舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第4講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

□知識梳理

1.直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為&圓的半徑為r)

相離相切相交

三

圖形

方程

Zi—<0JB=OΔ@>0

觀點

量化

幾何

d^>r

觀點

2.圓與圓的位置關(guān)系(OQ,Θ”的半徑分別為n,小d=∣0a∣)

外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

?承@?

圖形

畫I乃一

量的關(guān)系國rf>h+n[≡d=rι+土四〃二|力一二！圜水Ih一二|

.I〈水力+n

知識拓展

1.圓的切線方程的常用結(jié)論

(D過圓X?+/=步上一點P(x,,%)的圓的切線方程為Xox+y<iy=r.

(2)過圓(x—a)?+(y—6”=^上一點P(X8,㈤的圓的切線方程為(XO—a)(x—a)+(%—

?)(y-?)=Z

(3)過圓V+/=/外一點"(及，%)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線的方程為X5+

j?y=xr.

2.直線與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論

(1)當(dāng)直線與圓相交時,弦心距(圓心到直線的距離)，半弦長及半徑構(gòu)成一個直角三角形.

g

⑵弦長公式【ΛB?=)1+AIXΛ-XB?

—?l+?2[X,∣+Λ?2-4XfXe].

3.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論

(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)

①內(nèi)含：O條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條.

(2)兩圓相交時公共弦所在直線的方程

設(shè)圓G：Z÷y÷Λ%÷i,∣y÷Λ=O,①

圓C：X÷y÷β%÷?y÷∕?=O,②

若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①一②所得，即(〃一功)x+3

-β)y+(fl-Λ)=0.

(3)兩個圓系方程

①過直線Ax+By+C=Q與圓X+y+Dx+Ey+F=Q交點的圓系方程為x+y÷Z?+iy

+尸+R(A?r+By^?^0=0(Λ∈R)；

②過圓G：*+/+〃χ+瓦r+內(nèi)=0和圓C：x?+/+〃x+氏y+K=O交點的圓系方程為

X+y+flx+5y+Λ+R(X+y÷Z?x+βy+∕?)=0(4#一1)(其中不含圓Ci,所以注意檢驗

C是否滿足題意，以防丟解).

□雙基自測

1.(2021?北京西城區(qū)模擬)過原點且傾斜角為60°的直線被圓3+7—4尸0截得的弦

長為()

A.√3B.2

C.√6D.2√3

答案D

解析直線方程為y=√5x,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為歲+(尸2)2=4,則圓心(0,2)到直線的距

離d=∣√5jθ-2∣=],所以所求弦長為2X”=T=2√l

2.圓0：/+/-4?=0在點—(1,4)處的切線方程為()

A.x+??βy—2=0B.x+-?∣3y-4=0

C.x—#y+4=0D.χ-??∕3y+2=0

答案D

解析?.?∕?1,在圓QX?+/—4x=0上，；.切線方程為X—，5y+2=0.

3.對任意的實數(shù)X,直線y=取-1與圓Gf+∕-2χ-2=0的位置關(guān)系是()

A.相離

B.相切

C.相交

D.以上三個選項均有可能

答案C

解析直線1恒經(jīng)過點4(0,-1),圓f+/—2x—2=0的圓心為C(l,0),半

徑為乖,而|附=也<m，點"在圓內(nèi)，故直線尸在才一1與圓/+/—2L2=0相交.故

選C.

4.(2022?云南麗江模擬)圓G：(x+2)?+(y—2)2=4和圓G：(?-2)2+(y-5)2=16

的位置關(guān)系是()

A.相離B.相交

C.內(nèi)切D.外切

答案B

解析易得圓G的圓心為G(—2,2),半徑n=2,圓C的圓心為C(2,5),半徑方=4,

圓心距IGG1=、［2——21+5—2z=5<2+4=八+乃,又IGGl>4—2,所以兩圓相交.

5.圓X+y—4=O與圓X+y-4x+4y-12=0的公共弦所在的直線方程為

答案x-y+2=0

解析將兩圓方程相減，得4*—4y+8=0,即*—y+2=0.

