圓錐曲線(xiàn)復(fù)習(xí)第十七講：圖形問(wèn)題5（解析版）

第十七講：圖形問(wèn)題5

3【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線(xiàn)，拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；

應(yīng)用目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線(xiàn)，拋物線(xiàn)中圓的幾何特征，以及幾何特征的代數(shù)轉(zhuǎn)換；

拓展目標(biāo)：能夠熟練應(yīng)用圓的幾何特性，并用簡(jiǎn)單的代數(shù)進(jìn)行表示達(dá)到數(shù)與形的結(jié)合，推導(dǎo)出

圓的方程，弦長(zhǎng)等問(wèn)題.

素養(yǎng)目標(biāo)：通過(guò)數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生

的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

【基礎(chǔ)知識(shí)】

1、直徑圓過(guò)定點(diǎn)

直徑所對(duì)的圓周角為直角，即用向量數(shù)量積為零

2、圓的方程

求解圓心(α,6)和半徑廣，表示出來(lái)(x-αf+(y-6f=r^.

3、四點(diǎn)共圓

①找到對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)為直徑，利用直徑所對(duì)額圓周角為直角，進(jìn)行向量數(shù)量積證明或翻譯求解參數(shù)

②四點(diǎn)共圓，即四邊形對(duì)角互補(bǔ)，利用余弦相加等于零進(jìn)行求解.

黎【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：直徑圓過(guò)定點(diǎn)

(、］例L已知橢圓E：，+￡=l(a>h>())過(guò)點(diǎn)B((M),且離心率e=#?

(1)求橢圓E的方程；

(2)若斜率為〃的直線(xiàn)/交橢圓E于C、。兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)T((V)(∕≠1),問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)r使得以CO為直

徑的圓恒過(guò)點(diǎn)8?若存在，求f的值，若不存在，說(shuō)出理由.

【答案】⑴《+V=I

4

⑵存在實(shí)數(shù)f使得以CD為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)B,且r=-1.

【詳解】(1)解：已知橢圓匕W→W?=l(α>10)過(guò)點(diǎn)3(0,1),則匕=1,又離心率6=￡=1,

aa2

且Y="+'?,所以可得α=2,c=6,所以橢圓E的方程為二+V=1.

4

(2)解：依題意,設(shè)直線(xiàn)/的方程為y="+7,代入E+y2=ι,

4.

W(4?2+1)X2+8J?X+4∕2-4=0.

設(shè)C(Xl,X),D(X2,%)，則%+%,=-,,xlx2=4ττ-7?

4k^+l4?^+l

假設(shè)存在實(shí)數(shù)f,使得以C。為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)8,則BCLBO.

又3C=α,χ-l),SD=(x2,y2-l),

χ

BCBD=XlXI÷(γ1—l)(y2—1)=^∣-?÷(λ∣+t-l)(kx1+^-1)=0,

22

即(k+IMX2+k(t-I)(Xl+x2)÷(r-l)=0,

將X∣+Λ2=-券匚，XR=曳二代入，整理得5∕-2f-3=0,解得f=-=(rκl),

4?-+l4?2+l5

3

即當(dāng)t=4時(shí)，存在實(shí)數(shù)f使得以CQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)8.

變式訓(xùn)練1.已知橢圓E的焦點(diǎn)在X軸上，離心率為斗，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

(1)求橢圓E的方程;

(2)直線(xiàn)/：V=依-2與橢圓E相交于AB兩點(diǎn)，且原點(diǎn)。在以A3為直徑的圓上，求直線(xiàn)/斜率上的值.

【答案】⑴二+產(chǎn)=]

4-

⑵A=±2

22

【詳解】⑴解：依題意，可設(shè)橢圓E的方程為鼻+二=l(a＞匕＞0),

cι~b"

,3=B,:.a=與C,又從=∕-C2=>?2,

a2v33

.橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,且)，則有17+=τ=l,,即得2+2=1,

2a~4?24c~4c

解得。=石，a=2f?=1,

，橢圓的方程為9y*?

(2)解：記A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(Xl,J?),β(x2,y2),

由/?y=k”x-22=4消去九得W.+.'-'+-,

直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

3

.?.Δ=(16?)2-4(4^2+l)χl2>0,即％2>—，

4

」士UefTRq16k12

由韋達(dá)定理內(nèi)+??="C-玉M=K~7，

4r+l4?2+l

原點(diǎn)。在以A8為直徑的圓上，

.-.OAVOB,即OAOB=O，

又Q4=(x∣,y,),OB=(X2,y2),

OA-OB=xlx2+y∣y,=xix-,+(fcvl-2)(Ax,-2)

22

=(k+1)ΛI(xiàn)X2-2k(xl+x2)+4=(?+l)-^^???+4=0.

