B.若點(diǎn)G為一ASC的重心，則GA+G3+GC=0

C.若b=2,A=30的三角形有兩解，則α的取值范圍為（1,2]

D.若點(diǎn)。為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OA+203+30C=0，則S酒"：SAABC=1：6

【正確答案】ABD

【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)；利用重心的幾何性質(zhì)可判斷BD選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合求出

。的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋ǎ?lt;3<A<乃且余弦函數(shù)V=Cosx在（0,萬(wàn)）上為減函數(shù)，

所以，cosA<cosB,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，連接AG交BC邊于點(diǎn)。，則。為BC的中點(diǎn)，且AG=2GO，如下圖所示：

GD=GB+BD=GB+gBC=GB+g（GC-GB）=；（GC+GB

所以，GB+GC=2GD,所以，GA+GB+GC=GA+AG=0^B對(duì);

對(duì)于C選項(xiàng)，若人=2,A=30的三角形有兩解，如下圖所示：

由圖可得bsinA<a<b,B∣J1<?<2,C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，若點(diǎn)。為一ASC內(nèi)一點(diǎn)，且OA+2OB+3OC=0,

作O9=2O8,OC'=3OC,則OA+OBMOC=O，則。為?AB'C'的重心,

由重心的兒何性質(zhì)可知^ΔAOB,=SAAOC=^ΔB,OC'>設(shè)^ΔAOB,=^ΔAOC=S"oc=m>

S∣OB111I

因?yàn)椤?氐=所以，s^)B=-m,同理可得SAB。。=/“，S^oc=-m,

ΛΔAOB'VJDZZOJ

所以,sΛABC=^m+7m+τm=m'因此,SABOC：5△他C=I：6,D對(duì).

263

故選：ABD.

三、填空題

13.若不是方程e*+x=2的解，則不在區(qū)間內(nèi)(填序號(hào)).

①(-2,-1)；②(T0)；③(0,1)；@(1,2).

【正確答案】③

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=e*+x-2,利用零點(diǎn)存在定理即可判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，即方程的根所在

區(qū)間.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(x)=e*+x-2,則/(0)=T,f⑴=e-l>0,

顯然函數(shù)KV)是單調(diào)遞增函數(shù)，且連續(xù)不間斷，故其有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

./(0)=-l<0,/(l)=e-l>0,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)上，

所以e'+x=2的解在區(qū)間(0,1)上.

故(3).

14.若(l+ai)2(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)〃=.

【正確答案】±1

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得(l+αi)2=l-∕+2出，再根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，列出方程，即可求解.

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)(I+，")。=l+24i+(αi)2=l-∕+24i,

又由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則1-/=0,BPa2=I,解得a=±l?

本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類的應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的分類是解

答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知忖=2,M=3,α與/,的夾角為135,則人在ɑ方向上的投影向量為.

【正確答案】-逑“

4

【分析】利用投影向量的定理可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，B在〃方向上的投影向量為WCOS<α,"?j=?∣*［一等=

故答案為.-還“

4

四、雙空題

16.如圖，位于我國(guó)南海海域的某直徑為56海里的圓形海域上有四個(gè)小島，已知小島3與小島C

2

相距為5海里(小島的大小忽略不計(jì)，測(cè)量誤差忽略不計(jì))，經(jīng)過測(cè)量得到數(shù)據(jù)：cosZBAD=-.則

小島B與小島。之間的距離為海里；小島C與小島。之間的距離為海里.

【分析】由正弦定理求解80,由余弦定理求解C。

【詳解】圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，C為銳角，CoSC=I,sinC=@，

33

在三角形BCD中，由正弦定理得一ζ=2R,得BO=丁.

SinτC3

在三角形BC。中，由余弦定理得8∕T=8C2+C7>-2?8C?8?COSC

解得CD=I°+1°石,(負(fù)根舍去).

3

故2510+10后

?3-

五、解答題

17.已知復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)4，z2,4所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A(—1,1),B(l,2),C(-2,-l).

(1)求Z2+Z3,'■的值；

Zl

(2)求cosZABC.

i-3i

【正確答案】⑴―l+i,?

⑵迎

10

【分析】(I)首先根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)得到復(fù)數(shù)4,Z2,Z3,再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則

計(jì)算可得；

(2)首先求出血，BC,再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算可得；

【詳解】(1)解：因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)4，z2,Z3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A(T1),8(1,2),C(-2,-l),

所以Zl=-I+i,z2=l+2i,z3=-2-i,

所以z2+z3=1+2i+e2τ)=τ+i,&=罕

?/Z1-1+1(-1÷1)(-1-1)2

(2)解：因?yàn)锳(T,1),3(1,2),C(-2,-l),

所以BA=(Tl)-(1,2)=(-Z-1),BC=(-2,-1)-(1,2)=(-3,-3),

所以β4?3C=(-3)x(-2)+(T)x(-3)=9,

2222

∣βC∣=λ∕(-3)+(-3)=3√2,∣BΛ∣=√(-2)+(-I)=√5

BA-BC93√10

所以cos，。=網(wǎng)國(guó)=Kr-fr

18.在..ABC中，a,b,C分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，(&-ɑ)(sinB+sinA)=c(y∣3sinB-sinC).