6.若P(2,-1)為圓C-.(?-l)2+∕=25的弦4?的中點，則直線四的方程是

答案x—y—3=0

解析?.?C(1,O),；.直線。5的斜率為-1,即直線48的斜率為1,.?.直線四的方程為y

+1=1X(x—2),即x—j-3=0.

核心考向突破I

考向一直線與圓的位置關(guān)系

例1(1)(2021?山東新泰一中月考)直線ax+6y—a—6=0叵+4#0)與圓/+y—2

=0的位置關(guān)系為()

A.相離B.相切

C.相交或相切D.相交

答案C

解析由已知，得圓的圓心為(0,0),半徑為明,圓心到直線的距離為葛今,其中(a

+6)2≤2(a2+?2),所以圓心到直線的距離所以直線與圓相交或相切，故選C.

(2)圓/+/=1與直線y=kx+2沒有公共點的充要條件是.

答案?∈(-√3,√3)

解析解法一：將直線方程代入圓的方程，得&+Df+4取+3=0,直線與圓沒有公

共點的充要條件是/=16〃2—12(后+1)V0,解得(一^?∕5,√3).

2

解法二：圓心(0,0)到直線尸4x+2的距離d=-^,直線與圓沒有公共點的充要條

y]7k+l

件是rf>l,即1/2>b解得Ae(-yβ,?/?)

√A+1

觸類旁通判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的兩種方法

判別式R°=相交，

(1)代數(shù)法:—?〈=00相切,

∕=b2-4ac[<0u>相離.

(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑「的大小關(guān)系判斷：水，=相交，4r=

相切，/2相離.

即時訓(xùn)練1.(2021?陜西四校聯(lián)考)直線ax-by=Q與圓x2+∕-ax+?y=O的位置

關(guān)系是()

A.相交

B.相切

C.相離

D.不能確定，與a,6取值有關(guān)

答案B

將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x—9+(y+5=且芋,

解析所以圓心坐標(biāo)為

一+Z∕

半徑片空.因為圓心到直線…。的距離看高=守="所以直線與圓

相切.故選B.

2.已知點P(a,A(a8W0)是圓V+/=產(chǎn)(》0)內(nèi)的一點，直線如是以夕為中點的弦所

在的直線，直線/的方程為ax+g=r2,那么()

A.m//1,且/與圓相交

B.mYl,且/與圓相切

C.m//1,且，與圓相離

D.nιLl,且/與圓相離

答案C

解析:,點、P(a,6)(aZ)#O)在圓內(nèi)，.../+4＜式圓V+/=/的圓心為os,。)，故由題

意得相10,又直線/的斜率為人一齊鼠圓心。到直線，的距離

d=~^j:〉—=m//1,/與圓相離.故選C.

精準(zhǔn)設(shè)計考向，多角度探究突破

考向二直線與圓的綜合問題

角度1圓的切線問題

例2(2021?江西新余模擬)已知點P(m+l,2—啦)，點M(3,1),圓C：(A—I)2+(y

―2)2=4.

(1)求過點P的圓C的切線方程;

(2)求過點必的圓C的切線方程，并求出切線長.

解由題意，得圓心C(l,2),半徑r=2.

(1)?.?(√2+1-1)2+(2-√2-2)2-4,

.?.點尸在圓C?上.

2一/一2

又Ak=1,

√2+l-l

二切線的斜率"=—；=1,

過點P的圓C的切線方程是y-(2—√^)=lX[x—(啦+1)],即χ-y+l-2√2=0.

(2)；(3-1尸+(1-2)2=5>4,.?.點材在圓C外部,

當(dāng)過點."的直線斜率不存在時，直線方程為x=3,即x—3=0.

又點C(1,2)到直線χ-3=0的距離d=3-l=2=r,

即此時滿足題意，所以直線x—3=0是圓的切線.

當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為JZ—?=k(x—3),即A—y+1—3k=0,

∣A-2+l-3ACQ出，3

則圓心C到切線的距離為d=R+1=r=2,解得k=~

3

，切線方程為y—l=Z(x—3),即3x—4y—5=0.

綜上可得，過點步的圓。的切線方程為才一3=0或3x—4y-5=0.

