八年級數(shù)學上冊講義（人教版）：分式的運算（教師版）

專題15.2分式的運算目標導航目標導航1、掌握分式的四則運算法則、運算順序、運算律；2、正確使用分式的四則運算；3、掌握零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的意義和運算；及小于1的科學計數(shù)法。知識精講知識精講知識點01分式的乘除知識點分式是分數(shù)的擴展，因此分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似：1）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．2）分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示為：．3）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．【知識拓展1】分式的乘法例1．（2022·山東·泰安市八年級階段練習）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】約去分子分母的公因式即可得到答案．【詳解】解：故選C．【點睛】本題考查的是分式的乘法運算和約分，掌握“約分即是約去分子分母的公因式”是解本題的關(guān)鍵．【即學即練】1．（2022·湖南·新化縣八年級期中）計算：的正確結(jié)果是（

）A．2 B．2b C．-2b D．-2ab2【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘法運算運算法則即可求出答案．【詳解】解：,故選：C．【點睛】本題考查分式的乘除運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的乘除運算法則．【知識拓展2】分式的除法例2．（2022·綿陽市八年級單元測試）化簡，正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的除法進行計算即可求解．【詳解】解：原式＝，故選D．【點睛】本題考查了分式的除法運算，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【即學即練】2.（2022·浙江·寧波外國語學校七年級期中）化簡：÷＝_____．【答案】【分析】先進行因式分解，把除法變成乘法，進行約分即可．【詳解】解：故答案為：【點睛】此題考查了分式的除法運算，熟練掌握除法法則是解題的關(guān)鍵．【知識拓展3】分式的乘方例3．（2022·江西宜春·八年級期中）下列計算中，錯誤的是(

)A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的乘法法則計算，即可求解．【詳解】、，故本選項錯誤，符合題意；B、，故本選項正確，不符合題意；C、，故本選項正確，不符合題意；D、，故本選項正確，不符合題意；故選：A【點睛】本題主要考查了分式的乘方運算，熟練掌握分式的乘方運算法則是解題的關(guān)鍵．【即學即練】3．（2022·湖南·新化縣東方文武學校八年級期末）計算分式得（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別給分子、分母運用積的乘方運算法則計算即可．【詳解】解：．故選C．【點睛】本題主要考查了分式的乘方，分式的乘方即給分子、分母分別乘方．【知識拓展4】分式的乘除乘方混合運算例4．（2022·海南·儋州川綿中學八年級階段練習）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】先將除法改寫成乘法，在按照分式的乘法法則進行計算即可．【詳解】解：==故選：A．【點睛】本題主要考查了分式的混合運算，先將除法改寫成乘法是解題的關(guān)鍵．【即學即練】4．（2022·湖北·京山市實驗中學八年級期中）計算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先算乘方，再把除法變乘法，最后用乘法進行運算即可；（2）先把除法變乘法，再因式分解，約分即可；（3）先把除法變乘法，第一個式子和第二個式子先因式分解，再約分即可．（1）解：原式；（2）原式；（3）原式．【點睛】本題考查了因式分解，分式的化簡，其中準確使用公式是解題的關(guān)鍵．知識點02分式的加減知識點1）分式的加減①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減．用式子表示為：．2）分式的混合運算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算．混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的．注：上述所有計算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進行約分化為最簡分式【知識拓展1】分式的加減（同分母）例1．（2022·山東·濟寧八年級階段練習）分式①；②；③中，計算結(jié)果是整式的序號_______．【答案】①③【分析】根據(jù)各項化簡得到的結(jié)果，即可做出判斷．【詳解】解：①原式，滿足題意；②原式，不合題意；③原式，符合題意；則計算結(jié)果是整式的是：①③．【點睛】本題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解決本題的關(guān)鍵．【即學即練】1．（2022·湖南·新化縣八年級期中）計算（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)同分母分式的減法法則計算即可．【詳解】解：．故選：A【點睛】本題考查了分式的加減運算，同分母分數(shù)加減法，分母不變，分子相加減．【知識拓展2】分式的加減（異分母）例2．（2022·江蘇連云港·八年級期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)1；(2)【分析】（1）根據(jù)同分母分式的加法法則求出即可；（2）先把異分母的分式轉(zhuǎn)化成同分母的分式，再根據(jù)同分母分式的減法法則求出即可．（1）解：，===1；（2）解：.【點睛】本題考查了分式的加減法則，能靈活運用分式的加減法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．【即學即練】2.（2022·浙江·七年級階段練習）化簡，得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．【詳解】解：．故選：C．【點睛】本題考查分式的加減運算．熟練掌握通分和分式的加減運算是解題的關(guān)鍵．【知識拓展3】分式的混合運算例3．（2022·湖南長沙·七年級階段練習）已知，其中，，，為常數(shù)，則______．【答案】6【分析】由于，利用這個等式首先把已知等式右邊通分化簡，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到關(guān)于、、、的方程組，解方程組即可求解．【詳解】解：，且，當時，①當時，②

