2022-2023學(xué)年安徽省蕪湖市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年安徽省蕪湖市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.經(jīng)過點(diǎn)4（1,2）,傾斜角為與的直線的點(diǎn)斜式方程為（）

A.y-2=x—1B.y=x+1C.x—y+1=0D.x-y=-1

2.已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，。3=6,。6=3,則。9=（）

A.9B.0C.—3D.-6

3.某工廠生產(chǎn)的新能源汽車的某部件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N（5e2）g>o）,若

P（5<X<6）=0.24,則P（X>4）=（）

A.0.76B,0.24C.0.26D,0.74

4.F為拋物線C：y2=i2x的焦點(diǎn)，直線x=1與拋物線交于4,B兩點(diǎn)，貝此4尸8為（）

A.30°B,60°C.120°D.150°

5.在棱長(zhǎng)為3的正四面體A-BCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CO上靠近。的三等分點(diǎn)，則布?前

為（）

A.B.-2C.]D..營(yíng)

4444

6.甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)文化知識(shí)比賽，決出第1名到第6名的名次.甲、

乙去詢問成績(jī)，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都不是第一名對(duì)乙說：“你和丙的名次

是相鄰的從對(duì)這兩人回答分析，這6人的名次排列的所有可能不同情況有種.（）

A.144B.156C.168D.192

7.客機(jī)越來越普及之后，為了減少空氣阻力、降低油耗以及減少亂流，飛機(jī)開始越來越往

高空飛，飛機(jī)的機(jī)身也因此做了很多調(diào)整，其中一項(xiàng)調(diào)整是機(jī)艙必須加壓，好讓旅客在內(nèi)部

能夠生存，為了更好地分散機(jī)窗壓力，工程師將最開始的方形窗戶改為橢圓形窗戶如圖1所示，

使其均勻受壓，飛機(jī)更為安全.一縷陽光從飛機(jī)窗戶射入，在機(jī)艙地面上形成輪廓為圓的光斑，

如圖2所示.若光線與地面所成角為60。，則橢圓的離心率為（）

B.?C.芋D.?

8.已知a=2cosl,匕=esini+'n2Tc=l，則下列不等關(guān)系正確的是()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

二、多選題(本大題共4小題，共16.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.下列說法正確的有()

A.隨機(jī)變量X的方差0(X)越大，則隨機(jī)變量X的取值與均值E(X)的偏離程度越大

B.隨機(jī)拋擲質(zhì)地均勻的硬幣100次，出現(xiàn)50次正面向上的可能性為g

C.根據(jù)分類變量X與y的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到f=3.218,根據(jù)小概率a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)

(xo.os=3.841)),可判斷X與丫有關(guān)，且犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05

D.若變量y關(guān)于變量x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=o.3—O.7x時(shí)，則變量x與y負(fù)相關(guān)

10.已知函數(shù)f(x)=e'+3(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線y=f(x)的切線斜率可以是一1

B.曲線y=/(%)的切線斜率可以是2

C.過點(diǎn)(0,3)且與曲線y=f(x)相切的直線有且只有1條

D.過點(diǎn)(1,5)且與曲線y=/(x)相切的直線有且只有2條

11.一個(gè)不透明的袋子里，裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次從中不放回地取出一球,

現(xiàn)取出2個(gè)球，則下列說法正確的是()

A.兩個(gè)都是紅球的概率為微

B.在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為2

C.第二次取到紅球的概率為高

D.第二次取到紅球的條件下，第一次取到白球的概率為3

12.已知數(shù)列｛a“｝有無限項(xiàng)且滿足：a2n+i-。2*1=2(neN*),a2fl+2=t(neN*),

其中t為大于0的常數(shù)，則下列說法正確的有()

A.當(dāng)《=2時(shí),若數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，則。2-=1

B.當(dāng)t=2時(shí),若數(shù)列｛即｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則0<a2-ax<2

C.存在"2,數(shù)列｛an｝是單調(diào)遞增數(shù)列

D.任意t42,數(shù)列｛an｝不可能是單調(diào)遞增數(shù)列

三、填空題(本大題共4小題，共16.0分)

13.已知函數(shù)/(x)=2sinx+e*-則/(0)=.

