2023-2024學(xué)年山東省臨沂市沂縣九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省臨沂市沂縣九上數(shù)學(xué)期末考試試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A,B,C在圓上，且邊CD與該圓交于點(diǎn)E,AC,BE交于點(diǎn)F.下列角中，弧AE所

對(duì)的圓周角是（）

A.ZADEB.ZAFEC.ZABED.ZABC

2.按下面的程序計(jì)算：

若開(kāi)始輸入x的值為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為22,則開(kāi)始輸入的x值可以為（）

A.1B.2C.3D.4

3.對(duì)于題目“如圖，在A6C中，NAC3=90。,AC=4,3。=3,尸是A3邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD_LAC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在點(diǎn)

尸的右側(cè)，且PE=1，連接CE,P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A3方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，P停止運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)

程中，求陰影部分面積5+$2的大小變化的情況”甲的結(jié)果是先增大后減小，乙的結(jié)果是先減小后增大，其中（）

A.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確

C.甲、乙的結(jié)果都不正確，應(yīng)是一直增大D.甲、乙的結(jié)果都不正確，應(yīng)是一直減小

4.從1、2,3、4四個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為“，c,則滿足acW4的概率為（）

5.把拋物線y=3（x+l）2-2向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到的拋物線是（）

A.y=3x2B?y=3x2-4C.y=3（x+2）2D.y=3（x+2）2-4

6.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a/））圖象如圖所示，則下列結(jié)論，①c<0,②2a+b=0；③a+b+c=O,?b2-4ac<0,

其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4

7.如圖，傳送帶和地面成一斜坡，它把物體從地面送到離地面5米高的地方，物體所經(jīng)過(guò)路程是13米，那么斜坡的

坡度為（）

55

A.1：2.6B,1:—C.1：2.4D.1:—

1312

AE1

8.如圖，已知在AABC中，DE//BC,—=一，DE=2,則8c的長(zhǎng)是（）

AC3

9.如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2,AC=3石米，坡頂有旗桿BC,旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩

帶相連.若AB=10米，則旗桿BC的高度為（）

A.5米B.6米C.8米D.(3+75)米

10.一人乘雪橇沿坡度為1:6的斜坡滑下，滑下距離S（米）與時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系為S=10t+2t2,若滑動(dòng)時(shí)間

為4秒，則他下降的垂直高度為（）

A.72米B.36米C.366米D.186米

11.已知△ABCsaDEF,ZA=85°；NF=50°,那么cosB的值是（）

?B

A.1B.-C.—D.J3

22

12.-2的絕對(duì)值是（）

11

A.2B.—C.——D.-2

22

二、填空題（每題4分，共24分）

13.拋物線y=f+8x+6的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

14.已知扇形的圓心角為90。，弧長(zhǎng)等于一個(gè)半徑為5c〃7的圓的周長(zhǎng)，用這個(gè)扇形恰好圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽

略不計(jì)）.則該圓錐的高為cm.

15.如圖，在。ABCD中，AD=7,AB=2百，ZB=60°.E是邊BC上任意一點(diǎn)，沿AE剪開(kāi)，將AABE沿BC方向平

移到4DCF的位置，得到四邊形AEFD,則四邊形AEFD周長(zhǎng)的最小值為

17.把函數(shù)y=2,的圖象先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到新函數(shù)的圖象，則新函數(shù)的表達(dá)式

是.

18.比較sin30。、sin45。的大小，并用連接為.

三、解答題（共78分）

19.（8分）如圖，四邊形OABC為平行四邊形，B、C在。O上，A在。O外，sin/OCB=".

2

(1)求證：AB與。O相切；

(2)若BC=10cm,求圖中陰影部分的面積.

20.(8分)如圖，。是AABC的外接圓，A3是。的直徑，是AA3C的高.

(1)求證：AACDsACBD；

(2)若AZ)=2,CD=4,求30的長(zhǎng).

21.(8分)已知：如圖，ZABC=90°,點(diǎn)。在射線上.

求作：正方形DBEF,使線段60為正方形D8EE的一條邊，且點(diǎn)F在NA8C內(nèi)部.

22.(10分)某中學(xué)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“先行示范?！?，一數(shù)學(xué)活動(dòng)小組帶上高度為1.5m的測(cè)角儀BC,對(duì)建筑物AO進(jìn)行

測(cè)量高度的綜合實(shí)踐活動(dòng)，如圖，在BC處測(cè)得直立于地面的AO頂點(diǎn)A的仰角為30°,然后前進(jìn)40m至DE處，測(cè)

得頂點(diǎn)A的仰角為75°.