V?MC?=√3-12+1-22=√5,

.?.過點"的圓C的切線長為YIJrr—∕=√口=L

I觸類旁通.圓的切線方程的求法

(1)幾何法：設(shè)切線方程為y—%=A(X—X。)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切

線的距離4然后令d=r,進(jìn)而求出上

(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y-%=Hχ-施)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個

一元二次方程，然后令判別式?=0,進(jìn)而求得k.

即時訓(xùn)練3.（2021?安徽江南十校第二次聯(lián)考）已知兩個定點/1（-1,0）,8（2,0）,動

點P（x,y）到點A的距離是它到點8距離的2倍.

（1）求點。的軌跡會

（2）若過點C（l,1）作軌跡A的切線，求此切線的方程.

解⑴設(shè)動點PG,D,則∣Λ4∣=2∣陽坐標(biāo)代入得√x+l2+/-

2yj~x~2~~^+y,

化簡得（x—3尸+/=4,所以動點戶的軌跡￡是以（3,0）為圓心，2為半徑的圓.

（2）因為（1-3）2+J=5>4,所以點（1,1）在圓￡的外部.

I9k+1I3

當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)/：y—1=MX—1）是圓￡的切線，則有子=『=2=〃=*

Λ√A+14

當(dāng)切線斜率不存在時，hX=I恰好與圓夕切于點（1,0）.

綜上，得切線方程為x=l或3A--4y+1=0.

角度2圓的弦長問題

例3⑴過點（一4,0）作直線/與圓√+√+2%-4y-20=0交于4,6兩點，若1面=8,

則直線/的方程為（）

Λ.5x+12y+20=0

B.5x+12y÷20=0或x+4=0

C.5χ-12y+20=0

D.5χ-12y+20=0或x+4=0

答案B

解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方+1產(chǎn)+（尸2）2=25,由I初=8知,圓心（一1,2）到直線/的

距離d=3.當(dāng)直線/的斜率不存在，即直線/的方程為X=-4時，符合題意.當(dāng)直線/的斜

I?k—215

率存在時，設(shè)直線1的方程為y=A(x+4),即kχ-y+4k=0,則有一7=三=^=3,k=——

yjk+11，

此時直線1的方程為5x+12y+20=0.綜上，直線1的方程為5x+12y+20=0或x+4=0.

（2）已知直線/：勿x+y+3m—，5=0與圓V+/=12交于4〃兩點，過6分別作/

的垂線與X軸交于C,〃兩點.若恒冽=2#,則ICZZ=.

答案4

解析由題意可知直線/過定點（一3,√3）,該定點在圓夕+/=12上，不妨設(shè)點力（一

3,√3）,由于"氐=24，r=2√3,

所以圓心到直線4?的距離為√=√2√32-√32=3,又由點到直線的距離公式可

得d=與普=3,解得加=一半，所以直線1的斜率4=一加號，即直線1的傾斜角為

√√+l??

30°.如圖，過點C作M劭，垂足為4所以IaI=24,在Rt46W中，NHCD=30°，

所以切=CO%=4?

觸類旁通J求直線被圓截得的弦長的常用方法

(1)幾何法：直線被圓截得的半弦長(弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，且f=

(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或力的一元二次方程，由根

與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長∣48∣=Y1+爐.∣a?i-χ2∣=W+川?4~Xι+X2~2-4xιA?或

2

=N1+*y∣-J?l=??l+?p?7~y∣+∕2~-4y1j^(A≠0).

即時訓(xùn)練4.(2021?甘肅蘭州模擬)若322+3爐-4°2=0,則直線ax+"+c=O被圓

O-./+爐=1所截得的弦長為()

2

氏1

3一

13

--

2D.4

答案B

ΛI(xiàn)/?I?∕Q

1

解析因為一十斤=2,所以圓心0(0,0)到直線3x+by+c=0的距離d=??-

3γ∣a+lf2

<1,所以直線ax+"+c=0被圓V+∕=l所截得的弦長為久/7=7=2xg=l,故選B.

5.(2021?蘇北四市模擬)若直線ax+y+l=O被圓f+/—2ax+a=0截得的弦長為2,

則實數(shù)a的值是.

