九年級數(shù)學上冊講義（人教版）：正多邊形和圓（教師版）

第24課正多邊形和圓課程標準（1）了解正多邊形和圓的有關概念及對稱性；（2）理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會應用正多邊形和圓的有關知識畫正多邊形；（3）會進行正多邊形的有關計算.知識點01正多邊形的概念1．概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

2．判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).知識點02正多邊形的重要元素1．正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．2．正多邊形的有關概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3．正多邊形的有關計算

(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.【注意】要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.

知識點03正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

【注意】(1)各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；(2)各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識點04正多邊形的畫法1．用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應的正n邊形.

2．用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形.在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形.再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交AB于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.

②正六、三、十二邊形的作法.通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點.

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點.

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分…….

【注意】畫正n邊形的方法：(1)將一個圓n等份，(2)順次連結(jié)各等分點.考法01求正多邊形的中心角【典例1】在下列正多邊形中，其內(nèi)角是中心角2倍的是（

）A．正四邊形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正七邊形【答案】C【詳解】解：設多邊形的邊數(shù)是n．則每個內(nèi)角是，中心角是．根據(jù)題意得：＝2×解得：n＝6．故選：C．【即學即練】若一個正多邊形的中心角為40°，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【詳解】解：設這個正多邊形的邊數(shù)是n，由題意得：，解得：n＝9，故選A．【典例2】如圖，正六邊形內(nèi)接于，點M在上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：連接OC、OD、OE，如圖所示：∵正六邊形內(nèi)接于，∴∠COD==60°，則∠COE=120°，∴∠CME=∠COE=60°，故選：D．【即學即練】如圖，點O是正五邊形ABCDE的中心，⊙O是正五邊形的外接圓，∠ADE的度數(shù)為（

）A．30° B．32° C．36° D．40°【答案】C【詳解】如上圖所示，連接OA，OE∵五邊形ABCDE是正五邊形∴∵⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓∴故選：C．考法02已知正多邊形的中心角求邊數(shù)【典例3】如圖，和分別為內(nèi)接正方形，正六邊形和正n邊形的一邊，則n是（

）．A．六 B．八 C．十 D．十二【答案】D【詳解】解：如圖所示，連接OA，OC，OB，∵AB和BC分別是正方形和正六邊形的一邊，∴,，∴，∴，故選D．【即學即練】如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故選：C．【典例4】一個正多邊形的半徑與邊長相等，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【詳解】解：如圖，由題意得：，是等邊三角形，，則這個正多邊形的邊數(shù)為，故選：C．【即學即練】一個正多邊形的中心角為，這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．8 B．12 C．3 D．6【答案】B【詳解】解：，解得．這個正多邊形的邊數(shù)為12．故選：B．考法03正多邊形和圓【典例5】如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，BD，EC交于點G，已知半徑為3，則EG的長為（

）A． B．3 C． D．6【答案】C【詳解】解：連接BE、GO，則BE經(jīng)過O點，且O是BE的中點，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴，，∵DE=EC，∴，∵，∴，∴，設EG的長為x，則OG的長為，∴，解得：．故選：C．【即學即練】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，則邊心距OM的長為________．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：連接OA、OB，如圖所示：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，，∵OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∴AB＝OA＝1，∵OM⊥AB，∴AM＝BM＝AB＝，∴，故選：B．【典例6】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于，點E為上一點，連接BE，若，，則正方形ABCD的邊長為（

）A．7 B． C． D．【答案】B【詳解】解：連接DB、OC、OE，，∵正方形內(nèi)接于，∴，，三點共線，又∵，∴，又∵BO=CO=OE，∴是等邊三角形，又∵，∴BO=CO=OE=5，∴，選項B符合題意．故選B【即學即練】如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長等于，則正六邊形的邊長為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【詳解】解：連接OB，OC，∵⊙O的周長等于6π，∴⊙O的半徑為：3，∵∠BOC360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB＝3，∴它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為3，故選：C．題組A基礎過關練1．有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【詳解】解：，故選：D．2．下列說法正確的是（

