第6講函數(shù)y=Asin(wx+φ)的圖像與性質(zhì)及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

PAGE用心愛心專心第6講函數(shù)y=Asin(wx+φ)的圖像與性質(zhì)及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用★知識(shí)梳理形如的函數(shù)：（1）幾個(gè)物理量：A―振幅；―頻率（周期的倒數(shù)）；―相位；―初相；（2）函數(shù)表達(dá)式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點(diǎn)確定，（3）函數(shù)圖象的畫法：①“五點(diǎn)法”――設(shè)，令＝0，求出相應(yīng)的值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；②圖象變換法：這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法。（4）函數(shù)的圖象與圖象間的關(guān)系：①函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左（>0）或向右（<0）平移個(gè)單位得的圖象；②函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象；③函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)的圖象；④函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上（）或向下（），得到的圖象。要特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移個(gè)單位，（5）研究函數(shù)性質(zhì)的方法：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的看成中的，但在求的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和的符號(hào)，通過誘導(dǎo)公式先將化正?！镏仉y點(diǎn)突破1.重點(diǎn)：熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法則處理與圖象間的關(guān)系2.難點(diǎn)：將三角函數(shù)式化為的過程以及已知的圖象求參數(shù)的過程3.重難點(diǎn)：合理利用三角變換公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)解析式，分析圖象特征求參數(shù)值，研究三角函數(shù)的性質(zhì)以及解析一些實(shí)際問題。(1).三角函數(shù)的性質(zhì)要熟記。問題1(廣東省五校2008年高三上期末聯(lián)考)定義行列式運(yùn)算=.將函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為 A． B． C． D．點(diǎn)撥:本題考查了信息的處理、遷移和應(yīng)用能力以及三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)．=2cos(x+)左移n2cos(x+n+),因此，n=選C（2）對(duì)三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性和平移變換要熟練掌握問題2.(潮州市2008~2009學(xué)年度第一學(xué)期高三級(jí)期末質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)的一部分圖象如右圖所示，則函數(shù)可以是 A BC D點(diǎn)撥:用代入法,結(jié)合周期為及對(duì)稱性可知選D（3）重視三角函數(shù)的應(yīng)用題問題3.某港口水的深度（米）是時(shí)間(,單位：時(shí))的函數(shù)，記作,下面是某日水深的數(shù)據(jù)：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0經(jīng)常期觀察，的曲線可以近似的看成函數(shù)的圖象，根據(jù)以上的數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的近似表達(dá)式為.解析:從表可以看出，當(dāng)t＝0時(shí)，y＝10，且函數(shù)的最小正周期∴b＝10，由得，由時(shí)得∴,∴的近似表達(dá)式為，★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1函數(shù)圖象變換問題題型:將幾何條件轉(zhuǎn)化為參數(shù)的值.［例1］（2008·廣東省惠州市高三第二次調(diào)研考試）將函數(shù)的圖象先向左平移，然后將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），則所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）．A． B． C． D．【解題思路】直接按變換法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化［解析］的圖象先向左平移，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮x．【名師指引】三角函數(shù)圖象變換問題一般步驟是先平移再伸縮.【新題導(dǎo)練】1．（2008·東莞五校聯(lián)考題）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像，則等于（）A、 B、 C、 D、解析．C．［將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到］2．我們知道，函數(shù)的圖象經(jīng)過適當(dāng)變換可以得到的圖象，則這種變換可以是A．沿x軸向右平移個(gè)單位 B．沿x軸向左平移個(gè)單位C．沿x軸向左平移個(gè)單位 D．沿x軸向右平移個(gè)單位解析：選B考點(diǎn)2確定函數(shù)解析式問題題型1:分析圖形定參數(shù)yx11O例1.(08海南、寧夏省)已知函數(shù))在區(qū)間的圖像如下：那么＝（）yx11OA．