2023年高考數(shù)學(xué)練習(xí)壓軸題（新高考版）13 解三角形（選填壓軸題） 含解析

專題13解三角形（選填壓軸題）

解三角形（選填壓軸題）

①三角形邊長相關(guān)問題

②三角形周長問題

③三角形面積問題

④三角形與向量、數(shù)列等綜合問題

①三角形邊長相關(guān)問題

1.（2022?福建省永泰縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）在一ABC中，角A&C所對(duì)的邊分別是

以從GA=I20,0是邊BC上一點(diǎn)，ABj_AD且Ao=G,則。+2c的最小值是（）

A.4B.6C.8D.9

【答案】C

【詳解】如圖所示，

因?yàn)?=120。，所以B+C=60。，

ΔΓ)Fi

在RtAABD中，AB=----,即C=J,

tanBtanB

因?yàn)閆CAD=12()°-90°=30°,

,,ACAD,b√3

由正弦定理口Jrz得r：.∕4"=~^"F'即ll1?/“。二。、=./“。3'

sinZADCsιnCSIn(NB+90)Sln(60-8)

KCoSB

所以b=

sin(60o-β)

73cosB2\[?>63SB+2√3

所以"2c=

sin(60。-5)tan3?/?COSB-JSinBtanB

22

√32√32√32√36

+----=——-------T------=----------------

tanB√3-tanBtanB(GTanB)tan8,

——tanB

2

因?yàn)?。<3<60。，所以0<tan8<G,

24

所以"2c≥=8

-tanB+tanB)

當(dāng)且僅當(dāng)G-tanB=tanB,即IanB=@時(shí)，等號(hào)成立,

2

所以/?+2c的最小值為8.

故選：C

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在銳角..AfiC中，若GSinA（%4+2+C）=sinBsinC,且

ac

GsinC+cosC=2,則α+6的取值范圍是（）

A.(2√3,4]B.(2,2√3]C.(0,4]D.(2,4]

【答案】A

【詳解】由GSinC+cosC=2sin(C+乙)=2,得C+5=f+2Aτr,kwZ,

662

71πcosAcosC_sinBsinC

CE(O,耳),.?.C=y.由題-------+--------由正弦定理有

VisinA

A萬b?B,XZcosAcosCh

CoSAcosC9b,故-----+-----=------,即

+=—∕τ—=~sinAsinC2sinA

ac√3α2a

.?.ChsinC√3?./..√3?b4p,∣.?

cosAλ?sinC+sinA4?cosC=--------=------，∣?Wrsin(A+C)=sinBrι=------,即llπ-----=--λ--,由正1

24v74sin83

弦定理有一--=—--=—--=,故。=生叵SinA?b=生叵SinB,又銳角^ABC,且C=￡,

sinAsinBsinC3333

.?.A∈(O,5),β=-?—A∈(O,Q),解得A∈(??),

:.a+h=—(SinA+sinB)=—[sinA+sin(--A)]=—(SinA+@COSA+'sinA)=4sin(A+2)，

3333226

A∈(∕,?),.?.A+?∈(g,?,Sin(A+1)wg,1],

oZ053o2

.??α+)的取值范圍為伍百,41

故選：A.

3.(2022?四川?樂山市教育科學(xué)研究所三模(文))已知；ABC中，A8?AC=-3,AB=2,

cos2A+sin2B+sin2C+sinBsinC=l,。是邊3C上一點(diǎn)，ZCAD=3ABAD.!e?jAD=()

A.9B.殛C?旦D.還

5427

【答案】B

【詳解】設(shè)ABC中，角4B,C的對(duì)邊為","c,

cos2A+sin2B+sin2C+sinBsinC=1>即sin2β+sin2C+sinBsinC=sin2A>

?'?b2+c2+bc=a2.

