2014-2023年天津高考真題與模擬試題：數(shù)列（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2014-2023)與優(yōu)質(zhì)模擬題(天津卷)

專題08數(shù)列

真題匯總

1.【2023年天津卷06]已知｛冊(cè)｝為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和,an+1=2Sn+2,則a4的值為()

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

【詳解】由題意可得：當(dāng)n=l時(shí)，a2—2ax+2,即由勺=2。1+2,①

當(dāng)n=2時(shí)，=2(%+a2)+2,即a[q2=2(%+c^q)+2,②

3

聯(lián)立①②可得%=2,q=3,則&4=arq=54.

故選：C.

2.【2016年天津理科05]設(shè)｛〃”｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則“夕<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)〃，,⑵

-1+42“<0"的()

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】解：｛“"｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,

若"q<0”是"對(duì)任意的正整數(shù)n,42小|+。2"<0"不一定成立，

例如：當(dāng)首項(xiàng)為2,q=—當(dāng)時(shí),各項(xiàng)為2,-1,-,—寺，…，此時(shí)2+(-1)1>0>—+(—^)>0；

而“對(duì)任意的正整數(shù)"，"2"一|+"2"<0”,前提是

則“qVO”是“對(duì)任意的正整數(shù)“，42“」+。2〃<0''的必要而不充分條件，

故選：C.

3.【2014年天津文科05】設(shè)｛“”｝的首項(xiàng)為ai,公差為-1的等差數(shù)列，S”為其前〃項(xiàng)和，若Si,S2,S4成

等比數(shù)列，貝Uai=()

11

A.2B.-2C.-D.-4

22

【答案】解：???｛“”｝是首項(xiàng)為m，公差為-I的等差數(shù)列，S”為其前〃項(xiàng)和，

??Si=〃1,Si~~2。?-1,S4=4〃]-6,

2

由Si,S2,S4成等比數(shù)列，得：S2=Si-S4,

2

即(2%—l)=%(4。1—6),解得：at=

故選：D.

4.【2014年天津理科11】設(shè)｛〃〃｝是首項(xiàng)為m,公差為-1的等差數(shù)列，S〃為其前〃項(xiàng)和，若Si,S2,S4成

等比數(shù)列，則m的值為.

【答案】解：由題意可得，如=切+(?-1)(-1)=幻+1-〃，&=幽產(chǎn)=吟1產(chǎn)2

2

再根據(jù)若Si,S2,S4成等比數(shù)列，可得S2=SrS4,即(2%-1)2=〃]?(4f/i-6),

解得〃1=一±,

故答案為：

5.【2023年天津卷19]已知｛即｝是等差數(shù)列，a2+a5=16,a5-a3=4.

⑴求的通項(xiàng)公式和￡玄3at.

(2)已知｛%｝為等比數(shù)列，對(duì)于任意k€N*,若2kTwnW2k-l,則尻<即<與+1，

(I)當(dāng)k22時(shí)，求證：2女—1<尻<2女+1；

(II)求｛%｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和.

【答案】⑴斯=2n+1,葭A七=3?4”T；

nn

(2)(I)證明見解析；(U)bn=2,前n項(xiàng)和為2+i—2.

【詳解】(1)由題意可得儼2+=符+廿=16,解得優(yōu)1=3,

(a5—a3=za=4Id=2

則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=Qi+(九一l)d=2n+1,

n

求和得瑞3a￡=￡匿，⑵+1)=2￡葭Li+(2-1+2吁1+1)

=2[2時(shí)1+(2"T+1)+(2n-1+2)+…+(2n-1)]+2"T

=2(2"-1+2"-1>2"-1+2吁1=3.4nT.

2,

k

(2)(I)由題意可知，當(dāng)2"1<n<2-1時(shí)，bk<an,

k

取n=2f則氏<a2k-i=2x+1=2"+1,即玩<2+1,

當(dāng)2kT<n<-1時(shí)，a”<bk,

取n=2fc-1-1,此時(shí)即==2(2k-1-1)+1=2k-1,

據(jù)此可得2k-l<bk,

kk

綜上可得：2-l<bk<2+l.

