九年級數學上冊講義（人教版）：實際問題與二次函數（教師版）

第14課實際問題與二次函數目標導航目標導航課程標準（1）能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最大（?。┲?，提高解決問題的能力。（2）通過求最大面積、最大利潤等問題，體會二次函數是一類解決最優(yōu)化問題的數學模型。知識精講知識精講知識點01列二次函數解應用題列二次函數解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函數后，表示量與量的關系的代數式是含有兩個變量的等式．對于應用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關系是什么，找出等量關系(即函數關系)．(2)設出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設變量的單位要準確．(3)列函數表達式，抓住題中含有等量關系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數．(4)按題目要求，結合二次函數的性質解答相應的問題.(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案．(6)寫出答案．知識點02建立二次函數模型求解實際問題一般步驟：(1)恰當地建立直角坐標系；(2)將已知條件轉化為點的坐標；(3)合理地設出所求函數關系式；(4)代入已知條件或點的坐標，求出關系式；(5)利用關系式求解問題．【注意】

(1)利用二次函數解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函數問題，利用題中存在的公式、內含的規(guī)律等相等關系，建立函數關系式，再利用函數的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.(2)對于本節(jié)的學習，應由低到高處理好如下三個方面的問題：

①首先必須了解二次函數的基本性質；

②學會從實際問題中建立二次函數的模型；

③借助二次函數的性質來解決實際問題.知識點03利用二次函數求圖形面積的最值問題一些幾何圖形的面積與其相關邊長成二次函數關系時，可以用二次函數的最值求其最大面積。求矩形的最大面積時，通常用含有自變量x的代數式表示矩形的長與寬，根據矩形的面積公式構造關于x的二次函數，再結合二次函數的圖象和性質，利用公式法或配方法求出二次函數的最大值，同時要注意自變量的取值范圍。知識點04利用二次函數求最大利潤問題（1）利潤問題是本節(jié)的重點問題之一，在日常生活中經常出現(xiàn)，是考試熱點。對于這類問題，只要審清題意，記住利潤問題中的幾個公式，便可解決此類問題。①每件的利潤=銷售單價-成本單價；②總利潤=總銷售價-總成本價=每件利潤×銷售量。（2）利用二次函數的最值解答商品銷售中的“最大利潤”問題時，可采用以下步驟：①設出自變量，用含自變量的代數式表示銷售單價或銷售量及銷售收入；②用含自變量的代數式表示銷售商品的成本；③用因變量及含自變量的代數式分別表示銷售利潤，即可得到函數表達式；④根據函數表達式求出最值及取得最值時自變量的值，注意結果要符合實際意義及題意。知識點05利用二次函數解決拋物線型建筑物問題這類問題所給的問題情境常有一個拋物線型物體，比如拱橋或隧道這些問題都可以通過構造二次承數的表達式來解決，解決這類問題般是利用數形結合思想和函數思想。

1．一般解題思路

(1)在示意圖中建立適當的平面直角坐標系，將題目中所給條件轉化平面直角坐標系中的坐標。

(2)根據圖中坐標利用待定系數法求得二次函數的表達式。

(3)由二次函數的性質去分析解決問題，檢驗問題的結果是否符合實標意義，并作答。

2．卡車過拱橋(隧道)問題

在問題中，拋物線的函數表達式是首要條件，有時函數表達式已經給出，有時需要先求出來，求出函數表達式后有兩種方法可以判斷卡車能否從橋下通過：(1)固定卡車的寬，看橋是否足夠高（即相當于已知x的值，根據函數表達式求y的值，然后與限制的高的值比較大?。?2)固定卡車的高，看橋是否足夠寬（即相當于已知y的值，根據函數表達式求x的值，然后與限制的寬的值比較大?。┠芰ν卣鼓芰ν卣箍挤?1求幾何圖形面積的最值【典例1】如圖，一邊靠墻（墻有足夠長），其它三邊用12m長的籬笆圍成一個矩形（ABCD）花園，這個花園的最大面積是（

）A．18m2 B．12m2 C．16m2 D．22m2【答案】A【詳解】解：設與墻垂直的矩形的邊長為xm，則這個花園的面積是：S=x（12-2x）=，∴當x=3時，S取得最大值，此時S=18，故選：A．【即學即練】如圖，四邊形中，，若，則四邊形的面積最大值為（

