河北省高二年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試題2（解析版）

一、單選題

1.直線y-3=0的傾斜角是()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】根據(jù)直線一般方程得直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角與斜率得關(guān)系可得傾斜角的大小.

【詳解】解：由直線氐-了-3=0得直線的斜率左=石

又直線的傾斜角為。，且ae[0°,180。)，所以tana=G，得a=60°

故選:B.

2.已知向量可=(一1,2,1),5=(3,x,y),S,a//b)那么|5|=()

A.376B.6C.9D.18

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，設(shè)5=折,即(3,x,y)=*(-l,2,I),分析可得x、N的值，進(jìn)而由向量模

的計算公式計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，向量。=(T,2,1),b=(3,x,y),且小區(qū)，

則設(shè)在=%,即。，x,y)=k(T,2,1),

則有％=—3,則x=-6,y——3,

則6=(3,-6,-3),故向=49+36+9=3J；

故選：A.

3.已知空間四邊形Z8CD的每條邊和對角線的長都等于1,點(diǎn)E,F分別是8C,4。的中點(diǎn)，則

瓦.萬的值為()

A.1B.?C.-D.—

244

【答案】C

【分析】先得到該空間四邊形及其對角線構(gòu)成的幾何體為正四面體，再根據(jù)空間向量的基本定理得

到=+利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計算出答案.

22

【詳解】此空間四邊形及其對角線構(gòu)成的幾何體為正四面體，棱長為1,

因為點(diǎn)E,尸分別是8C,4。的中點(diǎn)，

—1—1—

所以/E=+—

22

所以次.萬荔撫]?萬=1而.萬+，祀?萬

=4利祠8s60。+；因.西

4.己知拋物線O:/=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)尸在。上，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線/的垂線，垂足為A

，若陷=|陰,則|尸尸|=()

A.2B.20C.2百D.4

【答案】D

【分析】畫出圖像，利用拋物線的定義求解即可.

【詳解】由題知尸。,0),準(zhǔn)線/：x=-l,設(shè)與x軸的交點(diǎn)為C,點(diǎn)尸在。上,

由拋物線的定義及己知得|尸才|=以尸|=歸尸|，則△/>”為等邊三角形，

解法1：因為乙=力尸?！份S，所以直線尸P斜率％=6,所以PF:y=%(x-l),

由.二解得P(3,2石)，尸苧)舍去，

所以加=x0+勺3+1=4.

解法2：在放口/CF中，|CF|=2/ZPC=60',則可=4.

解法3：過尸作于點(diǎn)3,則B為/P的中點(diǎn)，因為|/a=2,則卜尸|=4.

故選:D.

5.如圖，在正四棱柱/8C。-48cA中，O是底面的中心，瓦尸分別是3綜。"的中點(diǎn),

則下列結(jié)論正確的是()

B.A.OVEF

C.4。//平面EF與

D.4。，平面或碼

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項分析、判斷作答.

【詳解】在正四棱柱/8CO-4與G2中，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

令A(yù)B=2a,D0=2b(a>O,b>O),。是底面/8C。的中心，E,尸分別是叫的中點(diǎn),

則0(a,a,0),A,(2a,0,2b),E(2a,2a,b),Bx(2a,2a,2b),F(0,0,b),西=(a,-a,2b),

FE=(2a,2a,0),甌=(0,0,b),

對于A,顯然西與及不共線，即4。與E尸不平行，A不正確；

對于B,因西?瓦=〃-2〃+(-。>2。+0-26=0,則可J.薜，即4。，后尸，B正確；

對于C,設(shè)平面Efg的法向量為7=（x,y,z）,則二方~,令x=l,得

n-EB]=oz=0

國力=2a>0,因此可與；;不垂直，即4。不平行于平面￡尸片，C不正確；

對于D,由選項C知，兩與?不共線，即吊。不垂直于平面衣耳，D不正確.

故選：B

6.若實數(shù)可滿足X2+/+2X=0,則白的最大值為（）

x-1

A.-B.—C.GD.2

23

【答案】B

【分析】設(shè)當(dāng)直線區(qū)一》-〃=。與圓（x+lj+y2=l相切時上；■取得最值，然后可建立方

程求解.

