2022-2023學年江蘇省蘇北四市高三年級第一次調(diào)研測試數(shù)學試題及答案解析

2022-2023學年江蘇省蘇北四市高三年級第一次調(diào)研測試數(shù)學試

題

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.若非空且互不相等的集合M,N,P滿足：MCN=M,N?JP=P,則MUP=

A.MB.NC.PD.0

2.已知盧=α+bt(α,beR),則α+b的值為()

A.-1B.0C.1D.2

3.設P:4x-3<l；q-.x-(2α+1)<0,若P是q的充分不必要條件，則()

A.α>0B.a>1C.a≥0D.a≥1

4.已知點Q在圓。/+丫2一4%+3=0上，點P在直線y=%上，則PQ的最小值為

A.√2-1B.1C.√2D.2

5.某次足球賽共8支球隊參加，分三個階段進行.

(1)小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組4隊進行單循環(huán)比賽，以積分和凈勝球數(shù)取前兩名；

(2)半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名進行主、客場交叉淘汰賽(每

兩隊主、客場各賽1場)，決出勝者；

(3)決賽：兩個勝隊參加，比賽1場，決出勝負.則全部賽程共需比賽的場數(shù)為()

A.15B.16C.17D.18

6.若f(x)=sin(2x+9在區(qū)間［T,t］上單調(diào)遞增，則實數(shù)t的取值范圍為

A.［抬］B.(0,≡］C.［睛］D.(0,≡］

7.足球是由12個正五邊形和20個正六邊形組成的.如圖，將足球上的一個正六邊形和它相

鄰的正五邊形展開放平，若正多邊形邊長為a,4B,C分別為正多邊形的頂點，則而?就=

A.(3+V3cosl8°)α2B.(√3+cosl8°)α2

C.(3+√2cosl8°)α2D.(3√3+3cosl8o)α2

8.在某次數(shù)學節(jié)上，甲、乙、丙、丁四位同學分別寫下了一個命題：甲：In3<bln2;乙：

lnττ<J1：丙：2同<12;?。?eln2>4?VΣ.所寫為真命題的是

A.甲和乙B.甲和丙C.丙和丁D.甲和丁

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.連續(xù)拋擲一枚骰子2次，記事件4表示“2次結(jié)果中正面向上的點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件B

表示“2次結(jié)果中至少一次正面向上的點數(shù)為偶數(shù)”，則

A.事件4與事件B不互斥B.事件4與事件B相互獨立

C.P(AB)=ID.P(4∣B)=|

10.長方體ABCD-aBIGDl中，AA1=3,底面ABCD是邊長為2的正方形，底面ZIBlGDl

的中心為M,則()

A.CW1〃平面4BM

B.向量宿在向量而上的投影向量為^

C.棱錐M—ABCD的內(nèi)切球的半徑為誓

D.直線AM與BC所成角的余弦值為"

11

11.公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派把年1(年0.618)稱為黃金數(shù).離心率等于

2

黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線.若黃金雙曲線E:3―y2=i(α>0)的左、右頂點分

別為公,A2,虛軸的上端點為B,左焦點為F,離心率為e,則

A.a2e=1B.不?而=0

C.頂點到漸近線的距離為eD.AAzFB的外接圓的面積為竽兀

12.設函數(shù)/(尤)的定義域為R,f(2x+1)為奇函數(shù),/(X+2)為偶函數(shù)，當X∈[0,1]時，/(x)=

產(chǎn)+匕,若/(0)+/(3)=—1,則

A.e=-2B./(2023)=-1

C./(X)為偶函數(shù)D?/(x)的圖象關于晝,0)對稱

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

6

13.若(1—2x)5(%+2)=Q0+a1xH-----Fa6xf則的=.

14.某學校組織1200名學生進行“防疫知識測試”.測試后統(tǒng)計分析如下：學生的平均成績

為±=80,方差為S?=25.學校要對成績不低于90分的學生進行表彰.假設學生的測試成績X

近似服從正態(tài)分布N(出。2)(其中4近似為平均數(shù)ad近似為方差s2),則估計獲表彰的學生

人數(shù)為.(四舍五入，保留整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：隨機變量X服從正態(tài)分布NQ。2),則一。<χ<4+t7)=0.6827,

P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9973.