）A．三點確定一個圓 B．任何三角形有且只有一個內(nèi)切圓C．相等的圓心角所對的弧相等 D．正多邊形一定是中心對稱圖形【答案】B【詳解】解：A、不在同一直線上的三點確定一個圓，故錯誤；B、任何三角形有且只有一個內(nèi)切圓，正確；C、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤；D、邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形一定是中心對稱圖形，故錯誤；故選：B．3．圓內(nèi)接正六邊形的邊長為3，則該圓的直徑長為（

）A．3 B．3 C．3 D．6【答案】D【詳解】如圖，連接OA，OB，∵圓內(nèi)接正六邊形的邊長為3，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴該圓的直徑為；故選D．4．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點為上一點（點與點，點不重合），連接，，，垂足為，則等于（）A．72° B．54° C．36° D．64°【答案】B【詳解】解：∵正五邊形內(nèi)接于，∴∵與所對的弧相同∴∴=故選：B．5．圓內(nèi)接四邊形中，四個角的度數(shù)比可順次為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵圓內(nèi)接四邊形的對交互補，即相加等于180°，故：A選項：4+2≠3+1，錯誤；B選項：4+1=3+2，正確；C選項：4+3≠2+1，錯誤；D選項：4+3≠1+2，錯誤．故：選B．6．如圖，在中，四邊形測得，連接，若的半徑為4，則的長為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【詳解】解：連接OA，OC，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B＋∠D＝180°，解得：∠D＝30°，∴∠AOC＝60°，又OC=OA，∴△OAC是等邊三角形，又AC=4，∴半徑OC=OA=4.故選：C．7．一個圓內(nèi)接正多邊形的一條邊所對的圓心角是，則該正多邊形邊數(shù)是__________．【答案】六【詳解】解：設正多邊形的邊數(shù)為n．由題意得，＝60°，∴n＝6，故答案為：六．8．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，連接DF．若DF恰好是同圓的一個內(nèi)接正多邊形的一邊，則這個正多邊形的邊數(shù)為_____．【答案】12【詳解】解：連接OA、OD、OF，如圖，設這個正多邊形為n邊形，∵AD，AF分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，∴n==12，即DF恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊．故答案為：12．9．如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半徑．【答案】2cm【詳解】過點O作OD⊥BC于點D，連接BO，∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∴點O即是三角形內(nèi)心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，∴cos30°===，解得：BO=2，即⊙O的半徑為2cm．10．如圖，為正五邊形的外接圓，已知，請用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖1中的邊上求作點，使；(2)在圖2中的邊上求作點，使．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）連接AO并延長與CD相交，連接EF交AO延長線于M，連接BM交DE于點G，則點G為所求作，如圖1所示；理由：∵⊙O為正五邊形的外接圓，∴直線AO是正五邊形ABCDE的一條對稱軸，點B與點E、點C與點D分別是一對對稱點．∵點M在直線AO上，∴射線BM與射線EF關于直線AO對稱，從而點F與點G關于直線AO對稱，∴CF與DG關于直線AO對稱．∴DG=CF．（2）在（1）的基礎上，連接BO并延長與DE相交，連接AG交BO延長線于N，連接CN，如圖2所示；題組B能力提升練1．如圖所示的圖案，其外輪廓是一個正五邊形，繞它的中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后能夠與自身重合，則這個旋轉(zhuǎn)角可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：正五邊形的中心角，繞它的中心旋轉(zhuǎn)角度后能夠與自身重合，故選：B．2．半徑為2的圓內(nèi)接正六邊形的邊心距是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】解：邊長為2的正六邊形可以分成六個邊長為2的正三角形，而正六邊形的邊心距即為每個邊長為2的正三角形的高，即圖中OD長度，如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，OD⊥AB，由垂徑定理可知，AD=BD=1，OD=；故選：B．3．如圖，的外切正六邊形的邊心距的長度為，那么正六邊形的周長為（