B∣J^(Λ2+l)×12-2jt×16?+4(4?2+l)=0

所以4公=16

:.k2=4>—,

4

k=±2.

變式訓(xùn)練2.已知橢圓C:5+/=l（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為AB,且IABl=4,離心率為1

（1）求橢圓C的方程；

⑵設(shè)戶(hù)是橢圓C上不同于AB的一點(diǎn)，直線(xiàn)抬，心與直線(xiàn)χ=4分別交于點(diǎn)MM試判斷以MN為直徑的

圓是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）二+￡=1

43

（2）以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)（L0）,（7,0）,

3=4卜=2

【詳解】（1）由題意可知e=￡=（,解得。=G,

a2

222

a=b+cIC=I

r22

所以所以求橢圓。的方程為二+Lv=ι.

43

（2）設(shè)P（s〃）（mw±2）,由（1）可知3>+4∕=i2,RA,PB斜率存在且不為0,

依題意可知PA的直線(xiàn)方程為y=一二(χ+2),

PB的直線(xiàn)方程為y=-A-(Λ-2),

m-2

令X=4,可得

?w+2√Im-2J

假設(shè)以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，不妨設(shè)定點(diǎn)為。(%,%)，

依題意可知，MQlNQ,所以MQ?NQ=O,

4

MQ-NQ=X0-4,y0--^~?[?->‰--?

\777+2Vm-2

/人228〃?〃-8〃Xln2

=(?-4)÷Λ-?Ξ7-Λ÷^

因?yàn)?nι2+4/?2=12?

所以MQ?N0=(x。-4)2+*_嗎-,%-9.

tn—4

因?yàn)镸Q?NQ=O,

-/Λ?228∕nπ-8nC?

所以(??-4)+%-----2^^?-9=0,

tτ?！?

令No=。，可得(為-4)2=9,解得%=1,Xo=7,

所以以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(1,0),(7,0),

變式訓(xùn)練3.已知橢圓C：]+g=l(4>6>0)上點(diǎn)P(Iq)與圓χ2+(y-∣J=ι

上點(diǎn)M的距離的最大值為

?[u+1?

(1)求橢圓C的方程;

⑵動(dòng)直線(xiàn)1與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)Q(O,G)(Q與A,B不重合)，證明：動(dòng)直

線(xiàn)1過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

)9

【答案】(I)J匕=1

43

⑵證明見(jiàn)解析，直線(xiàn)1過(guò)定點(diǎn)0,

【詳解】⑴因?yàn)闄E圓C：J+,=l(α>b>0)過(guò)點(diǎn)p(l,∣

19

V+0—?∣J=1的圓心為N[O,∣],半徑為1,

點(diǎn)p(l,∣)與圓/+卜Kj=I上點(diǎn)M的距離的最大值為IPM加上半徑,

即J(I-0)2+(|一|)+1=√2÷1=√^÷1,

解得：Q=2,b=6，

22

則橢圓C的方程為三+匕=1.

43

(2)當(dāng)直線(xiàn)1斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)1：y=kx+my

?2^∣+?[2=(3+4%2卜2+8人煙+(4療-12)=0,

-Shn

設(shè)點(diǎn)A(%,χ),8(Λ2,%),則1,1>

4777-12

QA?QB=(占,y-G){Λ2,%-石)=x/2+(M-G)(丫2-

*2*47

=X1X2+(AXl+機(jī)一6)(仇+ZJi--73)=(1+)-v∣x2+(5一GA)(Xl+x2)+(w-?^)

2

=(l+?η±?+(?w-√3?)^r+(w-√3)=0,

所以7，/-6?∣3m-3=0nm=JJ或加=—且■.

7

則直線(xiàn)1：丫=丘+石或1：y=kx-^γ-,

因?yàn)镼與A,B不重合，故y=H+√5不合要求，

所以直線(xiàn)1：y=kx-^-,即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)jθ,-g

7(7

當(dāng)直線(xiàn)1斜率不存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)1：x=t,不妨設(shè)Ar,^3-→2,Bp,-^3-→2

所以，=(),直線(xiàn)1：x=0,因?yàn)镼與A,B不重合，所以不滿(mǎn)足題意.