）A．6 B．18 C．36 D．144【答案】B【詳解】如圖，設AC、BD交于點M設四邊形的面積即四邊形的面積當時，四邊形的面積最大，最大為18．故選：B．【典例2】如圖，在平面直角坐標系中，直線（為常數）與拋物線交于A、B兩點，且點A在軸左側，點P的坐標為，連接PA，PB，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．6【答案】B【詳解】解：設，聯(lián)立，得，即，由根與系數的關系得，∴當時，的面積最小，最小面積為.故選：B.【即學即練】如果一個矩形的周長與面積的差是定值，我們稱這個矩形為“定差值矩形”.如圖，在矩形中，，，，那么這個“定差值矩形”的對角線的長的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵在矩形中，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴當時，，∴有最小值為（取正值），故選：C．考法02利用二次函數解最大利潤問題【典例3】某種商品每件的進價為30元，在某時間段內若以每件x元出售，可賣出（100－x）件．若想獲得最大利潤，則定價x應為（

）A．35元 B．45元 C．55元 D．65元【答案】D【詳解】解：設所獲得的利潤為W，由題意得，∵，∴當時，W有最大值1225，故選D．【即學即練】某商品的利潤y（元）與售價x（元）之間的函數關系式為y＝﹣x2+8x+9，且售價x的范圍是1≤x≤3，則最大利潤是（）A．16元 B．21元 C．24元 D．25元【答案】C【詳解】解：y=-x2+8x+9=-（x-4）2+25，∵a=-1＜0，∴利潤y有最大值，當x＜4時，y隨x的增大而增大，∵售價x的范圍是1≤x≤3，∴當x=3時，最大利潤y是24元，故選：C．【典例4】某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經過調查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每降低5元，每天可多售出10件，下列說法錯誤的是（

）A．銷售單價降低15元時，每天獲得利潤最大B．每天的最大利潤為1250元C．若銷售單價降低10元，每天的利潤為1200元D．若每天的利潤為1050元，則銷售單價一定降低了5元【答案】D【詳解】因為每降低5元，每天可多售出10件，所以每降價1元可多售2件，設每件降價x元，每天的利潤為y元，則每天可售（20+2x）件，每件利潤為40-x，所以每天的利潤為將整理成頂點式有，由頂點式可知當銷售單價降低15元時，每天獲得利潤最大，每天的最大利潤為1250元，故A、B正確；將x=10代入到解析式中解得y=1200，故C正確；令y=1050，則，解得，即當每天的利潤為1050元，則銷售單價可能降低了5元，也可能降低了25元，所以D錯誤；綜上所述，答案選D.【即學即練】某公司銷售一種藜麥，成本價為30元/千克，若以35元/千克的價格銷售，每天可售出450千克．當售價每漲0.5元/千克時，日銷售量就會減少15千克．設當日銷售單價為（元/千克）（，且是按0.5的倍數上漲），當日銷售量為（千克）．有下列說法：①當時，②與之間的函數關系式為③若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應定為42元/千克④若使日銷售利潤最大，銷售價格應定為40元/千克其中正確的是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④【答案】B【詳解】當時，，故①正確；由題意得：，故②正確；日銷售利潤為，由題意得：，整理得：，解得：，，∵銷售單價為38元/千克時的銷售量比銷售單價為42元/千克時大，∴不合題意，即若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應定為38元/千克，故③錯誤；由上問可知：，即，∵，∴當時，，即若使日銷售利潤最大，銷售價格應定為40元/千克，故④正確；故正確的是①②④；故答案選B．考法03利用二次函數解拱橋問題【典例5】如圖，某涵洞的截面是拋物線形，現(xiàn)測得水面寬AB＝1.6m，涵洞頂點O與水面的距離CO是2m，則當水位上升1.5m時，水面的寬度為（

