2023年中考數(shù)學(xué)考前第22講：函數(shù)中四邊形存在問(wèn)題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第22講：函數(shù)中四邊形存在問(wèn)題

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

四邊形的存在性問(wèn)題是一類考查是否存在點(diǎn)，使其能構(gòu)成某種特殊四邊形的問(wèn)題，如：

平行四邊形、菱形、梯形的存在性等，往往結(jié)合動(dòng)點(diǎn)、函數(shù)與幾何，考查分類討論、畫(huà)圖及

建等式計(jì)算等.

解平行四邊形的存在性問(wèn)題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫(huà)圖，第三步計(jì)

算.難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可

以使計(jì)算又好又快.

如果已知三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以己知三個(gè)

定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過(guò)每個(gè)點(diǎn)畫(huà)對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn).

如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況.

根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，靈活運(yùn)用坐標(biāo)平移，可以使得計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便.

根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用坐標(biāo)對(duì)稱，可以使得解題簡(jiǎn)便.

具體的解題思路：①尋找定量，結(jié)合特殊四邊形判定確定分類；②轉(zhuǎn)化四邊形的存在性

為點(diǎn)的存在性或三角形的存在性：③借助幾何特征建等式.

難點(diǎn)拆解：①平行四邊形存在性，由定線分別作邊、對(duì)角線分類，通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)畫(huà)

圖，借助坐標(biāo)間關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式建等式求解.②菱形存在性可轉(zhuǎn)化為等腰三角形存在

性處理.③等腰梯形存在性通常直接表達(dá)兩腰長(zhǎng)，利用兩腰相等建等式；兩腰不易表達(dá)，借

助對(duì)稱性和中點(diǎn)坐標(biāo)公式聯(lián)立求解.④直角梯形存在性關(guān)鍵是利用好直角.

【例題1】已知三定點(diǎn)，探究第四個(gè)點(diǎn)，使之構(gòu)成平行四邊形

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)小一3,4),B(-6,-■2),C(6,-2),若以點(diǎn)4B,

C為頂點(diǎn)作一個(gè)平行四邊形，試寫(xiě)出第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo),你的答案唯一嗎？

eJ

：1-

√-^÷4-3^-?.I234567-r

i_______7________?

B-3-C

-4-

-5r

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【例題2】已知兩個(gè)定點(diǎn)，探求限定條件下的另兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使之構(gòu)成平行四邊形

如圖，矩形018C在平面直角坐標(biāo)系XQy中，點(diǎn)4在X軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半

軸上，0/=4,OC=3,若拋物線的頂點(diǎn)在AC邊上，且拋物線經(jīng)過(guò)O,Z兩點(diǎn)，直線ZC

交拋物線于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo).

(3)若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在X軸上，是否存在以點(diǎn)/,D,M,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理曲.

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1.如圖，拋物線y=χ2-2χ-3與X軸的負(fù)半軸交于/點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)是“，經(jīng)

過(guò)C,M兩點(diǎn)作直線與X軸交于點(diǎn)N.

⑴直接寫(xiě)出點(diǎn)兒C,N的坐標(biāo).

(2)在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)尸，使以點(diǎn)P,A,C,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.如.圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把矩形0/8C沿對(duì)角線力C所在的直線折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)

。處,DC與y軸相交于點(diǎn)E矩形OABC的邊OC,OA的長(zhǎng)是關(guān)于X的一元二次方程/一12X

+32=0的兩個(gè)根，且。4>OC.

(1)求線段0/,Oe的長(zhǎng).

(2)證明△/￡)E絲Z?COE,并求出線段OE的長(zhǎng).

(3)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

(4)若F是直線ZC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)尸，使以點(diǎn)E,C,P,F

為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=oχ2+bχ+c(GVO)與X軸交于A(-2,0)、8

(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且OC=2OA.

(1)試求拋物線的解析式；

(2)直線y=kx+l(k>0)與y軸交于點(diǎn)D,與拋物線交于點(diǎn)P,與直線BC交于點(diǎn)記

m=粵，試求m的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)Q是X軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，是否存在

這樣的點(diǎn)Q、N,使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的

坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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4.如圖，拋物線y=aχ2+bx-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-3),與X軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,

且OC=30B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)D在y軸上，且NBDo=NBAC,求點(diǎn)D的坐標(biāo)：

(3)點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的

四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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5.如圖，是將拋物線y=-χ2平移后得到的拋物線，其對(duì)稱軸為x=l,與X軸的一個(gè)交點(diǎn)為A

(-1,0),另一個(gè)交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)N為拋物線上一點(diǎn)，且BCLNC,求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P是拋物?線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是一次函數(shù)y="3x+3W的圖象上一點(diǎn)，若四邊形。APQ為

22

平行四邊形，這樣的點(diǎn)p、Q是否存在？若存在，分別求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)

明理由.