綜上，直線(xiàn)1過(guò)定點(diǎn)。,-岑.

考點(diǎn)二：求圓的方程

］例1.設(shè)拋物線(xiàn)Gy2=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且斜率為人僅>0)的直線(xiàn)/與C交于A,B兩點(diǎn)，IABI=8.

(1)求/的方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程.

【答案】(1)y=xT;(2)(x-3)2+(y-2)2=16^(x-ll)2+(y+6)2=144.

【詳解】(1)［方法一］：【通性通法】焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用

由題意得尸(1,0),設(shè)直線(xiàn)1的方程為y=M尤-D(k>0).

設(shè)A(XQj,3(々,%)，由T?得心2-(2^+4卜+公=0.

2女2+4

Δ=1Gk2+16=0,故%+/=2-?

K

所以IABl=∣AF∣+∣BF∣=(x1+l)+(x2÷1)=∣ζ2^,

Δ,L~-L4

由題設(shè)知紇誓=8,解得A=T(舍去)或Z=L因此1的方程為y=χ-ι.

k2

［方法二］:弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用

由題意得尸(1,0),設(shè)直線(xiàn)1的方程為y=MχT)(k>0)?

設(shè)&斗,X),B(X2,%)，貝岫［；：￡一'得K2ΧI-(2^2+4)X+?2=0,Δ≈16?2+16>0.

IABI=√iTF?'原2+16=4(1+4)由4(1+.)=8,解得A=T(舍去)或ζ=1.因此直線(xiàn)1的方程為

k2k2k2

y=χ-?.

［方法三］：【最優(yōu)解】焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用

設(shè)直線(xiàn)1的傾斜角為。，則焦點(diǎn)弦|48卜3-=一一=8,解得41?。=1,即碇11g=立.因?yàn)樾甭?>0,

sin-asina22

所以Z=tanα=l.

而拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為F(1,O),故直線(xiàn)1的方程為χ-y7=O.

［方法四］:直線(xiàn)參數(shù)方程中的弦長(zhǎng)公式應(yīng)用

x—I+/cosCt

一.,,(t為參數(shù)).

{y=tsιna

代入y2=4X整理得sin?d—4cosa?∕-4=0,A=16>0.

，EA3、I.,,4cosa4

設(shè)兩根為∣1J2,則nl∕∣+八二—-JM=———?

sin"asin"a

-=

由IAB∣=∣f1J(r∣+芍)~_4體=8，解得Sinct=

x=l+邑

因?yàn)?>0,所以COSa=也，因此直線(xiàn)1的參數(shù)方程為<2

2√2

V=——Zo

2

故直線(xiàn)1的普通方程為y=x-1

［方法五］：【最優(yōu)解】極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

2

以點(diǎn)F為極點(diǎn)，以X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，此時(shí)拋物線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為P=-----------.

I1-CoSa

/、,、22

設(shè)Ag,α),8(α,α+4)，由題意得夕I+￡=";----------÷---------:-------7=8,解得a=45。，即Z=tanα=l.

''l-cosa1-cos(α+?)

所以直線(xiàn)1的方程為y=χ-i?

(2)［方法一］：【最優(yōu)解】利用圓的幾何性質(zhì)求方程

由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線(xiàn)方程為

y-2=-(x-3),即y=-x+5.

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(XO,%),則

因此所求圓的方程為(x—3Y+(y-2)2=16或(x-liy+(y+6)2=144?

［方法二］:硬算求解

由題意可知，拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)為x=T,所求圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切.

設(shè)圓心為色力)，則所求圓的半徑為α+l?

由得A(3+2√2,2+2√2),B(3-2√2,2-2√2).

(3+2√2-a)2+(2+2拒-b)2=(a+1)2

所以

(3-2√2-a)2+(2-2>∕2-?)2=(α+1)2'

4=3α=ll

解得b=2或

?=-6,

所以，所求圓的方程為。-3)2+(丫-2)2=16或(*-11)2+(丫+6)2=144.

變式訓(xùn)練L已知拋物線(xiàn)C:V=2PX(O<p<4),其上一點(diǎn)Ma4)到焦點(diǎn)F的距離為5.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線(xiàn)/：y=-；x+b與拋物線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn),且以A3為直徑的圓與X軸相切，求該圓的方程.