）A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m【答案】C【詳解】解：建立如圖所示的坐標系：設函數關系式為，由題意得：，∴，解得：，∴，當y=-0.5時，則有，解得：，∴水面的寬度為0.8m；故選C．【即學即練】如圖是拋物線形的拱橋，當水面寬4m時，頂點離水面2m，當水面寬度增加到6m時，水面下降（）A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m【答案】C【詳解】解：建立平面直角坐標系，設橫軸通過，縱軸通過中點且通過頂點，則通過畫圖可得知為原點，由平面直角坐標系可知，，即，設拋物線的解析式為，將點代入得：，解得，則拋物線的解析式為，即，當時，，所以水面下降，故選：C．【典例6】如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，水面在l時，拱頂(拱橋洞的最高點)離水面3米，水面寬4米．如果按圖（2）建立平面直角坐標系，那么拋物線的解析式是_____．【答案】【詳解】解：設出拋物線方程y=ax2（a≠0），由圖象可知該圖象經過（-2，-3）點，∴-3=4a，a=-，∴拋物線解析式為y=-x2．故答案為：．【即學即練】某橋梁的橋洞可視為拋物線，，最高點C距離水面4m，以AB所在直線為x軸（向右為正向），若以A為原點建立坐標系時，該拋物線的表達式為，已知點D為拋物線上一點，位于點C右側且距離水面3m，若以點D為原點，以平C行于AB的直線為x軸（向右為正向）建立坐標系時，該物線的表達式為___________．【答案】##【詳解】解：在y＝﹣x2+x中，令y＝3得﹣x2+x＝3，解得x＝3或x＝9，∵點D為拋物線上一點，位于點C右側且距離水面3m，∴xD﹣xA＝9，以點D為原點，以平行于AB的直線為x軸（向右為正向）建立坐標系，如圖：根據題意知此時頂點D（﹣3，1），A（﹣9，﹣3），設拋物線的表達式為y＝a（x+3）2+1，將A（﹣9，﹣3）代入得：36a+1＝﹣3，解得a＝﹣，∴拋物線的表達式為y＝﹣（x+3）2+1＝﹣x2﹣x，故答案為：y＝﹣x2﹣x．考法04利用二次函數求噴水、投球等實際問題【典例7】從某幢建筑物2.25米高處的窗口A用水管向外噴水，水流呈拋物線，如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面3米，那么水流落點B與墻的距離OB是（

）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米【答案】C【詳解】解：由題意可得，拋物線的頂點坐標為（1，3），設拋物線的解析式為：y=a（x-1）2+3，2.25=a（0-1）2+3，解得a=-0.75，∴y=-（x-1）2+3，當y=0時，-（x-1）2+3=0，解得，x1=-1，x2=3，∴點B的坐標為（3，0），∴OB=3，答：水流下落點B離墻距離OB的長度是3米．故選：C．【即學即練】如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意可知點（1，3）是拋物線的頂點，∴設這段拋物線的解析式為y=a（x-1）2+3．∵該拋物線過點（3，0），∴0=a（3-1）2+3，解得：a=-．∴y=-（x-1）2+3．∵當x=0時，y=-（0-1）2+3=-+3=，∴水管應長m．故選：A【典例8】如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有的關系為h＝10t﹣5t2，則小球飛行的最大高度為_____m．【答案】5【詳解】解：∵，∴小球飛行的最大高度為5m，故答案為5．【即學即練】如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關系是．則他將鉛球推出的距離是___米．【答案】10【詳解】解：當y=0時，，解得：x1=10，x2=-2（不合題意，舍去），所以推鉛球的距離是10米；故答案為：10．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．一小球被拋出后，距離地面的高度h（米）和飛行時間t（秒）滿足下面函數關系式：h=﹣5t2+20t﹣14，則小球距離地面的最大高度是（

）A．2米 B．5米 C．6米 D．14米【答案】C【詳解】高度h和飛行時間t滿足函數關系式：h=﹣5t2+20t﹣14，當時，小球距離地面高度最大，米，故選：C．2．在地球上同一地點，不同質量的物體從同一高度同時下落，如果除地球引力外不考慮其他外力的作用，那么它們的落地時間相同．物體的下落距離h（m）與下落時間t（s）之間的函數表達式為h＝gt2．其中g取值為9.8m/s2．小莉進行自由落體實驗，她從某建筑物拋下一個小球，經過4s后落地，則該建筑物的高度約為（

