2023年高考數(shù)學壓軸題-圓錐曲線第06講：向量問題三（原卷版）

第四講：向量問題（二）

【學習目標】

基礎目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)，向量的坐標表示及運算；

應用目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線中向量的數(shù)量積，垂直，直角，銳角和鈍角的向量表示;

拓展目標：能夠熟練應用向量的相關(guān)運算，求解相關(guān)的解析兒何中的向量問題（直角，銳角和

鈍角）.

素養(yǎng)目標：通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨立思考和邏輯分析能力，提升學生

的數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

【基礎知識】

解析幾何中，將代數(shù)和幾何聯(lián)系到一起，形成了圖形分析和坐標等的計算，在一定程度上可以進行向量的

計算，達到解決解析幾何的目的，下面是解析幾何中常用的向量的運算，包括：直徑圓中，點與圓的位置

關(guān)系，即在圓上時，對應的角度為直角，在圓內(nèi)，對應的角度為鈍角，在圓外，對應的角度為銳角，并用

向量進行表示，因此在解析幾何中的運算，重點放在點的坐標的表示和計算中.

1、在圓上

直徑所對圓周角為直角，向量的數(shù)量積等于零，即當＜＞為直角時，則IB=O;

2、在圓內(nèi)

直徑所對圓周角為鈍角，即向量的數(shù)量積小于零；當為鈍角時，則［石＜0；

3、在圓外

直徑所對圓周角為銳角，即向量的數(shù)量積大于零；當＜23＞為銳角時，則

【考點剖析】

考點一：直徑圓過定點(已知定點)

例1.已知橢圓W→g?=l(a>b>0)的離心率e=；,過點/(0,-6)和8(α,0)的直線與原點的距離為阻.

⑴求橢圓的方程；

(2)已知定點E(T0),若直線y=b+2化HO)與橢圓交于C,。兩點，問：是否存在出的值，使以CQ為直徑

的圓過E點？請說明理由.

變式訓練1：已知橢圓C的離心率e=4,長軸的左右端點分別為4卜血,0),Λ(√2,θ)

⑴求橢圓C的方程；

⑵設動直線/：y=丘+，與曲線C有且只有一個公共點p,且與直線X=2相交于點。，求證：以P。為直徑的

圓過定點N(LO).

變式訓練2：橢圓。:捺+卷=1（。>6>0）的離心率為J設O為坐標原點，A為橢圓C的左頂點，動直線4

74

過線段4。的中點8,且與橢圓C相交于尸、。兩點.已知當直線4的傾斜角為45。時，?PQ?=~.

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵是否存在定直線4：x=f,使得直線4P、力。分別與，2相交于“、N兩點，且點8總在以線段MN為直徑

的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線右的方程；若不存在，請說明理由.

變式訓練3：已知橢圓C與雙曲線χ2-1=ι有公共焦點，且右頂點為N（2,0）.

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵設直線/:y=h+，”與橢圓C交于不同的A,8兩點（A,B不是左右頂點），若以48為直徑的圓經(jīng)過

點N.求證：直線過定點，并求出定點.

考點二：直徑圓過定點(求定點)

22

例1.設橢圓C：Ar+4=l(a>/>>0)的離心率為:，點A為橢圓上一點，△我明月的周長為6.

alb-2

⑴求橢圓C的方程；

(2)設動直線/號=丘+用與橢圓C有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點0.問：X軸上是否存在定

點M,使得以尸。為直徑的圓恒過定點M?若存在，求出點”的坐標；若不存在，說明理由.

變式訓練1：已知點G(T,0),圓J(X-I)?+/=8,點Q在圓巴上運動，。片的垂直平分線交于點P.

⑴求動點尸的軌跡的方程C;

⑵過點(0,-；)的動直線/交曲線C于48兩點，在N軸上是否存在定點7,使以48為直徑的圓恒過這個

點？若存在，求出點7的坐標，若不存在，請說明理由.

221

變式訓練2：如圖，橢圓E：下v方p=1(。>6>0)的左焦點為不右焦點為月，離心率e=j過6的直線

交橢圓于4B兩點，且△/8用的周長為8.

⑴求橢圓E的方程；

(2)設動直線/：P=H+，”與橢圓E有且只有一個公共點尸，且與直線

x=4相交于點。，試探究：在X軸上是否存在定點M,使得以尸。為直

徑的圓恒過點M?若存在，求出點"的坐標；若不存在，說明理由.

變式訓練3：已知。/I:/+/+?-2。=。，直線/過8(2,0)且與。/交于C,。兩點，過點8作直線4C的平

行線交于點E.

⑴求證：∣以∣+∣E8∣為定值，并求點E的軌跡7的方程；

⑵設動直線〃？=云+機與T相切于點P,且與直線X=3交于點。，在X軸上是否

存在定點收&0),使得以尸。為直徑的圓恒過定點M?若存在，求出M的坐標；

若不存在，說明理由.