15.已知拋物線/=2x與過點7(6,0)的直線相交于4B兩點，且OB14B(。為坐標原點)，

則^OAB的面積為.

16.己知函數(shù)AX)=mil則函數(shù)F(X)=Hf(X)]-2f(χ)-T的零點個數(shù)

為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知團ABC為銳角三角形，內(nèi)角4B,C的對邊分別為α,b,c,且αcos8+bcos4=2ccosC.

(1)求角C;

(2)若c=2,求團ABC的周長的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

已知等比數(shù)列｛ajl｝的前n項和為無,S3=14,S6=126.

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項公式；

b,abn

(2)當nCN*時，anb1+an-ι2+"+ιn=4-1,求數(shù)列｛%｝的通項公式.

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐S-ABCD中，側(cè)面SZDl底面28CD,SAlAD,且四邊形ABCD為平行四邊

π

形，AB=1,BC=2,?ABC=-,SA=3.

(1)求二面角S-CD-4的大小;

(2)點P在線段SD上且滿足討=4歷，試確定;1的值，使得直線BP與面PCn所成角最大.

20.(本小題12.0分)

設橢圓5:務5=19>6>0)的左、右焦點分別為尸式―c,0),F2(c,0),離心率為苧，若橢

2

圓E上的點到直線2：X=匕的最小距離為3―遮.

C

(1)求橢圓E的方程；

(2)過FI作直線交橢圓E于A,8兩點，設直線4尸2,BF2與直線I分別交于C，D兩點，線段48,

CD的中點分別為M,N,。為坐標原點，若M,O,N三點共線，求直線AB的方程.

21.(本小題12.0分)

第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊通過點球

戰(zhàn)勝法國隊獲得冠軍.

(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個

方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使

方向判斷正確也有I的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三

次撲到點球的個數(shù)X的分布列和期望；

(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，

球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向

另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳

下的概率為Pn，易知Pl=1,P2=0-

①試證明：｛氏-芻為等比數(shù)列；

②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,比較PIO與qι0的大小.

mAw?aι?cur

Q/W

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=ɑe*+Cosx+g/,其中α為實數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當a=0時，求曲線f(x)在點(],/?))處的切線方程；

(2)若g(x)為/Q)的導函數(shù)，g(x)在(0,兀)上有兩個極值點，求α的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查集合包含關系的判斷，集合的并集運算，屬于基礎題.

【解答】

解：MnN=M,則M?N,

NUP=P,則N?P,.?.M?P

.?.MUP=P.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查虛數(shù)單位i的事運算的周期性，復數(shù)相等的充要條件，屬于基礎題.

先由虛數(shù)單位i的幕運算可得i5=I,再由復數(shù)相等可得.

【解答】

解：i$=i=a+bi,；/;—?，0+匕=L

3=1

故選C.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查依據(jù)充分不必要條件求參數(shù)范圍，屬于基礎題.

由題意，p-.x<l,q-.x<2a+l,P是q的充分不必要條件可得2a+1>1,解得即可.

【解答】

解：p：4x—3<1；q:x-(2a+1)<O,

p?.x<1,q:x<2a+1,

又???P是q的充分不必要條件，

.?.2α+1>1,解得：α>O.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查直線與圓的位置關系，為基礎題.

【解答】

解：圓C的標準方程為：（x-2）2+y2=l,

C（2,0）到直線X-y=0的距離d=^=√2,

???f,‰in=√2-1,則選4

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查排列組合的簡單應用，屬于基礎題.

【解答】

解：小組賽中每組4隊進行單循環(huán)比賽，就是每組4支球隊的任兩支球隊都要比賽一次,

所以小組賽共要比賽：2C：=12（場）.

半決賽中甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名主客場各賽一場，

所以半決賽共要比賽：24W=4（場）.

決賽只需比賽1場，即可決出勝負.

所以全部賽程共需比賽：12+4+1=17（場）.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性解決參數(shù)問題，屬于中檔題.

【解答】

解：由題意得，t>-t,飄>0,

?TrC7ΓTrrτt>tTtTT

,

令一5≤2%+-≤-zt!JlJ-τ≤%≤

ZOZ?O

???函數(shù)/(x)在區(qū)間[一烷]上單調(diào)遞增，

π

￡(一

λ[-1<tI-[-{6"，故。<t4看.