當時，③∵,即∴④聯(lián)立解之得、、，．故答案為：．【點睛】此題主要考查了部分分式的計算，題目比較復雜，解題時首先正確理解題意，然后根據(jù)題意列出關(guān)于、、、的方程組即可解決問題．【即學即練】3．（2022·河北唐山·八年級期末）由值的正負可以比較與的大小，下列正確的是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】C【分析】將c=?3和0分別代入A中計算求值即可判斷出選項A，B的對錯；當c<?3和c<0時計算的正負，即可判斷出選項C，D的對錯．【詳解】解：A選項，當c=?3時，分式無意義，故該選項不符合題意；B選項，當c=0時，，故該選項不符合題意；C選項，∵c<?3，∴3+c<0，c<0，∴3(3+c)<0，∴，∴，故該選項符合題意；D選項，當c<0時，∵3(3+c)的正負無法確定，∴A與的大小就無法確定，故該選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了分式的求值，分式的加減法，通過作差法比較大小是解題的關(guān)鍵．【知識拓展4】分式的化簡求值例4．（2022·廣西貴港·八年級期中）先化簡，再求值(1)，其中；(2)，其中a滿足．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先算括號，再算除法，能因式分解的先進行因式分解，進行化簡計算，再代值求解即可；（2）利用整體通分法，先算括號，再算除法進行化簡，利用整體思想求值．【詳解】（1）解：原式；當時，原式；（2）解：原式，∵，∴，當時，原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值．根據(jù)分式的運算法則正確的進行化簡，是解題的關(guān)鍵．【即學即練4】4．（2022·江蘇·八年級階段練習）先化簡，再從﹣2≤a≤2中選取一個合適的整數(shù)代入求值．【答案】，a=1時，原式=【分析】根據(jù)分式的運算法則化簡，再代入使分母有意義的值即可求解．【詳解】解：原式＝=＝＝∵a≠2，a≠0，a≠-1，a≠?2，且﹣2≤a≤2，a取整式，∴a＝1∴當a=1時，原式＝【點睛】此題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟知分式的運算法則，取值時忽略分母為0或被除式為0是解題的易錯點．知識點03整數(shù)指數(shù)冪知識點【知識拓展1】零指數(shù)冪與負指數(shù)冪例1．（2022·廣西桂林·八年級期中）計算：．【答案】【分析】根據(jù)絕對值，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪的計算法則求解即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了絕對值，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵，注意零指數(shù)冪的結(jié)果為零．【即學即練1】1．（2022·湖南·新化縣東方文武學校八年級期中）計算：；【答案】【分析】根據(jù)化簡絕對值，有理數(shù)的乘方，負整數(shù)冪，零次冪進行計算即可求解．【詳解】解：【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握化簡絕對值，有理數(shù)的乘方，負整數(shù)冪，零次冪是解題的關(guān)鍵．【知識拓展2】科學記數(shù)法表示除法例2．（2022·河北·廊坊市八年級階段練習）_____．【答案】【分析】根據(jù)單項式的除法法則計算即可求解．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查了單項式的除法，單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．【即學即練2】2．（2022·山東·煙臺市期中）福山新華書店新進了一批圖書，甲、乙兩種書的進價分別為4元/本、10元/本．現(xiàn)購進m本甲種書和n本乙種書，共付款Q元．(1)用含m，n的代數(shù)式表示Q；(2)若共購進5×104本甲種書及3×103本乙種書，用科學記數(shù)法表示Q的值；(3)若P=4×1012，求的值（結(jié)果用科學記數(shù)法表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由總付款=甲書進價×甲書數(shù)量+乙書進價×乙書數(shù)量，即可求得Q．（2）將代入（1）式，計算化簡后用科學記數(shù)法表示即可．(1)解：由題意得，；(2)解：將代入，得：；(3)解：．【點睛】本題考查了用字母表示數(shù)，同底數(shù)冪的乘法，除法，科學記數(shù)法，在解題中要注意正確計算以及代數(shù)式的正確書寫．【知識拓展3】科學記數(shù)法相關(guān)問題例3．（2022·江蘇鹽城·七年級階段練習）某種細菌直徑約為0.00000067mm，若將0.00000067mm用科學記數(shù)法表示為mm（n為負整數(shù)），則n的值為（