(11)由(I)可知:1cbi<3,3<與<5,7<b3<9,15<b4<17,

據(jù)此猜測(cè)勾=2%

n

否則，若數(shù)列的公比q>2,則bn=瓦q"T>瓦x2-i>2“T,

注意到2皿-1-(2n-1)=1-2nt,則2*1-(2n-1)>0不恒成立,即271T>2n-1不恒成立，

71

此時(shí)無(wú)法保證2-1<bn,

1

若數(shù)列的公比q<2,則bn=biqn-i<瓦x2"-<3x2f

注意到3x2時(shí)1-(2n+1)=2時(shí)1-1,則2時(shí)1-1<0不恒成立，即3x2時(shí)1<2n+1不恒成立,

此時(shí)無(wú)法保證+

綜上，數(shù)列的公比為2,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為b=2%

n+1

其前n項(xiàng)和為：Sn=必巴=2-2.

6.[2022年天津卷18]設(shè)｛5｝是等差數(shù)列,｛b｝是等比數(shù)列，且%=瓦=a2-尻=。3-壇=1.

(1)求｛4｝與｛匕｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)｛即｝的前n項(xiàng)和為國(guó)，求證：(Sn+i+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn；

(3)求E占E+i-(-1)%小%.

【答案】(1)即=2n—1,%=2nt

(2)證明見解析

門、(671-2)4計(jì)1+8

1J9

【詳解】(1)設(shè)｛Qn｝公差為d,｛bn｝公比為q,則6=1+(加一l)d4=砂一1,

由a2-b=a-b=1可得(黑-2:]=>d=q=2

233q(d=q=0舍去),

n-1

所以冊(cè)=2n-l,bn=2；

(2)證明：因?yàn)閎n+i=2bnH0,所以要證(Sn+i+an+1)bn=Sn+i^n+i-Snbn,

a

即證(S7i+1+n+l)^n=Sn+1?2bn一S"n，即證Sn+1+Qn+1=2sH+1—Sn,

即證Qn+1=Sn+1—Sn,

而Qn+1=Sn+i-S九顯然成立，所以(Sn+i+dn+1)bn—Sn+「bn+±Sn,bn;

(3)因?yàn)橐?一1)獻(xiàn)一%2乂-1仍2*_1+[。2上+1一(-1)2“口2上仍2k

=(4々-1+4k—3)x22"-2+[4k+1—(4fc-1)]x22k^=2k?小，

所以E建15+1-(-1)"以]以=￡2=1[(Q2k—(-1)2"一"2k-1)力2九-1+(。2加+1一(-1)2"。2上)82上]

=￡2=i2k?小，

設(shè)〃=2k?小

所以7；=2x4+4x42+6x43+…+2nx4n,

貝=2X42+4X43+6X44+■■■+2nx4n+1,

作差得-37；=2(4+42+43+44+???+4n)-2n-4n+1=一2nx4n+1

1—4

(2-6n)4n+1-8

，

=-----------3-----------

所以"=Q-2)：E+8,

所以第—(一1)"以"=3戶?

7.【2021年天津19]已知｛an｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.｛匕｝是公比大于0的等比數(shù)列,

b]=4,b3—b2=48.

(I)求｛an｝和｛匕｝的通項(xiàng)公式;

(II)記d=b2n+2，n6N*,

°n

(i)證明｛W—C2"｝是等比數(shù)列；

【答案】(I)斯=2"-1,〃6%*,%=44,neN*；(II)(i)證明見解析；(ii)證明見解析.

【解析】

(I)因?yàn)椋鸻n｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.

Oy7

所以%+a2+…+他=8al+X2=64,所以%=1,

所以冊(cè)=+2(H-1)=2n-1,71GN*：

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,(q>0),

22

所以％—b2=brq—瓦q=4(q—q)=48,解得q=4(負(fù)值舍去)，

n

所以bn=b]qhT=4,九€N*；

2n

(II)(i)由題意，cn=b2n+^-=4+^,

°n,

所以W_C2n=(42"+,)2—(4=+專)=2?乎，

所以W_C2n#0,.目%f+2=霧1=4,

11"若-C2n2-4n

所以數(shù)列｛W-C2n｝是等比數(shù)列；

(ii)由題意知，4=四三臀+D=告〈抵，

Cn-C2n//?/

卜曲+1<I4n2_2?i_J____n_

2nn71

y]c^-c2n\22-yf2-2—近2T

設(shè)7=?1備=看+5+5+…+號(hào)，

則品=*+9+竟+…+京

兩式相減得/=1+[+蠢+…+念?一卷=1；_『一巧=2-等,

2

所以〃=4—需，

n

席.母=劍—黔<2r

Zk=l

8.【2020年天津卷19]已知｛即｝為等差數(shù)列,｛b｝為等比數(shù)列,%=瓦=1,%=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).