【答案】⑴V=4x

⑵卜-V)+(y+4)2=16

Q

【詳解】⑴解：將M(f,4)代入拋物線(xiàn)的方程得16=2物，.?.，=一,

由拋物線(xiàn)得定義得IMFI=￡+5=5,解得P=2或p=8,

因?yàn)?<p<4,所以p=8(舍去)，

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=4x?

(2)解：由題意得，γv~__2lxv++?,消去X得/+8y-助=0,

J2=4X

由A=64+32?>0,解得匕>一2,

設(shè)A(ΛPX),B(x2,y2),圓心Q(J?,%),

所以y+%=-8,yly2=-8b,

則%=臂，%=a∣A=4

由題意知圓的半徑r=∣%∣=4,|明=8,

又IA8卜，(1+4)[(必+%)-%%]=√5(64+32?),得√5(64+32?)=8,

解得b=-∣,滿(mǎn)足6>-2,所以

m^?=-2γ0-y=-2×(-4)-y=y,即圓心。(茅f,

所以圓的方程為(X-空j+(y+4)2=16.

22

變式訓(xùn)練2.已知橢圓C：?+?=l(a>b>O)的離心率為:，左、右焦點(diǎn)分別為Fl,F2,過(guò)Fl的直線(xiàn)

1交C丁A.B兩點(diǎn).當(dāng)IjLX軸時(shí)，4ABF2的面積為3.

(1)求C的方程；

(2)是否存在定圓E,使其與以AB為直徑的圓內(nèi)切？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的圓E的方程：若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】⑴三+二=1

43

z√IY281"3Y225

(2o)x+-+y*?=一或x+—+y=—

I4)-16I4；-16

1Q1

【詳解】(I)已知橢圓C的離心率為:，所以￡=：；

2a2

12h2

由當(dāng)X軸時(shí)，^ABF2的面積為3,得Lχ2CX"-=3,即2b7=34,又α=2c,

2a

所以〃=3,又/=〃+/,則α=2c=2,橢圓方程為乙+上=1.

43

卜2Q

(2)當(dāng)X軸時(shí)，以AB為直徑的圓的圓心為Fl(—1,0),≠?∕=-=-；

1a2

當(dāng)1為X軸時(shí)，以AB為直徑的圓的圓心為0(0,0),半徑4=4=2；

因?yàn)橹本€(xiàn)1過(guò)點(diǎn)Fl,所以以AB為直徑的所有圓關(guān)于X軸兩兩對(duì)稱(chēng)的，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，圓E與以AB為直徑的圓內(nèi)切時(shí)，圓心在X軸上.設(shè)圓心E(",0)(“<0),半徑為R,

當(dāng)以AB為直徑的圓在圓E內(nèi)部與E相切時(shí)，

則但用=R_],∣W=R-2,故但用TEa=J

又∣%∣+∣叫=1,所以但0|=；,IE用=?,即E(-JO],/?=1,圓E的方程為(x+；j+y2=\；

當(dāng)以AB為直徑的圓在圓E外部與E相切時(shí)，

a1

則但用=；_R,∣EO∣=2-R,故IEoITE用=5,又但耳∣+∣Ea=1,

所以IEa=IE用=；,即《一：,0),R=；,圓E的方程為卜+:]+/=亮；

當(dāng)直線(xiàn)1斜率不為零時(shí)，設(shè)直線(xiàn)1的方程為》=陽(yáng)-1,A(XQJ,B(x2,y2),

x=my-?

聯(lián)立*/_,得（3病+4卜2-6沖一9=0,

---F-——1

43

6m9

則X+%=3∏Γ+4,"3∕τ?+4,

43m

所以AB的中點(diǎn)即以AB為直徑的圓的圓心M-半徑

3m2+4'3m2+4

L而々(mi%=、而Jd就r誓],當(dāng)圓E的方程為

I+Y時(shí),

X+i

23（"，+4）

3m

3∕n2÷44（3∕n2+4j,

9

此時(shí)RT=Z=?ME?,所以以AB為直徑的圓與E相切.

3療+44（3/+4）

當(dāng)圓E的方程為D-+^q時(shí),

2|2_9療+4

431+3m

?ME?=32+4+4I一不耐+力'

fn3m2+4

6（1+叫59∕M2+4

止匕時(shí)r-R=∣ME∣,所以以AB為直徑的圓與E相切.