第6頁(yè)共24頁(yè)

6.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中XOy中，拋物線y=aχ2-2ax-3a（a<0）與X軸交于A,

B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線I：y=kx+b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,與拋物線

的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且CD=4AC.

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；

（2）求直線I的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；

（3）點(diǎn)E是直線I上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若AACE的面積的最大值為反，求a的值；

4

（4）設(shè)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形

能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

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2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第22講：函數(shù)中四邊形存在問(wèn)題

答案解析

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

四邊形的存在性問(wèn)題是一類考查是否存在點(diǎn)，使其能構(gòu)成某種特殊四邊形的問(wèn)題，如：平行

四邊形、菱形、梯形的存在性等，往往結(jié)合動(dòng)點(diǎn)、函數(shù)與幾何，考查分類討論、畫(huà)圖及建等

式計(jì)算等.

解平行四邊形的存在性問(wèn)題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫(huà)圖，第三步計(jì)算.難

點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計(jì)算

又好又快.

如果已知三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以已知三個(gè)定點(diǎn)

為三角形的頂點(diǎn)，過(guò)每個(gè)點(diǎn)畫(huà)對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn).

如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況.

根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，靈活運(yùn)用坐標(biāo)平移，可以使得計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便.

根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用坐標(biāo)對(duì)稱，可以使得解題簡(jiǎn)便.

具體的解題思路：①尋找定量，結(jié)合特殊四邊形判定確定分類；②轉(zhuǎn)化四邊形的存在性為點(diǎn)

的存在性或三角形的存在性：③借助幾何特征建等式.

難點(diǎn)拆解：①平行四邊形存在性，由定線分別作邊、對(duì)角線分類，通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)畫(huà)圖，

借助坐標(biāo)間關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式建等式求解.②菱形存在性可轉(zhuǎn)化為等腰三角形存在性處

理.③等腰梯形存在性通常直接表達(dá)兩腰長(zhǎng)，利用兩腰相等建等式；兩腰不易表達(dá)，借助

對(duì)稱性和中點(diǎn)坐標(biāo)公式聯(lián)立求解.④直角梯形存在性關(guān)鍵是利用好直角.

【例題1】已知三定點(diǎn)，探究第四個(gè)點(diǎn)，使之構(gòu)成平行四邊形

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(—3,4),8(—6,—2),C(6,-2),若以點(diǎn)力，B,

。為頂點(diǎn)作一個(gè)平行四邊形，試寫(xiě)出第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)，你的答案唯一嗎？

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l?

A5；

eJ

??/I

?I

√6-5-4-32-l?.1234567v

4..............................-2-?

B-3.C

解：答案不唯一，有三種情況：若/8為平行四邊形的對(duì)角線，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一15,4)；

若BC為平行四邊形的對(duì)角線，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,-8)；若Ne為平行四邊形的對(duì)角線，

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(9,4).

【例題2】已知兩個(gè)定點(diǎn)，探求限定條件下的另兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使之構(gòu)成平行四邊形

如圖，矩形0/8C在平面直角坐標(biāo)系XQy中，點(diǎn)Z在X軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半

軸上，04=4,0C=3,若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上，且拋物線經(jīng)過(guò)O,N兩點(diǎn)，直線ZC

交拋物線于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo).

(3)若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在X軸上，是否存在以點(diǎn)4D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E,根據(jù)題意，得E(2,3).

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=α(χ-2)2+3,

將(4,0)代入，得0=4α+3,即〃=—,

4

.?.拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-?-2)2+3=--χ2+3x.

44

(2)設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=Ax+6(Λ≠0),

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將(4,O),(O,3)代入,

k=￡

∣4k+b=0,A,

得解得

b=3,b=3.

故直線4C的函數(shù)表達(dá)式為＞=一為+3,

4

將直線AC的函數(shù)表達(dá)式與拋物線的函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立,

r3_)

V=-x+L3,

X=1

4x=4,

得解得9或

V=—-χ2+3x,y=0.

L44

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為力.

(3)存在，分兩種情況考慮:

I.若40為平行四邊形的對(duì)角線，則有MD=AN.