(I)求｛a7和｛%｝的通項(xiàng)公式;

nGN，

(II)記｛%3的前？1項(xiàng)和為Sn，求證:SnSn+2<5n+l()'

Gai)/n為奇數(shù)

a(』‘"'求數(shù)列&｝的前2rl項(xiàng)和.

自，口為偶數(shù).

(t>n+l

【答案】(I)an=7l，%=2時(shí)1；(II)證明見解析；(U1)三一霽一!

“112n+l9x4n9

【解析】

(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列｛g｝的公比為小

—

由%=1,as=5(a4?3)1可得4L

從而｛即｝的通項(xiàng)公式為即=n.

由仄=l,b5=4(b4-b3),

又呼0,可得q2—4q+4=0,解得q=2,

從而｛為｝的通項(xiàng)公式為%=2n-\

(H)證明：由(I)可得SnuKf2，

故S71sh+2=；n(n+l)(n+2)(n+3),S￡+i=[(九+1)2(〃+2尸,

從而S71s九+2—S/+i=—|(n4-l)(n+2)V0,

所以S71szi+2<S/+i.

(3即-2)如_(3n2)2nT_2汽+1_2n一］

(HI)當(dāng)，為奇數(shù)時(shí),

anan+2n(n+2)n+2n

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，。=產(chǎn)=展，

Dn+1N

對(duì)任意的正整數(shù)小有￡憶】C2J=W-W)=嘉一1，

和盤需=：+號(hào)+捺+…+辭+工①

由①得［￡E=1C2k=*+,+捺+“,+告止+意1②

1.2,22n-l_京-前1

2n-l

由①②得：EblC2k—十---十...十--------------------?------

4424n4n+11-144n+1

4

由于泊-前12n-l=22>112k1.=56n+5

1-i44n+1334n44n4123x4n+1

4

從而得：￡￡=1c2k=；-翳?

6?l+5_4

因此，^ck=^=1c2k_1+^=1c2k=^

9x4n9

所以，數(shù)列｛7｝的前2〃項(xiàng)和為藍(lán)G-翳^一，.

9.12019年天津文科18］設(shè)｛即｝是等差數(shù)列，｛加｝是等比數(shù)列,公比大于0.已知ai=bi=3,歷=〃3,。3

=4。2+3.

(I)求［〃｝和｛岳｝的通項(xiàng)公式;

、，，(1,八為奇數(shù),、*

(II)設(shè)數(shù)列｛Cn｝滿足Cn=J人n為偶數(shù)求…(〃仁N).

【答案】解：(I)｛〃〃｝是等差數(shù)列，｛加｝是等比數(shù)列，公比大于0?

設(shè)等差數(shù)列｛S,｝的公差為止等比數(shù)列｛加｝的公比為/q>0.

由題意可得：3夕=3+2J?；37=15+44②

解得：d=3,q=3,

故的=3+3(M-1)=3〃，0=3x3"1=3"

(1,。為奇數(shù),

(H)數(shù)列｛5｝滿足2卜n為球.

a\C\+6Z2C2+...+a2nC2n(〃eN》)

=(m+〃3+。5+...+。2〃-I)+(alb1+。4歷+〃6。3+...+42彷〃)

=［3〃+9丁)X6J+(6x3+12X32+18x33+...+6nx3,')

=3n2+6(lx3+2x32+...+nx3")

令Tn=(lx3+2x32+...+nx3M)①，

則37^=1X32+2X33+...+n3,,+1@,

②-①得：2T"=-3-32-33...-3nW+1

=-3Xy^+/?3,,+l

(2n-l)3n+1+3

=2；

故dici+a2C2+...+a2nC2n—3n2+6Tn=~?+6n(n￡N,)

10.[2019年天津理科19]設(shè)｛“”｝是等差數(shù)列，｛尻｝是等比數(shù)列.已知ai=4,bi=6,bi—laz-2,加=2。3+4.

(I)求他"｝和仍”｝的通項(xiàng)公式；

12%<f2fc+1

?'其中MN*.

｛k

bk,n=2,

(f)求數(shù)列｛a2n(。2“—1)｝的通項(xiàng)公式；

(ii)求￡著aid(〃GN*).

【答案】解：(I)設(shè)等差數(shù)列｛而｝的公差為d,等比數(shù)列｛加｝的公比為q,

依題意有：

僅解得心,

(6q/=124-4d(q=2

/.an=4+(n-1)x3=3〃+l,

為=6x2"1=3x2”.