【詳解】由一+/+2》=0可得（x+iy+/=i,其表示的是圓心在（-1,0）,半徑為1的圓，

設(shè)一=左，其表示的是點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)（1,0）連線的斜率，

由“一=左可得履一1一k=0,

x-1

當(dāng)直線履—-&=0與圓（x+i『+V=i相切時：、取得最值，

此時有g(shù)[=1,解得4=±且，

VI+A23

所以*的最大值為由，

x-13

故選：B

7.某班為了了解學(xué)生每周購買零食的支出情況，利用分層隨機(jī)抽樣抽取了一個15人的樣本統(tǒng)計如

下：

學(xué)生數(shù)平均支出（元）方差

男生9406

女生6354

據(jù)此估計該班學(xué)生每周購買零食的支出的總體方差為（）A.10B.11.2C.23D.11.5

【答案】B

【分析】由均值和方差公式直接計算.

【詳解】全班學(xué)生每周購買零食的平均費(fèi)用為亍=方(9乂40+6'35)=38,

方差52=方［6+(40-38)2］+白、［4+(35-38)1=11.2.

故選：B.

8.2021年4月12日，四川省三星堆遺址考古發(fā)據(jù)3號坑出土一件完整的圓口方尊，這是經(jīng)科學(xué)

考古發(fā)據(jù)出土的首件完整圓口方尊(圖1).北京冬奧會火種臺“承天載物”的設(shè)計理念正是來源于

此，它的基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部舒展開翩，寓意迎接純潔的奧林時克火種，一種圓口方

尊的上部(圖2)外形近似為雙曲線的一部分繞著虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面，該曲面的高為

50cm,上口直徑為丹^cm,下口直徑為25cm,最小橫截面的直徑為20cm,則該雙曲線的離心率

為()

圖1圖2

7713

A.-B.2C.*-D.—

435

【答案】D

【分析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡-口=1(“>01>0),利用已知條件確定的值，即可求解

【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡-《=1(“>0,6>0),

則由題意最小橫截面的直徑為20cm,可知Q=10,

設(shè)點(diǎn)>0),

則變2/殷一勺

900b2400b2

解得f=32,b=24,

13

所以

~5

故選：D

二、多選題

9.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個小球，則下列結(jié)論正確的是（）

A.“至少有一個紅球”和“至少有一個黑球”是互斥事件

B.“恰有一個黑球”和“都是黑球”是互斥事件

C.“恰有一個紅球”和“都是紅球”是對立事件

D.“至少一個黑球”和“都是紅球”是對立事件

【答案】BD

【分析】利用對立事件、互斥事件的定義直接求解.

【詳解】解：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個小球，可能結(jié)果有：二個紅球，一個紅

球一個黑球，二個黑球；

對于A,“至少一個紅球”和“至少有一個黑球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；

對于5,“恰有一個黑球”和“都是黑球”不能同時發(fā)生，是互斥事件，故3正確；

對于C,“恰有一個紅球”和“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是可以同時都不發(fā)生，是互斥事件，

但不是對立事件，故C錯誤；

對于。，“至少一個黑球”和“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是一定有一個要發(fā)生，是對立事件，

故D正確.

故選：BD.

10.若曲線C的方程為J+上^=1（〃]>0）,則（）

A.當(dāng)機(jī)=也時，曲線C表示橢圓，離心率為:

22

B.當(dāng),”=百時，曲線C表示雙曲線，漸近線方程為y=士理x

C.當(dāng)〃2=1時，，曲線。表示圓，半徑為1

D.當(dāng)曲線C表示橢圓時，焦距的最大值為4

【答案】BC

【分析】根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)，由方程確定曲線形狀，然后求出橢圓的。，4c得離心率，得焦

距判斷AD,雙曲線方程中只要把常數(shù)1改為0,化簡即可得漸近線方程，判斷B,由圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程判斷C.

【詳解】選項A,加=出時，曲線方程為了十?一、表示橢圓，其中則

2--22

22

c1V6

c2=a2-b2=\,離心率為a『3,A錯；

選項B,機(jī)=6時曲線方程為E-y2=i表示雙曲線，漸近線方程為工-y2=0,即士也x,B

333

正確；

選項C,"?=1時，曲線方程為/+『=],表示圓，半徑為1,C正確；

2-加2>0

選項D,曲線C表示橢圓時，,>00<〃?2<1或1<〃?2<2,

trrw2一加2

22222222

時，a=2-mfb=mfc=a-b=2-2tnG(0,2),

22222222

1<陽2<2時，a=m9h=2-m,c=a-b=2???-2G(0,2),

所以c%(0,2),即ce(0,&),無最大值.D錯.

