函數(shù)與幾何壓軸大題-2023年中考數(shù)學知識點練習（江蘇）（解析版）

2023年中考數(shù)學【熱點?重點?難點】專練（江蘇專用）

重難點06函數(shù)與幾何壓軸大題

【命題趨勢】

首先告訴各位同學二次函數(shù)是中考必考內(nèi)容之一，往往也是中考數(shù)學的壓軸大戲.涉及題目數(shù)量一般

3?4題，其中有1-2道大題.所占分值大約25分左右.二次函數(shù)在中考數(shù)學中常常作為壓軸題，而在壓軸題

中，一般都設(shè)計成三至四小問，其中第一、二小問比較簡單，最后一至兩問難度很大.二次函數(shù)在考查時，

往往會與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、圓、三角形、四邊形相結(jié)合，綜合性很強，技巧性也很強，同時計算量

一般很大，加上二次函數(shù)本身就比較抽象，這就導致了題目得分率非常低.其實我們只要能熟練掌握二次

函數(shù)的基本知識，同時掌握一些常見的題型，提高對于二次函數(shù)的得分，不是什么難事，多多練習，多多

總結(jié).

【滿分技巧】

1.通過思維導圖整體把握二次函數(shù)所有考點

1）圖象與性質(zhì)：（函數(shù)的三種表達式、開口問題、頂點坐標、對稱軸、最值、增減性、圖象的平移等）；

2）與一元二次方程（不等式）結(jié)合（交點坐標與方程的根的關(guān)系）；

3）與實際生活結(jié)合（用二次函數(shù)解決生活中的最值（范圍）問題）

2.二次函數(shù)的壓軸題主要考向

1）存在性問題（全等與相似、特殊三角形（直角、等腰、等邊）、平行四邊形（含特殊平行四邊形）等）。

2）最值問題（線段、周長、面積）

3,熟練掌握各種常見有關(guān)二次函數(shù)的題型和應對策略

D線段最值（周長）問題——斜化直策略

2）三角形或多邊形面積問題——鉛垂高、水平寬策略

3）線段和最小值問題——胡不歸+阿氏圓策略問題

4）線段差——三角形三邊關(guān)系或函數(shù)

5）相似三角形存在性問題——根據(jù)相等角分類討論

6）平行四邊形存在性問題——中點公式+平移法

A卷（真題過關(guān)卷）

備注：本套試卷所選題目多數(shù)為近三年江蘇省各地區(qū)中考真題，針對性強，可作為一輪、二

輪復習必刷真題過關(guān)訓練.

一、解答題

1.(2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題)如圖(1),二次函數(shù)丫=-/+法+。的圖像與％軸交于4、B兩點，與y軸

交于C點，點B的坐標為(3,0),點C的坐標為(0,3),直線/經(jīng)過8、C兩點.

(1)求該二次函數(shù)的表達式及其圖像的頂點坐標；

(2)點P為直線l上的一點，過點P作X軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點M,再過點M作y軸的垂線與該二

次函數(shù)的圖像相交于另一點N,當PM=TMN時，求點P的橫坐標；

(3)如圖(2),點C關(guān)于X軸的對稱點為點D,點P為線段Be上的一個動點，連接/P,點Q為線段AP上一點，

且AQ=3PQ,連接DQ,當34P+4DQ的值最小時，直接寫出CQ的長.

【答案】(l)y=-X2+2x+3,頂點坐標(1,4)

(2)P點橫坐標為1+√I或1-√I或2+百或2-√3

【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)設(shè)P(t,-t+3),則M(3—~+2t+3),N(2一￡,一戶+2t+3),則PM=It2—3￡|,MN=

∣2-2t∣,由題意可得方程|嚴一3"=1∣2-2t∣,求解方程即可；

(3)由題意可知。點在平行于BC的線段上，設(shè)此線段與X軸的交點為G,由QGIlBC,求出點G(2,0),

作A點關(guān)于GQ的對稱點A,連接4'。與/P交于點Q,則34P+4DQ=4。Q+；/IP)=4(DQ+AQ)≥4A'D,

利用對稱性和NOBC=45。，求出4(2,3),求出直線Dd的解析式和直線QG的解析式，聯(lián)立方程組

憂肅；，可求點Q(淖，再求DQ=平

【詳解】(1)解：將點8(3,0),C(0,3)代入y=—/+bχ+c

.∫-9+3b+c=0

"tc=3

解得《13

Λy=-X2+2x+3

Vy=-X2+2x÷3=—(%—I)2+4,

???頂點坐標(1,4)；

(2)解：設(shè)直線BC的解析式為y=k%+b,

.(3k÷e=O

'Ah=3

解得仁

Λy=—X+3,

設(shè)P(￡,—1+3),則M(t,一/+2t+3),N(2—t,-12+2t+3)>

：.PM=∣t2-3t∣,MN=I2-2t∣,

'JPM=-MN,

2

Λ∣t2-3t∣=∣∣2-2t∣,

.".t2-3t=j(2-2t)或嚴-3t=-∣(2-2t),

當12-3《=*2-21)時，整理得t2-2t-I=0,

-

解得G=1+V2,t2=1√2>

當12-3《=一3(2-20時，整理得t2-4t+l=0,

解得13=2+√3,t4=2-√3,

二P點橫坐標為1+√∑或I-√∑或2+6或2-√3;