）A．98m B．78.4m C．49m D．36.2m【答案】B【詳解】解：把t=4代入h＝gt2得，故選：B．3．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數有一定的關系，每盆植3株時，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達到15元，每盆應多植多少株？設每盆多植x株，則可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15【答案】A【詳解】解：設每盆應該多植x株，由題意得(x+3)(4-0.5x)=15，故選：A．4．如圖，用繩子圍成周長為的矩形，記矩形的一邊長為，矩形的面積為．當x在一定范圍內變化時，S隨x的變化而變化，則S與x滿足的函數表達式為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：由題意得，2（x+y）＝10，∴x+y＝5，∴y＝5﹣x，∵S＝xy＝x（5﹣x）∴矩形面積滿足的函數關系為S＝x（5﹣x），由題意可知自變量的取值范圍為，故選：A．5．某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，該公司第二、三兩個月投放單車數量的月平均增長率為x，那么y與x的函數關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意得：，故選B．6．向空中發(fā)射一枚炮彈，第x秒時的高度為y米，且高度與時間的關系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮彈在第6秒與第18秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是（）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒【答案】C【詳解】解：此炮彈在第6秒與第18秒時的高度相等，拋物線的對稱軸直線是：，拋物線開口向下，時，函數值最大，即第12秒炮彈所在高度最高，故選：C．7．據了解，某蔬菜種植基地2019年的蔬菜產量為100萬噸，2021年的蔬菜產量為萬噸，如果2019年至2021年蔬菜產量的年平均增長率為，那么關于的函數解析式為_________．【答案】【詳解】解：根據題意可得：2020年的蔬菜產量為，2021年的蔬菜產量為，∴，故答案為：．8．如圖是一副眼鏡鏡片下半部分輪廓對應的兩條拋物線關于y軸對稱．AB//x軸，AB＝4cm，最低點C在x軸上，高CH＝1cm，BD＝2cm則右輪廓線DFE所在拋物線的函數表達式為___（不用寫x的取值范圍）．【答案】【詳解】解：∵眼鏡鏡片下半部分輪廓對應的兩條拋物線關于y軸對稱，AB∥x軸，AB＝4cm，最低點C在x軸上，高CH＝1cm，BD＝2cm，∴點C的坐標為（﹣3，0），點B（﹣1，1），∴點D（1，1），點F（3，0），設右輪廓線DFE所在拋物線的函數解析式為：y＝a（x﹣3）2，則1＝a（1﹣3）2，解得，a＝，∴右輪廓線DFE所在拋物線的函數解析式為：9．某商場經營一種新上市的文具，進價為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．（1）若商場每天要獲得銷售利潤2000元，銷售單價應定為多少元？（2）求銷售單價定為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？【答案】（1）銷售單價應定為30元或40元．（2）當單價為35元時，該文具每天的最大利潤為2250元．【詳解】解：（1）設銷售單價為x元，根據題意列方程得，（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，解得x1＝30，x2＝40答：銷售單價應定為30元或40元．（2）設銷售單價為x元，每天的銷售利潤w元，可列函數解析式為：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函數圖象開口向下，當x＝35時，w有最大值，最大值為2250元，答：當單價為35元時，該文具每天的最大利潤為2250元．10．如圖，ABCD是一塊邊長為4米的正方形苗圃，園林部門擬將其改造為矩形AEFG的形狀，其中點E在AB邊上，點G在AD的延長線上，DG

=2BE．設BE的長為x米，改造后苗圃AEFG的面積為y平方米．（1）求y與x之間的函數關系式（不需寫自變量的取值范圍）；（2）根據改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面積與原正方形苗圃ABCD的面積相等，請問此時BE的長為多少米？【答案】（1）y=-2x+4x+16；（2）2米【詳解】解：（1）∵BE邊長為x米，∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x

苗圃的面積=AE×AG=(4-x)(4+2x)則苗圃的面積y（單位：米2）與x（單位：米）的函數關系式為：y=-2x+4x+16（2）依題意，令y=16

即-2x+4x+16=16解得：x=0(舍）x=2答：此時BE的長為2米．題組B能力提升練1．如圖是拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點為O，B，以點O為原點，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標系，橋的拱形可以近似看成拋物線y=-0.01（x-20）2+4，橋拱與橋墩AC的交點C恰好位于水面，且AC⊥x軸，若OA=5米，則橋面離水面的高度AC為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【詳解】解：∵AC⊥x軸，OA=5米，∴點C的橫坐標為-5，當x=-5時，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，∴C（-5，-2.25），∴橋面離水面的高度AC為2.25米．故選：C．2．如圖，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即的長度）是1米．當噴射出的水流距離噴水頭8米時，達到最大高度1.8米，水流噴射的最遠水平距離是（