14.在(x+l)(x+2)(%+3)(%+4)(x+5)的展開式中，含產(chǎn)的項(xiàng)的系數(shù)是.

15.已知圓。：x2+y2=l,A(m,1),若圓。上存在兩點(diǎn)B,C使得△4BC為等邊三角形，則

m的取值范圍為.

16.俄羅斯方塊游戲，是一款由俄羅斯人阿列克謝?帕基特諾夫發(fā)明的休閑游戲，它的玩法

就是用一些隨機(jī)出現(xiàn)的幾何圖案去填充平面區(qū)域，消去一行就會(huì)有得分，如果一次能消去多

行，則會(huì)得到很多額外的獎(jiǎng)勵(lì)分，但這會(huì)承擔(dān)一定的風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)檫@些隨機(jī)的圖案是需要通過

適當(dāng)?shù)钠揭苹蛐D(zhuǎn)后才可能被放置到合適的空位上去的，當(dāng)剩余的內(nèi)容太多時(shí)，就不容易做

這些操作，而導(dǎo)致失敗.已知這些隨機(jī)出現(xiàn)的圖案都是由若干塊相同的小正方形拼接在一起構(gòu)

成的，要求相鄰的兩個(gè)正方形必須有一條公共邊相連.如果相同小正方形的個(gè)數(shù)為71，記用它

們構(gòu)成的不同圖案總數(shù)為即(通過平移或旋轉(zhuǎn)后重合的視為同一個(gè)圖案).已知的=1,=1，

四、解答題(本大題共6小題，共44.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題6.0分)

2023年5月，某高中開展了“最美寢室”文化布置評(píng)比活動(dòng)，學(xué)生會(huì)成員隨機(jī)抽取了12間寢

室進(jìn)行量化評(píng)估，其中有4間寢室被評(píng)為優(yōu)秀寢室.

(1)現(xiàn)從這12間寢室中隨機(jī)抽取3間，求有1間優(yōu)秀的概率；

(2)以這12間寢室的評(píng)估情況來估計(jì)全校寢室的文化布置情況，若從全校所有寢室中任選3間,

記X表示抽到優(yōu)秀的寢室間數(shù)，求X的分布列和期望.

18.(本小題6.0分)

在三棱錐P-48c中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P4=PB,PC=4且直線PC與平

面ABC所成角為30。，。為中點(diǎn).

(1)求證：平面POCJ■平面ABC；

(2)求二面角A-PB-C的正弦值.

P

B

19.(本小題7.0分)

已知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為%,且滿足%=|an+1-1.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)冊(cè)；

(2)在即和冊(cè)+1之間插入幾-1個(gè)數(shù)，使這幾+1個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，求證：

20.(本小題8.0分)

楊輝是我國(guó)古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，著有《詳解九章算法》、，日用算法》和《

楊輝算法》，楊輝在1261年所著的群解九章算法少給出了如下圖1所示的表，我們稱這個(gè)

表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數(shù)字表示，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可

見我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.

左4

積

積

本

.第。行I

債

第I行11

居

立第2行I2I

.第3行I3.3I

第4行14641

第5行1510105I

左

命

右

中

以第6行161520156I

袤

實(shí)

袤

藏

廉

乃

而

乃

者

乘

積

皆

除

隅

商第1行ICL1(…cz\5…ex?G>

數(shù)

廉

之

算

方第命1UG…G…CT2C7'1

圖

圖2

楊輝三角本身包含了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學(xué)問題.

性質(zhì)1：楊輝三角的第n行就是(a+b)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)；

性質(zhì)2(對(duì)稱性)：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等，即4=讖々；

性質(zhì)3(遞歸性)：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即*=+七；

性質(zhì)4：自腰上的某個(gè)1開始平行于腰的一條線上的連續(xù)n個(gè)數(shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)斜右下方

的那個(gè)數(shù)，比如：1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20；

請(qǐng)回答以下問題：

(1)求楊輝三角中第8行的各數(shù)之和；

(2)證明：C"GH+=_i；

(3)在(1+X)2+(14-%)3+…+(1+X)n+1的展開式中,求含/項(xiàng)的系數(shù).

