范圍與最值（練習）（含解析）2023年高考數(shù)學二輪復習

考點7?4范圍與最值

卜維練基礎物

1.（2022?全國?高三專題練習）已知圓錐的高為1,母線長為迷，則過此圓錐頂點的截面

面積的最大值為（）

A.2B.-C.空D.3

23

【答案】D

【分析】先根據(jù)圓錐的高和母線，求出頂角范圍，結合面積公式可得最大值.

【詳解】如圖是圓錐的軸截面，

C

B

由題意母線BC="，高CO=1,

則SinNCBO=表<；,是銳角，

所以NCBO<30，于是得軸截面頂角NAC8>120>90，

設截面三角形的頂角為6,則過此圓錐頂點的截面面積S=gx（指『sin。，

當兩條母線夾角為6=90時，截面面積為S=；x（#）2=3為所求面積最大值，

故選：D.

2.（2022?湖南?長沙一中高三開學考試）已知點A為圓臺。。2下底面圓。2的圓周上一點,

S為上底面圓。/的圓周上一點，且SCb=I,0/。2=石，O2A=I,記直線SA與直線0/。2所

成角為6，則（）

C（C）C（C1八乃冗八

A.6le0,—B.6,e0,—C.θe—D.Oe

I6」13」|_63J

［答案］C

【2■析】根據(jù)線面角的定義確定-ASD=6,再根據(jù)圓的性質計算得解.

【詳解】由題意，設上、下底面半徑分別為叫,用，其中4=1,Λ2=2,

如圖，過S作Sz）垂直下底面于O,則。。2〃5。，

所以直線S4與直線OQz所成角即為直線以與直線SQ所成角，即ZASD=θ,

八ADAD

而3日訪二耳，由圓的性質，?=R2-O2^DO2D+R2=3,

所以tan。=絲=華^√∣

∈,石,所以匹皆

SD√3T

3.（2022?湖北?高三階段練習）已知四面體。一ABC中，AC=RC=AD=BD=X,D-ABC

體積的最大值為（）

?4√2r3√2r2y∕3n√3

2782718

【答案】C

【分析】設M為C。的中點，連接AM,BM設四面體A-BCQ的高為萬，利用等體積法表示

出四面體的體積，利用三個正數(shù)的均值不等式即可求得答案.

【詳解】設M為CO的中點，連接AM,8M,

設四面體A-8CD的高為〃，則∕z≤AM,

由于AC=BC=AD=BD=I,故ACD^BCD,

TT

則ZACD=NBC。,設ZACD=ZBCD=α,α∈(0,^),

則AM=BM=BCsina=sinayCD=2CM=2BCcosa=2cosa,

所以D-ABC=VA-DBC—SBCD?'"'CD'B??'

36

1.21/I；?~；-/1∣2cos2σ+sin2cif+sin2a

=-cosasιna=-=√2cosα?sιιrα?sιna≤_=z∕(-------------------------------)

33√723√j2aV3

2√3

=----，

27

當且僅當平面ACD與平面BCD垂直IzLsina=V^cosa即α=arctan2時取等號，

故選：C

4.(2022?上海市光明中學模擬預測)如圖所示，有邊長為2的正方體ABC。-AqG。，P為

正方體表面的一個動點.若三棱錐A-PBC的體積為3,則∣P2∣的取值范圍是

D1

（分析】根據(jù)三棱錐A-PBC的體積求出點P到平面ABC的距離〃，由此確定點P的軌跡,

結合圖形即可得出答案.

【詳解】設點尸到平面ABC的距離為人，

1213

貝JIVP-ABC=WSABC?M=P=孑,所以〃二1，

3324

如圖在例上取點E,使得4E=g,過點E作平面EFGa//平面ABCD,尸,G,4分別在

4

BB1,CC?,DD1上，

故點尸在四邊形EPGH的邊上，

則當點尸在點H的位置時，IPAl最小，為，

當點P在點F的位置時，|「。|最大，為∣4+4+造=亞，

所以IPql的取值范圍是

5.（2022.河南?南陽中學模擬預測（文））在棱長為3的正方體ABCO-A4G。中，P為AAC"

內一點，若PBQ的面積為逑，則AP的最大值為.

