2023年中考數(shù)學考前第22講：函數(shù)中四邊形存在問題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學考前沖刺第22講：函數(shù)中四邊形存在問題

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

四邊形的存在性問題是一類考查是否存在點，使其能構(gòu)成某種特殊四邊形的問題，如：

平行四邊形、菱形、梯形的存在性等，往往結(jié)合動點、函數(shù)與幾何，考查分類討論、畫圖及

建等式計算等.

解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計

算.難點在于尋找分類標準，分類標準尋找的恰當，可以使解的個數(shù)不重復不遺漏，也可

以使計算又好又快.

如果已知三個定點，探尋平行四邊形的第四個頂點，符合條件的有3個點：以己知三個

定點為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個交點.

如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況.

根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，靈活運用坐標平移，可以使得計算過程簡便.

根據(jù)平行四邊形的中心對稱的性質(zhì)，靈活運用坐標對稱，可以使得解題簡便.

具體的解題思路：①尋找定量，結(jié)合特殊四邊形判定確定分類；②轉(zhuǎn)化四邊形的存在性

為點的存在性或三角形的存在性：③借助幾何特征建等式.

難點拆解：①平行四邊形存在性，由定線分別作邊、對角線分類，通過平移或旋轉(zhuǎn)畫

圖，借助坐標間關(guān)系及中點坐標公式建等式求解.②菱形存在性可轉(zhuǎn)化為等腰三角形存在

性處理.③等腰梯形存在性通常直接表達兩腰長，利用兩腰相等建等式；兩腰不易表達，借

助對稱性和中點坐標公式聯(lián)立求解.④直角梯形存在性關(guān)鍵是利用好直角.

【例題1】已知三定點，探究第四個點，使之構(gòu)成平行四邊形

如圖，在平面直角坐標系中，已知點小一3,4),B(-6,-■2),C(6,-2),若以點4B,

C為頂點作一個平行四邊形，試寫出第四個頂點。的坐標,你的答案唯一嗎？

eJ

：1-

√-^÷4-3^-?.I234567-r

i_______7________?

B-3-C

-4-

-5r

第1頁共24頁

【例題2】已知兩個定點，探求限定條件下的另兩個動點，使之構(gòu)成平行四邊形

如圖，矩形018C在平面直角坐標系XQy中，點4在X軸的正半軸上，點C在y軸的正半

軸上，0/=4,OC=3,若拋物線的頂點在AC邊上，且拋物線經(jīng)過O,Z兩點，直線ZC

交拋物線于點D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式.

(2)求點D的坐標.

(3)若點M在拋物線上，點N在X軸上，是否存在以點/,D,M,M為頂點的四邊形是平行

四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理曲.

第2頁共24頁

1.如圖，拋物線y=χ2-2χ-3與X軸的負半軸交于/點，與y軸交于C點，頂點是“，經(jīng)

過C,M兩點作直線與X軸交于點N.

⑴直接寫出點兒C,N的坐標.

(2)在拋物線上是否存在這樣的點尸，使以點P,A,C,N為頂點的四邊形為平行四邊形？

若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

2.如.圖，在平面直角坐標系中，把矩形0/8C沿對角線力C所在的直線折疊，點8落在點

。處,DC與y軸相交于點E矩形OABC的邊OC,OA的長是關(guān)于X的一元二次方程/一12X

+32=0的兩個根，且。4>OC.

(1)求線段0/,Oe的長.

(2)證明△/￡)E絲Z?COE,并求出線段OE的長.

(3)直接寫出點。的坐標.

(4)若F是直線ZC上的一個動點，在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點尸，使以點E,C,P,F

為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由.

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3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=oχ2+bχ+c(GVO)與X軸交于A(-2,0)、8

(4,0)兩點，與y軸交于點C,且OC=2OA.

(1)試求拋物線的解析式；

(2)直線y=kx+l(k>0)與y軸交于點D,與拋物線交于點P,與直線BC交于點記

m=粵，試求m的最大值及此時點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，點Q是X軸上的一個動點，點N是坐標平面內(nèi)的一點，是否存在

這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形？如果存在，請求出點N的

坐標；如果不存在，請說明理由.