）A．20米 B．18米 C．10米 D．8米【答案】A【詳解】解：∵噴水頭的高度（即的長度）是1米．當噴射出的水流距離噴水頭8米時，達到最大高度1.8米，設拋物線解析式為，將點代入，得解得∴拋物線解析式為令，解得（負值舍去）即，故選：A3．飛機著陸后滑行的距離s（單位：米）關于滑行時間t（單位：秒）的函數表達式為，當滑行時間為10秒時，滑行距離為450米；當滑行時間為20秒時，滑行距離為600米，則飛機的最大滑行距離為（

）A．600米 B．800米 C．1000米 D．1200米【答案】A【詳解】解：∵時，；時，，∴，解得：，∴，∵，∴當時，S最大，且最大值為600，即飛機的最大滑行距離為600米，故A正確．故選：A．4．使用家用燃氣灶燒開同一壺水所需的燃氣量y（單位：m3）與旋鈕的旋轉角度x（單位：度）（0＜x≤90）近似滿足函數關系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某種家用燃氣灶燒開同一壺水的旋鈕角度x與燃氣量y的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出此燃氣灶燒開一壺水最節(jié)省燃氣的旋鈕角度約為（

）A．37.5° B．40°C．42.5° D．45°【答案】B【詳解】解：由圖象可得，該函數的對稱軸x＞且x＜50，∴37.5＜x＜50，即對稱軸位于直線x＝37.5與直線x＝50之間且靠近直線x＝37.5∴此燃氣灶燒開壺水最節(jié)省燃氣的旋鈕角度約為40°，故選：B．5．如圖，四邊形是邊長為2的正方形，點是射線上的動點（點不與點，點重合），點在線段的延長線上，且,連接,．設，的面積為，下列圖象能正確反映出與的函數關系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：當點在之間時，即，，則，，圖象是開口向下，對稱為：的拋物線，當點在上方時，即，，則，，圖象是開口向上的拋物線，故選：B．6．某超市銷售一種商品，每件成本為元，銷售人員經調查發(fā)現(xiàn)，該商品每月的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足函數關系式，若要求銷售單價不得低于成本，為每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應定為多少元？每月最大利潤是多少？（

）A．元，元 B．元，元C．元，元 D．元，元【答案】B【詳解】解：設每月總利潤為，依題意得：，此圖象開口向下，又，當時，有最大值，最大值為元．故選：B．7．某一型號飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的函數表達式是，該型號飛機著陸后滑行的最大距離是______．【答案】600m##600米【詳解】解：∵，∴x=20時，y取得最大值，最大值=600，故答案為：600m．8．如圖所示，用長為21米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為便于進出，開了3道寬為1米的門．設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數表達式為__；自變量x的取值范圍為__．【答案】

【詳解】解：設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數表達式為：；由題意可得：，解得：．故答案為：，．9．為滿足市場需求，某超市在中秋節(jié)前夕購進價格為12元/盒的某品牌月餅，根據市場預測，該品牌月餅每盒售價14元時，每天能售出200盒，并且售價每上漲1元，其銷售量將減少10盒，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定：該品牌月餅的售價不能超過20元/盒．(1)當銷售單價為多少元時，該超市每天銷售該品牌月餅的利潤為720元；(2)當銷售單價為多少元時，超市每天銷售該品牌月餅獲得利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)當銷售單價為16元/盒時，該超市每天的利潤為720元(2)當銷售單價20元/盒時，超市每天獲得利潤最大，最大利潤是1120元【詳解】(1)解：設銷售單價為x元/盒，依據題意得解得（不符合題意，舍去）．答：當銷售單價為16元/盒時，該超市每天的利潤為720元．(2)設銷售單價為x元/盒，每天銷售該品牌月餅的利潤為w元，依據題意得∵，拋物線開口向下，當時，w隨x的增大而增大．∴時，w最大為1120元答：當銷售單價20元/盒時，超市每天獲得利潤最大，最大利潤是1120元．10．小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求拋物線的表達式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．【答案】(1)(2)2或6m【詳解】（1）解：根據題意可知拋物線的頂點為，設拋物線的解析式為，將點代入，得，解得，拋物線的解析式為，（2）由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，她與爸爸的水平距離為(m)，或(m)．題組C培優(yōu)拔尖練1．兩個正方形的周長和是10，如果其中一個正方形的邊長為，則這兩個正方形的面積的和S關于的函數關系式為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵兩個正方形的周長和是10，如果其中一個正方形的邊長為，∴另一個正方形的邊長為，∴這兩個正方形的面積的和S關于的函數關系式為，故選：D．2．某種產品按質量分為個檔次，生產最低檔次產品，每件獲利潤元，每提高一個檔次，每件產品利潤增加元，用同樣工時，最低檔次產品每天可生產件，提高一個檔次將減少件．如果用相同的工時生產，總獲利潤最大的產品是第檔次（最低檔次為第一檔次，檔次依次隨質量増加），那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設總利潤為y元，∵第檔次產品比最低檔次產品提高了個檔次，∴每天利潤為，∴當時，產品利潤最大，每天獲利864元，故選C．3．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD方向運動，當P運動到B點時，P，Q兩點同時停止運動．設P點運動的時間為t，△APQ的面積為S，則S與t函數關系的圖象是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：∵正方形邊長為4，點P的運動速度為每秒1個單位長度，∴當點P到達B點時，t=4s，當t=4s時，點Q運動了4×2=8個單位長度，此時點Q到達點D，故點Q的運動軌跡為：點B——點C——點D；令運動時間為t，當點Q在BC上運動時，BQ=2t，AP=t（0<t≤2）當點Q在CD上運動時，AP=t，此時三角形的高=4，(2≤t<4)故選：D4．足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經過的時間t（單位：s）之間的關系如表：下列結論不正確的是（