.?.cosA=b~a=-?,又Ae(O,乃)，

A=5，乂AB?AC=-3,Aβ=2,

.?.AB-AC=2?cosA=2?×f-?j=-3,即6=3,

a2=?2+C2+??=32+22+3×2=19,

故α=V19,

“2+從Y19+9-4?,sinC=≠,tanC=^，

2ab-6√19√19√194

又NCAZ)=3NB"),A=——，

3

?,?NCAO=g,AD=ACtanC=3×=?^?.

244

故選：B.

4.(2022?江蘇揚(yáng)州?高一期中)已知銳角ABC中，角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為。、枚

C

QCoSC+√?zsinC-Z?-C=0,若=ZHan3,貝的最小值是()

2

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】D

【詳解】acosC+?∣3as?nC-b-c=0,

sinAcosC+?/?sinAsinC-sinB-sinC=0

?*?sinAcosC+?/?sinAsinC-sinAcosC-cos4sinC-SinC=0，

?/?sinΛsinC-cosΛsinC-sinC=0,因?yàn)镾inC≠0,

?.√3sinA-cosA-1=0，即2sinA-g=1,又A∈0,g

,π

Λ=—

3

-^~(ab-c)=btanB,

.?tanB

ab-c=---------

sinA

.CsinBtanB

αsιnB=---------------i-s?nC,

sinA

sinBsinC

a=---------------1-----------

SinAcosBsinB

sinBsinAcosB+cosAsinB

a=----------------F-------------------------------

sinΛcosBsinB

sinBsinAcosB12?/??

a=---------------+---------------+—=—j=tanθ+----------+—

sinAcosBsinB2√32tan82

一ABC為銳角三角形，

tanB>O,

??.a=2tanB+1^-+L≥2+^=3,當(dāng)且僅當(dāng)tanB=立時(shí)取等號(hào)，

√32tanB2222

。的最小值是∣?,

故選：D.

5.(2022?重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)高二開學(xué)考試)在銳角ΛBC中，角A,B,C所對(duì)的邊

為a,b,c,若普竺竺=您4+您￡,且si??A+sir√B-SidC=SinA-SinB,貝∣J上的

3sinAaca+b

取值范圍是()

A.[√3,2√3)B.(6,4√3]C.[2√3,6)D.\4,2)

【答案】D

【詳解】由sin。A+sin2B-siifC=sinA?sinB,由正弦定理得ɑ?+b?=",

印有cose/+'"」,而Cw(θ,g],則C=g,

_SinBsinCcosAcosC

又B--------+--------

73力2+/一,2/+/―/

Mk法定坤、余法定理得r7'_2_2bcIab化簡得：c=2√i,

--------------------------J------------------

3aac

Cl_b_c_25/3_

由正弦定理有：sinA-sinB-SinC-y∣3一，即α=4sinA,?=4sinB,

T

一ABC是銳角三角形且C=(,有Ae[0,3B=符-A4。仁)，

解得Ae

=4sinA+^cosA÷lsinA

因此。+b=4(sinA+sin8)=4sinA+sin

22

=4λ∕3sin(A+7

πππλrπ,Sin(A+看

由Ae,得：A+?^?∈,∈

6^2^oττ

C212

∈[√3,2)

所以α+b4√3sinlA+^

故選：D

6.（2022?全國,高一期末）在平面四邊形ABC。中，AB1ACyAC=√2AB,AD=3fBD=2√6,

則C。的最小值為（)

√6

AB.D.√3

?T2CT

【答案】D

ABBD

【詳解】由,則AB?sin∠BAO=2Csin∕4O8,

SinZADBsinZBAD

又AB2=AD-+BD2-2AD-BD-cosZADB=33-12√6cosZADB,且ZBAD=→ZDAC,

在ADAC中，CD2=AD2+AC2-2ADAC-cosZDAC=9+2AB2-6>∣2ABsinZBAD

=75-24√3(√2cosZADB+sinZADB)=75-72sin(Z4DB+g)且tan夕=&,

所以，當(dāng)Sin(NWB+c)=l時(shí)，最小值CO=√5.