3//+444（3m2+4

I2225

綜上圓E的方程卜+"1+J4或卜+:3E=正

44

22

變式訓(xùn)練3.已知橢圓UA方=l(a>6>0)的左右焦點(diǎn)分別是白，鳥(niǎo)，點(diǎn)P在橢圓C上，以尸耳為直徑

的圓Ed+(y-gj='過(guò)點(diǎn)F?.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知A,B是橢圓C上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，以線(xiàn)段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0,是否存在以點(diǎn)O為圓

心的定圓與AB相切？若存在，求出定圓的方程，若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴￡+《=i

42

(2)存在，x2+y2

【詳解】(1)對(duì)于E:x2+(y-；J=j,令y=0,得χ=±√L

所以C=ξ(-√2,0),6(0,0),

圓心為因?yàn)椤Ｋ訮(√I1),

所以2α=∣P制+1尸閭=4,所以α=2,

所以橢圓C的方程為：—+^-=1；

42

(2)設(shè)Aa,yj,B(x2,y2),

當(dāng)AB斜率存在時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y=h+m,

上+片=1

■42一，消去y得(I+2A2)χ2+4hnr+24-4=0,

y=kx+m

Δ=16*2m2-4(l+2?2)(2m2-4),

=8(4/+2-叫>0,

-Akm2m2-4

X'+X2=I72F,x'x^~u2ie,

因?yàn)橐跃€(xiàn)段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0,所以O(shè)A.08=0,

∣

Λ?X2+γ2y2=xix2÷(Ax+ni)^kx2+/??)=0,

22

(1÷?)X1X2+Am(x1+x2)÷ιn=O,

∕,o?Im2-4.-AkmC

(1+K)------Z-+km---------+"22=0,

I7l+2?21+2左2

化簡(jiǎn)得:3τn2=4(l+Λ2),

原點(diǎn)。到AB的距離為^=4==凳,

當(dāng)AB斜率不存在時(shí)由題意知：W∣=∣χ∣,,+1=1，

2

圓心。到AB的距離［TM=耳，

4

綜上所述，存在以0為圓心的定圓與直線(xiàn)AB相切，定圓的方程為f+y2=；.

考點(diǎn)三：四點(diǎn)共圓

r?］例L已知橢圓C：/+E=IS>z">0)的左'右焦點(diǎn)分別為人，耳，左頂點(diǎn)為A卜&，°)，且離心率

為也.

2

(1)求C的方程；

⑵直線(xiàn)V="(AwO)交C于E,F兩點(diǎn)，直線(xiàn)AE,AF分別與y軸交于點(diǎn)M,N,求證：M,Fl,N,&四點(diǎn)共

圓.

【答案】(1)-+/=1

2

(2)證明見(jiàn)解析

a=>∣2

【詳解】(1)由題意知，C丘,解得/=2,b2=?,c=l,所以C的方程為］+V=l.

a2

(2)證明：設(shè)點(diǎn)E(Λ0,%)(不妨設(shè)/>0,則點(diǎn)尸(一題,一%),

由弓+八］,消去y得f=τ?,所以%=磊T%=焉

所以直線(xiàn)AE的方程為1=］+川+2F(X+&).

J5k

因?yàn)橹本€(xiàn)AE與y軸交于點(diǎn)M,令x=0得y=—η==,

1÷√1+2Λ2

√2?

即點(diǎn)M0,-τ==,同理可得點(diǎn)N0,——.

I1+√1+2A:2JI1-√1+2??2J

√2?

,

所以KM=1,—y=≡,FtN=Jl-√l+2?

[l+√l+2fc2J

2?2

所以6MwN=I+J_(1+2/)=0,所以KMJ.《N,同理KMJ,"N.

則以MN為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn)耳，F(xiàn)2,即M,Fl,N1乃四點(diǎn)共圓.

綜上所述，M,Fl,N,用四點(diǎn)共圓.

>>2

變式訓(xùn)練1.已知橢圓C:二+4=1(α>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為巴，F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為4-2√iθ),且過(guò)點(diǎn)

ah~

(√2,√3).

(1)求C的方程;

(2)過(guò)原點(diǎn)O且與X軸不重合的直線(xiàn)交C于E,F兩點(diǎn)，直線(xiàn)AE,AF分別與y軸交于點(diǎn)M,N,求證：M,F1,

N,&四點(diǎn)共圓.

22

【答案】(1)?÷?=1

(2)證明見(jiàn)解析

吟一

【詳解】(1)由題意知

=1,

,a2b2

解得a?=8,6=4,

22

所以C的方程為工+==1.