）t01234567…h(huán)08141820201814…A．足球距離地面的最大高度超過20m B．足球飛行路線的對稱軸是直線C．點（10，0）在該拋物線上 D．足球被踢出時，距離地面的高度逐漸下降．【答案】C【詳解】解：由題意，可得對稱軸為，則可得拋物線經過（0，0），（9，0）設拋物線的解析式為h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，，∴足球距離地面的最大高度為20.25m＞20m，A選項正確，不符合題意；∴拋物線的對稱軸，故B正確，不符合題意；由二次函數的性質可得，當時，h隨t的增大而減小，∴足球被踢出時，距離地面的高度逐漸下降，D選項正確，不符合題意，拋物線經過點（9，0），不經過（10，0），∴點（10，0）不在該拋物線上，C選項錯誤，符合題意；故選：C5．2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對防疫物資需求量激增．某廠商計劃投資產銷一種消毒液，設每天產銷量為x瓶，每日產銷這種消毒液的有關信息如下表：（產銷量指生產并銷售的數量，生產多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產銷利潤y元，當銷量x為多少時，該消毒液的單日產銷利潤最大．（

）消毒液每瓶售價（元）每瓶成本（元）每日其他費用（元）每日最大產銷量（瓶）30181200＋0.02x2250A．250 B．300 C．200 D．550【答案】D【詳解】解：根據題意，得∴，∴，∵，∴拋物線的開口向下，有最大值，又∵，∴當時，，故選：D6．如圖，公園中一正方形水池中有一噴泉，噴出的水流呈拋物線狀，測得噴出口高出水面0.8m，水流在離噴出口的水平距離1.25m處達到最高，密集的水滴在水面上形成了一個半徑為3m的圓，考慮到出水口過高影響美觀，水滴落水形成的圓半徑過大容易造成水滴外濺到池外，現(xiàn)決定通過降低出水口的高度，使落水形成的圓半徑為2.75m，則應把出水口的高度調節(jié)為高出水面（）A．0.55米 B．米 C．米 D．0.4米【答案】B【詳解】解：如圖，以O為原點，建立平面直角坐標系，由題意得，對稱軸為x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），設解析式為y＝ax2+bx+c，∴，解得：，所以解析式為：y＝x2+x+，當x＝2.75時，y＝，∴使落水形成的圓半徑為2.75m，則應把出水口的高度調節(jié)為高出水面08﹣＝，故選：B．7．某食品零售店新上架一款冷飲產品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的關系如圖所示，當時，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產品的最大利潤為______________元（利潤=總銷售額-總成本）．【答案】121【詳解】解：當時，設，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的函數解析式為，設該食品零售店每天銷售這款冷飲產品的利潤為w元，，∵1<0，∴當時，w有最大值為121，故答案為：121．8．如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內側曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即CD的長）為______．【答案】40米【詳解】解：如圖，以底部所在的直線為軸，以線段的垂直平