21.(本小題8.0分)

已知函數(shù)/(x)=ae2x+(2—a)ex—x

(1)討論f(x)的單調(diào)性：

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

22.(本小題9.0分)

已知以E(-2,3)為焦點(diǎn)的橢圓過4(一2,0),8(2,0),記橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若直線1是曲線C的切線，且，與直線丫=，口分別交于點(diǎn)M，N,與x軸交于

點(diǎn)Q,求證：|QM||QN|+|OQ『為定值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：經(jīng)過點(diǎn)4(1,2),傾斜角為左的直線的點(diǎn)斜式方程為y—2=x—l,即y=x+l.

故選：A.

由已知結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系及直線方程的點(diǎn)斜式即可求解.

本題主要考查了直線方程的點(diǎn)斜式，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解:數(shù)列｛冊(cè)｝是等差數(shù)列，。3=6,。6=3,

則cig—2a6—(13=6-6=0.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：由正態(tài)分布可知，P(5<X<6)=P(4<X<5)=024,

則尸(X<4)=0.5-P(4<X<5)=0.5-0.24=0.26,

所以P(X>4)=1-P(X<4)=1-0.26=0.74.

故選：D.

根據(jù)題意，由正態(tài)分布的特點(diǎn)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：已知F為拋物線C：y2=i2x的焦點(diǎn)，

則F(3,0),

又直線x=1與拋物線交于a,B兩點(diǎn)，

則百(1,2，3)，B(1,-2C)，

則|4尸|=出用=J(2O)2+(3-I)2=4>\AB\=4<3.

222

pn,ACD\AF\+\BF\-\AB\16+16-481

即COSN4FB=2X|"岡BFI==一展

則乙4FB=120°.

故選：C.

由直線與拋物線的位置關(guān)系，結(jié)合余弦定理求解即可.

本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了余弦定理，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：取4C的中點(diǎn)G,連接EG,FG,

為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上靠近。的三等分點(diǎn)，且A-BCD是棱

長(zhǎng)為3的正四面體，

171

AAB//GE,GE=[GB=,EF=FG,CE=^BCI，CF=

2

CO2

3-=flzECF=60°,

在ACEF中，由余弦定理可得：EF2=CE2+CF22CE?CF?

cos/-ECF=（|）2+22-2X|X2X1=^,

?廠廠廠

???FrG=EF=—V1—3?

在ZiFEG中，由余弦定理可得：cos^GEF=EG+EF~FG

2FGEF

,3x2.,<l3>.2Z>TI3.2C---

=」）+（T）_（T）_3=

二=24^=

?.?荏與麗的夾角為福與前的夾角，即為NGEF的補(bǔ)角，

???cos<AB,EF>=一^?^，

26

.-.AB-EF=|AB||EF|cos<AB,EF>=3xfx（一^^）=一也

故選：B.

根據(jù)題意，取4c的中點(diǎn)G,連接EG,FG,由余弦定理可得EF的長(zhǎng)，再由余弦定理可得coszGEF,

再結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可.

本題考查平面向量的數(shù)量積，還考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：若丙是第1名，則乙是第2名，其余4人任意排列，有&=24種，

若丙不是第一,把乙丙當(dāng)作1個(gè)元素，從剩余3人選1人排在第一位,其余任意排列，有廢用膨=144

種，

則共有24+144=168種.

故選：C.

討論丙是第1名和不是第1名兩種情況，然后利用相鄰問題，并結(jié)合捆綁法進(jìn)行求解即可.

本題主要考查簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，利用相鄰問題的捆綁法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：因?yàn)橐豢|陽光從飛機(jī)的橢圓形窗戶射入，在機(jī)艙地面上形成輪廓為圓的光斑，

不妨設(shè)圓的半徑為r,

此時(shí)2b=2r,①

因?yàn)楣饩€與地面所成角為60。，

所以號(hào)=血60。,②

又e=J③

聯(lián)立①②③，解得e=?.