12k<n<C2k+1

'_k'其中ZCN*.

｛bkf71=2f

：.a2n(c2n-1)=a2n(尻-1)=(3x2〃+l)(3x2〃-1)=9x4〃-1,

???數(shù)列伍2n(C2"T)｝的通項(xiàng)公式為：

a2n(c2九-1)=9x4〃-1.

ici-

(ii)Zf=ia?=[ai+ai(ci-1)]=Sf=iq+Sf=ia2(2D

=(2nx4+2n(2^~1：>x3)+%i

(9x型-1)

=(3x221+5x21)

=27x22n+l+5x2,rl-n-12.(nGN*).

11.【2018年天津理科18】設(shè)｛“"｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前〃項(xiàng)和為S“(〃CN*),出｝是等差數(shù)列.已

知41=1,43=42+2，<24=加+加，45=/>4+2/>6.

(I)求伍”｝和｛阮｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為T”(〃GN*),

(?)求Tn;

⑴證監(jiān)片溫^鬻=備-2"CN*).

【答案】(I)解：設(shè)等比數(shù)列｛a,,｝的公比為如由"1=1,“3=42+2,可得『-4-2=0.

：q>0,可得4=2.

故a”=2nt.

設(shè)等差數(shù)列｛加｝的公差為d,由〃4=加+/>5,得〃i+3d=4,

由。5=64+2匕6,得3bi+134=16,

??b\=d=\.

故bn=n；

(n)(i)解：由(I),可得Sn==2n-l,

故〃=￡2=i(2k-1)=n=i2k—n=2x；［")_n=2"】一n-2；

fc+1k+1k+1

....皿R..(Tk+bk+2)bk(2-fc-2+/c+2)fck-22k+22

\ll)lit明：?--------------=----------------------=--------------=-------------.

(k+l)(/c+2)(/c+l)(fc+2)(k+l)(/c+2)/c+2Zc+1

.嚴(yán)(幾+%+2)玩一汽32224232"+22升12n+2

?>k=T(q_2)+(彳―至)+…+(布_布)_訴_2?

12.【2018年天津文科18］設(shè)｛斯｝是等差數(shù)列,其前〃項(xiàng)和為S("CN*)；｛為｝是等比數(shù)列，公比大于0,

其前，7項(xiàng)和為刀？(〃￡N*).已知。1=1,加=歷+2,〃4=。3+。5，力5=44+2。6.

(I)求S〃和Tn；

(II)若S?+(71+72+......+/〃)=〃〃+4M求正整數(shù)〃的值.

【答案】解：(I)設(shè)等比數(shù)列｛尻｝的公比為夕，由加=1,左=m+2,可得夕2-q一2=0.

V(/>0,可得夕=2.

n

1_2n

故%=2九-LTn=^=2-1；

設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,由〃4=田+45,得m+3d=4,

由加=。4+2〃6,得3〃i+13d=16,

Mr_°n(n+l)

故dn——〃，Sn=-----；

(II)由(I),可得T1+72+……+。=(21+22+-+2n)-n=_=2,,+|-n-2.

1-Zn

由S〃+(T1+乃+...+Tn)=an+4bnf

可得M71)+2-1-n-2=n4-2n+1,

整理得：n2-3n-4=0,解得〃=-1(舍)或〃=4.

?"的值為4.

13.【2017年天津理科18】已知｛〃〃｝為等差數(shù)列,前〃項(xiàng)和為S〃(〃￡N+),｛加｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,

且公比大于O歷+加=12,加=。4-2。1,511=比加.

(I)求｛的｝和｛加｝的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)列｛。2〃歷〃-1｝的前〃項(xiàng)和(n^N+).

【答案】解：(/)設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,等比數(shù)列｛氏｝的公比為g.

由已知?dú)v+例=12,得bi(夕+/)=12,而6=2,所以夕+/-6=0.

又因?yàn)間>0,解得q=2.所以，加=2〃.

由b3=a4-2ai,可得3d-m=8①.

由Sii=ll04,可得m+5d=16②,

聯(lián)立①②，解得ai=l,d=3,由此可得〃〃=3〃-2.

所以，數(shù)列｛4〃｝的通項(xiàng)公式為西=為-2,數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為公=2〃.

