高中數(shù)學練習-函數(shù)零點問題

高中數(shù)學專題練習-函數(shù)零點問題

[題型分析?高考展望]函數(shù)零點問題是高考?？碱}型，一般以選擇題、填空題的形式考查，難

度為中檔.其考查點有兩個方面：一是函數(shù)零點所在區(qū)間、零點個數(shù);二是由函數(shù)零點的個數(shù)或

取值范圍求解參數(shù)的取值范圍.

?？碱}型精析

題型一零點個數(shù)與零點區(qū)間問題

例1（1）（?湖北）已知段）是定義在R上的奇函數(shù)，當xNO時，兀￥）=/—3x,則函數(shù)g（x）=/（x）

一x+3的零點的集合為（）

A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}

C.{2一巾，1,3}D.{-2—巾，1,3}

2X—元＜1,

（2）（2015.北京）設函數(shù)段）=<

4(x—a)(x—2〃)，xNl.

①若a=\,則"r）的最小值為；

②若?x）恰有2個零點，則實數(shù)。的取值范圍是.

點評確定函數(shù)零點的常用方法：

（1）若方程易求解時，用解方程判定法；

（2）數(shù)形結(jié)合法，在研究函數(shù)零點、方程的根及圖象交點的問題時，當從正面求解難以入手時，

可以轉(zhuǎn)化為某一易入手的等價問題求解，如求解含有絕對值、分式、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)式

等較復雜的函數(shù)零點問題，常轉(zhuǎn)化為熟悉的兩個函數(shù)圖象的交點問題求解.

變式訓練1（?東營模擬）制表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2.9]=2,[―4.1]=-5.已知凡r）=x

—[x](xGR),g(x)=log4(x—1),則函數(shù)/?(x)=Ax)—g(x)的零點個數(shù)是()

A.lB.2

C.3D.4

題型二由函數(shù)零點求參數(shù)范圍問題

["F+Sx+q,xWO,

例2（?天津）已知函數(shù)危）=[、若函數(shù)y=?x）一如|恰有4個零點，則實數(shù)

2\x-2\,x>0.

a的取值范圍為.

點評利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法：

(1)利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.

(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解.

(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

變式訓練2(?北京東城區(qū)模擬)函數(shù)加)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足於+2)=%).當造［0,1］

時，段)=2x若在區(qū)間［—2,3］上方程以+2a—於)=0恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的取

值范圍是.

高考題型精練

1.已知xi,X2是函數(shù)_/0)=戶一|lnx|的兩個零點，則()

AA<￥1X2<1B.l<￥lX2<e

e

C.l<x\X2<10D.e<xi%2<10

2—\x\xW2,

2.(.天津)已知函數(shù)於)=3f函數(shù)g(x)=b—X2—x),其中若函數(shù)y=?x)

.(x2)2”,x>2,

一g(x)恰有4個零點，則8的取值范圍是()

Ag，+°°)B.(-8,J

C(0,(ID.(2)

24一1xW］

3.(?福州模擬)已知函數(shù)*x)=一，’.'：則函數(shù)於)的零點為()

/十log”，X>1,

A.；,0B.-2,0

C.1D.O

4.函數(shù),/(x)=2sinTLX—x+1的零點個數(shù)為()

A.4B.5

C.6D.7

5.設函數(shù)Hx)=4sin(2r+1)—x,則在下列區(qū)間中函數(shù)?r)不存在零點的是()

A.[-4,-2]B.[-2,0]

C.[0,2]D.[2,4]

6.(?課標全國I)己知函數(shù)人外二加一31+1,若/(九)存在唯一的零點xo,且xo>O,則a的取值

范圍是()

A.(2,+°°)B.(—8,—2)

C.(l,+°°)D.(—8,—1)

logo.5(x+l),O<x<l,

7.定義在R上的奇函數(shù)人x),當x20時，?則關于x的函數(shù)F(x)

、1\X3|9X19

=/U)—a(O<a<l)的所有零點之和為()

A.l-2aB.2a-1

C.l-27D.2-a-l

rn+3I/

8.(?北京朝陽區(qū)模擬)已知函數(shù)次x)=12J4，’若函數(shù)g(x)=/U)—Z有兩個不同的零

Jog2X,0<x<2.

點，則實數(shù)%的取值范圍是.

9.已知函數(shù)兀x)=logar+x—b(a>0,且a#函當2<a<3<b<4時,函數(shù)加)的零點次s(〃,〃+

1),z?eN\則〃=.