答案一2

解析圓V+/—2ax+a=0可化為(X—a)'+∕=a"-a,圓心為(a,0),半徑為y/a'—a,

a^+1

圓心到直線的距離為d==y∣a+1.?.?直線ax+y+l=O被圓x+y-2ax+a=O截得

^7a2÷l

的弦長為2,Λa+l+l=a-a,a=—2（符合3-a>O）.

考向三兩圓的位置關(guān)系

例4(1)圓G：(x+l)2+(y-2)2=4與圓C：(x—3)'+(廣2產(chǎn)=4的公切線的條數(shù)是

()

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析圓G：(X+D'+CK—2)2=4的圓心為(一1,2),半徑為2,圓C：(%-3)2+(y-

2)2=4的圓心為(3,2),半徑為2,兩圓的圓心距GGI=N一「3』2—2'=4=2+

2,即兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，故兩圓相外切，故公切線的條數(shù)為3.故選C.

(2)(2021?河南新鄉(xiāng)模擬)若圓G1+5—4)2=18與圓Z?(X—1>+(y-l)?=*的公

共弦長為6√L則圓〃的半徑為()

A.5B.2√5

C.2√6D.2√7

答案D

解析由題意得，圓。與圓〃的公共弦所在直線方程為2χ-6y=4-*,因為公共弦長

為6啦，為圓。的直徑，所以直線2χ-6y=4-外經(jīng)過圓C的圓心(0,4),即2X0-6X4=4

一"，則外=28,所以圓〃的半徑為2√7.故選D.

觸類旁通

1.判斷兩圓位置關(guān)系的方法

常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關(guān)系，一般不用代數(shù)法.

2.兩圓公共弦長的求法

先求出公共弦所在直線的方程，在其中一圓中，由弦心距4半弦長/半徑r構(gòu)成直角

三角形，利用勾股定理求解.

2

即時訓(xùn)練6.(2022?廣西欽州模擬)若圓。：x+√=5與圓Oi?.(%+ffl)+√=20相

交于48兩點，且兩圓在點4處的切線互相垂直，則線段/8的長度是()

A.3B.4

C.2√3D.8

答案B

解析由題意知Q(0,0)與Q(一而,0),根據(jù)圓心距大于半徑之差而小于半徑之和，可得

iΛD

√5<∣Λ7∣<3√5.再根據(jù)題意可得44，力“，.?.Λ∕=5+20=25,.?.R=±5,.??F-X5=2乖X√3,

解得I四I=4.故選B.

7.已知圓。與圓/+V+iOx+io尸0相切于原點，且過點4(0,-6),則圓。的標(biāo)準(zhǔn)

方程為.

答案(x+3)2+(y+3)2=18

2

解析設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(χ-a)2+(7-?)=?,其圓心為C{a,6),半徑為r(r>0).；

X+y+10x+IOy=O可化為(x+5)2+(y+5)2=50,，其圓心為(一5,-5),半徑為5√2.

???兩圓相切于原點0,且圓C過點(0,-6),點(0,-6)在圓(*+5)2+(y+5)2=50內(nèi)，.?.

兩圓內(nèi)切，

僅+4=/,

??7~a+5~7÷~6+5~5=5yβ-r,

L0—a2÷—Q—b'-r,

解得a=—3,b=-3,r=3√L.?.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+(y+3)2=18.

課時作業(yè)I

1.直線儂-y+2=0與圓「+/=9的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切

C.相離D.無法確定

答案A

解析圓f+∕=9的圓心為(0,0),半徑為3,直線加x—y+2=0恒過點4(0,2),而0"

+22=4<9,所以點力在圓的內(nèi)部，所以直線加r—y+2=0與圓f+∕=9相交.故選兒

2.過點P(2,4)作圓('—I)?+(y—1)2=1的切線，則切線方程為()

A.3x+4y-4=0

B.4x—3y+4=0

C.X=2或4x—3JH-4=0

D.y=4或3x+4y—4=0

答案C

解析當(dāng)斜率不存在時，直線x=2與圓相切；當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線方程為y—4=A(x

Ik—1+4—2k?4

—2),即女才一y+4—2A=0,則=1,解得A=于切線方程為4χ-3y+4=0.

y∣∕c+lO

綜上，得切線方程為x=2或4x—3y+4=0.