）A．-5 B．-6 C．-7 D．-8【答案】C【詳解】解：∵0.00000067mm=6.7×10-7∴n=-7故選：C【即學即練3】3．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)大瀝謝邊南橋?qū)W校七年級期中）納米是一種長度單位，它用來表示微小的長度，1納米=米．某細胞的直徑是1000納米，用科學記數(shù)法表示該細胞的直徑為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時n是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：米，故選A．【點睛】本題主要考查了科學記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學記數(shù)法的定義．能力拓展能力拓展考法01分式的應用【典例1】（2022·江蘇·鹽城市毓龍路實驗學校八年級階段練習）【生活觀察】甲、乙兩人買水果，甲習慣買一定質(zhì)量的水果，乙習慣買一定金額的水果，兩人每次買水果的單價相同，例如：第一次水果單價6元/千克質(zhì)量金額甲5千克30元乙5千克30元第二次：水果單價4元/千克質(zhì)量金額甲5千克元乙千克30元(1)完成上表；(2)計算甲兩次買水果的均價和乙兩次買水果的均價．（均價＝總金額÷總質(zhì)量）【數(shù)學思考】設(shè)甲每次買質(zhì)量為m千克的水果，乙每次買金額為n元的水果，兩次的單價分別是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分別表示出甲、乙兩次買水果的均價、，比較、的大小，并說明理由．【知識遷移】某船在相距為s的甲、乙兩碼頭間往返航行一次．在沒有水流時，船的速度為v，所需時間為；如果水流速度為p時（p＜v），船順水航行速度為（v+p），逆水航行速度為（v﹣p），所需時間為．請借鑒上面的研究經(jīng)驗，比較、的大小，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)甲兩次買水果的均價為5元/千克，乙兩次買水果的均價為元/千克；數(shù)學思考：，，，理由見解析；知識遷移：，理由見解析【分析】（1）根據(jù)金額等于質(zhì)量乘以單價、質(zhì)量等于金額除以單價即可得；（2）根據(jù)均價＝總金額÷總質(zhì)量進行計算即可得；數(shù)學思考：根據(jù)均價＝總金額÷總質(zhì)量分別求出、，再根據(jù)分式的減法法則計算，利用完全平方公式進行化簡即可得出答案；知識遷移：先根據(jù)時間等于路程除以速度分別求出，，再根據(jù)分式的減法法則計算，由此即可得．（1）解：甲第二次買水果的金額為（元），乙第二次買水果的質(zhì)量為（千克）．則完成表格如下：水果單價4元/千克質(zhì)量金額甲5千克20元乙千克30元（2）解：甲兩次買水果的均價為（元/千克），乙兩次買水果的均價為（元/千克）；數(shù)學思考：，，則即；知識遷移：由題意可知，，，則，，，，即．【點睛】本題主要考查了分式的加減運算和完全平方公式在計算中的應用，本題計算量較大，熟練掌握均價＝總金額÷總質(zhì)量的基本計算方法是解題關(guān)鍵．變式1．（2022·全國·八年級單元測試）某飛行器在相距為m的甲、乙兩站間往返飛行．在沒有風時，飛行器的速度為v，往返所需時間為；如果風速度為，則飛行器順風飛行速度為，逆風飛行速度為，往返所需時間為．則、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】直接根據(jù)題意表示出，的值，進而利用分式的性質(zhì)的計算求出答案．【詳解】解：∵=，=，∴==，∵，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，熟練的掌握正確的分式加減運算是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·四川成都·八年級期中）如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為a米的正方形減去一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為米的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了m千克．則高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量多幾分之幾？多的這個值是______．【答案】【分析】先用含a的式子表示出兩塊試驗田的面積，再由高產(chǎn)量的減去低產(chǎn)量，從而可求解．【詳解】解：由題意得：“豐收1號”的單位面積產(chǎn)量為：，“豐收2號”的單位面積產(chǎn)量為：，∴，即高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量多．故答案為：．【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意列出正確的式子求解．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·湖南衡陽·八年級期末）計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．0【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘法運算法則來求解．【詳解】解：．故選：C．【點睛】本題主要考查了分式乘法的運算法則，理解約分是解答關(guān)鍵．2.（2022·全國·八年級專題練習）計算的結(jié)果為（