故選：C.

由題意，設(shè)圓的半徑為r,結(jié)合所給信息找到a,b與圓的半徑之間的關(guān)系，利用離心率公式再求

解即可.

本題考查橢圓的性質(zhì)，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

8.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?<1<幸

所以cosie

所以a=2coslG

所以a<<|=c,

所以a<c,

“3IT

由泰勒展開式可得sinx>x—x6(0,-),

6L

所以sinl>0.8,、

As10244、

0)=WT"4.2n>e,

所以4〈全

所以e”m-】>表丹,

所以b=eSi"i+E2-i=2esin1-1>2?擊>5=C,

所以b>c,

所以a<c<b.

故選:A.

由.<1<p得a=2cosiG(1,V-2)>可得a與c的大小關(guān)系，由sinx>x—xG(0,,得sinl>

0.8,進(jìn)而可得6,c的大小關(guān)系，即可得出答案.

本題考查值大小關(guān)系，解題中需要推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：隨機(jī)變量X的方差。(X)越大，則隨機(jī)變量X的取值比較分散，X與均值E(X)的偏離程

度越大，故A正確：

隨機(jī)拋擲質(zhì)地均勻的硬幣100次，出現(xiàn)50次正面向上的可能性近似為故B錯(cuò)誤；

根據(jù)分類變量X與丫的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到公=3.218,根據(jù)小概率a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)(如。5=

3.841),

可判斷X與丫有關(guān)，：3.218<3.841,.?.犯錯(cuò)誤的概率超過0.05,故C錯(cuò)誤；

若變量y關(guān)于變量久的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.3-0.7x時(shí)，由一0.7<0,可知變量x與y負(fù)相關(guān)，故。

正確.

故選：AD.

由概率統(tǒng)計(jì)的有關(guān)概念逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

本題考查統(tǒng)計(jì)及其有關(guān)概念，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】解：由/(》)=〃+3,得/。)=峭>0,.?.曲線y=/(x)的切線斜率可以是2,不可以是

-1.

故4錯(cuò)誤，B正確；

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,/+3),則過切點(diǎn)的切線方程為y=ef(x-t)+-+3,

把(0,3)代入，得〃(1一。+3=3,解得t=l,

則過點(diǎn)(0,3)且與曲線y=f(x)相切的直線有且只有1條，故C正確；

把(1,5)代入，得2et-te1+3=5,即e,(2-t)=2,

令g(t)=2e￡—tec-2,則g'(t)=2et—ef—te1=(1—t)ef,

當(dāng)te(—8,1)時(shí)，g\t)>0,當(dāng)te(l,+8)時(shí)，g<t)<0,

???9(t)max=g(l)=e-2>0,又t7—8時(shí)，g(t)f-2,當(dāng)t->+8時(shí)，g(t)<0,

二方程et(2—t)=2有兩不等根，即過點(diǎn)(L5)且與曲線y=f(久)相切的直線有且只有2條，故。正

確.

故選：BCD.

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的值域判斷4B；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出過切點(diǎn)的切線方程，分別代

入(0,3)與(1,5),求解切點(diǎn)橫坐標(biāo)判斷CD.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值,考查運(yùn)算求解能力，

是中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于4,兩個(gè)都是紅球的概率為|x[=-A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為,=〈，B正確;

對(duì)于C,第二次取到紅球的概率為卷=￡C正確；

對(duì)于D,第一次取得白球，第二次取得紅球的概率為看x,=4，

第二次取到紅球的概率為|,

所以第二次取到紅球的條件下，第一次取到白球的概率為得*|=；,。正確.

故選：BCD.

利用條件概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.