故選：D

7.(2022?河北保定?高一期中)AABC三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別是α,b,c.若

b=>β,a2+c2-ac=b2,則2α+c的最大值為()

A.2√7B.2√5C.5+√3D.5-石

【答案】A

【詳解】由余弦定理CoSB='J+L-*=J.,又O<B<兀,故B=1,

Iac23

由正弦定理知：—七=—3―=一匚=2,則α=2sinA,c=2sinC,

sin8SinAsinC

所以24z+c=4sinA+2sinC,而A=^--C,

貝|]2〃+0=4§由(整一。)+2§由。=4§m。+26?0§。=2\/7sin(C+φ)f∣.tanφ=,

又0<C<,，當(dāng)C+8=/時(shí)2α+c的最大值為2√7.

故選：A

8.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))在銳角,.ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊為小b,c,若

SinBsinCcosAcosC口C?/?(、,八.∣c2ATrr/七廿用日/、

———=----+-----，且S,“=工(/+692-/),則m-----的A取值氾圍是()

3sιnΛacabc4[)a+b

A.^6,2Λ∕SJB.^6,4Λ∕3JC.?,?-jD.[Λ∕^,2)

【答案】D

【詳解】在銳角ABC中，由余弦定理及三角形面積定理得：

22

Sabc=字(〃+?-c)=^y-Λ?cosC=^ahsinC,

□I—L-LC小萬、fI「πSinBsinCcosAcosC

即有tanC=√L而C∈(0,?),則C=7，又z=.A=-------+--------，

7233s?nAac

5∕3?2÷c2-CTa2÷?2-C2

由正弦定理、余弦定理得，"F_一詼一?一^ah一，化簡得：c=2上,

一P

3aac

ClbC_2>∕3_4

由正弦定理有：SinA-SinB-SinC-G一，即α=4sinA,8=4Sin3,

T

ABC是銳角三角形且C=],有Ae(Og),B=y-Λ∈(0,^),解得Ae弓弓)，

9yr

因此4+Z?=4(sinA+sinB)=4[sinA+sin(------A)]

3

=4(sinA+^2-cosΛ+-sinA)=4gsin(4+二)，

226

由A嗎劑A+?停3,Sin(A+￡∈(-?,l],

SffDJ-?=------------------e162)

所以α+b4百Sin(A+：)

故選：D

9.(2022?陜西省安康中學(xué)高一階段練習(xí))在一ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,

c,若Sln(A+C)I—；—+-------,B=-,則α+c的取值范圍是()

VbcJsinC3

|，石

B.C.D.

【答案】A

cosBcosCsinA

【詳解】由題知Sin（A+C）-------+-------

bsinC

cosBcosCsinA

:.sinB-------÷-------

bcsinC

lψcosB+cosC_2?∣3sinA

b3sinC

由正弦定理化簡得

n.C2>∕3?csinA2yj3ab

??ccosB+/?cosC=---------------=---------

3sinC3

?,?sinCcosB+cosCsinB=Sin"

3

..zr,-.2√3?sinA

??Sln(81+Cλ)=sinλA=-----------

..√3

??b=—

2

B檢

abbc

==-------=1

sinA---sinB---sinC

?'?￠/+c=sinA+sinC=Sin4+sin(-?-A)=I?sinA+^?eosA=Gsin(A+?)

_.2π

0<A<—

3

ππ5π

:.-<Aλ+-<—

666

'?-<V3Sin(A+?)≤?/?

26

艮吟<α+c≤6

故選：A.

10.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）在銳角..ABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為。,b,

?h

S為一ABC的面積，且2S=∕-S-c）,則:的取值范圍為（）

233435

A.2B.C.D.

?3,24,35,3

【答案】D

【詳解】解：Z?A8C中/=82+，一2?CCOSA,S=^?csinA,

由2S=/一S-C)2,得bcsinA=‰?-2Z>C8SA,.?sinA=2(1-cosA)?