(3)解：?.P(0,3),。點與C點關(guān)于X軸對稱，

ΛD(0,-3),

令y=0,則―/+2x+3=0,

解得X=-1或X=3,

?*?i4(—1,0),

Λ?B=4,

YAQ=3PQ,

???Q點在平行于BC的線段上，設(shè)此線段與工軸的交點為G,

：.QGHBCf

.AQ_AG

??=,

APBA

.3_AG

??—-,

44

：.AG=3,

ΛG(2,0),

"JOB=OC,

：.乙OBC=45。，

作4點關(guān)于GQ的對稱點H,連接AD與AP交于點Q,

"."AQ=A,Q,

：.AQ+DQ=A,Q+DQA,D,

：.3AP+4DQ=4(DQ+》P)=4(DQ+AQ}≥4A'D,

VΛQGA=ΛCBO=450,AA,1QG,

.".?A'AG=45°,

"：AG=A'G,

J.ΛAA'G=45°,

.".?AGA'=90°,

.?.4'(2,3),

設(shè)直線ZM'的解析式為y=kx+b,

.(b=-3

**l2fc+h=3,

解得{/二1，

/.y=3x-3,

同理可求直線QG的解析式為y=-x+2,

聯(lián)立方程組[二二二

(5

X=-

解得《:，

U=Z

?"(黑)，

VD(0,-3),

???DQ=J(|-0)2+[;-(-3)]2=Jn+等=嚕

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離的方

法，解絕對值方程，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

2.(2022.江蘇徐州.統(tǒng)考中考真題)如圖，一次函數(shù)7=k1+。(4>0)的圖像與反比例函數(shù)'=^(%>0)的

圖像交于點4與％軸交于點B,與y軸交于點C,軸于點D,CB=CD,點C關(guān)于直線4D的對稱點為點

E.

(1)點E是否在這個反比例函數(shù)的圖像上？請說明理由；

(2)連接AE、DE,若四邊形4CDE為正方形.

①求人b的值；

②若點P在y軸上，當IPE-PBl最大時，求點P的坐標.

【答案】⑴點E在這個反比例函數(shù)的圖像上，理由見解析

(2)φfc=l,b=2?,②點P的坐標為(0,-2)

【分析】(1)設(shè)點4的坐標為(犯*),根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到ADICE,4C平分CE,如圖，連接CE交4。于

H,得到CH=EH,再結(jié)合等腰三角形三線合一得到CH為AACD邊4。上的中線，即AH=HD,求出H(Tn,，，

進而求得E(2m,》，于是得到點E在這個反比例函數(shù)的圖像上；

(2)①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到4。=CEMD垂直平分CE,求得CH=設(shè)點4的坐標為(m,9,得到m=2

(負值舍去),求得4(2,4),C(0,2),把?(2,4),C(0,2)代入y=kx+b得,解方程組即可得到結(jié)論;②延長ED

交y軸于P,根據(jù)已知條件得到點B與點。關(guān)于y軸對稱，求得|PE-PD∣=IPE-PB則點P即為符合條件

的點，求得直線DE的解析式為y=x-2,于是得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：點E在這個反比例函數(shù)的圖像上.

理由如下：

；一次函數(shù)y=kx+e(k>0)的圖像與反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖像交于點4,

???設(shè)點4的坐標為(m,?),

?；點C關(guān)于直線4。的對稱點為點E,

.?.AD1CE,AD平分CE,

連接CE交4。于H,如圖所示：

.?.CH=EH,

VAD1%軸于。，

???CEIIx軸，Z-ADB=90°,

????CDO+?ADC=90°,

???CB=CD,

???乙CBO=乙CDO,

在RtΔ4B。中，?ABD+?BAD=90°,

???Z-CAD=乙CDA,

.??CH為AAC。邊4。上的中線，^AH=HD,

4

HOn喘)，

???E(2m,》，

4

?.?2mx—=8,

m

點E在這個反比例函數(shù)的圖像上；

(2)解：①「四邊形ACDE為正方形，

.?.AD=CE,AD垂直平分CE,

.?.CH=-AD,

2

設(shè)點4的坐標為(m,$,

P

:?CH=m,AD=—,

m

18

&m=一×一,

2m

?t?τn=2(負值舍去)，

???A(2,4),C(0,2),

把A(2,4),C(0,2)代入y=kx+b得計=4

k=1

??c=2；

②延長ED交y軸于P,如圖所示：

CB=CD,OC1BD,

.??點B與點D關(guān)于y軸對稱，

.?.∣Pf-PD∣=?PE-PB?,則點P即為符合條件的點,

由①知，4(2,4),C(0,2),

ΛD(2,0),E(4,2),

設(shè)直線DE的解析式為y=αx+n,

???dα÷n=θ解得｛cl=)

4a+n=2n=-2

???直線。E的解析式為y=x-2,

當X=O時，y=-2,即(0,—2),故當IPE-PBl最大時，點P的坐標為(0,—2).