(//)設(shè)數(shù)列｛。2疝2〃J｝的前〃項(xiàng)和為Tn,

由。2"=6"-2,b2n-｝=2X4".有a2nb2n-1=(3?-1)4n,

23

7；I=2X4+5X4+8X4+...4-(3n-1)4",

47；,=2X42+5X43+8X44+...+(3/J-1)4n+l,

上述兩式相減，得-3及=2x4+3x4?+3x43+…+3*4"-(3/1-1)4,,+1

=12X￡[4")-4-(3n-l)4n+1=-(3n-2)4,,+1-8

得Tn=電吳x4n+1+f.

所以，數(shù)歹|J｛"2必2"一1｝的前n項(xiàng)和為312X4n+1+

14.【2017年天津文科18]已知｛〃”｝為等差數(shù)列，前”項(xiàng)和為S〃(〃GN*),｛加｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,

且公比大于O歷+加=12,歷=44-241，Sll=ll/?4.

(I)求｛〃”｝和｛加｝的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)列｛〃2,而"｝的前n項(xiàng)和(nSN*).

【答案】(I)解:設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,等比數(shù)列｛加｝的公比為<7.由已知?dú)v+。3=12,得瓦(q+q2)=12,

n

而從=2,所以/+q-6=0.又因?yàn)?>0,解得q=2.所以，bn=2.

由。3=。4-2。1,可得3d-41=8.

由5“=11匕4,可得m+5d=16,聯(lián)立①②，解得m=l,d—3,

由此可得“"=3"-2.

所以，｛麗)的通項(xiàng)公式為,=3〃-2,｛加｝的通項(xiàng)公式為。=2%

(H)解：設(shè)數(shù)列｛〃2疝"｝的前”項(xiàng)和為右，由。2“=6"-2,有7；=4x2+10x22+16x23+…+(6n-

2)x2n,27；=4x22+10x23+16x24+-+(6n-8)x2n+(6n-2)x2n+1,

23nn+1

上述兩式相減，得-及=4x2+6x2+6x2+-+6x2-(6n-2)x2=.然1；｝)_4_(6n_

2)x2n+1=-(3n-4)2n+2-16.

得彩=(3n-4)2n+2+16.

所以,數(shù)列｛。2疝”｝的前〃項(xiàng)和為(3n-4)2"+2+16.

15.【2016年天津理科18］已知｛劭｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為4,對(duì)任意的“WN+,氏是劭和

an+\的等比中項(xiàng).

(1)設(shè)Cn=m+J-瓦2,〃0N+,求證：數(shù)列｛Cn｝是等差數(shù)列;

(2)設(shè)m=d,Tn=Sk=i(-1)W,“GN*,求證：%i

1i2d

【答案】證明：(1)???｛〃〃｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d,對(duì)任意的〃￡N+,?！ㄊ恰āê屯?1的等

比中項(xiàng).

/.Cn=&n+l-踴=an+\an+2-如。〃+1=2而〃+|,

??Cn+\"Cti=2d(dn+2+1)=2d為定值;

???數(shù)列｛5｝是等差數(shù)列;

(2)Tn=Sfc=i(-1)%?=(-加2+歷2)+(-加2+從2)+…+(-歷〃.J+歷“2)=2d(42+44+…+。2〃)=

2d九(。2產(chǎn)九)

=2(〃+1),

二%］齊?洗1(T+A4+…+：亳"梟(一擊)v奈

即不等式訊六奈成立.

112

16.【2016年天津文科18】已知他”｝是等比數(shù)列，前〃項(xiàng)和為&("6N*),且一一一=一,56=63.

03

(1)求｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對(duì)任意的"GN*,辦是log24"和log24"+l的等差中項(xiàng)，求數(shù)列｛(-1)"好｝的前2〃項(xiàng)和.

【答案】解：⑴設(shè)｛斯｝的公比為q,則三一二-=」3，即1一=芻，

22

O1arqa^Qq

解得q=2或4=-1.

若q=-1,則S6=0,與S6=63矛盾，不符合題意.???q=2,

.?_.(1_26)

??§6-]2—63,??ci\1.

a"=2"?.

(2),:從是logian和log2—+1的等差中項(xiàng),

111

bn=2(Iog2〃〃+log2〃"+i)=2(log22",+Iog22n)=n-2-

bn+1-bn=1?

.??｛W｝是以工為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.

設(shè)｛(-1)%/｝的前2〃項(xiàng)和為Tn,貝U

2222

Tn=(-加2+歷2)+(-^3+&4)+…+(-62n-l+fon)

=bI+歷+加+/74...+歷“-1+歷〃

_瓦+b2nr」+2n—1

=-x2"?2n=-一~~~?2n

=2/?2.