84

(2)證明：當(dāng)直線(xiàn)EF的斜率不存在時(shí)，E,F為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則M(0,2),N(0,-2)或N(0,2),

M(0,-2),片(—2,0),6(2,0),所以耳N,F2MVF2N,則以MN為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn)斗鳥(niǎo)，即M、片,

N,用四點(diǎn)共圓.

當(dāng)EF的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線(xiàn)EF的方程為?=kx{k≠0),

設(shè)點(diǎn)E(J?,%)(不妨設(shè)4>0,則點(diǎn)F(-χ),

y=kχ,

由《+片7消去y得X、行|后，所以方=2近2√2?

χ∣?+2k1，,0√I+2?2'

.^8^+T-'

所以直線(xiàn)AE的方程為y=]+J[2/(X+2』).

因?yàn)橹本€(xiàn)AE與y軸交于點(diǎn)M,令X=O得y=2產(chǎn)

1+√1+2A:2

即點(diǎn)雁I焉)

2瓜］

同理可得點(diǎn)N0,

l-√l+2??

,2嚴(yán)

所以GM=,1

、'l+√l+2)t2II-√ITΞFJ

所以6M?6N=0,所以耳"，片N,同理N.

則以MN為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn)”，F(xiàn)2,即M,”,N,工四點(diǎn)共圓.

綜上所述，M,Fl,N,居四點(diǎn)共圓.

變式訓(xùn)練2.己知橢圓C:5+V=i(α>0)的右頂點(diǎn)為點(diǎn)A,直線(xiàn)1交C于M,N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)四

a

邊形AMoN為菱形時(shí)，其面積為叵.

2

(1)求C的方程；

(2)若/M4N=90。；是否存在直線(xiàn)1,使得A,M,O,N四點(diǎn)共圓？若存在，求出直線(xiàn)1的方程，若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴[+V=]

(2)存在，x=士晅?正

33

【詳解】(1)因?yàn)樗倪呅蜛MON為菱形，所以MN垂直平分OA,

所以點(diǎn)M(X軸上方)的橫坐標(biāo)為代入橢圓方程，

得M的縱坐標(biāo)為白，所以菱形AMON的面積為:“x√5=半，所以”=不，

所以C的方程為J+y2=ι.

5

(2)設(shè)直線(xiàn)/：X=Wy+r,M(χl.yt),N(,χ2,y2)

X-∕%y+t

聯(lián)立方程＜2]，，n-得(蘇+5)y2+2g，+/-5=0,

[x+5γ-5=0

Δ=4m2t2-4(—+5)(r-5)=4(5m2-5/+25)=20(m2-t2+5),

2mtt2-5

K+必=2^~T，=-；~T，

m+5m+5

因?yàn)?,M,N,A四點(diǎn)共圓，則NMON=NMAN=90°,

x1x2+jly2=0

所以O(shè)M?ON=AM?AN=0,即匕\(匕\?，

(XI-√5g-J5j+y∣%=0

χ≡∫x,+?=√50π∫〃?(y+%)+2f=√^i)

得0,即1、

XIX2+y%=°〔(機(jī)X+7)(膽％+')+乂必=0(ii)

由(i)得-至-+2r=T-=√^,即加+5=26，

m~+5m'+5

、始/2八/\2("7~+l)(r-5)(2mt)2-5〃?~+6廣-5

由di)W(w+i)y∣y+mt(y↑+??)+t--------r-;~L+mt-\—^―-?+t2=-------5―-—=n0,

2m-+5Im^+5)m~+5

即5w2+5=6r,

聯(lián)立［/：5=2勺，解得型，(,=百(此時(shí)直線(xiàn)1過(guò)點(diǎn)A,舍去)，

5/+5=6/13

將r=撞代入,/+5=26,解得機(jī)2=：，即，*=±姮，

333

所以直線(xiàn)1的方程為X=±巫y+亞.

33

變式訓(xùn)練3.橢圓￡:α+耳=1(“>6>0)的離心率為;，右頂點(diǎn)為A,設(shè)點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓E上

ab乙

異于左、右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，OAB面積的最大值為G.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)直線(xiàn)/：X=t交X軸于點(diǎn)P,其中，>”,直線(xiàn)PB交橢圓E于另一點(diǎn)C,直線(xiàn)BA和CA分別交直線(xiàn)1于點(diǎn)

M和N,若0、A、M、N四點(diǎn)共圓，求t的值.