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析

式，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題)一次函數(shù)y=[x+1的圖像與X軸交于點4二次函數(shù)y=αM+必+

c(a≠0)的圖像經(jīng)過點4、原點。和一次函數(shù)y=∣%+1圖像上的點8(喏).

(2)如圖1,一次函數(shù)y=^x+n(n>--?,n≠1)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(α≠0)的圖像交于點C(Xl,yj、

216

D(X2,丫2)(X1<XQ，過點C作直線Il1X軸于點E,過點D作直線。1X軸，過點B作BF1%于點工

①Xl=,X2=(分別用含n的代數(shù)式表示)；

②證明：AE=BFi

(3)如圖2,二次函數(shù)y=a(x-t)2+2的圖像是由二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像平移后得到的，

且與一次函數(shù)y=：x+1的圖像交于點P、Q(點P在點Q的左側(cè))，過點P作直線b軸，過點Q作直線，4工

軸，設(shè)平移后點4、B的對應點分別為4、B',過點”作4M_LG于點M,過點夕作B'N_L〃于點N.

①A'M與B'N相等嗎？請說明你的理由；

②若AM+3BR=2,求t的值.

【答案】⑴y=∕+2x

壬陋，三產(chǎn)；②見解析

44

(3)①AM=B'N,理由見解析；②3

【分析】(1)通過一次函數(shù)表達式可以求出A、B兩點坐標，將A、B、C三點坐標代入二次函數(shù)表達式即

可求解；

(2)①通過聯(lián)立關(guān)系式可得：1x+n=x2+2x,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到修,不

的值；

②通過A(-2,O),E「37：+16\0)即可求出AE的長度；

通過8?,》，秋-3+、;而,「即可求出8尸的長度;

(3)①通過二次函數(shù)平移前后的表達式可以確定新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移(t+1)

個單位，向上平移3個單位得到的,從而可以得至U：A(t—1,3),β,(t+±生).通過聯(lián)立關(guān)系式可得：(X-C)2+

2=∣x+l,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到點P、點。的橫坐標，通過坐標即可表示

出4M、夕N的長度.

②由①可得立等=；,求解即可.

42

【詳解】⑴令y=0,則］+l=0,解得％=—2,

ZM(-2,0),

將點B(m,3)代入y=+1中，解得巾=%

二點B的坐標為G，》.

將4(-2,0),β(∣,∣),C(0,0)代入y=ɑ/+以+c(α≠0)可得：

4Q—2b+c=0Q==I

=解得：｛b=2,

c=0C=O

，二次函數(shù)的表達式為y=%2+2%.

⑵①:一次函數(shù)y=??+n(n>-?,n≠1)與二次函數(shù)y=ax2+bx÷c(α≠0)的圖像交于點C(XI,力)、

216

(％1<%2)，

聯(lián)立關(guān)系式得：∣x+n=%2+2x,

整理得：x2+∣x-n=0,

-3+√9+16n

解得：

X1=24

故答案為：上等亙，-3+√9+16n

X1=X2=

4

②當n>l時，CD位于AB的上方，2,0)、B(∣,∣),

??ZlD——乙2Ξ1ΞJEΞ一-ΞHEΞ，DβΓp—-^JEΞι—.±JEΞ，

22222

：.AE=BF,

當一白VTIVl時，CD位于AB的下方，同理可證.

故可得：AE=BF；

(3)方法一：

①Y二次函數(shù)y=x2+2x圖像的頂點為(-1,-1)，

二次函數(shù)y=(x-t)2+2的圖像的頂點為(t,2),

新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移(t+1)個單位，向上平移3個單位得到的.

.?.2(—2,0)的對應點為4?—1,3),8(1》的對應點為8'(t+|，￥),

聯(lián)立關(guān)系式可得：(X-t)2+2=gx+l,

整理得：X2-(2t+?)?+t+1=0,

815

△=---------,

4

?∣∕.15IA.?!ZB4t+1—χ∕8t-154t+l+V8t-15

當t>"π時，解得：X=--------;--------,X=-----------------,

87p40v4

...NB，=l_4t+a+√?E=AM，=4t+l-√5E_(t_1)=5-√^

J.A'M=B'N.

②?.?"M+3B'N=2,A'M=B'N.

.,.A'M=B'N=-,

2

.5-√8t-151

??---------------=-,

42

解得:￡=3.

方法二：

①設(shè)尸、Q平移前的對應點分別為P'、Q',則P'Q'I∣PQ.

則P'Q'∣∣4B,

?..A、B'平移前的對應點分別為4、B,

由(2)②及平移的性質(zhì)可知，A'M=B'N.

②?.N'M+3B'N=2,

：.A'M=B'N=-,

2

到y(tǒng)軸的距離為點點。是y軸與二次函數(shù)y=x2+2x的圖像的交點，

，平移后點。的對應點即為點Q.