口∏c?AA/1?2Asin->0,JtanA=L

即2sin?cos—4sm—,

2222

2χ1

4

?tanA=-------—

,.?.sinA=-,cosΛ=-

355

,._—b—-s-i-n--B-=-s--in--(-A---+--C--)=-s--in--A--c--o-s--C--+---c-o-s--A--s-i-n--C----4---?—3,

csinCsinCsinC5tanC5

■：∕?ABC為銳角三角形，A+C>—,.,.O<-----C<A<一,

222

八1(πAΛ4

.?.0<-------=tanC<tanA=—,

tanCU)3

.3q十九九—，

55tanC5535153

???H翡｝

故選：D.

11.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)銳角AfiC的內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,若

A=。M=石，則〃+c?+歷的取值范圍為()

A.(1,9]B.(3,9]

C.(5,9]D.(7,9]

【答案】D

【詳解】因?yàn)锳=AM=G,

a_A/3_0_b_C

由正弦定理可得sinΛy∣3SinB.(2π

2I3)

則有∕?=2sinB,c=2sin(六一8),

由二ABC的內(nèi)角A民。為銳角，

0<B<-

2y

可得

n2汽Cπ

0<------B<一,

32

TC__TCTC___TC5冗1.I?r?兀I.?..Γ?r?TCI-

—<B<-=>—<2B----<—=>—<sm2B-----≤1=>2<4sιn2B-------≤4,

626662(6j16)

由余弦定理可得ci2=?2÷c2-2?ccosA∑≠>3=?2+c2—be,

因U七有?2+c2÷be=2bc+3

=4GSinβcosB+4sin2B+3

=2?∕3sin2B-2cos2B+5

=5+4sin(2B-?)e(7,9]

故選：D.

人E4??0??..HCOSAcosCSinBsinCLt

12.z(2022?全國?高一期末x)在銳v角.ABe中，右----+-----=--：~~--，且

ac3smA

5/3sinC+cosC=2,則Q+力的取值范圍是()

A.(6,2√3]B.(θ,4√3]C.(2√3,4√3jD.(6,4^]

【答案】D

【詳解】由GSinC+cosC=2sin(C+匹)=2,^C+-=—+2kπ,?∈Z,

662

C∈(O,5),.?C=—.

由正弦定理知，電

sinAa

由余弦定理知，CoSA="+c——￡L,

2bc

cosAcosCSinBsinC

?--------+--------=--------------，

ac3sinA

?

Λb2c2-a2?2_b√3,化簡整理得，^(2√3-c)=0,

----+------X---1-------X----

2bcac3a2

b≠Q(mào),：.c=2?∣3，

Clbc_20_4

由正弦定理，有SinAsinBSinC-6一?Λα=4sinA,?=4sinB,

T

銳角AABC,且C=7,A∈(0,,)，B=——A∈(θ,?),解得A∈('y),

.?a+b=4(sinA+sinB)=4[sinA+sin(--A)]=4(sinA+—cosA+』sinA)=4>∕3Sin(A+—),

Ae+9一”+會(huì)亭Tb≡M+f)≡(γ>'1-

.?.a+6的取值范圍為(6,4√3].

故選：D.

