第八章 二元一次方程組重難點知識歸納總結(jié)2023-2024學年人教版七年級數(shù)學下冊

二元一次方程組要點一、二元一次方程組的相關(guān)概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數(shù)（一般用和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.特別說明：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.例1.方程2x﹣=0，3x+y，2x+xy=1，3x+y﹣3x=0，x2﹣x+1=0中，二元一次方程的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2.關(guān)于x、y的方程mx﹣2y=x+1是關(guān)于x的二元一次方程，則m滿足條件為。3.方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y=k+8是關(guān)于x、y的方程，試問當k為何值時，（1）方程為一元一次方程？（2）方程為二元一次方程？要點二、二元一次方程的解1.定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.特別說明：二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式.例1.方程3x+y=7有（）個正整數(shù)解．A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)變式練習：1.二元一次方程2x+y=7的正整數(shù)解有（）四個 B．三個 C．二個 D．一個2.以為解的二元一次方程組（）有且只有1個B、有且只有2個C、有且只有3個D、有無數(shù)個例2.小亮解方程組的解為，由于不小心滴上了兩滴墨水，剛好遮住了兩個數(shù)●和★，則這兩個數(shù)分別為（）A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和﹣2要點三、二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如，二元一次方程組.特別說明：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思．例1.下列方程組是二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．變式練習：1.下列各方程組中，是二元一次方程組的是()A． B． C． D．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.特別說明：：（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個.例1.已知一個二元一次方程組的解是，則這個方程組是（）A．B．C．D．要點四、二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.特別說明：：(1)用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.例1.將方程32x-2y=1改寫成用含x的式子表示y的形式為A.y=34x-12B.y=-34x+12C.x=43y-變式練習：1.已知方程組5y=4A.利用①,用含x的式子表示y,再代入②B.利用①,用含y的式子表示x,再代入②C.利用②,用含x的式子表示y,再代入①D.利用②,用含y的式子表示x,再代入①例2.用代入消元法解方程組:(1)y=2x①,3變式練習：1.用代入消元法解方程組:（1）（2）QUOTE2x+y=5,x-y=1.2x+y=5（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.特別說明：：當方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加減消元法較簡單.例1.用加減消元法解方程組x+3y=8①,A.①+②,得4y=9B.①+②,得2y=9C.①-②,得4y=7D.①-②,得2y=7例2.二元一次方程組的解是______.變式練習：1.用加減法解下列方程組：(1)2x+y=2.用適當方法解下列方程組（1）；（2）；（3）例3.已知二元一次方程組x+2y=4,2變式練習：提升練習：已知x+2y-3z=0,2x+3y+5z=0，則。若2x﹣3y+z＝0，3x﹣2y﹣6z＝0，且xyz≠0，則＝．若x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15，則x+y+z的值是________。要點五、三元一次方程組1．定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.等都是三元一次方程組.特別說明：：理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組.2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)，最后再求出另一個未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；（4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；（5）將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．特別說明：：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據(jù)各方程特點尋求比較簡單的解法．（2）要檢驗求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．例1.解下列方程組（1）（2）（3）要點六、解含參數(shù)二元一次方程組例1.是關(guān)于x，y的方程組的解，則a，b的值是（）B、C、D、變式練習：1.已知是方程組的解，則代數(shù)式（a+b)（a-b）的值為____________。例2.方程組的解是二元一次方程x-y=1的解，則a的值為（）-1B、1C、2D、3變式練習：1.如果二元一次方程組的解是二元一次方程3x-5y-28=2的一個解，那么a的值是（）A.-7B.-11C.-3D.22.已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解互為相反數(shù)，則k的值是___________。例3.設(shè)（y≠0），則等于（）A、12B、-C、-12D、變式練習：如果x-y=5，y-z=5，則z-x的值是___________。例4.甲、乙兩人同解方程組，甲正確解得，乙因抄錯C解得，求A、B、C的值．變式練習：1.甲、乙兩人同解方程組時，甲看錯了方程（1）中的a，解得，乙看錯（2）中的b，解得．試求a、b的值．2.在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，而得到方程組的解為，乙看錯了方程組中的b，而得到方程組的解為（1）甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？（2）求出原方程組的正確解．要點七、應(yīng)用題二元一次方程應(yīng)用題例1.袋里有若干個大小相同紅球和白球，如果摸一紅球得5分，摸一白球得1分．那么總得分為20分摸法有多少種？（）A．3 B．4 C．5 D．6變式練習：1.為獎勵消防演練活動中表現(xiàn)優(yōu)異的同學，某校決定用1200元購買籃球和排球，其中籃球每個120元，排球每個90元，在購買資金恰好用盡的情況下，購買方案有種（兩種球都買）。二元一次方程組應(yīng)用題古文問題例1.我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問有多少匹大馬、多少匹小馬？若設(shè)大馬有x匹，小馬有y匹，則可列方程組為（

）A.

B.

C.