；二次函數(shù)y=x2+2x圖像的頂點為(-1,一1)，

二次函數(shù)y=(x-t)2+2的圖像的頂點為(t,2),

.?.新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移(t+1)個單位，向上平移3個單位得到的.

.?.Q(t+1,3),將點Q的坐標代入y=：x+1中，解得t=3.

另解：

?,A'M+3B'N=2,

：.A'M=B'N=-,

2

BGA)的對應點為B'(t+1，￥).

■：B'N

2

二點Q的橫坐標為t+1，代入y=gx+l,得y=gt+∣.

ΛQ(t+l,it+∣).將點Q的坐標代入y=(x-ty+2中，解得t=3.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式，聯(lián)立關(guān)系式求交點坐標及利用點的坐標表示線段的長

度，能夠熟練掌握函數(shù)中表示線段長度的方法，求交點坐標的方法，熟練掌握用公式法解一元二次方程是

解決本題的關(guān)鍵.

4.(2022?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題)已知二次函數(shù)y=—；/+汝+c圖像的對稱軸與X軸交于點A(1,0),

圖像與y軸交于點B(0,3),C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個動點(點C在點。的左側(cè))，且NC4D=9(Γ.

y

(1)求該二次函數(shù)的表達式；

⑵若點C與點B重合，求tan∕CD4的值；

(3)點C是否存在其他的位置，使得tanNCD4的值與(2)中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標;

若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-??2+∣x+3

(2)1

(3)(-2,1),(3-√17,√17-2),(-1-√17,-2-√17)

【分析】(1)二次函數(shù)與y軸交于點8(0,3),判斷c=3,根據(jù)4(1,0),即二次函數(shù)對稱軸為X=1,求出〃

的值，即可得到二次函數(shù)的表達式；

(2)證明ZMDESAB40,得到電=竺即8。?DE=04?4E,設(shè)。(t,一42+4+3),點。在第一象

限，根據(jù)點的坐標寫出長度，利用B0?DE=04SE求出f的值，即可HE,DE的值，進一步得出tan∕CE>4

的值；

(3)根據(jù)題目要求，找出符合條件的點C的位置，在利用集合圖形的性質(zhì)，求出對應點C的坐標即可。

【詳解】(1)解：：二次函數(shù)丫=一；％2+"+<:與丫軸交于點8(0,3),

.Ic=3,即y=-+bx+3,

V71(1,0),即二次函數(shù)對稱軸為X=1,

.bb

??X=一h=------/??=1λ,

2α2×(-l)

.?.二次函數(shù)的表達式為y=-iχ2+∣x+3.

(2)解：如圖，過點。作X軸的垂線，垂足為E,連接8D,

解得：￡1=一日（舍），勿=4（舍）,

當《2=4時\y=-i×42+i×4+3=1,

42

：.AE=4-1=3,DE=1,

.'.AD=y∕DE2+AE2=√12+32=√10,

AB=^OA2+OB2=√12+32=√1O

:在RtABAC中,

?'?tan""=笨=蠕=1

(3)解:存在，

如圖，(2)圖中Rt△BAD關(guān)于對稱軸對稱時，tan∕CZM=l,

,此時，點C的坐標為(一2,1),

如圖，當點C、O關(guān)于對稱軸對稱時，此時AC與4。長度相等，即tanNCD4=l,

當點C在X軸上方時，

過點C作CE垂直于X軸，垂足為E,

,：LCAD=90°,點C、。關(guān)于對稱軸對稱,

.??CAE=45°,

...△C4E為等腰直角三角形，

二CE=AE,

設(shè)點C的坐標為(Tn,-jr∏2+;πι+3),

C.CE=--m2+?m+3.AE=1-m,

42

—τn^H—m+3=1_τn

42

解得：m1=3-√17,巾2=3+舊（舍），

此時，點C的坐標為（3-√I7,VU-2）,

當點C在X軸下方時，

過點C作CF垂直于X軸，垂足為尸，

'：?CAD=90",點C、。關(guān)于對稱軸對稱，

.'.?CAF=45°,

ACA尸為等腰直角三角形，

：.CF=AF,

設(shè)點C的坐標為（科-：m2+Im+3）,

".CF=-m2--m—3,AE=1—m,

42

.??-1τn2z——?m—C3=L4-m

42

解得：m1=-1+V17（舍），zn2=-1—V17,

此時，點C的坐標為（一l-√T7,-2—√F）,

綜上：點C的坐標為（一2,1）,（3-√17,√17-2）,（-1-√17,-2-√17）.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在二次函數(shù)y=-/+2JnX+2m+1（機是常數(shù)，且zn>0）的

圖像與X軸交于A,8兩點（點A在點B的左側(cè)），與），軸交于點C,頂點為。.其對稱軸與線段BC交于點

E,與X軸交于點尸.連接AC,BD.

(1)求A,B,C三點的坐標(用數(shù)字或含m的式子表示)，并求4。BC的度數(shù)；

(2)若乙4C0=乙CBD,求m的值：

(3)若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)y=-∕+2mx+2τn+l(機是常數(shù)，且他>0)的圖像上，始終存在一點P,

使得乙4CP=75。，請結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出〃?的取值范圍.