）A． B．m C． D．【答案】A【分析】直接進行分式的除法運算，把除法轉(zhuǎn)為乘法后，最后要注意將結(jié)果進行約分．【詳解】解：，，，，故選：A．【點睛】本題考查了分式的除法，熟練掌握分式的除法法則是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖南·岳陽縣八年級階段練習）計算：，結(jié)果為（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同分母分式相加減法則計算，即可求解．【詳解】解：故選：A【點睛】本題主要考查了同分母分式相加減，熟練掌握同分母分式相加減法則是解題的關(guān)鍵．4．（2022·海南·八年級期末）化簡

的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)異分母分式加減運算法則進行計算即可．【詳解】解：故選：B．【點睛】本題主要考查了異分母分式相減，解題的關(guān)鍵是對分式進行通分，將異分母分式變?yōu)橥帜阜质剑?．（2022·湖南·新化縣八年級期中）2010年，國外科學家成功制造出世界上最小的晶體管，只有，請用科學記數(shù)法表示它的長度（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為整數(shù)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：．故選D．【點睛】此題主要考查了用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定，確定與的值是解題的關(guān)鍵．6．（2022·山東青島·八年級期末）某書店庫存一批圖書，其中一種圖書的原價是每冊元，現(xiàn)每冊降價元銷售，則這種圖書庫存全部售出時，其銷售額為元，從降價銷售開始時，該書店這種圖書的庫存量是（

）冊．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量＝銷售額÷單價，從而可列式求解．【詳解】解：這種圖書的庫存量是：（冊），故選：B．【點睛】本題主要考查分式的應用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，得到相應的等量關(guān)系．7．（2022·四川·仁壽八年級期中）計算：＝____________________．【答案】【分析】先把除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔?，再根?jù)乘法法則計算．【詳解】解：==．故答案案為．【點睛】本題考查了分式的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2022·廣西貴港·八年級期中）計算：________．【答案】##-0.5【分析】先算乘方，負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，再進行加減運算即可．【詳解】解：原式；故答案為：．【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方運算，負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪．熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．9．（2022·吉林·長春市第八十七中學八年級階段練習）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘以（或除以）同一個不為的整式，分式的值不變，進行約分即可；（2）根據(jù)分式的加減法運算法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減，進行計算即可；（3）根據(jù)分式的加減法運算法則：異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減，即可得出結(jié)果．（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)、分式的加減法，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握分式的加減法法則．10．（2022·福建福州九年級開學考試）先化簡，再求值：，其中x＝3．【答案】，3．【分析】先算括號內(nèi)的減法，把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出即可．【詳解】解：＝＝＝，當x＝3時，原式＝＝3．【點睛】本題考查了分式的混合運算和求值，能正確根據(jù)分式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵．11．（2022·山東威?！て谥校┫然啠偾笾担?，其中．【答案】，【分析】先將括號內(nèi)的通分加減，再根據(jù)除以不為零的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，最后約分化簡即可，把的值代入即可求解．【詳解】解：原式，將代入，得．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，掌握乘法公式在分式中的運算是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2022·山東·新泰市八年級階段練習）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)結(jié)合乘法公式化簡即可．【詳解】解：，故選：B．【點睛】本題主要考查了分式的化簡，乘法公式，熟知分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川·隆昌市知行中學八年級階段練習）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪的運算進行計算即可，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，進而根據(jù)分式的性質(zhì)計算即可【詳解】故選B【點睛】本題考查了分式的性質(zhì)，冪的運算，正確的計算是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河北邢臺·八年級階段練習）若分式“”可以進行約分化簡，則“○”不可以是（