(1)求NCAE的度數(shù)；

(2)求AE的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))；

(3)求建筑物AO的高度(精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：V2?1,4,73?1.7).

DO

23.(10分)如圖，等邊AA8C中，點(diǎn)。在AC上(CD<-AC),連接80.操作：以A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,

2

交8。于點(diǎn)E,連接AE.

A

(1)請(qǐng)補(bǔ)全圖形，探究NR4E、NC8。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

DE

(2)把80繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，交AE于點(diǎn)尸，若求——的值(用含機(jī)的式子表示).

DF

24.(10分)已知：在R34BC中，NR4c=90。，AB=AC,點(diǎn)。為BC邊中點(diǎn).點(diǎn)M為線段5c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與

點(diǎn)C,點(diǎn)。重合)，連接4W,將線段AM繞點(diǎn)"順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段VE,連接EC.

(1)如圖1,若點(diǎn)M在線段8。上.

①依據(jù)題意補(bǔ)全圖1;

②求NMCE的度數(shù).

(2)如圖2,若點(diǎn)M在線段。上，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形后，直接用等式表示線段AGCE、CN之間的數(shù)量關(guān)

系.

25.(12分)圖中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為I,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).線段A8和CO的端點(diǎn)A、B、C、D

均在格點(diǎn)上.

(1)在圖中畫(huà)出以為一邊的AA8E,點(diǎn)E在格點(diǎn)上，使AABE的面積為4,且AA6E的一個(gè)角的正切值是g;

(2)在圖中畫(huà)出以NDCF為頂角的等腰ADC尸(非直角三角形)，點(diǎn)尸在格點(diǎn)上.請(qǐng)你直接寫出ADCE的面積.

26.已知：AB是。。的直徑，BD是。O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C,使AB=AC,連結(jié)AC,過(guò)點(diǎn)D作DE_LAC,垂足為

E.

⑴求證：DC=BD

(2)求證：DE為。O的切線

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、C

【分析】直接運(yùn)用圓周角的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：弧AE所對(duì)的圓周角是：NABE或NACE

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角的定義，掌握?qǐng)A周角的定義是解題的關(guān)鍵.

2、B

【分析】由3x+l=22,解得x=7,即開(kāi)始輸入的x為111,最后輸出的結(jié)果為556；當(dāng)開(kāi)始輸入的x值滿足3x+l=7,最

后輸出的結(jié)果也為22,可解得x=2即可完成解答.

【詳解】解：當(dāng)輸入一個(gè)正整數(shù)，一次輸出22時(shí)，

3x+l=22,解得：x=7；當(dāng)輸入一個(gè)正整數(shù)7,

當(dāng)兩次后輸出22時(shí)，

3x+l=7,解得：x=2；

故答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)程序框圖列出方程和理解循環(huán)結(jié)構(gòu)是解答本題的關(guān)鍵.

3、B

【分析】設(shè)PD=x,AB邊上的高為h,求出AD、h,構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

【詳解】解：在放ABC中，???NAa?=90o,AC=4,5C=3,

AB=VAC2+BC2=V32+42=5>

設(shè)PD=x,AB邊上的高為〃，則/z=任型=12.

AB5

VPD!IBC,

:?_ADPsACB,

.PDADAP

"BC-AC-AB，

45

:.AD=—xPA=—x9

3y3

?cc141o5、1222c2423、,33

??S[+S)=-?-x*x-\—(4—x)?—=-x-2xH----=—(Zx—)H-----,

1223235353210

.?.當(dāng)0<x<|時(shí)，'+邑的值隨工的增大而減小，

當(dāng);。時(shí)，5+§2的值隨X的增大而增大，

，乙的結(jié)果正確.

故選R

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，三角形面積，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函

數(shù)，學(xué)會(huì)利用二次函數(shù)的增減性解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

4、C

【分析】根據(jù)題意列出樹(shù)狀圖，得到所有a、c的組合再找到滿足acK4的數(shù)對(duì)即可.

【詳解】如圖：符合acK4的共有6種情況，

而a、c的組合共有12種，

故這兩人有“心靈感應(yīng)”的概率為色=」.

122

故選：C.

234

a

c

2A34A134A124A123

【點(diǎn)睛】

此題考查了利用樹(shù)狀圖法求概率，要做到勿漏、勿多，同時(shí)要適時(shí)利用概率公式解答.