3.(2022?河南洛陽一高月考)兩圓G：V+∕+2X—6y—26—0?C：x^?^y—4x+2y+4

=0的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.外切

C.相交D.外離

答案A

解析由于圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+。-3)2=36,故圓心為G(—1,3),半徑為6；

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2尸+。+1)2=1,故圓心為C(2,-1),半徑為L因此，兩圓的圓心

距IGGI=、-1-2』3+12=5=6—1,顯然兩圓內(nèi)切.

4.若圓G：Y:+/=1與圓C：6x—8/+必=0外切，則加=()

A.21B.19

C.91).-11

答案C

解析圓。的圓心為G(0,0),半徑r∣=l,因為圓C的方程可化為(A-3)2+(L4)2=

25-/?,所以圓G的圓心為C(3,4),半徑r=町25-而(欣25).從而IGGl=√行不=5.由兩

圓外切得IGCI="+々，即1+Λ∕25-W=5,解得0=9,故選C.

5.(2021?北京高考)己知圓C：*'+∕=4,直線，：尸kx+m,當(dāng)在變化時，，截得圓

C弦長的最小值為2,則r=()

A.±2B.±√2

C.±√3D.土乖

答案C

解析由題可得圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線的距離d=√7+i則弦長為

2\^4一甘開，則當(dāng)在=°時，弦長取得最小值為2>4-R2=2,解得必=士√1故選C.

6.(2022?吉林長春高三上質(zhì)量監(jiān)測(一))已知圓G(χ-2)2+(y-3)2=2,直線/過點

/(3,4)且與圓C相切，若直線,與兩坐標(biāo)軸的交點分別為MN,則=()

A.5√2B.6

C.7√2D.8

答案C

解析易知4(3,4)為切點，丘=1,所以直線/的斜率為-1,所以/：y=-χ+7,所

以"(0,7),M7,0),貝IJl珈=7√1故選C.

7.已知圓G：V+/—2x—4y—4=0與圓G：V+∕+4χ-10y+25=0相交于4,B兩

點，則線段力8的垂直平分線的方程為()

A.Λ+y—3=0B.X—y+3=0

C.x÷3y-1=0D.3x—y+l=0

答案A

解析由題設(shè)可知線段4?的垂直平分線過兩圓的圓心G(1,2),β(-2,5),又k(λ(2=

5-2

1,故線段16的垂直平分線的方程為y—2=—(x—1)，即x+y—3=0,故選A.

-2-1

8.由直線尸x+1上的一點向圓(x—3)"+∕=l引切線，則切線長的最小值為()

A.1B.2

C.√7D.3

答案C

解析設(shè)圓心為G尸為直線y=x+l上一動點,過戶向圓引切線,切點設(shè)為M所以I網(wǎng)

=(√T無尸i)*“=NT而二L又因為C(3,0),所以留m=不；0]；,=2√i所

以巾.

∣Λ‰ll=

9.(2021?青海西寧質(zhì)檢)過點Rl,-2)作圓G(X—1尸+7=1的兩條切線，切點分

別為4,B,則四所在直線的方程為()

A尸-理B尸」

「也n1

C.y=一-D.7=--

答案B

解析圓(“一1尸+/=1的圓心為C(l,0),半徑為1,PC?=√1-12+-2-02

=2,以aC為直徑的圓的方程為(χ-l)2+(y+l)2=l,將兩圓的方程相減得/6所在直線的

方程為2y+l=0,即尸一號故選B.

10.圓V+∕+2x+4y-3=0上到直線x+y+l=0的距離為小的點共有()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

答案C

解析把V+∕+2x+4y-3=0化為(x+l)Z+(y+2)2=8,圓心為(一1,-2),半徑r

=2√2,圓心到直線的距離為電，所以在圓上共有三個點到直線的距離等于班.