由對(duì)稱性得到∕3'力,即。跖=2,故M=2,

二點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

II.若/。為平行四邊形的一邊，則MN〃4D,MN=4D.

①

①當(dāng)點(diǎn)M在X軸上方時(shí)，如圖①所示.

由I知∕N2=2,

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,0).

②當(dāng)點(diǎn)〃在X軸下方時(shí)，如圖②所示，過(guò)點(diǎn)。作。0_LX軸于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)”3作〃3P_LX軸

于點(diǎn)P,可得AADQmANMWP,

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，點(diǎn)My的縱坐標(biāo)為一2.

4

將W=,代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式，得-2=-4+3χ,解得XM=2一幣或XM=2+3,

444

：.XN=XM^-3=S或由一1,

二用(一幣一1，O),NA√7-l,0).

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N有4個(gè)，NQ0),N2?0),M(-√7-l,0),M(√7-l,0).

1.如圖，拋物線y=χ2-2χ-3與X軸的負(fù)半軸交于4點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)是經(jīng)

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)/,C,N的坐標(biāo).

(2)在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)尸，使以點(diǎn)P,A,C,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)/4(-1,0),C(0,-3),N(-3,0).

(2)存在.若ZC為平行四邊形的對(duì)角線，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,-3)；若/N為平行四邊形的

對(duì)角線，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一4,3)；若CN為平行四邊形的對(duì)角線，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-2,

-3).把這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入驗(yàn)證，得點(diǎn)P(2,-3)在該拋物線上，因此存在符合條件

第11頁(yè)共24頁(yè)

的點(diǎn)P,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,-3).

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把矩形ONBC沿對(duì)角線ZC所在的直線折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)

D處,DC與y軸相交于點(diǎn)￡矩形OABC的邊OC,OA的長(zhǎng)是關(guān)于X的一元二次方程x2-12x

+32=0的兩個(gè)根，且OaoC.

(1)求線段。1,OC的長(zhǎng).

(2)證明AADEW△COE,并求出線段OE的長(zhǎng).

(3)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

(4)若/是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)E,C,P,F

為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)解χ2-i2r+32=0得x∣=8,X2=4.

：邊。C,0/的長(zhǎng)是關(guān)于X的一元二次方程/-12x+32=0的兩個(gè)根，且Qi>0C,

：.OA=8,OC=4.

(2)?.?把矩形0/8C沿對(duì)角線/C所在的直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處,。。與y軸相交于點(diǎn)E,

LAD=AB=CO,NADE=NABC=NCOE,

又,：NAED=NCEO,

：.AADE/△COE(AAS),

?*?CE=AE=OA—OE=8—OE.

在必Z?QET中，由勾股定理得OE2+OC?2=CE2,

即OE2+42=(8-QE)2,

：.0E=3.

(3)如圖所示，作￡)A/_Lx軸于點(diǎn)Af,

則aCOEs△CMQ,

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gp-?--—?—=￡,

、DM4+0M8’

.?OM=1-2DM=2—4,

5f5

工點(diǎn)D的坐標(biāo)為（一￡,￡）.

⑷存在.

如圖②所示，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,5)；

如圖③所示，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P3(石，3-2√5);

③④

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如圖④所示，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為尸4(一心，3+2√5).

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=αχ2+bχ+c(o<0)與X軸交于A(-2,O)、B

(4.0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且OC=2。4

(1)試求拋物線的解析式；

(2)直線y=kx+l(A>0)與y軸交于點(diǎn)D,與拋物線交于點(diǎn)P,與直線BC交于點(diǎn)M,記

m=粵，試求m的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

DU

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)Q是X軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，是否存在

這樣的點(diǎn)Q、M使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的

坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)因?yàn)閽佄锞€y=αχ2+bχ+c經(jīng)過(guò)A(-2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，所以可以假設(shè)

y=a(x+2)(x-4),求出點(diǎn)C坐標(biāo)代入求出。即可；

(2)由可得m=粵=粵，根據(jù)關(guān)于m關(guān)于X的二次函數(shù)，利用二次函

DKDC

數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

(3)存在這樣的點(diǎn)Q、N,使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形.分兩種情形分別

求解即可：①當(dāng)DP是矩形的邊時(shí)，有兩種情形；②當(dāng)DP是對(duì)角線時(shí)；

【解答】解：(I)因?yàn)閽佄锞€y=αχ2+bχ+c經(jīng)過(guò)4(-2,0)、8(4,0)兩點(diǎn)，

所以可以假設(shè)y=α(x+2)(x-4),

V0C=20AfOA=2f

：.C(0,4),代入拋物線的解析式得到Q=-2，

.?.y=-+(x+2)(x-4)或y=-?×2+^+4或y=-W(X-I)2+-^-.