【答案】(I)A(-1,0)；B(2w+l,0)；C(0,2/n+l)；NOBC=45°

(2)τn—1

(3)0<m<與?

【分析】(1)分別令x,y等于0,即可求得4B,C的坐標，根據(jù)OC=OB1ABOC=90°,即可求得4。BC=45°：

(2)方法一：如圖1,連接AE.由解析式分別求得CF=(m+1)2,OF=m,BF=m+l.根據(jù)軸對稱

的性質(zhì)，可得AE=BE,由tan乙4CE=釜=第=蕓=吧，建立方程，解方程即可求解.方法二：如圖2,

CECEOFm

過點〃作。H_LBC交BC于點兒由方法一，得DF=(m+l)2,BF=EF=m+l.證明AAOCsZkDHB,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方程，解方程即可求解；

(3)設(shè)PC與X軸交于點Q,當P在第四象限時,點0總在點B的左側(cè),此時NCQ力>LCBA,即“Q4>45°.

【詳解】(1)當y=0時，-X2+2mx+2m+1=0.

解方程，得XI=-I,X2=2m+1.

;點A在點B的左側(cè)，且m>0,

Λ?(-l,0),F(2m+1,0).

當X=O時，y=2m+1.

ΛC(0,2m+1).

/.OB=OC=2m+1.

VzBOC=90o,

C.?OBC=450.

(2)方法一：如圖1,連接

Vy=-X2+2mx+2m+1=—(x—m)2+(m÷I)2,

2

ΛD(mr(τn+I)),F(m,0).

ΛDF=(m+I)2,OF=m,5F=m+1.

???點A,點B關(guān)于對稱軸對稱，

：.AE=BE.

.??EAB=乙OCB=45°.

J.?CEA=90°.

■:乙AeO=乙CBD,乙OCB=乙OBC,

ΛZ.ACO+?OCB=乙CBD+乙OBC,

BPZTICE=乙DBF.

VFF∣∣OC,

?4,4CLaeBEBFm+l

CECEOFm

,m+l(m+l)2

?.---=------?

mm+l

Vm>0,

；?解方程，得Tn=L

方法二：如圖2,過點、D作DHIBC交Be于點H.

由方法一，得=(Tn+1)2,B尸=EF=Tn+L

:?DE=m2+m.

?:人DEH=乙BEF=45°,

：.DH=fW=γDE=y(m2+m),

βfi,=√2BF=√2(m+l).

：.BH=BE+HE=y(m2+3m+2).

'：/.ACO=/.CBD,乙40C=NBHD=90。,

ΛΔAOCSADHB.

.OADH

??---=-----.

OCBH

...1_沏2+巾),即1_m

**2m+l^(mz+3m+2)t2m+1m+2

?,m>0,

圖2

設(shè)PC與X軸交于點Q,當P在第四象限時，點Q總在點3的左側(cè)，此時4CQyl>47B4即NCQA>45。.

?'?ACQ=75。,

.??CAO<60°.

?tanzCΛO<V3,

???OC=2m+1,

Λ2m+1<√r3.

解得n?<1,

又Hl>0,

?,?0<τn<?i?

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)與坐標軸的交點，角度問題，解直角三角形，相似三角形

的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵.

6.(2022.江蘇宿遷.統(tǒng)考中考真題)如圖，二次函數(shù)y=[/+bx+c與X軸交于。(0,0),A(4,0)兩點，

頂點為C,連接OC、AC,若點B是線段OA上一動點，連接BC,將△力BC沿BC折疊后，點4落在點4的位置,

線段4C與X軸交于點。，且點。與0、Z點不重合.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)①求證：ΔOCDfA,BD↑

②求普的最小值；

BA

(3)當5AOCD=8SM，BD時，求直線WB與二次函數(shù)的交點橫坐標.

【答案】(l)y=:∕-2χ

⑵①證明見解析，②(

(3)^或手

【分析】(I)二次函數(shù)y=1/+/^+。與“軸交于0(0,0),44,0)兩點，代入求得b,c的值，即可得到

二次函數(shù)的表達式；

(2)①由y=(χ2-2χ=1χ-2)2-2,得到頂點C的坐標是(2,-2),拋物線和對稱軸為直線x=2,

由拋物線的對稱性可知OC=AC,得到/CAe=/CO。,由折疊的性質(zhì)得到NBC絲Z?4BC,得/CAB=/4,

AB^A'B,進一步得到/COC=由對頂角相等得NOOC=/804,證得結(jié)論；

②由AOCD~A4BC,得到震=黑=?,設(shè)點。的坐標為(d,0),OC=√(d-2)2+(0+2尸=

DΛIfACIz

√(d-2)2÷4,在0<d<4的范圍內(nèi)，當d=2時，OC有最小值為機=2,得到罟的最小值，進一步得到罌

的最小值；

(3)由SAOCD=85“8。和4OCD4BC得到需=癰=2√2,求得AB=AB=1,進一步得到點B的坐

標是(3,0),設(shè)直線BC的解析式為y=k∕+瓦，把點8(3,0),C(2,-2)代人求出直線BC的解析

式為y=2x—6,設(shè)點A的坐標是(p,<7),則線段AA的中點為(等，：)，由折疊的性質(zhì)知點(等，羅在

直線8C上，求得q=2p—4,由兩點間距離公式得48=1,解得p=2或P=求得點4的坐標，設(shè)直線AB

的解析式為尸⑵+%由待定系數(shù)法求得直線的解析式為尸一孑+4,聯(lián)立直線48和拋物線y=

jx2-2x,解方程組即可得到答案.