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4.如圖，拋物線y=aχ2+bx-3經(jīng)過點A(2,-3),與X軸負半軸交于點B,與y軸交于點C,

且OC=30B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點D在y軸上，且NBDo=NBAC,求點D的坐標：

(3)點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A,B,M,N為頂點的

四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

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5.如圖，是將拋物線y=-χ2平移后得到的拋物線，其對稱軸為x=l,與X軸的一個交點為A

(-1,0),另一個交點為B,與y軸的交點為C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點N為拋物線上一點，且BCLNC,求點N的坐標；

(3)點P是拋物?線上一點，點Q是一次函數(shù)y="3x+3W的圖象上一點，若四邊形。APQ為

22

平行四邊形，這樣的點p、Q是否存在？若存在，分別求出點P,Q的坐標；若不存在，說

明理由.

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6.如圖所示，在平面直角坐標系中XOy中，拋物線y=aχ2-2ax-3a（a<0）與X軸交于A,

B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線I：y=kx+b與y軸負半軸交于點C,與拋物線

的另一個交點為D,且CD=4AC.

（1）求A、B兩點的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）求直線I的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）；

（3）點E是直線I上方的拋物線上的動點，若AACE的面積的最大值為反，求a的值；

4

（4）設P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形

能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由.

備用圖

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2023年中考數(shù)學考前沖刺第22講：函數(shù)中四邊形存在問題

答案解析

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

四邊形的存在性問題是一類考查是否存在點，使其能構(gòu)成某種特殊四邊形的問題，如：平行

四邊形、菱形、梯形的存在性等，往往結(jié)合動點、函數(shù)與幾何，考查分類討論、畫圖及建等

式計算等.

解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計算.難

點在于尋找分類標準，分類標準尋找的恰當，可以使解的個數(shù)不重復不遺漏，也可以使計算

又好又快.

如果已知三個定點，探尋平行四邊形的第四個頂點，符合條件的有3個點：以已知三個定點

為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個交點.

如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況.

根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，靈活運用坐標平移，可以使得計算過程簡便.

根據(jù)平行四邊形的中心對稱的性質(zhì)，靈活運用坐標對稱，可以使得解題簡便.

具體的解題思路：①尋找定量，結(jié)合特殊四邊形判定確定分類；②轉(zhuǎn)化四邊形的存在性為點

的存在性或三角形的存在性：③借助幾何特征建等式.

難點拆解：①平行四邊形存在性，由定線分別作邊、對角線分類，通過平移或旋轉(zhuǎn)畫圖，

借助坐標間關(guān)系及中點坐標公式建等式求解.②菱形存在性可轉(zhuǎn)化為等腰三角形存在性處

理.③等腰梯形存在性通常直接表達兩腰長，利用兩腰相等建等式；兩腰不易表達，借助

對稱性和中點坐標公式聯(lián)立求解.④直角梯形存在性關(guān)鍵是利用好直角.

【例題1】已知三定點，探究第四個點，使之構(gòu)成平行四邊形

如圖，在平面直角坐標系中，已知點4(—3,4),8(—6,—2),C(6,-2),若以點力，B,

。為頂點作一個平行四邊形，試寫出第四個頂點。的坐標，你的答案唯一嗎？

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l?

A5；

eJ

??/I

?I

√6-5-4-32-l?.1234567v

4..............................-2-?

B-3.C

解：答案不唯一，有三種情況：若/8為平行四邊形的對角線，則點。的坐標為(一15,4)；

若BC為平行四邊形的對角線，則點。的坐標為(3,-8)；若Ne為平行四邊形的對角線，

則點。的坐標為(9,4).

【例題2】已知兩個定點，探求限定條件下的另兩個動點，使之構(gòu)成平行四邊形

如圖，矩形0/8C在平面直角坐標系XQy中，點Z在X軸的正半軸上，點C在y軸的正半

軸上，04=4,0C=3,若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O,N兩點，直線ZC

交拋物線于點D.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式.

(2)求點D的坐標.

(3)若點M在拋物線上，點N在X軸上，是否存在以點4D,M,N為頂點的四邊形是平行

四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)設拋物線的頂點為E,根據(jù)題意，得E(2,3).

設拋物線的函數(shù)表達式為y=α(χ-2)2+3,

將(4,0)代入，得0=4α+3,即〃=—,

4

.?.拋物線的函數(shù)表達式為y=-?-2)2+3=--χ2+3x.

44

(2)設直線AC的函數(shù)表達式為y=Ax+6(Λ≠0),

第9頁共24頁

將(4,O),(O,3)代入,

k=￡

∣4k+b=0,A,

得解得

b=3,b=3.