(2)如圖1中，作PE_Lx軸于￡,交BC于F.

第14頁(yè)共24頁(yè)

?'CD∕∕PE,

：.叢CMDS叢FMP,

PMPF

../D=-----=-----，

DHDC

直線y=kx+l(k>0)與y軸交于點(diǎn)D,則。(0,1),

YBC的解析式為y=-x+4,

設(shè)P(n,-?"2+0+4),則F(n,-∏+4),

2

：.PF=--n2+n+4-(-n+4)=-±(n-2)2+2,

22

z??

.?.m=P-F---------1--(n-2)2H-2J2,

CD63

-三<0,

6

2

二當(dāng)n=2時(shí)，m有最大值，最大值為《，此時(shí)P(2,4).

3

(3)存在這樣的點(diǎn)Q、Λ/,使得以P、D、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形.

①當(dāng)。P是矩形的邊時(shí)，有兩種情形，

。、如圖2-1中，四邊形OQNP是矩形時(shí),

第15頁(yè)共24頁(yè)

有（2）可知P（2,4）,代入y=kx+l中，得到k==,

；?直線DP的解析式為y=?^?x+l,可得。（0,1）,E（■彳，0）,

由AOOESz?Q0o可得UU=，”，

00OD

2

ΛOD=OE?OQ9

2

Λl=-?0Q,

3

3

ΛOQ=-?-,

2

3

.*.Q(二，0).

2

根據(jù)矩形的性質(zhì)，將點(diǎn)P向右平移■1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到點(diǎn)N,

37

ΛΛ∕（2+—,4-1）,即N,3）

22

b、如圖2-2中，四邊形PDNQ是矩形時(shí),

；直線PD的解析式為y=?fx+l,PQLPD,

2

216

.?.直線PQ的解析式為y=3x+T,

ΛQ(8,0),

根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，將點(diǎn)。向右平移6個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到點(diǎn)N,

：.N(0+6,1-4),即N(6,-3).

222

②當(dāng)。P是對(duì)角線時(shí)，設(shè)Q(x,0),則QD2=χ2+ι,QP2=(x-2)+4,PD=13,

?.?Q是直角頂點(diǎn)，

.?QD2+QP2=PD2,

第16頁(yè)共24頁(yè)

Λχ2+1+（χ-2）2+16=13,

整理得χ2-2x+4=0,方程無(wú)解，此種情形不存在，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（1，3）或（6,-3）.

2

4.（2017山東臨沂）如圖，拋物線y=aχ2+bχ-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,-3）,與X軸負(fù)半軸交于點(diǎn)

B,與y軸交于點(diǎn)C,且0C=30B.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D在y軸上，且/BDO=NBAC,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的

四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；

(2)連接AC,作BF_LAC交AC的延長(zhǎng)線于F,根據(jù)已知條件得到AF〃x軸，得到F(-1,

-3),設(shè)D(0,m),則OD=Im即可得到結(jié)論；

(3)設(shè)M(a,a2-2a-3),N(1,n),①以AB為邊，則AB〃MN,AB=MN,如圖2,過(guò)

M作MEj"對(duì)稱軸y于E,AF_Lx軸于F,于是得到aABF之4NME,證得NE=AF=3,ME=BF=3,

得到M(4,5)或(-2,11);②以AB為對(duì)角線，BN=AM,BN〃AM,如圖3,則N在X

軸上，M與C重合，于是得到結(jié)論.

【解答】解:(1)由y=a×2+b×-3得C(0.-3),

ΛOC=3,

V0C=30B,

ΛOB=1,

ΛB(-1,0),

-4Λ~2d—3--3

把A(2,-3),B(-1,0)代入y=aχ2+bx-3得｛,.,,

。-b-3-01,

第17頁(yè)共24頁(yè)