5、A

【分析】根據(jù)拋物線平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，即可得解.

【詳解】由已知，得經(jīng)過(guò)平移的拋物線是y=3（x+l—1）2-2+2=3/

故答案為A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查拋物線平移的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.

6、B

【分析】由拋物線的開(kāi)口方向判斷a與1的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與1的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物

線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】①拋物線與y軸交于負(fù)半軸，則cVl,故①正確；

b

②對(duì)稱軸*=----=1?則2a+8=1.故②正確；

2a

③由圖可知：當(dāng)x=l時(shí)，y=a+b+c<\.故③錯(cuò)誤；

④由圖可知：拋物線與*軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則從-4ac>l.故④錯(cuò)誤.

綜上所述：正確的結(jié)論有2個(gè).

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的值求2a與分的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，

根的判別式的熟練運(yùn)用.

7、C

【解析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，由坡度的定義可知，坡度等于坡角對(duì)邊與鄰邊的比值，根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以

得到坡度，本題得以解決.

【詳解】如圖

據(jù)題意得;AB=13、AC=5,

則BC=JAB2-AC2=V132-52=12，

AC5

，斜坡的坡度i=tanzABC=——=—=1:2.4,

BC12

故選C.

8、D

【分析】由OE〃8c可證△AOEs/viBC,得到一=——，即可求8c的長(zhǎng).

ACBC

【詳解】'.,DE//BC,

:.△ADEs^ABC,

.AEDE

??=,

ACBC

AE1

V—=-,DE=2,

AC3

：.BC=l.

故選O.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì).

9、A

【解析】試題分析：根據(jù)CD：AD=1:2,AC=3逐米可得：CD=3米，AD=6米，根據(jù)AB=10米，ND=90?？傻?

BD=JAB。-A￡>2=8米，貝!IBC=BD-CD=8-3=5米-

考點(diǎn)：直角三角形的勾股定理

10、B

【分析】求滑下的距離，設(shè)出下降的高度，表示出水平高度，利用勾股定理即可求解.

【詳解】當(dāng)，=4時(shí)，s=10f+2/=72,

設(shè)此人下降的高度為x米，過(guò)斜坡頂點(diǎn)向地面作垂線，

在直角三角形中，由勾股定理得：X2+(V3X)2=722,

解得x=36.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了坡角問(wèn)題，理解坡比的意義，使用勾股定理，設(shè)未知數(shù)，列方程求解是解題關(guān)鍵.

11、C

【分析】由題意首先根據(jù)相似三角形求得NB的度數(shù)，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值確定正確的選項(xiàng)即可.

【詳解】解：AABC^ADEF,NA=85°,ZF=50",

/.ZC=ZF=50",

AZB=180°-ZA-ZC=180°-85°-50°=45°,

.衣4_OA/2

..COSB=COS45=--?

2

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相似三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)相關(guān)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

12、A

【解析】分析：根據(jù)數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的定義，在數(shù)軸上，點(diǎn)-2到原點(diǎn)的距離是2,所

以-2的絕對(duì)值是2,故選A.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、（T,-10）

【分析】直接利用公式法求解即可，橫坐標(biāo)為：―,縱坐標(biāo)為：4訛—6

2a4a

【詳解】解：由題目得出:

卜Q

拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：--=-----=-4；

2a2x1

4ac-b24x1x6—8224-64,八

拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為:===—10

4a-----4x1-------4

拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-4,-10）.

故答案為：（-4,-10）.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的知識(shí)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14、5厲

【分析】利用弧長(zhǎng)公式求該扇形的半徑，圓錐的軸截面為等腰三角形，其中底邊為1（）,腰為母線即扇形的半徑，根據(jù)

勾股定理求圓錐的高.

【詳解】解：設(shè)扇形半徑為R,根據(jù)弧長(zhǎng)公式得,

.\R=20,

根據(jù)勾股定理得圓錐的高為：7202-52=5715?

故答案為：5x/15.

【點(diǎn)睛】

本題考查弧長(zhǎng)公式，及圓錐的高與母線、底面半徑之間的關(guān)系，底面周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)這個(gè)等量關(guān)系和勾股定理是

解答此題的關(guān)鍵.