11.(2022?江西上饒摸底)在平面直角坐標(biāo)系Xa中，已知圓GX4χ=o及點4(一

1,0),6(1,2).在圓C上存在點尸，使得∣∕<+闋2=]2,則點。的個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

答案B

解析設(shè)尸(x,0,則(*—2產(chǎn)+/=4,IPA?2+?PB?i=(X+1)2+(J-0)2+(?-l)2+(y

-2)2=12,BP?+y-2y-3=0,即f+(y-l)?=%因為∣2-2∣<Λ/2—0,+O-I々2

+2,所以圓(1一2尸+/=4與圓f+(y—1)2=4相交，所以點尸的個數(shù)為2.故選B.

12.（2020?全國I卷）已知。Mx+y-2x-2y-2=Q,直線/：2x+y+2=0,P為1

上的動點，過點尸作。材的切線目，PB,切點為4B,當(dāng)I掰1?|四|最小時，直線18的方

程為（）

A.2χ-y-l=0B.2x+y-l=0

C.2χ-y+l=0D.2x÷y+l=0

答案D

解析圓的方程可化為（x-l）,+（尸4）2=4,則"（1,1）,點M到直線1的距離為d=

-^?i?^=√5>2,所以直線/與圓相離.依圓的知識可知，點4P,四點共圓，

√22+l2Y

且力以制/,所以|掰|?I第=4叢/“產(chǎn)4x}x∣Λ4∣?∣4I∕∣=4∣Λ4∣,而∣Λ4∣=√T%P?而P=

√TMZ4,當(dāng)直線掰X/時，網(wǎng)最小，l%U=乖，∣Λ4∣*=1,此時I閭?I初最小.直

111尸77X十77，Jx=-1,

線巴〃的方程為y—l=](χ-1),即y=5χ+5,由j

解得Iz=O,所

12x+y+2=0,

以。（一1,0）.所以以ZW為直徑的圓的方程為（χ-D（χ+l）+y（y-l）=O,即/+爐一/一1

=0.兩圓的方程相減可得2x+y+l=0,即為直線四的方程.故選D.

13.（2021?天津高考）若斜率為m的直線與y軸交于點4與圓x2+（y-l）2-l相切于

點6,則I四；=.

答案√3

解析設(shè)直線協(xié)的方程為尸√5X+6,則點-O,力，由于直線四與圓1+（y—D?=

1相切，且圓心為C（0,1）,半徑為1,則與"=1,解得6=—1或。=3,所以∣4C∣=2,因

為|死|=1,故IHI=W然|2一|比『=#.

14.（2020?浙江高考）設(shè)直線hy=kx+b{k>^,圓G：x+y=?,G：（十一4廠+爐

=1,若直線/與G,C都相切，則k=,b=.

一案√2,2√3

"*33

解析由題意，知兩圓圓心G（0,0）,G（4,0）到直線/的距離等于半徑，即^^==1,

√?+l

：〃￥=],所以|〃=|44+引，所以X=0（舍去）或6=—2在，解得在=半，6=一

√Λ+133

15.（2021?湖北“荊、荊、襄、宜”四地七校聯(lián)考）己知圓C經(jīng)過直線x+y+2=0與圓

d+∕=4的交點，且圓C的圓心在直線2x—y-3=0上，則圓。的方程為.

答案(*-3)'+(y-3)2=34

x+y+2=0f

解析解法一:聯(lián)立方程,解得交點坐標(biāo)為力(-2,0),夕(0,—2).弦

x+y=4,

患的垂直平分線方程為y+l=x+l,即X-P=O.弦的垂直平分線過圓心，由

X-V=0,X=3，-----------------

\■。八解得C所以圓心坐標(biāo)為(3,3),半徑r=?所一一2了+3?=

[2X-L3=0,[y=3.N

√34,故所求圓。的方程為(x—3)2+(7-3)2=34.

解法二：設(shè)所求圓C的方程為(f+/—4)+a(χ+y+2)=0,即x+y-?-aχ-?-ay—4+2a

=0,所以圓心為(一*—I),因為圓心在直線2χ-y-3=0上，所以一a+微一3=0,所以a

=-6.所以圓。的方程為f+/一6x—6y—16=0,即(x—3)°+(y—3尸=34.