->2

【答案】⑴土+匯=1

43

(2)6

【詳解】（1）解：由題意，設(shè)橢圓半焦距為c,則￡=!，即S=I-I=L得6=立〃，

設(shè)B（x∣,yJ,5。M=；4可，由MI<6,所以S0"的最大值為:必，

將6=代入彳"i>=百，有——a:=?/?>解得α=2,。=石，

224

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+片=1；

43

（2）解：設(shè)。（孫必），因?yàn)辄c(diǎn)B為橢圓E上異于左、右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)BC不與X軸重合,

設(shè)直線(xiàn)BC方程為x=my+f,與橢圓方程聯(lián)立得（3療+4）y2+6Mv+3∕-12=0,

Δ=36〃--12(3m2+4)(f2-4)>0,可得產(chǎn)<3療+4,

由韋達(dá)定理可得%+%="嗎，3/_12

NM=

3m÷43m2+4

直線(xiàn)BA的方程為y=3?（x-2）,令x=f得點(diǎn)M縱坐標(biāo)加二?（”；）,

Λ"∣-ZΛ,∣—Z

同理可得點(diǎn)N縱坐標(biāo)YN=二？，

當(dāng)0、A、M、N四點(diǎn)共圓,由相交弦定理可得I網(wǎng)IPa=IPMHPM,即2）=IyMyNI,

、>丫2?-2)2%%(~2)2___________y∣%(?2)2___________

22

MN(XI-2)(X2-2)(∕nyl+Z-2)(∕ny2+Z-2)myty2+m(t-2)(yl+y2)+(t-2)

__________3(/-4)(-2)2________3Q+2)(f-2)2________

3W2(Z2-4)-6w2r(f-2)+(3w2+4j(z-2)23∕772(r+2)-6m21+(3m2+4)(f-2)

3(1+2)(1-2)2。+*"

4(r-2)I

3

由"2,故心2)丁+2)"2),解得”6.

O【當(dāng)堂小結(jié)】

1、知識(shí)清單:

（1）橢圓，雙曲線(xiàn)，拋物線(xiàn)簡(jiǎn)單性質(zhì);

（2）圓錐曲線(xiàn)中，特殊四邊形翻譯，即平行四邊形和梯形的向量表示;

2、易錯(cuò)點(diǎn)：簡(jiǎn)單性質(zhì)的計(jì)算，特殊圖形的向量的應(yīng)用;

3、考查方法：數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化;

4、核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象.

O【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

22

1?已知橢圓C：Ahgb＞。)的焦距為2。設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為5,左右焦點(diǎn)分別為耳與且F朋

是頂角為120的等腰三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)已知例,N是橢圓C上的兩點(diǎn)，以橢圓中心。為圓心的圓的半徑為半，且直線(xiàn)MN與此圓相切.證明:

以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)0.

【答案】⑴三+/=1

4

(2)證明見(jiàn)解析

2c=2y∕3

【詳解】(1)由題意可知—=tan30==,

c3

a2=b2+c2

解得α=2,b=l

2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程—+/=1.

4

(2)①當(dāng)直線(xiàn)MN垂直于X軸時(shí)，不妨設(shè)M??,N?,-?

\7\/

此時(shí)OM?ON=O,

.?.OMlON,

故以MN直徑的圓過(guò)定點(diǎn)。；

②當(dāng)直線(xiàn)MN不垂直于X軸時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y=kx+m,M(xf,yl)N(x2,y2),

因?yàn)橹本€(xiàn)MN與圓。相切，

所以。到直線(xiàn)MN的距離/i==逑，

即5W2-4?2-4=0,

y=kx+m

2

由<ΛJ2∏TW(4?2÷l)x2+8mkx+4m2-4=0,

.τ+?v=1

-Smk4∕H2-4

所以石+x=

24?2+1,X'Λ2~4k2+?

,

OMON=x1x2÷>1y2=x1x2+(Ax1+W)(?÷∕n)

2

=(攵2+1)XX2+.(玉+x2)+m'

W-4-Smk2

=(^+1)+km+m

4公+1,4?2+l

2

4m-4`-8mk2

=儼+1)+km：+"T

4r+1,4fc2+l

5m2-4k2-4八

--------7---------=?9

4公+1

所以。M?ON=0,

即QW_LQV.

故以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)。，

綜上所述：以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)。.

2'已知橢圓得+BSb＞。)的離心率為爭(zhēng)短軸長(zhǎng)為口右頂點(diǎn)為A?