10.方程2一，十/=3的實數(shù)解的個數(shù)為.

［0,0?,

11.(?江蘇)已知函數(shù)以)=|lnx|,g(x)=,2,，c?則方程府)+g(x)|=l實根的個數(shù)為

Lr~4—2,x>l,

12.已知/U)是以2為周期的偶函數(shù)，當尤《［0,1］時，/W=x,且在［—1,3］內(nèi)，關于龍的方程人龍)

=kx+k+l(k^R,AW-1)有四個根，則及的取值范圍是.

答案精析

函數(shù)零點問題

?？碱}型精析

例1(1)D(2)①一1②1)”2,4-0°)

解析⑴令x<0,貝Ix>0,

所以—%)=(-+3x=/+3x.

因為7U)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以>(—x)=—/U).

所以當x<0時，?x)=—%2—3x.

所以當xNO時，8(*)=/—以+3.令g(x)=O,即/—4x+BuO,解得x=l或x=3.當x<0時，

g(x)=—JC2—4x+3.令g(x)=O,即x2+4尤-3=0,解得x=-2+書>0(舍去)或x=—2一由.所

以函數(shù)g(x)有三個零點，故其集合為{—2—由，1,3}.

2X—1,x<\,

(2)①當。=1時，J(x)-

、4(x—1)(%—2),42L

當xvl時，危)=2工一1￡(一1,1),

當工21時，段)=4(f一3%+2)

??/(X)min=11.

②由于義X)恰有2個零點，分兩種情況討論：

當次》)=2*—4,x<l沒有零點時，.22或aWO.

當心2時，j(x)=4(x-a)(x-2a),時，有2個零點;

當“W0時,J(x)=4(x-a)(,x-2d),時無零點.

因此“22滿足題意.

當式x)=2'-a,x<l有一個零點時，0<a<2.

.*x)=4(x—a)(x—2a),有一個零點，此時a<l,2a?l,因此;Wa<l.

綜上知實數(shù)a的取值范圍是或。221.

變式訓練1B[函數(shù)〃(x)=Ax)-g(x)的零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)式光)與g(x)圖象的交點個數(shù)，作

x+1,—IWXVO,

出函數(shù)y(x)=x-[x]=<X,0Wx<l,與函數(shù)g(x)=log4(尤一1)的大致圖象如圖，由圖可

X—1,lWx<2,

知兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)為2,即函數(shù)4(x)=/(x)—g(x)的零點個數(shù)是2.]

y

例2l<a<2

解析畫出函數(shù)兀0的圖象如圖所示.

函數(shù)y=/U)—。國有4個零點，即函數(shù)的圖象與函數(shù)兀X)的圖象有4個交點(根據(jù)圖象知

需a>0).

當a=2時，函數(shù).*x)的圖象與函數(shù)yi=a|x|的圖象有3個交點.故?<2.

當了=。|川。應0)與、=4+5*+4|相切時，在整個定義域內(nèi)，/U)的圖象與>|=4國的圖象有5個

交點，

y=-ax,

此時，由f,得f+(5—a)x+4=O.

j=-5x—4

由』=O得(5—a)?—16=0,解得a=l,或a=9(舍去),

則當l<a<2時，兩個函數(shù)圖象有4個交點.

故實數(shù)a的取值范圍是1<?<2,

變式訓練2聲2a。2

解析由/(x+2)=/")得函數(shù)的周期是2.

由ax+2a—fix)=^得/U)=ax+2a,

設y=_Ax)，y=ax+2a,作出函數(shù)y=?r),y=ar+2a的圖象，如圖,

要使方程ax+2a-/U)=0恰有四個不相等的實數(shù)根，

則直線y=ax+2a=a(x+2)的斜率滿足kAH<a<kAG,

由題意可知，G(l,2),H(3,2),4(—2,0),

22

所以碗=5,kAG=y

22

所以§<a<T

高考題型精練

1.A[在同一坐標系中畫出函數(shù)y=e「與y=|lnx|的圖象，結(jié)合圖象不難看出，它們的兩個交

點中，其中一個交點的橫坐標屬于區(qū)間(0,1),另一個交點的橫坐標屬于區(qū)間(1,+8),即在

xi,九2中，其中一個屬于區(qū)間(0,1),另一個屬于區(qū)間(1,+8).不妨設加金(0,1),326(1,+°°),

則有e-xi=|lnxi|=-lnxi￡(eul),e-X2=|lnX2|=lnx2^(0,e'),e-X2-e—xi=

Inxj+lnxi=lnxix2￡(—1,0),于是有e1<riX2<e°,即:<riX2<l.]