）A．1 B．x C． D．4【答案】C【分析】將1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以約分化簡的不合題意，不可以約分化簡的符合題意．【詳解】A．，可以進行約分化簡，“○”可以是1，不合題意；B．，可以進行約分化簡，“○”可以是x，不合題意；C．，不可以進行約分化簡，“○”不可以是-x，合題意；D．，可以進行約分化簡，“○”可以是4，不合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了分式的乘法，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握分解因式，約分化簡．4．（2022·黑龍江·蘭西縣八年級階段練習）一件工程甲單獨做小時完成，乙單獨做小時完成，甲、乙二人合作完成此項工作需要的小時數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】甲、乙合作完成工程的時間=工作總量÷甲乙工效之和，沒有工作總量，可設(shè)其為1，所以甲、乙合做此項工程所需的時間為1÷（）=小時．【詳解】設(shè)工作量為1，由甲1小時完成，乙1小時完成，因此甲、乙合作此項工程所需的時間為1÷（）=小時，故選：D．【點睛】本題考查了利用列代數(shù)式（分式），分式的加減乘除運算，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量與已知量間的關(guān)系．5．（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹人外國語學校八年級階段練習）學完分式運算后，老師出了一道題：化簡．小明的做法是：原式；小亮的做法是：原式；小芳的做法是：原式．對于這三名同學的做法，你的判斷是（

）A．小明的做法正確 B．小亮的做法正確C．小芳的做法正確 D．三名同學的做法都不正確【答案】C【分析】小明的做法錯誤，原因是在把分子相減時，去括號沒有改變符號，而且選擇的方法也不是很合適，小亮的做法錯誤，分式的加減運算不能去分母，應該先通分，小芳的做法是正確的，選擇的方法是合適的，從而可得答案．【詳解】解：∵∴小明與小亮的做法錯誤，小芳的做法正確，故選C．【點睛】本題考查的是分式的加減運算，掌握“異分母分式的加減運算的運算法則”是解本題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇·七年級期末）已知一種細胞的直徑約為2.13×cm，請問2.13×這個數(shù)原來的數(shù)是_____．【答案】【分析】利用絕對值小于1的數(shù)的科學記數(shù)法的表示方法的逆運算求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】題目考查絕對值小于1的數(shù)的科學記數(shù)法的表示方法的逆運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．7．（2022·陜西·西北大學附中八年級期中）若，則_________，_________．【答案】

2

1【分析】根據(jù)同分母分式的加減計算，再按對應項相同可得答案．【詳解】解：∴A=2，B=1故答案為：2，1．【點睛】本題考查分式的加減，解題關(guān)鍵是掌握分式加法的運算法則．8．（2022·北京市八年級期中）老師所留的作業(yè)中有這樣一個分式的計算題，甲、乙兩位同學完成的過程分別如下：甲同學：=