13.（2022?福建省福州格致中學(xué)高一期末）在銳角一ABe中，角AB,C所對(duì)的邊分別為“eGS

為，ΛfiC的面積，且2S=α2-（b-c>,則9的取值范圍

C

35

【答案】

5,3

【詳解】因?yàn)?5=儲(chǔ)一"一"，且S=/ASinA,

所以bcsinA=/-(i>-c)2,即〃Z+c?-/=?c(2-sinA),

由余弦定理得：COSA="+LY

Ibc

所以28s4=2-sinA,又cos?A+sin2A=1,

所以sin?A+(l-?sinA)2=1,

2

4

解得：SinA=《或SinA=0,

因?yàn)锳3C為銳角三角形,

4/-----------3

所以SirL4=l，cosA=√I-sin2A=

5

-.,AsinA4

所rt以vtanA=-------=-

cosA3

因?yàn)锳+8+C=π,

所以SinB=sin(A+C)=sinAcosC÷cosAsinC,

,TrbsinBsinAcosC+cosAsinC

由正弦定理得：一=?七=

cSinCsinC

4"3?L4

cosC+-sinC

二55_J_+3,

SinCtanC5

因?yàn)橐籄8C為銳角三角形,

0<B<-Λ+C>-

22

所以

0<C<-0<C<-

22

所以會(huì)A<C苫,

所以tar人tan匕(π八c-osA="3

14

所以0<-----<一

tanC3

44

所以?！?竺,5+0，

tanC155tanC53

故答案為:

14.(2022?江蘇?泗洪縣洪翔中學(xué)高三階段練習(xí))在.ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊為〃，

,.,.sinBsinCcosAcosCL弘Nlr√3,,?,cQe

b,c,右一^~：^=1,且JABC的面積SaC=-τ^(4+〃~—c),則n1~的取

3sinAacAB4a+b

值范圍是.

【答案】

222

【詳解】解：由鼠板=中面+/_。2),.?.labsi∏C=^(fl+h-c),

I/?

Xc2=?2+b2-IabcosC，所以—αbsinC=-----2abcosC,

24

.?.tanC=√3,0<C<乃,/.C=60°,

√3.?

sinBsinCcosAcosC——sinB

----------------=-----------F---------12COSAcosC.

—×—=---------=-------+--------

3sinAac3SinA

.y∣3bb2+c2-a2a2+b1-c12b2b

??—×—=--------+--------------=——/.c-2?∣3,

6a2ahc2abc2abcac

2R_C_243_

由正弦定理得2R-∕W一下-4

sin—

3

所以。+Z?=4sinA+4sin3=4sinA+4sin

.....2%2τι.

=4sιnA+4sιn——cosA-4cos——sinA

33

=6sinA+2?∕3cosA=4GSin(A+馬

6

因?yàn)镺<A<y,所以/<4+]<.,所以Sin(A+∕]∈(∣,1

3666V6√?2

46Sin(A+7)GRGMG],

?=^__Jl?

a+b46Sin（A+力12）.

故答案為：；』）.

15.（2022?福建廈門?高一期末）記銳角一ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,。，

BE

fisinBsinC+cos2B=sin2C+cos2A,若BE,CF是4：ABC的兩條高，則不二的取值范圍是

【答案】(g，2)

【詳解】由sinBsinC÷Cos2B=sin2C÷cos2A，得SinBSinC-Sin?B=sin2C-sin2A,

再由正弦定理得b2+c2-a2=bc,故cosA=空了=”，

所以A=?,

siV+3

故csinAcsinC?√3cosB?6

CF?sinAbsinBsinB^22sinβ^22tan8

乂a/WC為銳角三角形,

故,?即

0<π-------B<—

32

tanB∈,+8,

.,BE1√3

“又—=—I--------------e2

CF22tanB?Γ

故答案為:P2

16.（2022?寧夏?銀川一中三模（理））銳角二ASC中，角4,B,C所對(duì)邊分別為a,b,

有cos?A+cosAcos(C-B)=SinBsinC,且c=4,則Q+Z?的取值范圍為,

【答案】(2√3+2,4√3+8)

【詳解】因?yàn)镃oS2A÷cosAcos(C-B)=sinBsinC,

所以cosA[cosA+cos(C-B)]=sinBsinC.

因?yàn)锳+B+C=%,所以β+C=π-A,所以CoS(8+C)=cos(萬一A)=-COsA.

所以2cosAsinBsinC=sinBsinC.

因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以sin8>0,sinC>(),所以cos4=g,所以Ag

所以B+C=二，即B=2-C.

33

Q<C<-

因?yàn)?MC為銳角三角形’所以2J小解得：f<C<?

?CSinA=26,b=--—sinB=4sin

由正弦定理fr熹=詫得:aSinCSinCSinCsinC

+2

2√342下I2石CoSCI=2√3-?