1 B．2 C． D．【解題思路】在解析式中的值由周期確定,從圖象分析周期為【解析】由圖象知函數(shù)的周期，所以答案：B【名師指引】確定函數(shù)的解析式就是確定其中的參數(shù)等，從圖像的特征上尋找答案，它的一般步驟是:主要由最值確定，是由周期確定，周期通過特殊點(diǎn)觀察求得，可由點(diǎn)在函數(shù)圖像上求得，確定值時(shí)，注意它的不唯一性，一般要求中最小的．題型2.分析圖象特征確定參數(shù)再求值例2.（廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008學(xué)年高三第二次階段測(cè)試試已知向量，（），函數(shù)且f(x)圖像上一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，與之相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)求f(x)的解析式。（2）在△ABC中，是角所對(duì)的邊，且滿足，求角B的大小以及f(A)取值范圍?！窘忸}思路】將條件代入求參數(shù),分析角之間的關(guān)系求值.解析：(Ⅰ)………1分………2分…………………3分∵f(x)圖像上一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，與之相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為.∴,所以,于是…4分…………5分（2）∵，∴，…7分又，∴…8分，∵，∴，可知…10分…12分【名師指引】.按確定的解析式的一般步驟定參數(shù).題型3.分析圖表確定參數(shù)再研究函數(shù)的性質(zhì)例3.已知函數(shù)的一系列對(duì)應(yīng)值如下表：（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)的一個(gè)解析式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若函數(shù)周期為，當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【解題思路】分析圖表發(fā)現(xiàn)周期性、最值、對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)確定參數(shù).借助數(shù)形結(jié)合討論方程的解.解：（1）設(shè)的最小正周期為，得……..2分由得又，解得……..3分令，即，解得∴……..5分（2）∵函數(shù)的周期為又∴……..6分令，∵∴……..8分如圖在上有兩個(gè)不同的解的充要條件是∴方程在時(shí)恰好有兩個(gè)不同的解的充要條件是，即實(shí)數(shù)的取值范圍是……..12分【名師指引】高考中三角函數(shù)的大題往往在知識(shí)的交匯處入手.【新題導(dǎo)練】3．函數(shù)的圖像的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)為和，且該函數(shù)的最大值為2，最小值為－2，則該函數(shù)的解析式為（）A、B、C、D、解析A．［由圖像的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)為和得，由最大值為2，最小值為－2知，又函數(shù)過點(diǎn)得，故，而，故，從而所求函數(shù)為]4．若函數(shù)的圖像（部分）如下圖所示，則和的取值是（）A、B、C、D、解析．C［由解出即可］5.已知函數(shù)(，)為偶函數(shù)，且其圖像上相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間距離為.=1\*GB2⑴求的解析式；=2\*GB2⑵若，求的值。解析：=1\*GB2⑴設(shè)最高點(diǎn)為，相鄰的最低點(diǎn)為，則|x1–x2|=∴，∴，∴………（3分）∴，∵是偶函數(shù)，∴，.∵，∴，∴……………(6分)=2\*GB2⑵∵，∴………………(8分)∴原式考點(diǎn)3三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用題型1.形如的建模［例1］（2006·廣東模擬）如圖某地夏天從8～14時(shí)用電量變化曲線近似滿足函數(shù)．（1）求這一天的最大用電量及最小用電量；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．【解題思路】在實(shí)際背景中抽取出基本的數(shù)學(xué)關(guān)系是解題的關(guān)鍵所在［解析］（1）最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度．（2）觀察圖像可知，從8～14時(shí)的圖像是的半個(gè)周期的圖像．∴．∵，∴，∴將代入上式，解得∴所求解析式為．【名師指引】①將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型．②利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型．題型2.分析平面圖形建立三角函數(shù)模型［例2］如圖，是單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上，,四邊形的面積為（Ⅰ）求的最大值及此時(shí)的值；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，在（Ⅰ）的條件下，求【解題思路】由單位圓聯(lián)想到三角函數(shù)的定義解析：（Ⅰ）由已知，，的坐標(biāo)分別為，又故的最大值的最大值是，此時(shí)（Ⅱ）【名師指引】分析實(shí)際問題時(shí),若發(fā)現(xiàn)變量既與長(zhǎng)度有關(guān)又與角度有關(guān)時(shí),可考慮將變量設(shè)成角度.題型3.利用三角與函數(shù)綜合知識(shí)建立模型例3.如圖,某小區(qū)準(zhǔn)備在一直角圍墻內(nèi)的空地上植造一塊“綠地”,其中長(zhǎng)為定值,長(zhǎng)可根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)節(jié)(足夠長(zhǎng)).現(xiàn)規(guī)劃在的內(nèi)接正方形內(nèi)種花,其余地方種草,且把種草的面積與種花的面積的比值稱為“草花比”.