2

【答案】√6+l?ftl+√6

【分析】先證明用。，平面ACA,由條件確定點P的軌跡，由此可求AP的最大值.

【詳解】因為ACJ.BD,AC，BB,.BD,BB∣u平面BDD耳,BDCBBI=B,

所以AC，BQ,同理可證AR_L旦。，又AeARUACR,AC∣AR=4,

所以BQ_L平面AC。，

設BN與平面AoG相交于點。，連接P。，因為尸OU平面AeR,所以BRLPO

22

所以S△用°=g用。Po=乎，又BQ=y∣BD+BB1=3√3,

則Po=1,即點P的軌跡是以。為圓心，1為半徑的圓，

因為B∣A=4C=8Q∣,耳。，平面4(7。，所以OA=OC=On,

又AACR為等邊三角形,且AC=3√L

所以AO=?/e?

所以AP的最大值為遍+1.

故答案為：√6+l?

2維練能力Jll

6.(2022.全國.長垣市第一中學高三開學考試(文))已知三棱錐D-W的頂點都在球。的

球面上，底面，ABC為等邊三角形，且其所在圓。1的面積為6萬.若三棱錐O-ABC的體積的

最大值為9百，則球。的半徑R為()

A.4√2B.3gC.?D?苧

【答案】C

【分析】先計算出S.—再確定當q,O,。三點共線時，三棱錐O-ABC的體積最大時體積

最大，最大時的高是。。+寵，而GO?=尸-6.則根據(jù)體積公式即可求T,R.

【詳解】如圖，ABC所在圓。1即為AA8C的外接圓.

D

因為ABC為等邊三角形，所以A=B=C=60,AB=BC=AC.

由正弦定理可得一7k=2r,解得AB=3√L

sιn60

所以S.c=lA8?AC?sinA=L（3√Σ）2χ且=也.

abc2222

如圖，當α,O,。三點共線時，三棱錐D-AbC的體積最大，最大值為9后，此時Da，平

面A8C,三棱錐的高〃最大，且有l(wèi)χ%gχ∕ι=9√J,解得∕ι=6,OO∣=6-R.

32

在RtMO/中，（6-Rf+6=R2,解得R='

故選：c.

7.（2022.全國?高考真題）已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的

體積為36%,且34∕≤3√L則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

【答案】C

【分析】設正四棱錐的高為/7,由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系,

由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】：球的體積為36萬，所以球的半徑R=3,

設正四棱錐的底面邊長為2a,高為/7,

則尸=2/+*,32=2a2+(3-h)2,

222

所以6∕Z=∕2,2a=l-h

119∕4I2↑(Z6

所以正四棱錐的體積丫=//?=k4八〃=于(/2-三八—)∕4-?

3333669136

5’24-/2

所以S="∣4∕3-∕J=71/「3

6/9、6

當3≤∕≤2"時，V,>0,當2√^<∕≤3√5時，v,<θ,

所以當/=2卡時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為日,

27Q1

又/=3時，V=—,∕=3√J時，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為2一7，

所以該正四棱錐體積的取值范圍是V'V-

43

故選：C.

8?(2。23?全國?高三專題練習)已知橢圓蕓+日=I的左、右焦點分別為"、乙，第一象

限內的點M在橢圓上，且滿足MG點N在線段月、F2±,設％=曾，^MF1F2

INKl

沿MN翻折,使得平面MNF1與平面MNF2垂直,要使翻折后IKEl的長度最小,則/1=()

【答案】A

【分析】利用橢圓的定義、勾股定理可求得IM周、IgI,翻折前，過點耳作耳ALMN,

TT

垂足為點A,過點鳥作鳥BLMN,垂足為點B,設NNMB=9,其中翻折后,

利用勾股定理求出忻/?關于e的表達式，利用正弦型函數(shù)的有界性可求得陽閭2的最小值

及6的值，再利用角平分線的性質可求得4的值.

【詳解】在橢圓蕓+[=1中，。=|，b=BC=Ja2_7=半,但局=2C=√H,

'?MFt?+?MF2?=2a=5

M用=3

因為M"J.M入，且點M為第一象限內的點,則IM耳「+]”段2=內用2=[3,可得.