所以4+力=--------1--------≥-cI

sinCsinCsinCsinCtan—

2

因％<C后，≡?<f<7-所以3哈<ta吟<ta哈

ππ

tan——tan—

L.、t冗ππ

H79tan—=tan—4-------^-=2-√3,所以2-6<tan^<l.

4^^6Y7171

1+tantan2

46

所以ι(—<2+Λ^2√3+2<2>^--+2<4√3+8

?,r)?以.?

tantan—

22

即2√3+2<α+?<4√3+8

在liΛBC中，由兩邊之和大于第三邊，所以。+6>c=4.

綜上所述：2石+2<α+6<4G+8.

故答案為：(26+2,4√J+8)

17.(2022?廣西?南寧三中高一期末)在銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為4,b,

G若A-4=2acosC,則q的取值范圍是.

【答案】

【詳解】由題設(shè)，sinβ-sinA=2sinAcosC,而3=τr-(A+C),

所以sin4=Cos4sinC-sinAcosC=sin(C-4),又0<A,C<—，

2

0<2A<-

?TTJT

所以2A=C,且△ABC為銳角三角形，則2,可得m<Avf,

八OΛπ64

18.(2022?河北?石家莊市第四十四中學(xué)高一階段練習(xí))在4A3C中，角4B,。所對(duì)的邊

分別是4,b,c,若2csinB=(2α+c)tanC,bsinASinC=√5sin8,則公的最小值為.

【答案】12

【詳解】丫在△ABC中，角ABC所對(duì)的邊分別是α,b,c,2csinB=(2a+c)tanC,

.?.2sinCsinB=(2sinΛ+sinC)-^^,

cosC

2cosβsinC÷sinC=0?即COS8=-g,B∈(O,Λ^),

因?yàn)锳SinASinC=GSinB=2×-?sinB=2sin2B,

2

-'?bac=2b2?即αc=2A,

XZ72=?2+c2-IaccosB=a1+c2+ac?

6z2+c2÷ac≥2ac+ac即4cN12,當(dāng)且僅當(dāng)〃=c時(shí)取等號(hào)，

的最小值為為12.

故答案為：12.

②三角形周長問題

1.(2022?四川?成都七中高一期末)在4?C中，若AC=2,一二+」二=一二+」:+1，

sinBtanBsinAtanA

則.ABC的周長的最大值為()

A.2√5+4B.2√7+4C.2√5+7D.2√7+7

【答案】A

11」一+」一+1可得1cosB1cosA

【詳解】由--------F-----------------1----------+-÷--1---,-

sinBtanBsinAtanAsinBsinBsinAsinA

兩邊同乘SinAsinB得sinA+sinAcosB=sinB+sinBcosA+sinAsinB,

兩邊同力口sinBcosAsinΛ+sinAcosβ+sinβcosA=sinB+2sinBcosA+sinAsinβ,

即SinA+sin(Λ÷β)=sinB+2sinBcosA÷sinAsinB,又Sin(A+3)=Sin(乃-C)=SinC,

則SinA+sinC=sin8(l+2cosA+sinA),設(shè)角A3,C對(duì)應(yīng)的邊分別為α,b,c,

由正弦定理得“+c=b(l+2cosA+sinA)=2(l÷2cosΛ+sinA)=2[l+√5sin(A+。)]其中

.2√5√5

smQ=—^—,COSe=-^-,

不妨設(shè)。€(0,]｝易得當(dāng)A+g=1時(shí)，α+c取得最大值2+26,此時(shí)周長最大值為

2+2+2√5=4+2√5.

故選：A.