故直線4C的函數(shù)表達式為＞=一為+3,

4

將直線AC的函數(shù)表達式與拋物線的函數(shù)表達式聯(lián)立,

r3_)

V=-x+L3,

X=1

4x=4,

得解得9或

V=—-χ2+3x,y=0.

L44

.?.點。的坐標為力.

(3)存在，分兩種情況考慮:

I.若40為平行四邊形的對角線，則有MD=AN.

由對稱性得到∕3'力,即。跖=2,故M=2,

二點M的坐標為(2,0).

II.若/。為平行四邊形的一邊，則MN〃4D,MN=4D.

①

①當點M在X軸上方時，如圖①所示.

由I知∕N2=2,

.?.點M的坐標為(6,0).

②當點〃在X軸下方時，如圖②所示，過點。作。0_LX軸于點0,過點”3作〃3P_LX軸

于點P,可得AADQmANMWP,

第10頁共24頁

，點My的縱坐標為一2.

4

將W=,代入拋物線的函數(shù)表達式，得-2=-4+3χ,解得XM=2一幣或XM=2+3,

444

：.XN=XM^-3=S或由一1,

二用(一幣一1，O),NA√7-l,0).

綜上所述，滿足條件的點N有4個，NQ0),N2?0),M(-√7-l,0),M(√7-l,0).

1.如圖，拋物線y=χ2-2χ-3與X軸的負半軸交于4點，與y軸交于C點，頂點是經(jīng)

(1)直接寫出點/,C,N的坐標.

(2)在拋物線上是否存在這樣的點尸，使以點P,A,C,N為頂點的四邊形為平行四邊形？

若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)/4(-1,0),C(0,-3),N(-3,0).

(2)存在.若ZC為平行四邊形的對角線，則點尸的坐標為(2,-3)；若/N為平行四邊形的

對角線，則點P的坐標為(一4,3)；若CN為平行四邊形的對角線，則點尸的坐標為(-2,

-3).把這三個點的坐標分別代入驗證，得點P(2,-3)在該拋物線上，因此存在符合條件

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的點P,點尸的坐標為(2,-3).

2.如圖，在平面直角坐標系中，把矩形ONBC沿對角線ZC所在的直線折疊，點8落在點

D處,DC與y軸相交于點￡矩形OABC的邊OC,OA的長是關(guān)于X的一元二次方程x2-12x

+32=0的兩個根，且OaoC.

(1)求線段。1,OC的長.

(2)證明AADEW△COE,并求出線段OE的長.

(3)直接寫出點。的坐標.

(4)若/是直線AC上的一個動點，在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點P,使以點E,C,P,F

為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出尸點的坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)解χ2-i2r+32=0得x∣=8,X2=4.

：邊。C,0/的長是關(guān)于X的一元二次方程/-12x+32=0的兩個根，且Qi>0C,

：.OA=8,OC=4.

(2)?.?把矩形0/8C沿對角線/C所在的直線折疊，點B落在點D處,。。與y軸相交于點E,

LAD=AB=CO,NADE=NABC=NCOE,

又,：NAED=NCEO,

：.AADE/△COE(AAS),

?*?CE=AE=OA—OE=8—OE.

在必Z?QET中，由勾股定理得OE2+OC?2=CE2,

即OE2+42=(8-QE)2,

：.0E=3.

(3)如圖所示，作￡)A/_Lx軸于點Af,

則aCOEs△CMQ,

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gp-?--—?—=￡,

、DM4+0M8’

.?OM=1-2DM=2—4,

5f5

工點D的坐標為（一￡,￡）.

⑷存在.

如圖②所示，點P的坐標為(4,5)；

如圖③所示，點P的坐標為P3(石，3-2√5);

③④

第13頁共24頁

如圖④所示，點戶的坐標為尸4(一心，3+2√5).

3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=αχ2+bχ+c(o<0)與X軸交于A(-2,O)、B

(4.0)兩點，與y軸交于點C,且OC=2。4

(1)試求拋物線的解析式；

(2)直線y=kx+l(A>0)與y軸交于點D,與拋物線交于點P,與直線BC交于點M,記

m=粵，試求m的最大值及此時點P的坐標；

DU

(3)在(2)的條件下，點Q是X軸上的一個動點，點N是坐標平面內(nèi)的一點，是否存在

這樣的點Q、M使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形？如果存在，請求出點N的

坐標；如果不存在，請說明理由.

