廣東省湛江市德威中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

廣東省湛江市德威中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，的解析式為A．

B．C．

D．參考答案：B略2.若在曲線f（x，y）=0上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”。下列方程：①；②，③；④對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有（

）A．①②③ B。③④ C．．②③ D．②③④參考答案：C3.已知F1、F2為雙曲線C：x2-y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|=2|PF2|，則cos∠F1PF2=(

)A． B.

C.

D.參考答案：C略4.若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，則A∩B＝()A．(－1，＋∞)

B．(－∞，3)C．(－1,3)

D．(1,3)參考答案：C5.設(shè)x＞0，由不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，推廣到x+≥n+1，則a=（）A．2n B．2n C．n2 D．nn參考答案：D【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】結(jié)合已知的三個(gè)不等式發(fā)現(xiàn)第二個(gè)加數(shù)的分子是分母x的指數(shù)的指數(shù)次方，由此得到一般規(guī)律．【解答】解：設(shè)x＞0，由不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，推廣到x+≥n+1，所以a=nn；故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合情推理的歸納推理；關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知幾個(gè)不等式中第二個(gè)加數(shù)的分子與分母中x的指數(shù)的變化規(guī)律，找出共同規(guī)律．6.拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）

A．(，0)

B．(，0)

C．(0,)

D．(0,)參考答案：C略7.雙曲線的漸近線方程是(

) A． B． C． D．參考答案：D8.如圖在正方體AC1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)等于1，建立空間直角坐標(biāo)系，得出D、B、C1、A1各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出、、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組解出=（1，﹣1，﹣1）是平面A1BD的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式算出cos＜，＞的值，即得直線BC1與平面A1BD所成角的正弦值，最后利用同角三角函數(shù)關(guān)系可得直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值．【解答】解：分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長(zhǎng)等于1，可得D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），∴=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）設(shè)=（x，y，z）是平面A1BD的一個(gè)法向量，則，取x=1，得y=z=﹣1∴平面A1BD的一個(gè)法向量為=（1，﹣1，﹣1）設(shè)直線BC1與平面A1BD所成角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|==∴cosθ==，即直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值是．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題給出正方體模型，求直線與平面所成角的余弦值，著重考查了正方體的性質(zhì)、利用空間向量研究直線與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．9.已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且a＞b，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B． C．|a|＞|b| D．2a＞2b參考答案：D【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．【分析】由不等式的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，由于a，b為非零實(shí)數(shù)，故可利用特例進(jìn)行討論得出正確選項(xiàng)【解答】解：A選項(xiàng)不正確，當(dāng)a=1，b=﹣2時(shí)，不等式就不成立；B選項(xiàng)不正確，因?yàn)閍=1，b=﹣2時(shí)，不等式就不成立；C選項(xiàng)不正確，因?yàn)閍=1，b=﹣2時(shí)，不等式就不成立；D選項(xiàng)正確，因?yàn)閥=2x是一個(gè)增函數(shù)，故當(dāng)a＞b時(shí)一定有2a＞2b，故選D．10.已知F1、F2是橢圓+=1的兩焦點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)F2的的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，若|AB|=5，則|AF1|+|BF1|等于（

）

A．11

B．10

C．9

D．16參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知i是虛數(shù)單位，且，則__________．參考答案：由題意可得：.

14.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程是__________．【答案】【解析】【分析】利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以由于，所以可?【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，熟記轉(zhuǎn)化公式是求解關(guān)鍵，一般直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)利用公式可得，利用公式及點(diǎn)的位置可得；極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)時(shí)一般利用來(lái)實(shí)現(xiàn).12.數(shù)列的通項(xiàng)公式，記，試通過(guò)計(jì)算的值，推測(cè)出參考答案：略13.若,則

, .參考答案：

14.已知數(shù)列滿足，又成等差數(shù)列則等于

參考答案：15.棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)有一點(diǎn)，由點(diǎn)向各面引垂線，垂線段長(zhǎng)度分別為，則的值為________。參考答案：略16.設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A為拋物線C上一點(diǎn)，若，則直線FA的傾斜角為___________．參考答案：或.【分析】先設(shè)出A的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義可知該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與其到焦點(diǎn)的距離相等，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離求得x的值，代入拋物線方程求得y．然后求解直線的斜率，得到直線FA的傾斜角．【詳解】設(shè)該坐標(biāo)為，拋物線：的焦點(diǎn)為，根據(jù)拋物線定義可知，解得，代入拋物線方程求得，故坐標(biāo)為：，的斜率為：，則直線的傾斜角為：或.

17.在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)所有的格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)）中任取3個(gè)點(diǎn)，則該3點(diǎn)恰能成為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的概率為

．參考答案：.

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（1）當(dāng){an}是等比數(shù)列，a1=1，且，，﹣1是等差數(shù)列時(shí)，求an；（2）若{an}是等差數(shù)列，且S1+a2=3，S2+a3=6，求和：Tn=．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】（1），，是等差數(shù)列，得，又{an}是等比數(shù)列，a1=1，設(shè)公比為q，則有，解出即可得出．（2）設(shè){an}的公差距為d，S1+a2=3，S2+a3=6，得，解出即可得出．【解答】解：（1），，是等差數(shù)列，得又{an}是等比數(shù)列，a1=1，設(shè)公比為q，則有，即而q≠0，解得，…故…（2）設(shè){an}的公差距為d，S1+a2=3，S2+a3=6，得，解得．…則．于是，…故…19.已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．參考答案：（I）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：13－0＋0－遞減極小值遞增極大值遞減所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值為，極大值為（II）令①若，則，在內(nèi)，，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減②若，則，其圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減③若，則，其圖象是開口向下的拋物線，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)，的取值范圍是．20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn),(0，)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q．（Ⅰ）求k的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】向量的共線定理；平面的概念、畫法及表示．【分析】（1）直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程組有2個(gè)不同解，轉(zhuǎn)化為判別式大于0．（2）利用2個(gè)向量共線時(shí)，坐標(biāo)之間的關(guān)系，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求兩根之和，解方程求常數(shù)k．【解答】解：（Ⅰ）由已知條件，直線l的方程為，代入橢圓方程得．整理得①直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，等價(jià)于①的判別式△=，解得或．即k的取值范圍為．

（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，由方程①，．②又．③而．所以與共線等價(jià)于，將②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k．21.（本小題滿分13分）

如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是2，D是側(cè)棱CC1上任意一點(diǎn)，E是A1B1的中點(diǎn)。

（1）求證：A1B1∥平面ABD；

（2）求證：AB⊥CE；

（3）求三棱錐C－ABE的體積。參考答案：22.已知函數(shù)f（x）=ax3+x2+bx（其中常數(shù)a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函數(shù)．（1）求f（x）的表達(dá)式；（2）討論g（x）的單調(diào)性，并求g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)解析式的求解及常用方法；奇函數(shù)．【分析】（Ⅰ）由f'（x）=3ax2+2x+b得g（x）=fax2+（3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，由g（﹣x）=﹣g（x），利用待系數(shù)法求解．（2）由（1）知，再求導(dǎo)g'（x）=﹣x2+2，由g'（x）≥0求得增區(qū)間，由g'（x）≤0求得減區(qū)間；求最值時(shí)從極值和端點(diǎn)值中?。窘獯稹拷猓海?）由題意得f'（x）=3ax2+2x+b因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b因?yàn)楹瘮?shù)g（x）是奇函數(shù)，所以g（﹣x）=﹣g（x），即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有a（﹣x）3+（3a+1）（﹣