【詳解】(1)解：：二次函數(shù)、=；/+比(：+<:與刀軸交于0(0,0),A(4,0)兩點，

二代入O(0,。)，4(4,0)得，｛8+z^ζθ=0.

解得：F=[2,

IC=O

工二次函數(shù)的表達式為y=∣x2-2x；

(2)①證明：β.φy=^x2—2x=∣(x—2)2—2,

???頂點C的坐標是(2,-2),拋物線y=12-2x的對稱軸為直線x=2,

；二次函數(shù)y=3%2+6；+￡：與％軸交于。(0,0),4(4,0)兩點，

二由拋物線的對稱性可知OC=AC,

.'.ZCAB=ZCOD,

?.?△4BC沿BC折疊后，點4落在點A的位置，線段AC與X軸交于點D,

二?ΛBC^ΔΛ,BC,

：.ZCAB=ZA',AB=A1B,

.,.ZCOD=ZA',

'：ΛODC=ZBDA',

：.ΔOCDSAABD；

(2)V?OCDA'BD,

,DBDBDC

BABA'CO

設(shè)點。的坐標為(d，0),

DC=Nd-2)2+(0+2)2=√(d-2)2+4,

:點。與0、4點不重合，

.?.0<t∕<4,

對于DC?=(d-2/+4來說，

,：α=l>0,

.?.拋物線開口向上，在頂點處取最小值，當d=2時?，DC?的最小值是%

：.當d=2時，DC有最小值為VI=2,

OC=J(2-0)2+(-2-0)2=2√2,

.謂有最小值為;?=g

CO2√22

???震的最小值為鼻

BA2

解：QSii

(3)*?*SΔ0CD=hABD

?SAoCD_Q

??一O?

SAA'BD

V?0CD?AABD,

.?.-?-=Vδ=2V2,

AfB

?.,OC=2√2,

：.A'B=AB=?,

二點B的坐標是(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=Aιx+bι,

把點8(3.0),C(2,-2)代人得二t

解得IX

.?.直線BC的解析式為y=2χ-6,

設(shè)點4的坐標是(p,q),

線段人的中點為號，d

由折疊的性質(zhì)知點(彳，f)在直線8C上，

?4=2x?i-6,

解得q=2p-4,

,22

AB=y∣(p-3)+(q-O)=J(P-3)2+(2p-4尸=1,

整理得(P-3)2+(2p-4)2=1,

解得p=2或p=~f

當p=2時?，q=2p—4=0,止匕時點A(2,0),很顯然不符合題意,

當P=當時，q=2p-4=￡此時點4(￡,g),符合題意，

設(shè)直線AB的解析式為)，=心工+與，

4+⑦=0

f

把點B(3,0),A(γ,1)代人得，回+%=4,

???直線48的解析式為尸一3+4,

y=—梟+4

聯(lián)立直線AB和拋物線y=∣x2-2x得到,

y=jx2—2x

2+2√192-2√19

"2"F∑,

解得

28-8√19'28+8√19'

>2=「—

.?.直線與二次函數(shù)的交點橫坐標為之誓或上部.

【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)求函數(shù)的表達式、兩點間距離公式、相似三角形的

判定和性質(zhì)、中點坐標公式、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、圖形的折疊等知識，難度

較大，屬于中考壓軸題，數(shù)形結(jié)合是解決此問題的關(guān)鍵.

7.(2021?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題)將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標系中，點A(-6,

0),點8(0,2),點C(-4,8),二次函數(shù)y=加+?x+c(α≠0)的圖象經(jīng)過點A,B,該拋物線的對稱軸經(jīng)過

點C,頂點為D

(1)求該二次函數(shù)的表達式及點。的坐標；

(2)點M在邊AC上(異于點4,C),將三角形紙片A8C折疊，使得點4落在直線AB上，且點M落在邊

3C上，點”的對應點記為點N,折痕所在直線/交拋物線的對稱軸于點P,然后將紙片展開.

①請作出圖中點M的對應點N和折痕所在直線/；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

②連接MP,NP,在下列選項中：4.折痕與AB垂直，B.折痕與MN的交點可以落在拋物線的對稱軸上，

C瞿=jD?R=0,所有正確選項的序號是?

MP2MP

③點。在二次函數(shù)y=α√+bx+c(α≠0)的圖象上，當"DQ~"MN時,求點Q的坐標.