【分析】(1)因為拋物線y=αχ2+bχ+c經(jīng)過A(-2,0)、B(4,0)兩點，所以可以假設

y=a(x+2)(x-4),求出點C坐標代入求出。即可；

(2)由可得m=粵=粵，根據(jù)關(guān)于m關(guān)于X的二次函數(shù)，利用二次函

DKDC

數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

(3)存在這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形.分兩種情形分別

求解即可：①當DP是矩形的邊時，有兩種情形；②當DP是對角線時；

【解答】解：(I)因為拋物線y=αχ2+bχ+c經(jīng)過4(-2,0)、8(4,0)兩點，

所以可以假設y=α(x+2)(x-4),

V0C=20AfOA=2f

：.C(0,4),代入拋物線的解析式得到Q=-2，

.?.y=-+(x+2)(x-4)或y=-?×2+^+4或y=-W(X-I)2+-^-.

(2)如圖1中，作PE_Lx軸于￡,交BC于F.

第14頁共24頁

?'CD∕∕PE,

：.叢CMDS叢FMP,

PMPF

../D=-----=-----，

DHDC

直線y=kx+l(k>0)與y軸交于點D,則。(0,1),

YBC的解析式為y=-x+4,

設P(n,-?"2+0+4),則F(n,-∏+4),

2

：.PF=--n2+n+4-(-n+4)=-±(n-2)2+2,

22

z??

.?.m=P-F---------1--(n-2)2H-2J2,

CD63

-三<0,

6

2

二當n=2時，m有最大值，最大值為《，此時P(2,4).

3

(3)存在這樣的點Q、Λ/,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形.

①當。P是矩形的邊時，有兩種情形，

。、如圖2-1中，四邊形OQNP是矩形時,

第15頁共24頁

有（2）可知P（2,4）,代入y=kx+l中，得到k==,

；?直線DP的解析式為y=?^?x+l,可得。（0,1）,E（■彳，0）,

由AOOESz?Q0o可得UU=，”，

00OD

2

ΛOD=OE?OQ9

2

Λl=-?0Q,

3

3

ΛOQ=-?-,

2

3

.*.Q(二，0).

2

根據(jù)矩形的性質(zhì)，將點P向右平移■1個單位，向下平移1個單位得到點N,

37

ΛΛ∕（2+—,4-1）,即N,3）

22

b、如圖2-2中，四邊形PDNQ是矩形時,

；直線PD的解析式為y=?fx+l,PQLPD,

2

216

.?.直線PQ的解析式為y=3x+T,

ΛQ(8,0),

根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，將點。向右平移6個單位，向下平移4個單位得到點N,

：.N(0+6,1-4),即N(6,-3).

222

②當。P是對角線時，設Q(x,0),則QD2=χ2+ι,QP2=(x-2)+4,PD=13,

?.?Q是直角頂點，

.?QD2+QP2=PD2,

第16頁共24頁

Λχ2+1+（χ-2）2+16=13,

整理得χ2-2x+4=0,方程無解，此種情形不存在，

綜上所述，滿足條件的點N坐標為（1，3）或（6,-3）.

2

4.（2017山東臨沂）如圖，拋物線y=aχ2+bχ-3經(jīng)過點A（2,-3）,與X軸負半軸交于點

B,與y軸交于點C,且0C=30B.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D在y軸上，且/BDO=NBAC,求點D的坐標；

（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A,B,M,N為頂點的

四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；

(2)連接AC,作BF_LAC交AC的延長線于F,根據(jù)已知條件得到AF〃x軸，得到F(-1,

-3),設D(0,m),則OD=Im即可得到結(jié)論；

(3)設M(a,a2-2a-3),N(1,n),①以AB為邊，則AB〃MN,AB=MN,如圖2,過

M作MEj"對稱軸y于E,AF_Lx軸于F,于是得到aABF之4NME,證得NE=AF=3,ME=BF=3,

得到M(4,5)或(-2,11);②以AB為對角線，BN=AM,BN〃AM,如圖3,則N在X

軸上，M與C重合，于是得到結(jié)論.