第一步=

第二步=

第三步乙同學：=

第一步=

第二步=

第三步老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學的解答過程都有錯誤．(1)請你從甲、乙兩位同學中，選擇一位同學的解答過程，幫助他分析錯因，并加以改正．我選擇______同學的解答過程進行分析（填“甲”或“乙”）．該同學的解答從第____步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是_______；(2)請重新寫出完成此題的正確解答過程：【答案】(1)甲，一，通分時第一個分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；(2)【分析】（1）根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則即可判斷；（2）根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則重新計算可得．（1）我選擇甲同學的解答過程進行分析，該同學的解答從第一步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是通分時第一個分式的分子少乘了x-1；或我選擇乙同學的解答過程進行分析，該同學的解答從第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是直接去掉分母；故答案為：甲，一，通分時第一個分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；（2）(選甲為例）===【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．9．（2022·廣西寧明·七年級期末）課堂上，李老師給大家出了這樣一道題：“當、、時，求代數(shù)式的值．”小明一看，“太復雜了，怎么算呢？”你能幫小明解決這個問題嗎？請你寫出具體過程．【答案】當時，原式；當時，原式；當時，原式【分析】根據(jù)分式的混合運算法則化簡，然后代入求值即可．【詳解】原式＝＝＝＝＝＝，當時，原式；當時，原式；當時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練運用分式的混合運算法則是解本題的關(guān)鍵．10．（2022·浙江·八年級單元測試）先閱讀后思考：克糖水中有克糖，且，則糖與糖水的質(zhì)量比為，如果再加克糖，則糖與糖水的質(zhì)量比為，生活經(jīng)驗告訴我們：添加糖后，糖水會更甜，于是有，趣稱“糖水不等式”．請你思考：若能從克糖水中提煉出克糖，則糖水會變得沒有原來甜，你能得出另外的“糖水不等式”嗎？【答案】【分析】根據(jù)已知條件得出從克糖水中提煉出克糖，則糖與糖水得質(zhì)量比為，再根據(jù)糖水會變得沒有原來甜得出不等式即可．【詳解】解：從克糖水中提煉出克糖，則糖與糖水的質(zhì)量比為．糖水會變得沒有原來甜，．【點睛】本題考查了分式的大小比較，能正確根據(jù)題意列出不等式是解決本題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·山東威?！て谥校┰O(shè)，，則，的關(guān)系是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷，的關(guān)系，可以計算的結(jié)果，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，∴，的關(guān)系是互為相反數(shù)，故選：．【點睛】本題主要考查分式的加減混合運算，掌握分式加減法法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南·邵陽市八年級階段練習）已，則的值是__________．【答案】4【分析】先把等式的右邊通分作分式加法計算，再根據(jù)對應系數(shù)相等即可得出關(guān)于、、的方程組，求出方程組的解，即可得出答案．【詳解】解：，，，，解得，，．故答案為：4．【點睛】此題考查了分式的加減，根據(jù)恒等式的意義得出關(guān)于、、的方程組是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東·嶧城區(qū)八年級階段練習）一船在河流上游A港順流而下直達B港，用一個小時將貨物裝船后返航，已知船在靜水中的速度是50千米/時，水流速度是x千米/時，A、B兩地距離為S千米，則該船從A港出發(fā)到返回A港共用多少時間？______．（只需列式表示，不必化簡）【答案】時【分析】根據(jù)題意得：船順流航行的速度為千米/時，逆流航行的速度為千米/時，可得到順流航行和逆流航行的時間，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：船順流航行的速度為千米/時，逆流航行的速度為千米/時，所以該船從A港出發(fā)到返回A港共用的時間為時．故答案為：時【點睛】本題考查列分式表示實際問題，理解題意，掌握列分式的基本規(guī)則是解題關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·南通八年級階段練習）對x，y定義一種新運算T，規(guī)定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4．若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8．(1)求a，b的值；(2)若T（m，n）＝0（n≠﹣2），①用含n的代數(shù)式表示m；②若m、n均取整數(shù)，求m、n的值；③當n取s、t時，m對應的值為c、d．當t＜s＜﹣2時，試比較c、d的大小．【答案】(1)的值為1，的值為2(2)①；②或或或或或；③【分析】（1）根據(jù)新運算的定義和可得一個關(guān)于的二元一次方程組，解方程組即可得；（2）①先根據(jù)和（1）的結(jié)論即可得；②根據(jù)（2）①可得，再根據(jù)均取整數(shù)進行分析即可得；③先求出，，再根據(jù)分式的減法法則可得，然后根據(jù)即可得．（1）解：，，解得，即的值為1，的值為2．（2）解：①由（1）可知，，，，；②由（2）①可知，，取整數(shù)，是