D.變式練習：1.古代“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索．索比竿子長一托，折回索卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索．用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．則繩索和竿長分別為（）A．30尺和15尺 B．25尺和20尺 C．20尺和15尺 D．15尺和10尺2.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作，方程術(shù)是它的最高成就，其中記載：五只雀，六只燕，共重1斤（等于16兩），雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕的重量為多少？設(shè)每只雀、燕的重量各為x兩、y兩，列方程組為（）A． B．C． D．2．用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可做盒身25個，或做盒底40個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒．現(xiàn)有36張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底可以使盒身與盒底正好配套？①設(shè)用x張制盒身，可得方程2×25x=40（36-x）；②設(shè)用x張制盒身，可得方程25x=2×40（36-x）；③設(shè)用x張制盒身，y張制盒底，可得方程組④設(shè)用x張制盒身，y張制盒底，可得方程組；其中正確的是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③提升練習：1.小明欲購買紅玫瑰、黃玫瑰、白玫瑰三種玫瑰花若干，若購買1束紅玫瑰，1束黃玫瑰，1束白玫瑰共需100元，若購買1束紅玫瑰，2束黃玫瑰，3束白玫瑰共需180元，那么下列判斷一定正確的是（）A．1束白玫瑰和1束黃玫瑰共60元B.1束紅玫瑰比1束黃玫瑰多10元 C.1束紅玫瑰比1束白玫瑰多20元D.1束黃玫瑰比1束白玫瑰多15元路程問題例1.甲、乙兩人練習跑步，如果甲讓乙先跑10米，甲跑5秒鐘就可追.上乙，如果甲讓乙先跑2秒，那么甲跑4秒就能追上乙，問甲、乙每秒各跑多少米?變式練習：1.甲乙兩人在一環(huán)形跑道上同時從A點勻速跑步，已知甲的速度比乙的速度快，若兩人同向出發(fā)，則兩人在6分鐘時第1次相遇；若兩人背向出發(fā)，兩人在3分鐘時第1次相遇，則甲的速度是乙的速度的（）倍．A．2 B．3 C．4 D．52.張翔從學校騎自行車出發(fā)去縣城，中途因道路施工步行了一段路，1.5h后到達縣城，他__________，路程全長20km，他騎車與步行各用多少時間？依題意，設(shè)騎車的時間為xh，步行的時間為yh，可列方程組為，則橫線上的信息可以是（）A．一半的路程騎車平均速度為15km/h，一半的路程步行平均速度為5km/hB．一半的路程騎車平均速度為5km/h，一半的路程步行平均速度為15km/hC．騎車平均速度為15km/h，并且騎車平均速度是步行平均速度的3倍D．騎車平均速度為15kmh，并且步行平均速度是騎車平均速度的3倍甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇.相遇后，拖拉機繼續(xù)前進，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機。這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米幾何問題例1.如圖：用8塊相同的長方形拼成一個寬為48厘米的大長方形，每塊小長方形的長和寬分別是多少？解：設(shè)小長方形的長是x厘米，寬是y厘米。題中的兩個相等關(guān)系：1、小長方形的長+=大長方形的寬可列方程為：2、小長方形的長=可列方程為：變式練習：1.有一塊長方形的牧場如圖（1），它的周長為700米，將它分隔為六塊完全相同的長方形牧場如圖（2），每一塊小長方形牧場的長和寬分別為？2.在長為10m，寬為8m的長方形空地中，沿平行于長方形各邊的方向分割出三個相同的小長方形花圃，其示意圖如圖所示，設(shè)小長方形花圃的長為xm,寬為ym，則（）A． B． C． D．3.在矩形ABCD中，放入六個形狀、大小相同的長方形，所標尺寸如圖所示，求圖中陰影部分的面積．銷售利潤問題例1.某班級為了獎勵在期中考試中取得好成績的同學，花了900元錢購買甲、乙兩種獎品共50件，其中甲種獎品每件15元，乙種獎品每件20元，若設(shè)購買甲種獎品x件，乙種獎品y元，則所列方程組正確的是（）A．B．C．D．變式練習：1.某商場按定價銷售某種電器時，每臺可獲利60元，按定價的九折銷售該電器10臺與將定價降低30元銷售該電器13臺所獲得的利潤相等．求該電器每臺的進價、定價各是多少元？方案選擇問題例1.我市移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù),A類是固定用戶:先繳50元基礎(chǔ)費,然后每通話1分鐘再付話費0.4元;B類是“神州行”用戶:使用者不繳月租費,每通話1分鐘會話費0.6元（這里均指市內(nèi)通話）；若果一個月9名師點睛內(nèi)通話時間為x分鐘，分別設(shè)A類和B類兩種通訊方式的費用為y1和y2元，（1）寫出y1、y2與x之間的關(guān)系式；（2）一個月內(nèi)通話多少分鐘，用戶選擇A類合算？還是B類合算？（3）若某人預(yù)計使用話費150元，他應(yīng)選擇哪種方式合算？變式練習：1.某商場計劃撥款9萬元從廠家購進50臺電視機，已知廠家生產(chǎn)三種不同型號的電視機，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元。(1)若商場同時購進其中兩種不同型號的電視機50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案；(2)若商場銷售一臺甲、乙、丙電視機分別可獲利150元、200元、250元，在以上的方案中，為使獲利最多，你選擇哪種進貨方案？2.隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具，某汽車4S店計劃購進一批新能源汽車進行銷售．據(jù)了解，購進3輛A型新能源汽車、2輛B型新能源汽車的共需95萬元；購進4輛A型新能源汽車、1輛B型新能源汽車的共需110萬元．問A、B兩種型號