(1)求A的大小；

(2)再在①α=2,②8=￡,③C=J0這三個(gè)條件中，選出兩個(gè)使一ASC唯一確定的條件補(bǔ)充在下

面的問題中，并解答問題.若，,求JLBC的面積.

【正確答案】(1)A=J;(2)見解析

O

(1)由題中條件，根據(jù)正弦定理，得到從+'2—"2=?c?,再由余弦定理，即可求出結(jié)果；

(2)方案一：選條件①和②，先由正弦定理求出6=20，再由余弦定理，求出C=&+#，進(jìn)而

可求出三角形面積；方案二：選條件①和③，先由余弦定理求出6=2,得到C=2G,進(jìn)而可求出三

角形面積.

【詳解】(1)H√?(?-ɑ)(s?nB+sinA)=c(y∣3sinB-sinC),

又由正弦定理=芻=?≠7,得

sinAsinBs?nC

S-d)(b+cι)=c(λ∕3?-c),

222

BPh+c-a=>j3bcf

?∣3bc_?/?

所以CoSA=

2bc^T^

因?yàn)镺VAV乃，

所以4=9.

(2)方案一：選條件①和②.

由正弦定理上7=—二，M?=-￡-sinB=2√2.

sinAsinBsinA

22

由余弦定理Z?=a+c-IaccosB，得

(2√2)2=22+C2-2×2CCOS^,

解得C=λ∕2+\/6.

所以—A3C的面積S=IaCSinB=LX2x(√∑+")x史=6+1.

222

方案二：選條件①和③.

由余弦定理儲(chǔ)=〃+/一勸CCoSA,得

4=?2+3?2-3Z?2,

貝∣J∕√=4,所以。=2.

所以C=2^3,

所以一ABC的面積S='bcsinA='x2x2gχ1=6.

222

本題主要考查解三角形，熟記正弦定理，余弦定理，以及三角形面積公式即可，屬于常考題型.

19.已知α,α為銳角，tanα=?∣,sin(α->5)=-y.

⑴求COS2α的值；

⑵求tan(α+∕J)的值.

7

【正確答案】⑴-二";

【分析】(1)根根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為tana,即可求解;

⑵根據(jù)已知得tan2a與tan(a-p)的值，由tan(α+0=tan[2c-(α-0],即可求解.

,16

Ccos2-α—s?ιrr?αl-tan2a_9_7

【詳解】()cos2a=——?---------

12

cos^α+sinal÷tana∣+?e25

~9

(2)因?yàn)?<α<j∣,所以0<2αv4，

.GAΓ∑-24sin2a24

sin2a=?j?-cos2a=——,tan2α=--------=------,

25cos227

又*尸為銳角，所以g<a—萬(wàn)苦,

2

cos(σ-β}=y∣?-sin^a-β)

sin(α~∕?)?

tan(α-/?)=

cos(a-02

tan2a-tan(a-β)41

所以tan(α+P)=tan[2a-(α-/)]二

1+tan2a×tan(a-y0)38

20.已知函數(shù)/(X)=2>∕3sinx?CosX-2cos2x(x∈R).

⑴求函數(shù)"x）的值域；

⑵在ABC中，角A3,C的對(duì)邊分別為々,Ac,若于⑻=-2,a=6求ABC的面積S的最大值.

【正確答案】⑴［一3』

⑵李

4

【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式即可化簡(jiǎn)/（X）,進(jìn)而可求值域;

（2）根據(jù)/（A）=-2結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得A=g,進(jìn)而由余弦定理以及不等式即可求解.

【詳解】（1）解：/（?）=2yβsinX-cosx-2??+COS=y/3sin2x-cos2x-1=2sin∣2x-—∣—1,

??.f(x)的值域?yàn)閇-35.

(2)解：由(1)知〃A)=2sin(2A-升1=-2,即sin(2A-￡]=,

由Ae(0,π),得乎

666

又由余弦定理得3=a2=b2+c2-2?ccosy=?2+c2+^≥3bc,即bc≤?,當(dāng)且僅當(dāng)人=C=I時(shí)等號(hào)成

立.

??S=—besinA≤—×1×—=—,

樹arγ2224

???ΛBC的面積S的最大值為且，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=l時(shí)取得.

4

21.如圖，在/8C中，己知AB=2,AC=3,/BAC=60,N為4C邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BC上,

且CM=2MB；

B

Λ/

C

N

(1)求線段AM的長(zhǎng)度，

(2)設(shè)AM與BN相交于點(diǎn)P,求/MPN的余弦值.

【正確答案】(I)AM=也

3

(2)_包

481

【分析】(1)設(shè)A8=α,AC=/?,把ɑ/作為基底，再根據(jù)題意將AM用基底表示出來(lái)，然后求出其模

即可，

(2)將BN用表示出來(lái)，然后利用向量的夾角公式求解即可

【詳解】(1)設(shè)AB=a,AC=6,則"=2,忖=3,(〃,6)=3,4-6=3,

11?1?1

AM=ABΛ-BM=AB+-BC=AB+-(AC-AB?^-AB+-AC=-a+-h

33、,3333

IAM=與，即AM=孚.

(2)因?yàn)锽N=-。+?,

2212Q113

所以BN=a+