【答案】⑴y^x2+^x+2,0(-4,-$；⑵①見解析；②A,D;③(2,引或(-10,第

63333

【分析】(I)利用待定系數(shù)法求解即可.

(2)①根據(jù)要求作出圖形即可.

②如圖2中，設(shè)線段MN的垂直平分線交拋物線對稱軸于P,交MN于點、Q,過點M作過點。

作QJLCO于J,QTVMHT-T.想辦法證明APMN是等腰直角三角形，可得結(jié)論.

③設(shè)p(-4,M.MAPDQSAPMN,是等腰直角三角形，推出AP/)。是等腰直角三角形，推出/。2。

=90。，Z)P=PQ=s+∣,推出Q(-∕nnm),構(gòu)建方程求出S即可.

【詳解】解(1)；二次函數(shù)y=αv2+fet+c(存0)的圖象經(jīng)過點A(-6,0),點8(0,2),且拋物線的對稱軸

經(jīng)過點C(-4,8),

'36Q—6b+2=O

?,c=2

,

,'---b--=-4λ

I2a

解之得：α==Jc=2.，

63

?12I4IC

..y=-xz÷-x+2,

?63

.?.當X=-4時，y=-×(-4)2+-X(-4)+2=

633

2

.?.D(-4,-令.

作QJ_LCD于J,QTLMH于T.

：.直線AC的解析式為y=4x+24,直線AB的解析式為y=]+2,直線BC的解析式為y=-∣x+2,

'：MN//AB,

???可以假設(shè)直線MN的解析式為y=iχ+r,

3t-72

'y=lx+t,解得X=---------

11

由12t-24

,y=4x÷24y=k

?“3t-7212t-24

..M（z---------，-----------）λ,

1111

12-6t

y=X+2X=F

2.解得

由14+9t

,y=3x+ty=τr

.,12-6t4+9t

.?Nτ（z---------，-------）λ,

1111

：((-60-3t21t-20）

.Q2222

9CQJLCD,QTLMH,

-60-3t28-3tCT21t-2024￡-4828-3￡

=--------+4Zl=-------，QT=--------=

2222上222222

：?QJ=QT,

o

VZPJQ=ZMTQ=90fZQPJ=ZQMT9QJ=QT,

:?叢PJQQ叢MTQ（ΛΛS）,

JPQ=MQ,

?/NPQM=90。，

/.NPMN=NΛ∕PQ=45°,

YPM=PN,

：.NPMN=NPNM=45°,

?,.NMPN=90°,

ZiPMN是等腰直角三角形，

Λ7^=√2＞故選項O正確，B,C錯誤，

?.?將三角形紙片ABC折疊，使得點A落在直線AB上,且點M落在邊BC上,

二折痕與AB垂直，故選項A正確，

故答案為：A,D.

③設(shè)P(-4,∕M).

;△尸。。S△尸MM△尸MN是等腰直角三角形，

，APDQ是等腰直角三角形，

2

.?.NDPQ=90。,DP=PQ=m≠,

Q(-4+∕n+∣.m),即Q(-?■"，，in),

把Q的坐標代入y=/2+1%+2,得到，m=^(-γ+rn)2+^(-γ+rn)+2,

整理得，9/-42"?-32=0,

解得，〃=日或-|(舍棄)，

：.Q(2,爭，

根據(jù)對稱性可知Q'(-10,y)也滿足條件，

綜上所述，滿足條件的點。的坐標為(2,T)或(-10,爭.

【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和

性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題，證明APMN是等腰直角三

角形是本題的突破點.

8.(2021?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題)通過構(gòu)造恰當?shù)膱D形，可以對線段長度、圖形面積大小等進行比較，直

觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應用.

【理解】

(1)如圖1,?C1BC,CD14B,垂足分別為C、。,E是的中點,連接CE.已知AC=a,BD=b(0<a<b}.

①分別求線段CE、CD的長(用含內(nèi)6的代數(shù)式表示)；

②比較大?。篊ECD(填或">”)，并用含八〃的代數(shù)式表示該大小關(guān)系.

圖2

【應用】

(2)如圖2,在平面直角坐標系久Oy中，點M、N在反比例函數(shù)y=：(%>0)的圖像上，橫坐標分別為〃八

n?設(shè)p=zn+τι,q=蔡+=i己L=ZPq.

①當m=Ln=2時，I=；當771=3,九=3時，I=；

②通過歸納猜想，可得/的最小值是.請利用圖2構(gòu)造恰當?shù)膱D形，并說明你的猜想成立.