17.[2015年天津理科18]已知數(shù)列｛即｝滿足板+2=夕?！?4為實(shí)數(shù)，且療1),m=l,及=2,且。2+。3,

。3+。4,Cl4+a5成等差數(shù)列

(1)求q的值和｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)5尸誓迎，〃6N*,求數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和.

a2n-l

【答案】解:(1)Cln+2=qcin(q為實(shí)數(shù)，且夕丹)，—￡N?41=1,〃2=2,

1?43=夕,。5=qI,a4=2q,

又?.?。2+。3,43+44,。4+。5成等差數(shù)列，

**?2x3q=2+3[+才,

即才-3q+2=0,

解得q=2或4=1（舍）,

M-1

2~,n為奇數(shù)

n；

(22,n為偶數(shù)

(2)由(1)知bn=吁2%=@轡_=三,“GN*,

a2n-l2n12n1

記數(shù)列(仇｝的前〃項(xiàng)和為Tn,

11111

則刀產(chǎn)1+2?二-I-3*—4-4*—+…+(n-1)?+〃?51，

222232n~22rlT

11111

,2右=2+2+3]+4--+5--+.-?+(n-1)?—+〃?行，

兩式相減，得33+/+土+或+…+/一〃?于二

11

=3+1一嚴(yán)一”?布

n+2

=4-

2^'

18.【2015年天津文科18］已知｛斯｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，｛加｝是等差數(shù)列,且的=加=,b2+b3=

2。3,“5-3歷=7.

(I)求｛斯｝和｛為｝的通項(xiàng)公式;

(II)設(shè)Cn=""8","GN*,求數(shù)列｛Cn｝的前"項(xiàng)和.

【答案】解：(I)設(shè)數(shù)列｛“〃｝的公比為g,數(shù)列｛加｝的公差為"，由題意，q>0,

由已知有光2二產(chǎn)消去d整理得：422-8=0.

：q>0,解得q=2,：,d=2,

二數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式為On=2nT,“CN*;

數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為從=2〃-1,"GN*.

(II)由(I)有Cn=(2n-l”2nT,

設(shè)｛Cn)的前"項(xiàng)和為S,則

12n2n-1

Sn=1x20+3x2+5x2+-+(2n-3)x2-+(2n-1)x2,

123n1n

2Sn=1x2+3x2+5x2+-+(2n-3)x2-+(2n-1)x2,

23nnn+l

兩式作差得：-Sn=l+2+2+-+2-(2n-1)X2=2-3-(2?-1)x2"=-(2n-x2〃-3.

：.Sn=(2九一3)?2八+3,nGN\

19.【2014年天津文科20】已知q和〃均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M={0,1,2,q-\]9集

合4={4￥=劉+^24+…+%Ix￡M,i=\,2,

(I)當(dāng)4=2,相=3時(shí)，用列舉法表示集合4；

(II)設(shè)s,段A,5=〃1+。2夕+…t=ln+b2q+…+b〃q〃',其中即bgM,i=l,2,...?n.證明：

若a?Vb〃，則s<7.

【答案】(I)解：當(dāng)g=2,〃=3時(shí)，

M={0,1},A={x|x=.ri+x2e2+x3e22,xi^M,i=l,2,3}.

可得A={0，1,2,3,4,5,6,7).

(H)證明:由設(shè)s,s=m+〃2/夕"Iz=bi+02q+…+力的”?,其中〃/，bKM,z=L2,...,n.an

V加，.'.5-t=(671-b\)+(12-。2)4+...+(-I-bn-1)qn2+(即-加)cfx1

<(q-1)+(q-1)q+…+(.q-\)c/12-cfl1

=(<y-1)(l+q+…+夕'廠2)-qn]

_(q-l)(l—qX).1

-—0------q

=-l<0.

，sV九

膜把好題

1.【天津市南開中學(xué)2021屆高三下學(xué)期三?！俊癮,b,c成等比數(shù)列”是“a2,b2,02成等比數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】解：若a，b,c成等比數(shù)列，則爐=ac,

此時(shí)a2c2=(ac)2=b3則a?,b2,c2成等比數(shù)列，即充分性成立，

反之當(dāng)a=l,h=l,c=-l時(shí)滿足a?,b2,c2成等比數(shù)列，但a,b,c不成等比數(shù)列，即必要性不成立，

即“a,b,c成等比數(shù)列”是七2,爐，c2成等比數(shù)列”的充分不必要條件,

故選：A.