本題主要考查條件概率的計(jì)算，屬中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4由數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，可設(shè)其公差為d,

aa

則a2n+i一2n-i=2n-i+2d-a2n-1=2d=2,解得d=1,

由t=2,則a2n+2-=a2n+2d—a2n=2d=2,解得d=1,故A正確；

對(duì)于B,由數(shù)列｛0｝為遞增數(shù)列，則的<￡12<。3，

設(shè)a2—ar=k>0,a3—=2,

兩式相減可得：。3-a2=2-k>0,解得k<2,故8正確；

對(duì)于C、D,當(dāng)tWO時(shí)，a2n+2-aznW0,顯然此時(shí)數(shù)列｛an｝不是遞增數(shù)列；

'it>°且t*2時(shí)，由&2"+1—。2工-1=2,O2(n-1)+1—a2(n-l)-l=2,…，<12x1+1—a2xl-l=2,

則。2幾+1—%=2n,貝!1。2"+1=%+2n,同理可得：a2n+2=。2+tn>

a

兩式相減可得：a2n+2-2n+i=a2+tn-(%+2n)=(a2-%)+n(t-2),

當(dāng)t<2時(shí)，必定存在N,當(dāng)n>N時(shí)，a2n+2-a2n+i<。，則數(shù)列｛即｝不是遞增數(shù)列；

O-2n+l-口2n=%+2M-[d?+￡(九-1)]=(%一口2+t)+H(2—t)>

當(dāng)t>2時(shí)，必定存在N,當(dāng)n>N時(shí)，。2"+2-。2.+1<0,則數(shù)列｛即｝不是遞增數(shù)列.

故C錯(cuò)誤，。正確.

故選：ABD.

對(duì)于4,根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合題目中等式，建立方程，解得公差，可得答案；

對(duì)于B,根據(jù)單調(diào)遞增數(shù)列的定義，建立方程與不等式，可得答案；

對(duì)于C、D,利用分類討論的思想結(jié)合累加法和遞增數(shù)列的定義，根據(jù)作差法，可得答案.

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、對(duì)數(shù)列單調(diào)性的判斷，也考查了計(jì)算能力及邏輯推理能力，屬于中

檔題.

13.【答案】3

[解析]解：/(x)=2sinx+ex—x2,

則/"'(x)=2cosx+ex—2x,

故1(0)=24-1-0=3.

故答案為：3.

根據(jù)已知條件，對(duì)/(x)求導(dǎo)，將x=0代入導(dǎo)函數(shù)，即可求解.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】15

【解析】解：展開式中，含/的項(xiàng)為1xx4+2xx4+3xx4+4xx4+5xx4=(14-2+3+4+

5)x4=15x3

即展開式中，含小的項(xiàng)的系數(shù)為15.

故答案為：15.

根據(jù)多項(xiàng)式乘積的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，根據(jù)多項(xiàng)式乘積的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】［—15,，"可

【解析】解：由題意知AABC為等邊三角形,

設(shè)。為BC的中點(diǎn)，連接4C,則4Dd.BC,

因?yàn)锽,C在圓0：x2+y2=1±,

故0D1BC,

故A,0,。三點(diǎn)共線，

當(dāng)m=0時(shí)，4(0,1),滿足圓。上存在兩點(diǎn)B,C,使得A4BC為等邊三角形；

當(dāng)小大0時(shí)，直線。力的斜率為L(zhǎng)則BC斜率為Tn,

m

設(shè)BC方程為y=-mx+b,4到BC的距離為4。=嚕具1,BD=I

Vm2+l\Vm2+l

而AD=CBD，

故里普=「］1-(?=4=)2,

Vm2+l\Vm2+l

即(m2+1―力＞=3(m2+1-Z?2),

22

令tn?+l=t,則(t—b)=3(t—b)f

即4b2—2tb+t2-3t=0,

由于beR,

故4=4戶一16?2-3“20,

解得0<t<4,即Tn?+1<4,

?1?m2<3,

解得<m<0或0<mW\/~3,

綜上，—V_3<m<V-3.

故答案為：[-[5,15].

根據(jù)題意，易知40,。三點(diǎn)共線，分m=0以及mH。討論，當(dāng)m40時(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離

結(jié)合方程知識(shí)，利用判別式得解.