【答案】(1)①CD=而，CE=∕α+b);②>,∣(α+h)>√Hh;(2)Φ∣,1；②/的最小值是1,理由見

詳解

【分析】(1)①先證明AADCsACDB,從而得CD?=。。，進而得CO的值，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直接

得CE的值；②根據(jù)點到線之間，垂線段最短，即可得到結(jié)論；

(2)①把孫”的值直接代入，=；Pqw(Tn+n)G+J進行計算，即可；②過點M作x,y軸的平行線，

過點N作X,y軸的平行線，如圖所示，則4”，?),B(m,畫出圖形，用矩形的面積表示］(τnX￡+巾x

-+n×-+n×-l進而即可得到結(jié)論.

nnmJ

【詳解】解：(1)①?.NC?L8C,CC4B,

ΛZACD+ZA=ZACD+ZBCD=90o,即：ZA=ZBCD,

又；ZADC=ZCDB=90°,

?二△ADCCDB,

.ADCDOriQCD

?C?D---B-D-,h∣J：-C-D-~~b~~,

：.CD2=ab,即：。。=而(負值舍去)，

YE是48的中點，

CEW48=*α+b);

②YCD1AB,Q<a<b,

：.CE>CD,S[J：∣(α+fa)>√Hfa.

故答案是：>；

⑵①當Tn=l,n=2時，I=；pq=：(m+n)(，+；)=；X(1+2)×Q+∣)=|)

當m=3,?1=3時，I=?pq=^(m+∏)(?+?)??×(3+3)×ɑ+θ=1,

故答案是：；

?O1

②/的最小值是：1,理由如下：

由題意得：M(m,$,M〃，；)，過點胡作X，y軸的平行線，過點N作X,y軸的平行線，如圖所示，則A(",

$,B(m,》，

/=ipq=i(m+n)(i+i)=i(m×i+m×i+n×i+n×?)

=？(①的面積+②的面積)+②的面積+(②的面積+④的面積)+(①的面積+②的面積+③的面積+④的面

積)]

=7[(①的面積+②的面積)+(②的面積+④的面積)+(①的面積+②的面積)+(②的面積+④的面積)+③

4

的面積]

=jl+l+l+l+③的面積巨1,

；./的最小值是1.

【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練

掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，是解題的關(guān)鍵.

9.（2021.江蘇蘇州.統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y=/-（m+l）x+m（Tn是實數(shù)，且-l<πι<0）的

圖像與X軸交于4、B兩點（點4在點8的左側(cè)），其對稱軸與X軸交于點C,已知點D位于第一象限，且在對稱

軸上，ODIBD,點E在X軸的正半軸上，OC=EC.連接En并延長交y軸于點尸，連接4F.

（1）求人B、C三點的坐標（用數(shù)字或含m的式子表示）；

（2）已知點Q在拋物線的對稱軸上，當△4FQ的周長的最小值等于求m的值.

【答案】（1）A（m,0）,8（1,0）,e（?,θ）;（2）m=

【分析】（1）把y=O代入函數(shù)解析式，可得/一（rn+i）χ+rn=o,再利用因式分解法解方程可得a,B的

坐標，再求解函數(shù)的對稱軸，可得C的坐標；

(2)先證明ACOOSACDB,利用相似三角形的性質(zhì)求解CD?不，利用三角形的中位線定理再求解

OF2=4CD21-m2.再利用勾股定理求解4F=1,如圖，當點F、Q、B三點共線時，F(xiàn)Q+AQ的長最小,

此時AZFQ的周長最小.可得8F=(.再利用勾股定理列方程，解方程可得答案.

【詳解】解：(1)令y=0,則--(m+l)x+m=0,

?(%—I)(X—？H)=0,

?*?X]=TΓLf%2=1,

Λ?(m,0),8(1,0)，

...對稱軸為直線X=等

?e(?,θ).

(2)在RCAoDB中,CD1OB,OD1BD,

???乙ODB=乙OCD=90°,

V?DOC=?BOD,

:?△CODCDB,

CD__CO_

CB-CD,

?.?c(誓,0),B(L0),

.?.OC=吧，BC=I-吧=此

222

2

；?*=OC?CB=等1-m_l-τn

24

TCDJ"x軸，O∕7?Lx軸,

???CD//OF.

TOC=EC,

:.0F=2CD.

'.OF2=4CD2=1—m2.

在RtM。F中，AF2=OA2+OF2,

：.AF2=m2+l-m2=1,即4尸=L(負根舍去)

T點A與點B關(guān)于對稱軸對稱，

ΛQA=QB.

.?.如圖，當點尸、Q、B三點共線時，F(xiàn)Q+4Q的長最小，此時AANJ的周長最小.

.?.△4FQ的周長的最小值為

FQ+AQ的長最小值為言一1=；,即BF=；.

555

'：0F2+0B2=BF2,.".l-m2+1=—.

25

.?τn=+∣.

V—1<m<0>

...m=—1.

5

【點睛】本題考查的求解二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標以及對稱軸方程，圖形與坐標，二次函數(shù)的對稱性，

勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活應用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?江蘇揚州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)丫=/+以+?的圖像與*軸交

于點.4（一1,0）、B（3,0）,與y軸交于點C.

（2）若點。在該二次函數(shù)的圖像上，且SMBD=2S-8C，求點。的坐標;

（3）若點P是該二次函數(shù)圖像上位于X軸上方的一點，且SUPC=S-PB,直接寫出點P的坐標.

【答案】(I)-2,-3；(2)(1+√Tθ,