M4=2'

?MF?>?MF^

∣ΛΛf∣=3cos^y-^j=3sin0,

所以，IAM=IIAM-忸Ml=I3sin'_2CoS

因為平面MN舄，平面MN片，平面MNK.平面MNE=MN,B為U平面MN巴，

BF2VMN,.?.BF?J_平面MNK，

BGU平面MN4，.?.8KlBfJ,又因為AfJLMN,

二|耳球=阿f+∣%∣2=∣做「+|AB『+|叫「

=9cos26+（3sin6-2cosey+4sin2=13-12sin^cos^=13-6sin2θ,

,o<e<∕,則0<2"%,故當2。=/時，即當0=5時，閨司取得最小值近，

則在翻折前，在心中，VN為NKM鳥的角平分線，

福ZS△…\NF,\?MFl?33

所以‘二T網=同即+子

故選：A.

9.（2023?全國?高三專題練習）已知正四面體A-38內接于半徑為地的球。中，在平面

2

BCD內有一動點P,且滿足AP=4五,則IBP|的最小值.

【答案】2√3-2√2

【分析】先根據(jù)外接球的半徑為平求得正四面體的棱長，再由PE=JAP'-A/=2叵,

得到點尸的軌跡為平面8CD內以E為圓心，以2√Σ為半徑的圓求解.

【詳解】解：如圖所示：

點4在面BC。上的投影為E,設正四面體的棱長為X,

設外接球的半徑為七球心為。，由題意知，點。在AE上,

22

則龐=2XXX立=理況=y∣AB-BE=—X,

3233

X/?2-SF2+(A￡-/?)2,

解得x=6,

所以龐=2√3,AE=2√6.

則PE=4AP1-AE2=2√2>

所以點P的軌跡為平面BCD內以E為圓心，以2√Σ為半徑的圓，

當B,P,E三點共線，且P在BE之間時，IBPl最小，

最小值為2石-2√Σ,

故答案為：2G-2√Σ

10.(2022?全國?高三專題練習)已知一個棱長為“的正方體木塊可以在一個圓錐形容器內

任意轉動，若圓錐的底面半徑為1,母線長為2,則。的最大值為.

【答案】I

【分析】問題等價于求圓錐的內切球的半徑r，由題意得：圓錐的軸截面為等邊三角形，且

邊長為2,即可求得其內切球半徑，即為正方體外接球半徑，則區(qū)nm=2r=竽，即可得

答案.

【詳解】問題等價于求圓錐的內切球的半徑「，

由題意得：圓錐的軸截面為等邊三角形，且邊長為2,則內切圓半徑為立x2χ1=3,即

233

6

r=——，

3

所以島M=2'=￥，解得4儂=看

JD

2

故答案為：j

卜姓練素養(yǎng)JH

11.(2023?全國?高三專題練習)正四面體A-8CD的棱長為4,空間中的動點P滿足

∣PB+PC∣=2√2,則APPO的取值范圍為()

A.[4-2√3,4+2√3]B.[√2,3√2]

C.[4-3√2,4-√2]D.[-14,2]

【答案】D

[分析】分別取BC,AD的中點E,F,由題意可得點P的軌跡是以E為球心，以√2為半徑

的球面，又AR/,O=4-W，再求出陽的最值即可求解

【詳解】分別取BC,AO的中點￡,凡則"B+P4=∣2P目=2√Σ,

所以卜q=0,

故點P的軌跡是以E為球心，以√Σ為半徑的球面，

AP?∕,D=-(PF+FA)?(∕,F+FD)=-(PF+M)?(PF-FA)=∣FA∣2-∣PF∣2=4-∣PF∣2,

又ED=>JDC2-CE2=√I6-4=√I2=2√3,EF=4DE1-DF1=√12-4=√8≈2√2>

所以=EF-√2=√2,IPFI=EF+√2=3√2,

IIminIImax

所以APH)的取值范圍為[T4,2].

故選：D.

A

E

C

12.(2022?河南安陽?模擬預測(理))在四面體ABC。中，ZBCD=90。，轉上平面80

AC=CD.過點8作垂直于平面ACD的平面α截該四面體，若截面面積存在最大值，則

tanZACB的最大值為()

A.√2B.√2C.√3D.君

【答案】C

【分析】過B作BELAC于點E,過點E作)〃。,先證得平面時為所求截面，然后設

AC=I.求得5E=ΛBcos6=sinOcos6,AE=ABSine=Sin2。，從而求得三角形面積，然后

換元后求導利用導數(shù)的單調性求得最值，從而得出結論.