）A．2 B．6 C．12 D．【答案】C【詳解】解：如圖，過點O作OG⊥AB，垂足為G，由題意可得：OG=，在正六邊形ABCDEF中，∠AOB==60°，OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴AB=OA==2，∴正六邊形ABCDEF的周長為2×6=12，故選：C．4．如圖，將正六邊形放在平面直角坐標系中，中心與坐標原點重合，若，則點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖所示，連接OC，∵點O是正六邊形的中心，∴OC=OD，，∴△OCD是等邊三角形，∴OD=CD=AB=2，∴點D的坐標為（2，0），故選B．5．如圖，在正六邊形的內(nèi)部以為邊作正方形，連接，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【詳解】解：由題意可知，，，，，，，．故選：D．6．如圖，點O是邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心，對角線CE，DF相交于點G，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵ABCDEF是邊長為4的正六邊形，∴CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，∴∠FEG=90°，∵EF=4，∴EG=EF=，∴△GEF的面積=×EF?GE=，故選：C．7．如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，連接AC，若正六邊形的邊長為2，則點O到AC的距離OG的長為__．【答案】1【詳解】解：連接OA、OC、OD，如圖所示：∵點O為正六邊形ABCDEF的中心，邊長為2，∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD60°，AB＝BC＝CD＝2，∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等邊三角形，∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，∵OG⊥AC，∴OGOC＝1，即點O到AC的距離OG的長為1，故答案為：1．8．如圖，由六塊相同的含30°角的直角三角尺拼成一個大的正六邊形，內(nèi)部留下一個小的正六邊形空隙，如果該直角三角尺的較短直角邊的長是1分米，那么這個小的正六邊形的面積是_____平方分米．【答案】【詳解】解：由含30°的直角三角形的性質(zhì)可知斜邊是短直角邊的2倍；根據(jù)拼圖可知，內(nèi)部留下一個小的正六邊形的邊長為1分米，所以它的面積為16（平方分米），故答案為：．9．如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，延長、相交于點，已知．（1）求證：；（2）若是四邊形外接圓的直徑，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【詳解】（1）∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠ADE=180°又∵∠EDC+∠ADE=180°∴∠EDC=∠B又∵∠EDC=∠C∴∠B=∠C∴AB=AC（2）連接AE∵AB是圓的直徑∴∠AEB=90°又∵AB=AC∴AE平分∠BAC∴∠BAE=∠EAD∴10．如圖，是上的三個點，，點在上運動（不與點重合），連接，，．

（1）如圖1，當點在上時，求證：；（2）如圖2，當點在上時，求證：；（3）如圖2，已知的半徑為，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AB=10【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∴弧AB=弧AC∴∠ADB=∠ADC；（2）證明：∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADB+∠ACB=180°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ADC=∠ABC∴∠ACB=∠ADC，∴；（3）解：連接OB，過點A作AE⊥BC交于點E，如圖所示：∵AB=AC，BC=12，∴BE=EC=6，∴AE是線段BC的垂直平分線，∵△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∴圓心O在線段AE上，∵OB=OA=，∴在Rt△BEO中，，∴，∴在Rt△AEB中，．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，有一個直徑為的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個最大正六邊形紙片，則這個正六邊形紙片的邊心距是（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【詳解】如圖，連接OA、OB，則△AOB是等邊三角形，作OC⊥AB于C，∵△AOB是等邊三角形，∴∠OAB=60°，∴∠AOC=30°，∵OA=2cm，∴AC=1cm，OC=，故選：B．2．把邊長為2+的正方形沿過中心的一條直線折疊，兩旁重疊部分恰為正八邊形的一半，則這個正八邊形的邊EF的長為（）A．1 B．2 C． D．2【答案】C【詳解】解：如圖，∵重疊部分為正八邊形的一半，∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，設CG=x，則GF=x，B'F=x，∴BG=B'G=x+x，∴BC=x+x+x=2+，∴x=1，∴GF=，故選：C．3．如圖，邊長為2的正六邊形放置于平面直角坐標系中，邊在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形繞原點O旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后頂點D的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，連接AD，BD．在正六邊形ABCDEF中，AB=2，則AD=4，∠ABD=90°，∴BD=，在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，∴∠OFA=30°，∴OA=AF=，∴OB=OA+AB=，∴D，將正六邊形繞原點O旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后頂點D的坐標為，故選A4．如圖，點是正六邊形的中心，的兩邊，分別與，相交于點，．當時，下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．與相等【答案】C【詳解】解：如下圖所示，連接OA，OB，OC．∵點O是正六邊形ABCDEF的中心，∴OA=OB=OC，，，AB=DC，．∴，．∴∠OAM=∠OBN．∵∠GOK+∠ABC=180°，∴∠OMB+∠ONB=360°-（∠GOK+∠ABC）=180°，∠GOK=180°-∠ABC=60°．故A選項不符合題意．∵∠OMA+∠OMB=180°，∴∠OMA=∠ONB．∴．∴∠OMA=∠ONB，MA=NB，．故D選項不符合題意．∴MB+NB=MB+MA=AB=DC．