-t>-3

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查解三角形，平面向量數(shù)量積運算，屬較難題.

【解答】

解：AB=√3α>BC2=a2+a2-2-a?αcosl08°=2a2—2α2cosl08o

=2α2(l-cosl08o)=2a2-2sin2540=4α2sin254o,?BC=2αsin54o,

4ABC=120°-30°+L="6。，

AC2=3a2+4a2sin254°-2-y∕3a-2αsin54°cosl26°

=3a2+4α2sin254o+4V3α2sin54°cos54o

AB?AC=AB?AC-cosZ.CAB

AB2+AC2-BC2

AB-AC-2AB-AC

AB2+AC2-BC2

二2

3a2+3a2+4a2sin254°+4√3α2sin54°cos54°-4a2sin254°

二2

=3α2+√3α2sinl08o=3a2+√3α2cosl8°=a2(3+√3cosl80),選A?

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查命題真假的判斷，及利用構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，比大小，屬于難

題。

【解答】

解：令f(x)=竽，則1(X)=；2叫令((X)=0,得χ=e,

當0<x<e時，f'(x)>O,此時/(κ)為增函數(shù);

當x>e時，∕,(x)<0,此時f(x)為減函數(shù);

V√3<2<e,.?./(√3)</(2),.?.?<iy>即保<ln2,即ln3<國皿2,甲正確;

y/e<yfττ<e,??√(√ττ)>/(√e),?-??>?=?'

?lnπ>%???乙錯誤;

ln2lnl2In2ln√12

2履<12<≠>√121n2<lnl2<=>-τr-<-=Q<—

1√i122√I12

ln4,ln√T2

<≠>/(4)</(√12)<≠>4>√12)丙正確。

07<12

對于丁，3eln2>4√2<≠>eln8>2√8<≠>eln√8>我=曙>?

而√δ>e，所以f(Vδ)<f(e),二丁錯誤。

9.【答案】AD

【解析】

【分析】

本題考查互斥事件、相互獨立事件的判斷，條件概率的求解，為中檔題.

【解答】

解：事件2,B可同時發(fā)生，則事件4B不互斥，A對.

n/A、3×3×21?3×33

尸⑷=M=E'P(B)=I-調(diào)=T

PalB)=；4P(A)P(B),即A,B不獨立，B錯，C錯.

1

-2

⑻2D對

=-=-

533

∕(-

4

故選AD.

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查立體幾何的基本知識，考查投影向量與線面所成角的求法，屬于中檔題.

【解答】

解：C1D1//AB,ClDl￠/平面ABM,ABU平面ABM,G。1〃平面A8M,4對.

AM=√9^+2=√1T,AC=2√2,CM=VTT,而在左上的投影為√Σ

宿在正上的投影向量為喘前^，B對.

S∕M4B=?×2×λ∕Tθ=VTo=SΔMBC=SΔMCD=SΔMAD

設棱錐M-48CD的內(nèi)切球半徑為R,則X√TUx4+4)R=gx3x4,R≠甯，C錯?

AM=√∏,AD=2,DM=√T1,cos?DAM=????=

2√11?211

.?.AM與/。所成角余弦值為界則4M與BC所成角余弦值為當，。對.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的離心率問題、雙曲線的漸近線，屬于中檔題.

【解答】

解：對于4由題意知匹T=四±1n=J，.?.c2=它±l,???α2e=αc=l,故A正確；

a222

對于B：A2(^(it0)>B(0,b),F(-c,0),則828=(-α,b),FB=(Gb)，

.?.Λ7B?FB=b2-ac=0，故B正確.

,ababa1

對于C：頂點到漸近線距離弓=了『="=)="，故C錯.

2z

y∣a+b

對于D：△4FB為直角三角形，且乙42BF=9(Γ,A2F=a+c,故△&FB外接圓的半徑為等,

△&FB外接圓面積S=Tr"(^^^)2=(ɑ2+c2+2αc)=與藥兀，故。正確.

12.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的綜合性質(zhì)，屬難題.