考點三：直徑圓過定點(求圓的方程)

3

例L已知定點Z(O,行)，5(0,-√3),動點P與48連線的斜率之積即小%=-7

⑴設動點P的軌跡為G,求G的方程；

⑵若C,。是G上關(guān)于?軸對稱的兩個不同點，直線AC,BD與X軸分別交于點M,N.試判斷以收V為直徑的

圓是否過定點，如經(jīng)過，求出定點坐標；如不過定點，請說明理由.

變式訓練1：如圖所示，橢圓C:J+S=l(a>6>0)的左、右焦點分別為￡、F2,左、右頂點分別為A、

B,P為橢圓上一點，連接尸耳并延長交橢圓于點0,已知橢圓的離心率為Z\P。鳥的周長為8.

⑴求橢圓C的方程；

⑵設點P的坐標為(XoJo).

Ill,

①當國j,而］，沖可成等差數(shù)列時，求點P的坐標;

②若直線尸/、尸8分別與直線'=4交于點〃、N,以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點？若經(jīng)過定點，求出

定點坐標；若不經(jīng)過定點，請說明理由.

【答案】⑴4+且=1;(2)①P(O,√J)或P(0,-百);②過定點(7,0)、(1,0),理由見解析.

43

變式訓練2：已知橢圓uE→[=l(α>6>0)過點/(0,l),離心率為好.

a2b?3

⑴求橢圓C的方程；

(2)過點A作直線/,/與直線y=2和橢圓C分別交于兩點M,N(N與A不重合).判斷以MN為直徑的圓

是否過定點，如果過定點，求出定點坐標；如果不過定點，說明理由.

考點四：點在圓內(nèi)或圓外

例L已知橢圓cJ+,=l(α>6>0),離心率為正，橢圓上任一點P滿足I尸耳∣+∣PKI=4.

⑴求橢圓C的方程；

⑵若動直線y=b-2與橢圓C相交于M、N兩點，若坐標原點?？傇谝訫N為直徑的圓外時，求火的取值

范圍.

22

Xy

變式訓練1：已知橢圓C:R萬ω>?>o),以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積

為8的正方形，斜率為左的直線/經(jīng)過點M(0,1),與橢圓C交于不同兩點A、B.

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵當橢圓C的右焦點廠在以ZB為直徑的圓內(nèi)時，求k的取值范圍.

變式訓練2：已知橢圓C：/+3∕=3,點片，巴分別為橢圓的左、右焦點.

⑴求橢圓C的短軸長和點月，鳥的坐標；

⑵設P(XojO)為橢圓C上一點，且在第一象限內(nèi)，直線工P與N軸相交于點。，若點片在以為直徑的圓

的外部，求毛的取值范圍.

22

變式訓練3：如圖，橢圓C：￡+方=l(.>b>0)的離心率e為去，左頂點為A,直線/過其右焦點尸且與

橢圓交于DE兩點，已知三角形mD面積的最大值為36.

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線NE分別與一條定直線X=Ww>0)交于Λ/N兩點，若

點F始終在以仞V為直徑的圓內(nèi)，求〃7的取值范圍.

【當堂小結(jié)】

1,知識清單：

(1)橢圓，雙曲線，拋物線的基本性質(zhì)；

(2)直徑所對圓周角為W，即向量的數(shù)量積為零；

(3)在圓內(nèi)，所對應的角為鈍角，向量的數(shù)量積小「零；在圓外，所對應的角為銳角，向量的數(shù)量積大于

零；

2、易錯點：圓內(nèi)，圓外的角度翻譯，即向量數(shù)量積與零的大小關(guān)系；

3、考查方法：數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；

4、核心素養(yǎng)：數(shù)學運算，數(shù)學抽象.

【過關(guān)檢測】

fJ?

經(jīng)過點(設右焦點

1.已知橢圓C：7+F=l(a>6>0)/0,-1),F橢圓上存在點。，使。尸垂直于X軸

Wl=y?

⑴求橢圓C的方程;

⑵過點8(0,2)的直線/與橢圓交于RG兩點.是否存在直線/使得以。G為直徑的圓過點E(-l,0)?若存在，求

出直線/的方程，若不存在，說明理由.

2.已知拋物線C：∕=4x,直線/經(jīng)過點/(見0),且與拋物線C交于Λ1,N兩點，其中,">0.

⑴若機=1,且MMI=4,求點W的坐標；

⑵是否存在正數(shù)“，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點。，若存在，請求出正數(shù)〃?，若不存在，請說明

理由.

3.已知焦點在y軸上的拋物線過尸（2,2）

⑴求拋物線的標準方程及準線方程；

⑵已知直線Ly=x+6僅WO）與拋物線交于點A,B,若以45為直徑的圓過原點O,求直線/的方程.

4,已知橢圓C:/V=1（α>b>0）的左、右頂點分別為4,4,上下頂點分別為用，B,四邊形444約

7+F2

4

的面積為4,且該四邊形內(nèi)切圓的方程為

⑴求橢圓C的方程;

⑵直線/：y=h+w（3加均為常數(shù)）與橢圓C相交于M,N兩個不同的點（M,N異于4,4）,若以MN為直

徑的圓過橢圓C的右頂點4,試判斷直線/能否過定點？若能，求出該定點坐標；若不能，請說明理由.

5.已知拋物線C