本題考查直線與圓的綜合運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵在于要結(jié)合圓以及等邊三角形的兒何性質(zhì)，找到

線段之間的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合方程知識(shí)求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】7

【解析】解：根據(jù)題意，如圖：由4個(gè)小正方形拼在一起的圖形有：

二

R用

廿

田

m一

二

共7種，即。4=7.

故答案為：7.

根據(jù)題意，列舉分析4個(gè)小正方形拼在一起的圖形，即可得答案.

本題考查合情推理的應(yīng)用，涉及數(shù)列的定義，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)設(shè)&表示所抽取的3間寢室中有i間寢室優(yōu)秀，抽取的3間寢室中有1間優(yōu)秀為

事件4，

則P(4)=譽(yù)=募

(2)由題表數(shù)據(jù)可知，從12間寢室中任選1間是優(yōu)秀的概率為*=

由題可知X的所有可能取值為0,1,2,3,則X?8(3$),

P(X=0)=(|)3=捺，尸(x=l)=廢《.(勺2=《，P(X=2)=C>4)2.|=|,P(X=3)=

GT=5

所以X的分布列為

X0123

8421

p

279927

E(X)=3x3=1.

【解析】(1)根據(jù)組合數(shù)公式，結(jié)合超幾何分布的概率公式，即可求解；

(2)首先由題意可得X?8(3$),再根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式，即可求分布列和數(shù)學(xué)期望.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和方差和二項(xiàng)分布，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)證明：:△ABC為等邊三角形，PA=PB,且。為4B的中點(diǎn),

PO1AB,COLAB,

???POnCO=。，AB_L平面POC,

ABu平面ABC,.?.平面POC_L平面4BC.

(2)過P作CO延長(zhǎng)線的垂線，垂足為M,連接OM,

由(1)知，ABl￥ffiPOC,

???PMu平面POC,.-.ABA.PM,

ABC\CO=0,PM1平面ABC,

直線PC與平面ABC所成角為NPCO,則NPC。=30。，

以M為坐椅原點(diǎn)，MC,MP所在直線分別為y軸，z軸，

過點(diǎn)M作與AB平行的直線為x軸，建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

由題可得4(一1,/3,0),。(0,2「,0)，P(0,0,2),

~AB=(2,0,0)，■=(1,二,-2)，~BC=(-l,<3,0)-

設(shè)元=(x,y,z)為平面APB的法向量,

則歸￡=2x=：取y=2,得元=(0,2,C),

[n-PB=x+V3y-2z=0v7

設(shè)沆=(a,4c)是平面PBC的法向量，

則[型F=a+任-2c=0,取b=i,得沆=(，3,1,門),

(BC,m=—a4-v3b=0

,一一、nm55

.-.cos<n,m>=^=7￥7==-,

、二面角4—PB—。的正弦值為sin<n,m>=1—(1)2=今包

【解析】(1)要證明面面垂直，需先證明線面垂直，轉(zhuǎn)化為證明力BJL平面POC；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，過點(diǎn)P作C。延長(zhǎng)線的垂線，垂足為M,以點(diǎn)M為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,

分別求平面P48和平面PBC的法向量，利用法向量的夾角公式，即可求解.

本題考查面面垂直的判斷與性質(zhì)、二面角的正弦值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19.【答案】(1)解：由題意，設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,

貝?。莓?dāng)71>2時(shí)，an=Sn—Sn_i———1—萬冊(cè)+1,

化簡(jiǎn)整理，得0n+1=3%,

即等1=3,>2,

ann

，等比數(shù)列｛Qn｝的公比q=3,

當(dāng)九=1時(shí)，a】=Si=-1=—1=^at—lf

解得%=2,

n

an=2-3-i,nG/V*.

(2)證明：由題意及(1)可得,

nn,n

._Q?2+〔一a九_(tái)2,3_2,3】_431

u==='

nnnn

貝浮痣=2匕應(yīng)=%,，

令Tn=￡?=i%,

則〃=*+/+1+…+啟，

11,2,n-1n

/T=￡+/+…+衿+干，

兩式相減，

可得|%=1+/+a+…+/1一會(huì)

32n+3

=2-y?r，

._93(2n+3)

,?，九_(tái)14y'

_K,3(2九+3)、n

?:nEN*,:.n>0，

.93(2n+3)9

-a--

故不等式2?=1白<弓對(duì)任意nGN*恒成立.

