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文檔簡介

§4.1

定積分的概念和性質

CONTENT1

引例2

定積分的概念目錄3

定積分的性質引例Chapter1

一、曲邊梯形的面積曲邊梯形是指由連續(xù)曲線,直線及

x

軸所圍成的平面圖形.問題：如何計算曲邊梯形的面積

A？

一、曲邊梯形的面積1.分割：在區(qū)間

中用

n-1個點分成

n

個小區(qū)間,記

將曲邊梯形分成

n個小曲邊梯形.令每個小曲邊梯形的底邊長為

一、曲邊梯形的面積2.近似：討論第i個小曲邊梯形,記面積為,在區(qū)間

上任取一點,以

為高作一個小矩形,矩形的長為,高為,那么曲邊梯形的面積

近似等于矩形面積,即

一、曲邊梯形的面積3.作和：對于大曲邊梯形來說,用同樣的方法,將剩下的

n-1個小曲邊梯形面積計算出來,然后作和即為大曲邊梯形的面積,即

4.取極限：當分割越來越細,且每個小區(qū)間的長度越來越小時,上述近似值就越來越接近于精確值

A.記,則當

時,所有小區(qū)間的長度

都趨于零,于是

二、收益問題問題：設某商品的價格是購買量Q的函數(shù)(其中Q為連續(xù)變量),當購買量從

a

變動到

b時的收益

R

是多少？1.分割：用

n-1個點

把區(qū)間[a,b]分成

n

個小區(qū)間,每個購買量段

上的購買量為,相應的收益為

從而總收益為

二、收益問題2.近似：當

很小時,在小區(qū)間

上變化也很小,可近似看作價格不變,任取一點,把

作為該段的近似價格,因此該段的近似收益為3.作和：將n

段的收益加起來,即得收益R

的近似值4.取極限：當分割越來越細,且每個小區(qū)間的長度越來越小時,上述近似值越來越接近于精確值

R.記,于是

二、收益問題共同點：曲邊梯形的面積和收益問題的計算,都采取了“分割—近似—作和—取極限”這些步驟,從而轉為相同結構和式的極限定積分的概念Chapter2

一、定積分的定義

一、定積分的定義積分和

一、定積分的定義

二、定積分存在定理

三、定積分的幾何意義幾何意義：

三、定積分的幾何意義幾何意義：定積分的性質Chapter3

一、定積分的性質性質1、2(線性性質)

(其中

為常數(shù)).性質3(積分可加性)

一、定積分的性質性質4如果在區(qū)間

上,,則

性質5如果在

上,,則

性質7性質6如果在區(qū)間

上,,則

一、定積分的性質性質8如果在區(qū)間

上,,則

一、定積分的性質性質9(積分中值定理)設

在區(qū)間

上連續(xù),則在區(qū)間

內至少存在一點

c,使得

注：數(shù)

稱為函數(shù)

在區(qū)間

上的平均值.

幾何解釋

積分中值定理的幾何意義在區(qū)間

上至少存在一點

使以區(qū)間

為底邊,以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為

的矩形的面積.

練習例1

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