15、20

【解析】當(dāng)AELBC時(shí)，四邊形AEFD的周長(zhǎng)最小，利用直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】當(dāng)AELBC時(shí)，四邊形AEFD的周長(zhǎng)最小，

VAE±BC,AB=26,ZB=60°,

；.AE=3,BE=G，

VAABE沿BC方向平移到ADCF的位置，

；.EF=BC=AD=7,

，四邊形AEFD周長(zhǎng)的最小值為：14+6=20,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定出當(dāng)AE_LBC時(shí)，四邊形AEFD的周長(zhǎng)最小.

16、45°.

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案.

【詳解】解：?；sina=也，

2

.*.a=45".

故答案為:45°.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)特殊角的三角函數(shù)值，理解并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

17、j=l(x-3)1-1.

【分析】利用二次函數(shù)平移規(guī)律即可求出結(jié)論.

【詳解】解：由函數(shù)的圖象先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到新函數(shù)的圖象，得

新函數(shù)的表達(dá)式是y=l(x-3)1,

故答案為y=l(x-3)1-1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

18、＜.

【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案.

【詳解】解：Vsin30°=、sin45°=,

Asin30o<sin45°.

故答案為：V.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

三、解答題(共78分)

萬(wàn)

19、(1)見(jiàn)解析(2)上25—25.

2

萬(wàn)

【分析】連接OB,由sin/OCB="求出NOCB=45。，再根據(jù)OB=OC及三角形的內(nèi)角和求出

2

ZBOC=90°,再由四邊形OABC為平行四邊形，得出NABO=90。即OBJ_AB,由此切線得到證明

(2)先求出半徑。。=5五，再由S陰影=S扇形80。-SZSBOC即可求出陰影部分的面積.

【詳解】連接OB,

5

VsinZOCB=—,

2

.".ZOCB=45°,

VOB=OC,

.,.ZOBC=ZOCB=45°,

.?.ZBOC=90°,

四邊形OABC為平行四邊形，

；.OC〃AB,

.,.ZABO=90°,BPOB±AB,

.'AB與。O相切；

萬(wàn)

(2)在Rt^OBC中，BC=10,sinNOCB-二，

2

.S-s&_90〃x(5友＞1r-225萬(wàn)”

??J陰影扇形BOC-?ABOC--------------------------X(5V2)=----------25?

36022

【點(diǎn)睛】

此題考查圓的切線的判定定理、圓中陰影面積的求法，切線的判定口訣：有交點(diǎn)，連半徑，證垂直；無(wú)交點(diǎn)，作垂直,

證半徑，熟記口訣并熟練用于解題是關(guān)鍵.在求陰影面積時(shí)，直線放在三角形或多邊形中，弧線放在扇形中，再根據(jù)面

積加減的關(guān)系求得.

20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）BD=8.

【分析】（1）由垂直的定義，得到NA￡>C=NCD3=9O。，由同角的余角相等，得到NCAD=/BCD,即可得到結(jié)

論成立；

（2）由（1）可知△ACDs^c,得到42=生，即可求出BD.

CDBD

【詳解】（1）證明：TAB是。的直徑，

.*.ZACB=90°.

VCDLAB,

...ZADC=NCDB=90°.

VACAD+ZACD=ZACD+/BCD=90°,

:.NCAD=/BCD.

VZADC=ZCDB,ZCAD=ZBCD,

：./\ACD^/\CBD.

（2）解：由（1）得，ZVICD^ACBD

.ADCD

?.-=,

CDBD

BP-=—.

4BD

?*.BD=8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性

質(zhì)進(jìn)行解題.

21、見(jiàn)詳解

【分析】先以點(diǎn)B為圓心，以BD為半徑畫(huà)弧，作出點(diǎn)E,再分別以點(diǎn)D,點(diǎn)E為圓心，以BD為半徑畫(huà)弧，作出點(diǎn)F,

連結(jié)即可作出正方形DBEF.

【詳解】如圖，

DC

作法：1.以點(diǎn)B為圓心，以BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E；

2.分別以點(diǎn)D,點(diǎn)E為圓心，以BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)F,

3.連結(jié)EF,FD,

二四邊形DBEF即為所求作的正方形DBEF.

理由：

VBD=DF=FE=EB

:.四邊形DBEF為菱形，

?：ZABC=90°

：.四邊形DBEF是正方形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了基本作圖，正方形的判定.解題的關(guān)鍵是熟記作圖的方法及正方形的判定.

22、(1)45°；(2)20叵;(3)29.