【解答】解:(1)由y=a×2+b×-3得C(0.-3),

ΛOC=3,

V0C=30B,

ΛOB=1,

ΛB(-1,0),

-4Λ~2d—3--3

把A(2,-3),B(-1,0)代入y=aχ2+bx-3得｛,.,,

。-b-3-01,

第17頁共24頁

Λa=l,b=-2,

.?.拋物線的解析式為y=×2-2x-3；

(2)設連接AC,作BF_LAC交AC的延長線于F,

VA(2,-3),C(0,-3),

；.AF〃x軸，

F(^1,-3),

ΛBF=3,AF=3,

∕BAC=45",

設D(0,m),則OD=∣m∣,

VZBDO=ZBAC,

二∕BDO=45°,

ΛOD=OB=I,

.".∣m∣=l,

,m=+l,

ΛDι(0,1),D2(0,-1)；

(3)設M(a,a2-2a-3).N(1,n),

①以AB為邊，則AB〃MN,AB=MN,如圖2,過M作ME_L對稱軸y于E,AF_Lx軸于F,

則aABF絲Z?NME,

.?.NE=AF=3,ME=BF=3,

Ia_11=3>

.*.a=3或a=-2,

ΛM(4,5)或(-2,11)；

②以AB為對角線，BN=AM,BN〃AM,如圖3,

則N在X軸上，M與C重合，

ΛM(0,-3),

綜上所述，存在以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，M(4,5)或(-2,11)

或(0,-3).

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ΛΓ

5.(2017山東泰安)如圖，是將拋物線y=-χ2平移后得到的拋物線，其對稱軸為x=l,與

X軸的一個交點為A(-1,0),另一個交點為B,與y軸的交點為C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點N為拋物線上一點，且BCLNC,求點N的坐標：

33

(3)點P是拋物線上一點，點Q是一次函數(shù)y=;/+］的圖象上一點，若四邊形OAPQ為平

行四邊形，這樣的點P、Q是否存在？若存在，分別求出點P,Q的坐標；若不存在，說明

【分析】(1)已知拋物線的對稱軸，因而可以設出頂點式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;

(2)首先求得B和C的坐標，易證AOBC是等腰直角三角形，過點N作NHJ_y軸，垂足是

H,設點N縱坐標是(a,-a2+2a+3),根據(jù)CH=NH即可列方程求解；

(3)四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1,且PQ〃0A,設P(t,-t2+2t+3),代入

y=?∣χ+?∣?,即可求解.

【解答】解：(1)設拋物線的解析式是y=-(X-I)2+k.

把(T,0)代入得0=-(-1-1)2+k,

解得k=4,

則拋物線的解析式是y=-(×-l)2+4,即y=-χ2+2x+3:

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(2)在y=-χ2+2χ+3中令χ=o,則y=3,即C的坐標是(0,3),OC=3.

VB的坐標是(3,0),

ΛOB=3,

AOC=OB,則4OBC是等腰直角三角形.

ΛZ0CB=45o,

過點N作NH_Ly釉，垂足是H.

VZNCB=90o,

ΛZNCH=45o,

ΛNH=CH,

??.HO=OC+CH=3+CH=3+NH,

設點N縱坐標是(a,-a2+2a+3).

Λa+3=-a2+2a+3,

解得a=0(舍去)或a=l,

AN的坐標是(1,4)；

(3)???四邊形OAPQ是平行四邊形,則PQ=OA=I,且PQ〃OA,

設P(t,-t2+2t+3),代入y=3χ+二，則-t2+2t+34(t+l)+—,

2222

整理，得2t2-t=0,

解得t=0或二?

2

15

???-t2+2t+3的值為3或著.

6.（2017甘肅天水）如圖所示，在平面直角坐標系中XOy中，拋物線y=ax?-2ax-3a（a<

0）與X軸交于A,B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線I：y=kx+b與y軸負半軸

交于點C,與拋物線的另一個交點為D,且CD=4AC.

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(1)求A、B兩點的坐標及拋物線的對稱軸；

(2)求直線I的函數(shù)表達式(其中k、b用含a的式子表示)；

(3)點E是直線I上方的拋物線上的動點，若AACE的面積的最大值為與，求a的值；

(4)設P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形

能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由.

【分析】(1)解方程即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)直線I：y=kx+b過A(-1,0),得到直線I：y=kx+k,解方程得到點D的橫坐標為

4,求得k=a,得到直線I的函數(shù)表達式為y=ax+a;

(3)過E作EF〃y軸交直線I于F,設E(x,ax2-2a×-3a),得到F(x,a×+a),求出EF=a×2

-3ax-4a,根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；

(4)令ax?-2ax-3a=ax+a,即ax?-3ax-4a=0,得至IJD(4,5a),設P(1,m),①若AD

是矩形ADPQ的一條邊，②若AD是矩形APDQ的對角線，列方程即可得到結(jié)

論.

【解答】解：(I)當y=0