【詳解】在四面體ABCD中，ZBCD=90o,AB_L平面BCO,AC=CDAB，平面8CD,

CZ)U平面BCO,ABLCD,又CDLBC,ABCBC=B,則CD，平面ABC,過B作BE_LAC

于點E,過點E作EFHCDEF±平面ABC,BEu平血ASe,故EFA,BE,AC∏EF=E,

則4CJ_平面班廣，ACU平面AC。，故平面平面ACQ,設tanZAC8=凡設AC=1,

在∕?IABC中，BC=CoS9,AB=Sine,在∕?,.AβE中，ZABE=θ,BE=ABcosθ=s?nΘcosΘ,

AEEF

AE=ABSine=Sin2。，在△ACO中，EFHCD,貝不，故EP=A=，故

ACCD

2

SΔBEF=?BE-EF=?sinθcos0?sin9=Lirr'OCoSe

,3

=[sin6*cos6*_1tan6>=lx_________J________

X2X42

^2(sin^+cos^2tan^+2tanθ+?2_^+式+tang，令

1,tan36?tan<9

x=—--,x∈(0,+∞),f(χ}=x^+2x+-,得

tangx

3/+13λiv

r(x)=3√+2-4=y-(1Ξ)j?1?.,當r(χ)>o時，x>烏,當r(χ)<o

時，0<x<*,故函數(shù)f(x)在1°噌時單調遞減，在惇,+∞∣時單調遞增，即當X=#

時，/(x)有最小值，此時截面面積最大，故當丁!萬=*,tan?=√5時，截面面積最大,

故若截面面積存在最大值，則」一≥X1,故tanZACB的最大值為6，

tan3

故選：C.

13.（2022.全國.模擬預測（文））如圖，正方體"CO-ABCa的棱長為2石，點。為棱

AA上一點，點尸在底面ABCo上，且IPQI=26,點M為線段PQ的中點，則線段GM長度

的最小值是（）

A.4√3-2B.6-√3C.2D.6

［答案］B

析】根據(jù)給定條件，確定點M所在的軌形跡圖，再利用該圖形的性質即可求解作答.

【詳解】依題意，正方體ABCo-AB￡R,當點P與4不重合時，AQA.AP,如圖，

因點M為線段PQ的中點，則AM=；PQ=6,當點P與A重合時，AM=；PQ=6,

即無論點P,Q如何運動，總有AM=W,因此，點M的在以點A為球心6為半徑的球面

上，

而ACl=26xG=6,所以線段C∣Λf長度的最小值是ACl-J5=6-Λ∕5.

故選：B

14.（2022?全國?高三專題練習）己知底面為正三角形的三棱柱內接于半徑為1的球，則三

棱柱的體積的最大值為.

【答案】1

【分析】過球心。作8?L平面ABC,設三棱柱的底面邊長為“，再根據(jù)勾股定理可得棱柱

的高進而表達出體積V=加丁,再求導分析/（a）="1-/的單調性求解

最大值即可

【詳解】過球心。作ODj■平面ABC,則O為正三角形的中心，連接。4,則。4=1.

設三棱柱的底面邊長為〃，則A嗚考普3”后

.?.OD=?∣OA2-AD2

，棱柱的高皿/=2OD'=2^1-y.

棱柱的體積心城”邛八2后√?4-a6

2

令/(α)=3fl"-α6.W∣J∕,(α)=12a3-(M5=6α3(2-α2),令/'(a)=0得α=√J或α=0(舍)或

a=-Λ∕2(舍).

當O<α<0時,∕,(0)>θ.?√2<α<√3B?,r(?)<o.

：?當α=0時，/(4)取得最大值/(亞)=4,

；?當α=0時，V=叵亙取得最大值1.

2

15.（2022?河南?高三階段練習（理））如圖，在棱長為2√∑的正方體ABeD-ABCQ中,

若繞嚴旋轉一周，則在旋轉過程中，三棱錐的體積的取值范圍為