故B選項不符合題意．∴．∴．故C選項符合題意．故選：C．5．如圖所示的正八邊形的邊長為2，則對角線的長為（

）A． B．4 C． D．6【答案】A【詳解】解：如下圖所示，標出點C，D，E，F(xiàn)，連接CD，連接AC，BD交于點O，過點E作EG⊥AB于G，過點F作FH⊥AB于H．根據(jù)圖形可知直線AC和直線BD是正八邊形的對稱軸．∴AC和BD是該正八邊形外接圓的直徑．∴AC=BD，點O為該正八邊形外接圓的圓心．∴OA=OB=OC=OD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴四邊形ABCD是矩形．∴∠BAD=∠ABC=90°．∵正八邊形的邊長為2，∴AE=EF=FB=2，．∴∠GAE=∠DAE-∠DAB=45°，∠HBF=∠FBC-∠ABC=45°．∴∠AEF+∠GAE=180°．∴．∴∠EGH+∠GEF=180°．∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，∴∠EGH=∠FHG=∠EGA=∠FHB=90°．∴∠GEF=180°-∠EGH=90°，∠GEA=180°-∠EGA-∠GAE=45°，∠HFB=180°-∠FHB-∠HBF=45°，，．∴四邊形EGHF是矩形，∠GAE=∠GEA，∠HFB=∠HBF．∴GH=EF=2，GA=GE，HB=HF．∴，．∴，．∴．故選：A．6．如圖，有一張菱形紙片，分別把沿著兩條平行于的直線進行對折，得到一個六邊形，如果這個六邊形是正六邊形，則菱形的對角線長的比（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖：設AC與BD相交于O，EF與AC相交于Q，∵六邊形BGHDFE是正六邊形，∴，，∵四邊形ABCD是菱形，∴，，∵，∴，∴，，∴OE=2EQ，在中，，∴，由對折的性質(zhì)得，AC=4OQ，，故選：C．7．如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，以點A為圓心，AB為半徑畫圓弧交AC于點F，連接DF．則∠FDC的度數(shù)是_____．【答案】36【詳解】解：∵正五邊形ABCDE，∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ACB＝∠BAC==36°，∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，∴DE∥AC，又∵DE＝AE＝AF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AE∥DF，∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案為：36°．8．如圖，已知點G是正六邊形對角線上的一點，滿足，聯(lián)結(jié)，如果的面積為1，那么的面積等于_______.【答案】4【詳解】解：如圖，連接CE，，，六邊形是正六邊形，AB=AF=EF=BC，，，，，，四邊形BCEF是平行四邊形，，的面積為1，，的面積為，故答案為4．9．如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點