2.【天津市部分區(qū)2022屆高三下學(xué)期高考前質(zhì)檢】正項(xiàng)等比數(shù)列{每},若。5=1-則“公比q=1”是憶3+a7

的最小值為2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列｛/?｝,a5=l,

22

則公比q=1時(shí)，a3+a7=^+a5q=q+=2,

若。3+。7=叁+。5(/2=/+今？2,當(dāng)且僅當(dāng)q2=/且4>0,即夕=1時(shí)取等號(hào)，

故as=1，則“公比q=1"是'小+。7的最小值為2”的充要條件.

故選：C.

3.【天津市新華中學(xué)2023屆高三下學(xué)期統(tǒng)練5】已知等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,a3>0,其前n項(xiàng)和為上,

則“q>1”是“Si。+S12>2Sii"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】?.?數(shù)列Sn｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，且公比為q，前n項(xiàng)和為％,

.g=Q「q”%an=(sn_S…?22；

8

a3>0,故由1=a3q>0,

_

"?>510+S、2—2sli=(S12—Su)—(Su—Si。)=a12-=%i(q1)>

①當(dāng)q>1時(shí)，Si。+S”-2sli>0,即：“Si。+S12>

,具有充分性；

②當(dāng)“Si。+S[2>2SJ時(shí)，即q>1,

,具有必要性.

故選：C.

4.12023屆天津市普通高考數(shù)學(xué)模擬卷(三)】等比數(shù)列｛an｝的公比為外前〃項(xiàng)和為右，設(shè)甲：Q>0,乙:

｛S.｝是遞增數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為一2,-4,-8,…時(shí)，滿足q>0,

但是｛SJ不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件.

若｛SJ是遞增數(shù)列，則必有即>0成立，若q>0不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則q>0成

立，所以甲是乙的必要條件.

故選：B.

5.【天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022屆高三下學(xué)期第三次階段檢測(cè)】等比數(shù)列｛斯｝中，的=3,a4=81,則數(shù)列

｝的前2022項(xiàng)和為()

llog3anIog3an+1J

20202021020222021

?4044?2022'2023*4046

【答案】C

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝中，%=3,%=81,

所以=ai,Q3=3q3=81,解得q=3,

nn

所以an=QiqT=3,log3an=n,

所以-----------=---=--—,

log3anlog3an+in(n+l)nn+1

所以數(shù)列L----r----1的前2022項(xiàng)和為工一工+2_工+…+二------=—

Uog3anlog3an+1J12232022202320232023

故選：C

6.【天津市咸水沽第一中學(xué)2023屆高考押題卷(一)】在數(shù)列｛an｝中，“數(shù)列｛a”｝是等比數(shù)歹『’是"諼=。逆3”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，得於=的。3,

若數(shù)列｛a“｝中道=%。3，則數(shù)列｛即｝不一定是等比數(shù)列，如數(shù)列1,2,4,6,8,10,12,14,…，

所以反之不成立，貝『‘?dāng)?shù)列｛斯｝是等比數(shù)列''是"說(shuō)=%&3''的充分不必要條件.

故選：A.

7.【天津市濱海新區(qū)2020屆高三居家專題講座學(xué)習(xí)反饋檢測(cè)】已知｛aj為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.nGN*.

若=11，520=—80.則S10的值為.

【答案】60

【詳解】設(shè)數(shù)列5｝的公差為d,則舉d=-8。'解得｛建￥

所以Si。=10%+等d=10xl5+5x9x(-2)=60.

故答案為：60.

8.【2020屆天津市津南區(qū)咸水沽第二中學(xué)高三一模】設(shè)a>0,b>0,若a與肝的等差中項(xiàng)是2,則log2。+

210g2b的最大值是.

【答案】2

【詳解】因?yàn)?。與爐的等差中項(xiàng)是2,

所以b2+a=4,又a>0,6>0,

2

則log2a+210g2b=log2(ah)<log2(美日)=2,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b2,即a=2涉=近時(shí)，等號(hào)成立.

故答案為：2.

9.【天津市濱海新區(qū)四校2019?2020學(xué)年高三聯(lián)考】已知等差數(shù)列｛。九｝的前幾項(xiàng)為治,若54=3,$5=4,則

a9-?