2.(2022?四川?遂寧中學(xué)高一階段練習(xí))在銳角AABC中，2S=ai-(b-c^,α=2,則AABC

的周長的取值范圍是()

A.(4,6]B.(4,2√5+2]C.(6,2√5+2]D.(4,√5+2]

【答案】C

【詳解】2S=a2-(?-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccosA,

S=be-becosA=—bcs?nA1

2

:I-CosA=LsinA,g∣J2sin2-=sin-cos—

A為銳角,

2222

Al1443

tan—=—,tanA=----^=—,SinA=—,cosA=二π?

2211355，又ο=2,

4

由正弦定理可得一三?_c_5

SinAsinBsinC2

所以Z?+c=g(sin8+sinC)=?∣[sinB+sin(A+8)]

=斗sinB+-sinB+-cosZ?I=4sinθ+2cosθ

2l55J

L]4

=2√5sin(B÷?>),其中tan。=/,φ=3,

因?yàn)锳5C為銳角三角形,

7Γ7Γ

所啊-A<8<5,

所以Sin萬一…<sin(B+^)≤1,

/.4<2石Sin(B+°)≤2逐,

故上ABC的周長的取值范圍是（6,2逐+2].

故選：C.

3.（2022?全國?高一期末）設(shè)銳角ABC的三個(gè)內(nèi)角A.5.C的對(duì)邊分別為a2.J且c=l,

A=2C,則一ABC周長的取值范圍為()

A.(0,2+√2]B.(O,3+√3]C.(2+√2,3+√3)D.[2+^,3+√3]

【答案】C

【詳解】???ABC為銳角三角形，且A+8+C=ι,

0<A<工0<2C<-o<c<-

224

TTππ

.?.?O<B<-z=>,0<?-C-2C<-=>—<C<-,

2263

0<C<-o<c<-0<C<-

222

n廠π立<8SC<B,

-<C<-

64122

又.A=2Cf

.^.sinA=sin2C=2sinC?cosC,

sinAsinC

.*.a=2cosC?

.bc

由----=-----，

sinBsinC

,c?sinBsin3CsinC?cos2C+cosC?sin2C/2一,

即tlπb=---------=---------=-------------------------------------=4cos，C-I,

sinCsinCsinC

?,?6Z+?÷c=2cosC+4cos2C-1+1=4cos2C+2cosC,

又?.?函數(shù)y=4產(chǎn)+2f在(多,等)上單調(diào)遞增，

函數(shù)值域?yàn)?2+√Σ,3+石)，

故選：C

4.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知ΔABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

(c-?)sinC?<zsinA-bsinB,若ΔA8C的面積為√J,則ΔA8C的周長的最小值為()

A.4B.4+√3C.6D.6+√3

【答案】C

【詳解】解法一：因?yàn)?c-b)sinC=αsinA-bsin8,所以由正弦定理得(c-b)c="-從，

A?2I/.2211Tr

得=，由余弦定理知COSA=7,因?yàn)锳∈(0∕),所以A=§,

Ibc22

由得

SABe='bcsinA=-bc×—=?/?,be=4,

abc222

由(c-b)c=a2-b2^a2=b2÷c2-be,則a2=(?+c)2-3?c=(?÷c)2-12,

所以〃+c=Ja2+12?

因?yàn)楹?C?2..2??,所以詭.加，則a.2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，

ΛABC的周長為α+/?+°=α++12?

易知y=α+yja2+12(?..2)是關(guān)卜"的增函數(shù)，

所以當(dāng)。=2時(shí)，A4BC的周長最小，為2+JFWΞ=6;

解法二:因?yàn)?C一力SinC=OsinA-AinB,所以由正弦定理得(c-b)c=/一從，

得戶+￠2-2J,由余弦定理知COSA=1，因?yàn)锳W(O,乃)，所以A=1，

2bc223

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)镹CAB=所以可設(shè)C(5,6玉)，8(9,0),則

SABC=；XGXlXX2=石，即x∕z=2,所以AABC的周長為

2

a+b+c=?ABI+1AC∣+∣BC∣=X2+2xt+^x2-x∣)^+3xl=%2+2xl+Jx；+4c；-4=2xt+-+

x?

M+:-4..2,IX￡