【解析】(1)先設(shè)等比數(shù)列｛時(shí)｝的公比為q,當(dāng)nN2時(shí)，根據(jù)題干已知條件并結(jié)合公式冊(cè)=S.-

Sn1進(jìn)行推導(dǎo)可得等in?,n>2,即可得到等比數(shù)列｛an｝的公比q=3,然后將n=1代入題干

表達(dá)式計(jì)算出首項(xiàng)內(nèi)的值，即可計(jì)算出等比數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

4.A

(2)先根據(jù)題意及第(1)題的結(jié)果推導(dǎo)出％的表達(dá)式，然后計(jì)算出2口I?的表達(dá)式，令〃=￡乜12,

再運(yùn)用錯(cuò)位相減法計(jì)算出〃的表達(dá)式，最后根據(jù)不等式的性質(zhì)運(yùn)算即可證明結(jié)論成立.

本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和與不等式的綜合問題.考查了整體思想，分類討論

思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，錯(cuò)位相減法，不等式的性質(zhì)運(yùn)算，以及邏輯

推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)楊輝三角中第8行的各數(shù)之和為：

1+/+鬣+…+C；+1=或+弓+…+C；+或=28=256；

(2)證明：因?yàn)橛疫?cr-l+-=音標(biāo)+需當(dāng)=奇謹(jǐn)上+5-r)]=卷，

左邊=或=舟，所以左=右，

故：*=*+%_】；

(3)(1+X)2+(1+X)3+??■+(1+X)n+1的展開式中，含/項(xiàng)的系數(shù)為：

戲+C2+C4+…+鬣+i=Cj++C4+…+鬣+i—+C4+…+C卷+1

=+牖+…+髭+1=W+1+鬣+1=髭+2?

【解析】(1)由楊輝三角的第8行結(jié)合組合數(shù)公式化簡(jiǎn)即可求解；(2)利用組合數(shù)公式化簡(jiǎn)即可證明;

(3)由二項(xiàng)式定理以及組合數(shù)公式化簡(jiǎn)即可求解.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由f(x)=Cie2”+(2-a)e，—x,=2ae2x+(2—a)ex—1=(2ex—

l)(aex+1),

當(dāng)aNO時(shí)，令/(x)=0得x=Ing,

所以在(一8,1《)上［(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

在。吟,+8)上［(X)>0,單調(diào)遞增，

當(dāng)a<0時(shí)，令/''(X)=0得x=In；或x=ln(—；),

若ln^<ln(-；),即一2<a<0時(shí)，在(-8,ln3上f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

在。11丸111(一；))上(0)>0,f(x)單調(diào)遞增，

在(ln(-》,+8)上/。)<0,f(x)單調(diào)遞減，

若In：=即一2=a時(shí)，在(-8,+oo)±f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

若In">即a<-2時(shí)，在(-8/n(-；))上((x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

在(ln(-；),ln》上「⑺>0,/(x)單調(diào)遞增，

在。1^,+8)上(@)<0,單調(diào)遞減，

綜上所述，當(dāng)a20時(shí)，f(x)在(一8,尾)上單調(diào)遞減，在(尾,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)一2<a<0時(shí)，/(x)在+8)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)Q=-2時(shí)，f(%)在(-8,+8)單調(diào)遞減,

當(dāng)。<一2時(shí)，/(%)在(一8,皿一；))，(In：,+8)上單調(diào)遞減，在(皿一，),尾)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知當(dāng)QN0時(shí)，/㈤在(一8,嗎)上單調(diào)遞減，在(In：,+8)上單調(diào)遞增，

/(x)min=/(Inj)=ae2ln^+(2-a)elnl-ln|=aeln5+(2-a)e尾+m2=*+(2-Q)x打

ln2=一*+ln2ef

若f(%)有兩