2.D防法一當x>2時，g(x)=x+b-4,/U)=(無一2%

當0W尤W2時，g(x)=b—x,?r)=2—x;

當x<0時，g(x)=h—x2,j(x)=2+x.

由于函數(shù)y=7U)—g(x)恰有4個零點，

所以方程?x)—gCr)=O恰有4個根.

當。=0時，當x>2時，方程y(x)—g(x)=O可化為/一5%+8=0,無解；

當0WxW2時，方程兀￥)—g(x)=O可化為2—x—(―x)=0,無解；

當x<0時，方程兀r)—g(x)=O可化為/+尤+2=0,無解.

所以。W0,排除答案B.

當8=2時，當尤>2時，方程式尤)一g(x)=O可化為(尤一2)2=%一2,得尤=2(舍去)或x=3,有1

解；

當0W無W2時，方程/U)—g(x)=O可化為2—尤=2—九，有無數(shù)個解；

當x<0時，方程凡r)—g(x)=0可化為2—/=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.

所以。W2,排除答案A.

當6=1時，當x>2時，方程式外一g(x)=0可化為x2—5x+7=0,無解；

當0WxW2時，方程兀￥)—g(x)=0可化為1—x=2—x,無解；

當x<0時，方程?x)—g(x)=0可化為X2+光+1=0,無解.

所以。#1,排除答案C.因此答案選D.

方■法二記/?(x)=—A2—x)在同一坐標系中作出.*x)與/z(x)的圖象如圖，直線AB：y=x-4,當

\y=x+b',

直線/〃4?且與兀0的圖象相切時，由f,

[y=(x—2Y，

997

解得分=一不一彳一(一4)=不

7

所以曲線久幻向上平移;個單位后，所得圖象與./(X)的圖象有兩個公共點，平移2個單位后，兩

7

圖象有無數(shù)個公共點，因此，當a<〃<2時，凡r)與g(x)的圖象有4個不同的交點，即y=/(x)

—g。)恰有4個零點.選D.]

1

--

3.D[當xWl時，由次0=2*—1=0,解得x=0;當x>l時，由/U)=l+log2%=0,解得2

又因為x>l,所以此時方程無解.綜上，函數(shù)的零點只有0.]

4.B[V2sin7Lr—x+l=0,.*.2sin7tx=x—1,圖象如圖所示，由圖象看出y=2sin?與y=x—

1有5個交點,

/.y（x）=2sinTtx~x+1的零點個數(shù)為5.]

5.A[/(0)=4sin1〉0,火2)=4sin5—2,由于兀<5<2兀,

所以sin5<0,故負2)<0,則函數(shù)在[0,2]上存在零點；

由于八一l)=4sin(—1)+1<0,故函數(shù)在［-1,0］上存在零點，也在［—2,0］上存在零點;

571-2

令xe[2,4],

4

?.57i—25兀5?！?5?！?18—5兀

則式)=4siny4-----4=4-4-----4〉0，

而人2)<0,所以函數(shù)在[2,4]上存在零點.選A.]

6.B[f(1)=3加一6x,

當a=3時，f(x)=9x2—6x=3x(3x—2),

則當x￡(—8,O)0t,f(x)>o^e(o,|)時，/(x)<o3e(|,+8)時，/(x)>0,注意.*0)=1,

x|)=|>0,則/(x)的大致圖象如圖1所示.

P產(chǎn)曲

/o\2x

圖i

不符合題意，排除A、C.

433

當。=一)時，/(x)=-4/-6x=-2x(2x+3),則當日…，一2時"(*(),當正(一了

0)時，/(x)>0,當xW(0,+8)時，/。)<0,注意式o)=i,式一|)=一點則火》)的大致圖象

如圖2所示.

「J.

圖2

不符合題意，排除D.］

7.A［當0Wx<l時，/U)W0.

由F(x)=?x)—a=0,畫出函數(shù)y=?r)與y=a的圖象如圖.

函數(shù)F(x)=J(x')—a有5個零點.

當—l<x<0時，0<—%<1,

所以人一X)=Iog0.5(—x+1)=—log2(l—X),

即Xx)=log2(l—x),—1<r<0.

由兀v)=log2(l—x)=a,

解得尤=1—2“，

因為函數(shù)?x)為奇函