【分析】(D先根據(jù)測(cè)得頂點(diǎn)A的仰角為75。，求出NAEC的度數(shù)進(jìn)而求NCAE的度數(shù)；

(2)延長(zhǎng)CE交AO于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作EF_LAC垂足為F.解直角三角形即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)題干條件直接解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)由測(cè)得頂點(diǎn)A的仰角為75。，可知NAEC=180°-75。=105°,又頂點(diǎn)A的仰角為30。即NACE=30。,

所以NCAE=180°-105°-30°=45°；

(2)延長(zhǎng)CE交AO于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作EF1AC垂足為F.

由題意可知：NACG=30°,NAEG=75°,CE=40,

AZEAC=ZAEG-ZACG=45°,

,:EF=CEXSinZFCE=20,

EF

.\AE=AE==20>/2,

sinZCAE

.，.AE的長(zhǎng)度為200m；；

(3)VCF=CEXcosZFCE=20\/3.AF=EF=20,

二AC=CF+AF=2073+20,

二AG=ACxSinNACG=10G+10,

AAO=AG+GO=10x/3+10+1.5=1oG+11.5^29,

???高度AO約為29m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、三角函數(shù)；由勾股定理得出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

DF772+1

23、(1)圖形見(jiàn)解析，NBAE=2NCBD,理由見(jiàn)解析；(2)—=-----,理由見(jiàn)解析

DFm+2

【分析】(1)根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系得：2ZBDH=ZBAE,由等腰三角形的性質(zhì)得HD〃BC,由平行線的性質(zhì)可

得結(jié)論；

(2)如圖2,作輔助線，由旋轉(zhuǎn)得：ABDM是等邊三角形，證明AAMB且ZkCDBlSAS),得AM=CD,NMAB=NC=60。,

證明AABDsaDFE,設(shè)AF=a,列比例式可得結(jié)論

【詳解】(1)如圖bZBAE=2ZCBD.

設(shè)弧DE與AB交于H,連接DH,

圖1

.*.2ZBDH=ZBAE,

又：AD=AH,AB=AC,ZBAC=60°,

.,.ZAHD=ZADH=60°,ZABC=ZC=60°,

；.NAHD=NABC,

.?.HD〃BC,

；.NDBC=NHDB,

.,.ZBAE=2ZDBC；

(2)如圖2,連接AM,BM,

圖2

由旋轉(zhuǎn)得：BD=DM,ZBDM=60°,

/.△BDM是等邊三角形，

，BM=BD,NMBD=60°,

VNABM+NABD=ZABD+ZCBD,

.,.ZABM=ZCBD,

「△ABC是等邊三角形，

，AB=AC,

/.△AMB^ACDB(SAS),

.,.AM=CD,ZMAB=ZC=60°,

VZAGM=ZBGD,ZMAB=ZBDM=60°,

/.ZAMD=ZABD,

由(1)知：AD=AE,

...NAED=NADE,

VZEDF=ZBAD,

/.△ABD^ADFE,

二ZEFD=ZABD=NAFM=NAMD,

r.AF=AM=CD,

設(shè)AF=a,貝!JEF=ma,AE=a+ma=(m+1)a,

.,.AB=AD+CD=AE+CD=(m+2)a,

由AABDs/\DFE,

.DE_AD_(加+l)a_m+1

,?DF~AB~(加+2)。—m+2'

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形、三角形內(nèi)角和和外角的性質(zhì)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用輔助線，構(gòu)建全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

24、(1)①見(jiàn)解析；②NMCE=Nf=45。；(2)AC-CE=y[lCM

【分析】(D①依據(jù)題意補(bǔ)全圖即可；②過(guò)點(diǎn)M作BC邊的垂線交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,利用同角的余角相等，得

到NFMA=NCME,再通過(guò)等腰三角形的判定得到FM=MC,再通過(guò)判斷AE4A/三ACME,得到NMCE的度數(shù).

(2)通過(guò)證明得到AF=EC,將AC—CE轉(zhuǎn)化為4。一4尸=尸。，再在Rt^FMC中，利用邊

角關(guān)系求出FC=J^CM，即可得到AC—=

【詳解】(1)①補(bǔ)全圖1：

BWZ>C

￡

②解：過(guò)點(diǎn)M作BC邊的垂線交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

FM±BC

:.ZFMC=90°

:.ZFMA+ZAMC=90°

???將線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段ME

ZAME=90°,AM=ME

AZCME+ZAMC=90°

AZFMA=ZCME

VZBAC=90°,AB=AC,

ZFCM=45