【解答】

解：??"(2x+l)為奇函數(shù)，??.f(l)=0,

f(,-2x+1)=-f(2x+1)=>/(-%+1)=—f(X+1),又：X+2)為偶函數(shù),

???f(x)關于X=2對稱,???f(l-X)=f(3+x),???f(x+3)=-f(x+1)

=/(x+2)=-/(%),/(3)=-f(l)且/Q)一個周期為4

?/(l)=a+b=0(a=2

,A正確.

i∕(0)+/(3)=1+6=-1Ib=-2

.?./(2023)=/(3)=0,B錯.

由/(—W=∕(x+4)=∕(x)知/(x)為偶函數(shù)，C正確.

對于D，

???χ∈[0,l]時，f(x)=2'-2,/(》=√Σ-2M0,??.f(x)不關于晝,0)對稱,

。錯，?AC.

13.【答案】一120

【解析】

【分析】

本題主要考查二項式的展開式及其通項，組合數(shù)的計算，屬于基礎題。

【解答】

解：(1一解)5展開式第r+1項Tr+1=Cξ(-2x)r=C1M?(-2)r,

當r=2時，X-Cj-X2-(-2)2=40X3;

當r=3時，2鷹?/(-2)3=—160/；

33

40X-160X=-120,ɑ3=-120.

14.【答案】27

【解析】

【分析】

本題考查正態(tài)分布的應用，為基礎題.

【解答】

解：其中〃=80,<τ=5,90=μ+2σ,

P(X>90)=∕5(X>μ+2σ)=j-?×0.9545=0.02275,

1200X0.02275≈27.

15.【答案】15√2

【解析】

【分析】

本題考查直線與拋物線結(jié)合求面積的問題，屬于中檔題.

【解答】

解：令AB:X=Tny+6,Λ(x1,y1),B{x2,y2),[y2=2x

消X可得y2-2τ∏y-12=0,則yι+治=2m,y1y2=-12.χ1χ2=?=36，

OB-AB=(X2,y2)O?-X1Q2-月)=%2。2-/)+—yι)=×l+2右-24=0,

X2=4,負值舍去，龍=8,

不妨設y2=2√2,則yι=-3√2,x1=9,

OB=√16+8=2√6,AB=√25+50=5√3,SΔABO=；X2√6×5√3=15√2.

16.【答案】5

【解析】

【分析】

本題考查求函數(shù)零點個數(shù)問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.

【解答】

解：令t=∕(%),F(x)=0,

則可得/(t)-2t—2=0,即/(t)=2t+京

1?↑'1

在同一直角坐標系中作出y=∕(t)和y=2t+：的圖象，如

圖所示.

當te(0,1)時，∕?(l)=2<∣,∕(0)=i+l>l,

則y=/O和y=2t+3的圖象在區(qū)間(o,i)上有一個交點，

即O<G<1,

當￡6(1,2)時，由圖象可得，y=∕(t)和y=2t+g的圖象在區(qū)間(1,2)上有一個交點，即1<<2,

當t∈(2,+8)時,f(t)=?n(t—1)<t—2<2t+?,

故y=f(t)和y=2t+3的圖象在區(qū)間(2,+8)上沒有交點?

結(jié)合圖象可知，當/(x)=S時有2個根，

當/(x)=t2時有3個根.

所以F(X)=/[/(X)]-2f(x)—，的零點共有5個.

17.【答案】解：(1)由正弦定理,得SirL4cos8+SinBcosA=2sinCcosC,

即Sin(4+B)=2sinCcosC,BPsinC=2sinCcosC,

又C∈(0,7τ),所以SinC≠0,

所以CoSC=:，故C=.

ZD

⑵由正弦定理，得α=*昔=當SirL4,b=當SinB,

所以EI4BC的周長L=a+b+c=^(sin∕l+SinB)+2

42π

=1si1171+sE(?y—4)]+2

√31

=4(-^-sin4+2cosA)+2

=4sin(4+3)+2,

由團ABC為銳角三角形可知,:7"4"V》

所以稱<4+看<等所以Sin（A+卷）6（苧,1],

所以回ABC的周長的取值范圍為（2+2√3,6].

【解析】本題考查解三角形、三角函數(shù)恒等變換，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)設數(shù)列｛aj的公比為q?