16.(2022?北京朝陽第一次綜合練習(xí))已知圓C：(X—2尸+/=2.直線7：y=kx-2,

若直線/上存在點P,過點夕引圓的兩條切線7l,力，使得IxL12,則實數(shù)4的取值范圍是

答案[O,+∞)

解析設(shè)Plx,y),因為兩切線71±72,如圖，PALPB,由切線的性質(zhì)定理和切線長定

理，得Λ4L∕1C,PBVBC,?PA?=?PB?,所以四邊形必應(yīng)為正方形，所以|川=I陽=然|

=?BC?,則IPd=2,則點尸的軌跡方程為(X-2)2+∕=4,即點尸的軌跡是以⑵0)為圓心,

2為半徑的圓.

直線/：y=M—2過定點(0,-2),直線方程即kχ-y-2=0,只要直線與P點的軌跡(圓)

124—21

有交點即可，即d=?Lrτ^≤2,解得A20,即實數(shù)4的取值范圍是[O,+∞).

??+1

17.已知直線Z4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與/相切，圓心C在X軸上且在直線

/的右上方.

(1)求圓C的方程；

(2)過點."(1,0)的直線與圓。交于46兩點(力在X軸上方)，問在X軸正半軸上是否存

在定點M使得X軸平分/4陽？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解⑴設(shè)圓心C(a,O)(a＞一習(xí)，

則LFL=2=a=0或a=-5（舍去）.

所以圓C的方程為丁+7=4.

(2)當(dāng)直線4?JLX軸時，X軸平分/4限

當(dāng)直線/6的斜率存在時，設(shè)直線力8的方程為尸A(X—1),ΛU,0),力(汨，y1),8(如

/2)，

[x+y=4

由｛f得（燈+1）V—2ArX+爐-4=0,

y=kχ-?,

2賁六一4

所以Xi+〃=,+],E照=7+].

若X軸平分N4忸

也-

?,Ki,y^2kX?-?tk1.,.z

貝!]kAN=-kQ---：+----;=O=---------：-+-------：—=0=2汨生一（-+1）?（小+蒞）

XLtX2'-tX?^t/一t

2優(yōu)t+1

?2f=0=>1=4,

一+1

所以當(dāng)點N為(4,0)時，能使得X軸平分N4A2?

18.已知圓GV+(y-a)2=4,點/1(1,0).

(1)當(dāng)過點1的圓。的切線存在時，求實數(shù)a的取值范圍；

⑵設(shè)/1也加V為圓C的兩條切線，MN為切點，當(dāng)IJ加=羋時，求,?V所在直線的方

程.

解(1)過點4的切線存在，即點1在圓外或圓上，

...l+a?2*.?.aN√5或aW-#,即實數(shù)a的取值范圍為(-8,-√3]U[√3,+∞).

(2)設(shè)MN與然交于點D,。為坐標(biāo)原點.

易知拗人切，且〃為拗'的中點.

又M=2,

.?.ICD?=q∣J<TMZ=鳴

?lZO?

4,

,6?52√5

..c。S乙IO=而=虧=5'

?MC?

；cosNMCA=^T,

,,IMC?2

??AC?-///=F=r

CosZiifCA2]5

5

ΛI(xiàn)0C?=2,I掰=1,

.?.那是以點/I為圓心，1為半徑的圓/I與圓C的公共弦，圓力的方程為(X—1產(chǎn)+/=1,

圓。的方程為X2+(y-2)2=4或f+(y+2)z=4,

：.MN所在直線的方程為(χ-1)1—f一(夕一2)'÷4=0或(x—I)'+7—1—f—(y

+2)2+4=0,

即x—2y=0或x+2y=0,因此1W所在直線的方程為?-2y=0或x+2y=0.

19.已知圓GV+∕+2χ-4y+3=0.

(1)若圓C的切線在X軸和y軸上的截距相等，求切線的方程；

(2)從圓C外一點P(x?,yl)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標(biāo)原點,且有12M=IPO?,

求以川取得最小值時點尸的坐標(biāo).

解(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l/+。-2)2=