(Ⅰ)設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式；(Ⅱ)當(dāng)為多長(zhǎng)時(shí),有最小值?最小值是多少?【解題思路】由條件知需找到邊與角的關(guān)系,分析圖形建模.解:(Ⅰ)因?yàn)?所以的面積為()設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,則由,得,解得,則所以,則(Ⅱ)因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí).所以當(dāng)長(zhǎng)為時(shí),有最小值1【名師指引】三角與函數(shù)綜合知識(shí)建立模型是近兩年高考的熱點(diǎn)題型之一.【新題導(dǎo)練】6.某港口的水深（米）是時(shí)間（0≤≤24，單位：小時(shí)）的函數(shù)，下面是不同時(shí)間的水深數(shù)據(jù)：根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖像．（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出的表達(dá)式；（2）一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離不少于4．5米時(shí)是安全的，如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港?若該船欲當(dāng)天安全離港，則在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長(zhǎng)時(shí)間?（忽略進(jìn)出港所用的時(shí)間）?［解析］（1）從擬合曲線可知：函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)由最大變到最小需9－3＝6小時(shí)，此為半個(gè)周期，所以函數(shù)的最小正周期為12小時(shí)，因此．又當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；故于是所求的函數(shù)表達(dá)式為了．（2）由于船的吃水深度為7米，船底與海底的距離不少于4．5米,故在船舶航行時(shí)水深應(yīng)大于等于7＋4．5＝11．5（米）．令故?。?，則1≤≤5；?。?，則13≤≤17；而?。?時(shí)，則25≤≤29（不合題意）．從而可知船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時(shí)間最長(zhǎng)，就應(yīng)從凌晨1點(diǎn)（1點(diǎn)到5點(diǎn)都可以）進(jìn)港，而下午的17點(diǎn)（即13點(diǎn)到17點(diǎn)之間）前離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最長(zhǎng)為16小時(shí)．7.已知中，，，，ＡＢＣ120ＡＢＣ120°（1）求關(guān)于的表達(dá)式；（2）求的值域；解：（1）由正弦定理有：；∴，；∴（2）由；∴；∴★搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1．（廣東省六校2009屆高三第二次聯(lián)考試）將函數(shù)的圖象先向左平移，然后將所得圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），則所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）．A． B．C． D．解析：將函數(shù)的圖象先向左平移得，然后將所得圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜眠xC2．函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值是（）ABCD解析：C當(dāng)時(shí)，，而是偶函數(shù)3.函數(shù)的圖象如圖，則的解析式和的值分別為（） A．， B．， C．， D．，解析：B觀察圖形知，，只知，，，，，且以4為周期，，，∴.4．若在區(qū)間上的最大值是，則=________解析：5．（廣東省北江中學(xué)2009屆高三上學(xué)期12月月考）已知的圖象如右圖04（Ⅰ）求的解析式；04（Ⅱ）說明的圖象是由的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?解:(1)由圖知A=4由,得所以由,得所以,(2)①由得圖象向左平移單位得的圖象②再由圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來得的圖象③由的圖象縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4倍得的圖象綜合拔高訓(xùn)練6．已知存在實(shí)數(shù)（其中）使得函數(shù)是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)。（1）試用觀察法猜出兩組與的值，并驗(yàn)證其符合題意；（2）求出所有符合題意的與的值。解：（1）猜想：或；4分由知，而為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)。6分由知，而為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)。8分（2）由為奇函數(shù)，有所以，又，解得。10分當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，由于在上是增函數(shù)，所以，由，又在上是增函數(shù)，故有，且或，故。12分當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，由于在上是增函數(shù)，所以，由，又在上是增函數(shù)，故有，且或2，故14分所以所有符合題意的與的值為：或16分7．已知矩形紙片ABCD中，AB=6，AD=12，將矩形紙片的右下角折起，使該角的頂點(diǎn)B落在矩形的邊AD上，且折痕MN的兩端點(diǎn)，M、N分別位于邊AB、BC上，設(shè)。ABCDMN（ⅰABCDMN（ⅱ）求的最小值。如圖所示，，則MB=