S3=Qi+02+03=14①留得q3=8,所以q

S-S=?+α5+?=112②

(63

2

有S3=&+。2+。3=+2%+4α1=14,得Ql=2,

n

則數(shù)列｛αrι｝的通項公式為冊=2.

7ιn

(2)由2b1+2"Tb2+…+2bπ=4—1,71=1時2瓦=3,得瓦

n1n2n1

所以n≥2時，2~b1+2~b2+-+2bn^1=4--1

nn1n1n2n

2b1+2-b2+???+2bn=2(2^h1+2-b2+…++26n=4-1

nnn1

有2(4τ-l)+2bτι=4-l,得n≥2時，bn=4-+?

又瓦=|,故為=4n^1+1

【解析】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎題.

19.【答案】解：(1)連接4C,在AABC,AB=I,BC=2,

^ABC=≡由余弦定理得AC=g,所以4B4C=5

因為側(cè)面S4。_L底面ABCD,面SADn底面4BC。=40,SAVAD,

所以SAl面ABC。，所以S4_L4C.

法1：以4為原點建立如圖所示空間直角坐標系.

則B(Lo,0),C(O,√5,0),S(0,0,3),D(-l,√5,0),CD=(-1,0,0),SC=(0,√3,-3).

設平面SCO的法向量為元=(x,y,z),

,可取元=(0,√5,l).

易知記=(0,0,1)為面48C。的法向量.

所以8S”篇=焉4

因為二面角S—CC-4為銳角，所以。

即二面角S—C。一月的大小為宗

法2：因為S41面4BCD,所以S4J.CC.

因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以ACICD,

又S4ClAC=4,所以CO?L面S4C,所以CDJ.SC.

又面4CDC面ScD=CD,所以NACS為二面角S-CD-4的平面角,

因為tan∕ACS=*=√l二面角S-CD-4為銳角，所以。=?

即二面角S—CD-4的大小為宗

(2)設P(Xl,%,Zι),SP=λSD,得(XI,月*1-3)=4(-l,√5,-3),

X1=-Λιy1=√3Λ,Z1=3-3λ,所以P(-a,√?l,3-3Q，所以前=(一4一1,√5九3—32).

由(1)知平面PCC的法向量為元=(0,√3,l)?

_喬沅_______3-+3-32________________3______

2222

因為?BP??n?2J(λ+l)+(√3Λ)+(3-3λ)2jl3Λ-16Λ+lθ(

所以當;l=??,CoSa值最大，即當4=卷時，BP與平面PCD所成角最大.

【解析】本題考查二面角的求解與線面角最值的求解，結(jié)合空間向量法即可求出，為中檔題.

c_√3

ɑfT，解得卜=四

{?-α=3-√3,IC=1，

所以b2=cl2-c2=2,所以橢圓E的方程為t+[=l.

(2)由⑴知,F1(-1,0),F2(IfO),

由題意知，直線48的斜率不為0,

設直線AB的方程為％=my—1,

'Ny2

聯(lián)立?+萬=1，消去X并整理得，

X=my—1,

(2m2+3)y2—4my—4=0.

設A(Xl,乃)，B(x2,y2),則為+'2=U?,%y2=U??

,

所以Y"=2?3xM=myM-l=分鬲，

所以直線。M的斜率為k0M=y=一等.

XM?

直線AF2的方程為y=?(χ-i),

Λ1?

直線1的方程為X=3,則C(3,祟τ),

直線BF2的方程為V=含(X—1),同理有。(3,普).

所以V二yiI為二I丫2二當(7-2-2)+及(7”「2)一2又力及-2d+丫2)

z4

'NX1-I%2-1my1-2my2-2(my1-2)(τny2-2')my1y2-2m(yλ+y2)÷

r—4r、，4m

m27∏2+3-2r∏2+3_4m

τn2?-^r—-2m?W+4rn2-3'

2m2÷32m2+3

所以直線ON的斜率為岫N=碧=而

由M,O,N三點共線可得，k0M=k0N,

即一竽=與:所以巾=0或m=±L

故直線4B的方程為X=-1或X-y+l=0或X+y+1=0.

【解析】本題考查直線與橢圓的綜合運用，考查運算能力，題目較難.

21.【答案】解：(1)依題意可得，門將每次可以撲到點球的概率為p=