【答案】I

S4=4〃i+d=4al+6d=3

【詳解】由題知:

S5=5。1+券d=5al+10d=4,

解得：ax=d=裔.

7

@9=Qi+8d=

故答案為：!

10.【天津市紅橋區(qū)2020屆高考二模】已知實(shí)數(shù)a,b滿足條件：ab<0,且1是a?與川的等比中項(xiàng)，又是工與

a

3的等差中項(xiàng)，則居=

baz+b2

【答案】

【詳解】根據(jù)題意：a2b2—1,ab<0f故ab=—1,工+J=~~=2,故Q+b=—2.

abab

a+b_a+b_-2_1

a2+b2(a+b)2-2ab4+23'

故答案為:一最

11.【天津市河?xùn)|區(qū)2023屆高三一模】設(shè)｛斯｝是等差數(shù)列，｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，b1=-a.=a3-

b2=a4-b3=1.

(1)求數(shù)列｛時(shí)｝與｛友｝的通項(xiàng)公式;

(2)｛5｝的前n項(xiàng)和為％,求證：2*=bn_i；

(3)求￡F=id/bn-i+l.

【答案】(l)an=2n—3,%=2-1

(2)證明見解析

(3)2n-2n-1

【詳解】(1)設(shè)。?=%+(n—l)d,bn=&qnT,q>0,neN*

由已知小=—1,b]=1,

(2d-q=2_,_?

jj2r，解為q—d—2?

(Q3d-q/=2

n-1

an=2n-3,bn=2.

(2)由已知S”=生部兀=71(>1—2)

左式2黑=2"-2,右式匕-1=2吁1=2吁2,

(3)由已知〃=S-Lja(bn_i+1=a-ibn+a2bn^+a3bn^2+…+心瓦，

n-1n1

Tn=(-1)x2+1x2V+“.+(2n-5)x2+(2n-3)x2°①

n2

2Tn=(-1)x2+1x2"T+…+(2n-5)x2+(2n-3)x21②

②-①為7；=(-1)x2n+2n+2nt+-+22-(2n-3)x2°,

Tn=4x矢--(2n-3)x20=2"-2n-1.

12.【天津市南開區(qū)2023屆高三一模】已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝的首項(xiàng)為1,前幾項(xiàng)和為又，單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛%｝

的首項(xiàng)為2,且滿足必+S2=7,b3+S3=14.

(1)求｛斯｝和協(xié)〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明:3Sn=anSn+1-(an-l)Sn(nGN*)；

(3)記｛%｝的前7i項(xiàng)和為q,證明：￡之1詈<|n(n+l)(n+2).

【答案】(1)%=",bn=271

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【詳解】(1)由題意,設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為乙等比數(shù)列也｝的公比為q(qKl),

因?yàn)榉?S2=7,b3+S3=14,

所以("2/7'14叫/二二；

(2q+3d+3=14,I2q+3d=11.

_q=2

或(

解得｛，二;’(舍去),<=

(d1

所以斯=n,bn=2n.

(2)由(1)知S.=笠殳，

—

所以ClnSn+l—(即—l)Sjj=時(shí)0九+On+i)(Gnl)5n

=sn+anan+1=Sn+n(n+1)=3Sn.

(3)由(1)知7；=笞*=2n+1-1.

所以g=(2*T)?空=(2i+J)*i+i)2i)

=1[i(i+l)(i+2)-(i-l)i(t+l)]

所以ENi^<|[1-(1+D(1+2)-(l-l)-l-(l+l)]+i[2-(2+1)(2+2)-(2-1)?2-(2+1)]

1、r

H---F-[(n-l)n(n+1)—(n—2)(1—l)n]+-[n(n+l)(n4-2)—(n—l)n(n+1)]

<|n(n+l)(n+2).

即￡%專<3n(n+l)(n+2)

13.【天津市河北區(qū)2023屆高三一模】設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,n€N*,若由=—2,且%+2、Sn.

Sn+i成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛Qn｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)垢=[亨],neN*,其中[制表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，求數(shù)列｛an%｝的前10項(xiàng)的和；

(3)設(shè)Cn=(2n—l)a2n，nGN*,求數(shù)列｛7｝的前n項(xiàng)和

【答案】(1)斯=(―2V

(2)3186

(6n-5)x4n+i+20

⑶〃=9

【詳解】(1)解：因?yàn)镾n+2、Sn、Sn+1成等差數(shù)列，則%+1+S九+2=2S",

=

即(S?i+2—S〃