(1)求橢圓C的方程;

(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn),與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A.求證：直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)

坐標(biāo).

【答案】⑴卷+京

(2)證明見(jiàn)解析，(6,0)

26=10

【詳解】(1)依題意，得-=—,解得α=10,b=5,

a2

a2=b2+c2

所以橢圓C的方程為二+$=

IOO25

(2)當(dāng)直線(xiàn)1的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)1：y=α+m,點(diǎn)Pa,χ),Q(χ2,y2)>A(Io,0),

Xy-,1

-

聯(lián)立70025,消去y,得(1+442)/+8/成r+4∕-ioo=o,

y=kx+nι

所以A=64m2k2-4(1+4?2)(4//z2-100)>0,即加_]Q0fc2-25<0,

Smk病-ioo

又∣一

x+x2=χ-χ2=

↑+4k2il+4?2

∕n2-100?2

所以yy?=(g+m)^kx+nτ)=k2xx+km(X+Λ)+∕M2

2t2t21+4/

因?yàn)锳P=(苦-10,yJ,AQ=(X2-10,%),

-....,.?/./.、,cc4m2—100SOmkm^-I(X)Z:2,

arλ?+10

所以AP?AQ=(xlT0)(Λ2-10)+y∣y2=x∣X2-10(x∣+x2)+l°θ+yy2=.4G+]+41,2+1+*°?

因?yàn)锳P?AQ,所以AP.AQ=O,則加+[6〃設(shè)+6042=0,

解得m=-6Z或“2=—IOZ,滿(mǎn)足A>0,

所以直線(xiàn)1：y=%(x-6)或y=Z(x-10),

由于直線(xiàn)1不過(guò)點(diǎn)A(10,0),所以直線(xiàn)1：y=k(x-6),則直線(xiàn)1過(guò)定點(diǎn)(6,0)；

當(dāng)直線(xiàn)1斜率不存在時(shí)?，x,=x2,M=-%，

因?yàn)锳PLA。，所以APAQ=O,即(IOf)2-4=0,

又反+近=1,解得占=10或%=6,

10025

由于直線(xiàn)1不過(guò)點(diǎn)A(10,0),所以百=6,則直線(xiàn)1過(guò)定點(diǎn)(6,0)；

綜上：直線(xiàn)1過(guò)定點(diǎn)(6,0).

3.已知橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上，焦距為2夜，離心率為也，過(guò)點(diǎn)P(3,0)的直線(xiàn)1與橢圓C交于A,B(不

重合)兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為o(o,o)?

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求直線(xiàn)1的方程：

(3)若點(diǎn)0在以線(xiàn)段AB為直徑的圓上，求直線(xiàn)1的方程.

22

【答案】⑴工+上=1

42

(2)x-2y-3=0或x+2y-3=0;

∕?Λ∕23TV23

(3Q)x=—^―y+3或X=———y+3;

【詳解】(1)由題意可得：

2c=2√2

C√2

a2

b2=a2-c2

解得a=2,b=V2,c=V2,

f2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程土+v匕=I；

42

(2)設(shè)直線(xiàn)/的方程為『="+3,Λ(xpy1),B(x2,y2),

\2/_

由,1+了一I得(產(chǎn)+2)/+6)+5=0,

X="+3

則A=36∕-4x5(∕+2)=16產(chǎn)-40>0,即/>[，

又線(xiàn)段A3的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,

所以x∣+X2=2,

—6產(chǎn)

Xxl+x2=∕y1+3+∕y2+3=z(y1+y2)÷6=.?+6,

-A/2

所以T-+6=2,BPz2=4,

廠+2

解得f=±2,

所以直線(xiàn)1的方程為x=2y+3或x=-2y+3,

即x-2y-3=0或x+2y-3=0;

(3)因?yàn)辄c(diǎn)。在以線(xiàn)段AB為直徑的圓上，

所以O(shè)A?08=xlx2+y∣y2=0,

5產(chǎn)_iQ≠2_i0≠2

2

由(2)可知：x1x2=(o^l+3)(rv2+3)=ry1y2+3r(yl+γ2)+9=^-^+-p-^-+9=p-^-+9,

3/25

所以O(shè)4?O8=x∕2+M%=7~2+9+]~^^=O'即Tf2+23=0,

也即r=烏，解得f=±運(yùn)，

42

所以直線(xiàn)1的方程為X=與y