Λa=l,b=-2,

.?.拋物線的解析式為y=×2-2x-3；

(2)設(shè)連接AC,作BF_LAC交AC的延長(zhǎng)線于F,

VA(2,-3),C(0,-3),

；.AF〃x軸，

F(^1,-3),

ΛBF=3,AF=3,

∕BAC=45",

設(shè)D(0,m),則OD=∣m∣,

VZBDO=ZBAC,

二∕BDO=45°,

ΛOD=OB=I,

.".∣m∣=l,

,m=+l,

ΛDι(0,1),D2(0,-1)；

(3)設(shè)M(a,a2-2a-3).N(1,n),

①以AB為邊，則AB〃MN,AB=MN,如圖2,過(guò)M作ME_L對(duì)稱軸y于E,AF_Lx軸于F,

則aABF絲Z?NME,

.?.NE=AF=3,ME=BF=3,

Ia_11=3>

.*.a=3或a=-2,

ΛM(4,5)或(-2,11)；

②以AB為對(duì)角線，BN=AM,BN〃AM,如圖3,

則N在X軸上，M與C重合，

ΛM(0,-3),

綜上所述，存在以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，M(4,5)或(-2,11)

或(0,-3).

第18頁(yè)共24頁(yè)

ΛΓ

5.(2017山東泰安)如圖，是將拋物線y=-χ2平移后得到的拋物線，其對(duì)稱軸為x=l,與

X軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0),另一個(gè)交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)N為拋物線上一點(diǎn)，且BCLNC,求點(diǎn)N的坐標(biāo)：

33

(3)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是一次函數(shù)y=;/+］的圖象上一點(diǎn)，若四邊形OAPQ為平

行四邊形，這樣的點(diǎn)P、Q是否存在？若存在，分別求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明

【分析】(1)已知拋物線的對(duì)稱軸，因而可以設(shè)出頂點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;

(2)首先求得B和C的坐標(biāo)，易證AOBC是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)N作NHJ_y軸，垂足是

H,設(shè)點(diǎn)N縱坐標(biāo)是(a,-a2+2a+3),根據(jù)CH=NH即可列方程求解；

(3)四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1,且PQ〃0A,設(shè)P(t,-t2+2t+3),代入

y=?∣χ+?∣?,即可求解.

【解答】解：(1)設(shè)拋物線的解析式是y=-(X-I)2+k.

把(T,0)代入得0=-(-1-1)2+k,

解得k=4,

則拋物線的解析式是y=-(×-l)2+4,即y=-χ2+2x+3:

第19頁(yè)共24頁(yè)

(2)在y=-χ2+2χ+3中令χ=o,則y=3,即C的坐標(biāo)是(0,3),OC=3.

VB的坐標(biāo)是(3,0),

ΛOB=3,

AOC=OB,則4OBC是等腰直角三角形.

ΛZ0CB=45o,

過(guò)點(diǎn)N作NH_Ly釉，垂足是H.

VZNCB=90o,

ΛZNCH=45o,

ΛNH=CH,

??.HO=OC+CH=3+CH=3+NH,

設(shè)點(diǎn)N縱坐標(biāo)是(a,-a2+2a+3).

Λa+3=-a2+2a+3,

解得a=0(舍去)或a=l,

AN的坐標(biāo)是(1,4)；

(3)???四邊形OAPQ是平行四邊形,則PQ=OA=I,且PQ〃OA,

設(shè)P(t,-t2+2t+3),代入y=3χ+二，則-t2+2t+34(t+l)+—,

2222

整理，得2t2-t=0,

解得t=0或二?

2

15

???-t2+2t+3的值為3或著.

6.（2017甘肅天水）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中XOy中，拋物線y=ax?-2ax-3a（a<

0）與X軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線I：y=kx+b與y軸負(fù)半軸

交于點(diǎn)C,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且CD=4AC.

第20頁(yè)共24頁(yè)

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；

(2)求直線I的函數(shù)表達(dá)式(其中k、b用含a的式子表示)；

(3)點(diǎn)E是直線I上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若AACE的面積的最大值為與，求a的值；

(4)設(shè)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形

能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)解方程即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)直線I：y=kx+b過(guò)A(-1,0),得到直線I：y=kx+k,解方程得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為

4,求得k=a,得到直線I的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+a;

(3)過(guò)E作EF〃y軸交直線I于F,設(shè)E(x,ax2-2a×-3a),得到F(x,a×+a),求出EF=a×2

-3ax-4a,根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；

(4)令ax?-2ax-3a=ax+a,即ax?-3ax-4a=0,得至IJD(4,5a),設(shè)P(1,m),①若AD

是矩形ADPQ的一條邊，②若AD是矩形APDQ的對(duì)角線，列方程即可得到結(jié)

論.

【解答】解：(I)當(dāng)y=0