故選：BC.

11.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)Z為端點(diǎn)的三條棱長均為6,且它們彼此的

夾角都是60。，下列說法中不正確的是()

A.>fC,=1276

B.83工平面/CG

C.向量示與麴的夾角是60。

D.直線8"與/C所成角的余弦值為逅

6

【答案】AC

【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對選項中的命題分析，判斷正誤即

可.

【詳解】解：對于4:藕=荏+而+a=赤+石+羽，

,---2--2--2--2----------------

??ACX=AB+AD+AA,+2AB-AD4-2AD-AA.+2AD-AA,

=36+36+36+2x6x6xcos60°+2x6x6xcos60°+2x6x6xcos60°=216,

所以|/CJ=V^=6"，選項A錯誤：

對于8:祠.麗=（方+而+麴）?（而一萬）

=羽?詬-萬,+而。一方?瓦+鬲?而?而=0,所以ZC/Z）8=0,B|JACX±DB,

而而=（而+而）.（亞-刀）=萬2一次2=|可—畫2=0,所以而而:。，gpAC1BD,因為

ACnAC^A,ZC,ZGu平面/CG，所以832平面/CC-選項8正確：

對于C：向量麻與方瓦的夾角是180。-60。=120。，所以向量品與五耳的夾角也是120。，選項C

錯誤；

對于O:西=瓦+羽-而，AC=AB+HD

所以網(wǎng)2=（而+羽-碉，+/+而2+2通.麴-2亞.羽_2羽.麗,

西|=,36+36+36+2x6x6x；-2x6x6*；-2x6x6xg=6五，

同理，可得|就|=66

??,記西=（通+祠-而）.（而+而）=18+18-36+36+18-18=36,

所以儂<如">=番矗=就？T系,所以選項〃正確.

故選：AC.

12.已知C:，+/=l（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳，B，長軸長為4,點(diǎn)P（3,l）在橢圓C

外，點(diǎn)。在橢圓C上，則下列說法中正確的有（）

A.橢圓C的離心率的取值范圍是J

\7

B.已知E(0,-2),當(dāng)橢圓C的離心率為乎時，|。目的最大值為3

C.存在點(diǎn)0使得西?函=0

D-需需的最小值為?

【答案】ACD

【分析】易得。=2,再根據(jù)點(diǎn)尸(&,1)在橢圓C外，可得［+/>1,從而可求得〃的范圍，再根

據(jù)離心率公式即可判斷A；根據(jù)離心率求出橢圓方程，設(shè)點(diǎn)O(x,y),根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合橢

圓的有界性即可判斷B；當(dāng)點(diǎn)。位于橢圓的上下頂點(diǎn)時/耳。入取得最大值，結(jié)合余弦定理判斷

/6。巴是否大于等于90。即可判斷C；根據(jù)

爵符=^+贏4［向+向)"㈤。用)結(jié)合基本不等式即可判斷D-

【詳解】解：根據(jù)題意可知”=2,

V2V2

則橢圓方程為二+右=1,

4h2

因為點(diǎn)尸(a,1)在橢圓C外，

所以：2+我1>1,所以〃<2,

所以o<4<L

a22

則離心率e=?=等,1,故A正確；

對于B,當(dāng)橢圓C的離心率為立時，-=-=

2a22

所以c=后,b?-1,

所以橢圓方程為土+/=1,

4

設(shè)點(diǎn)。(范歹)，

則31=.2+3+2）2=A/_3/+4y+8（-l<y<l）,

當(dāng)夕=，時，|。目心=27，故B錯誤；

對于C,當(dāng)點(diǎn)。位于橢圓的上下頂點(diǎn)時N耳。鳥取得最大值,

此時|。耳|=|2用=。，閨用=2%

儂『+|°研_|耳周2

2/一4/4從_2a2

cosZ.FQF==白＜0,

X221MM-2^-―_2?-

即當(dāng)點(diǎn)。位于橢圓的上下頂點(diǎn)時/耳?！隇殁g角,

所以存在點(diǎn)Q使得NF\QE為直角,

所以存在點(diǎn)。使得西?西=0,故C正確;

對于D,|。胤+|"|=2〃=4,

則需翻=贏+康rfei+贏購十四）

斗爵制小2臥卜，

例|明

當(dāng)且僅當(dāng)即|。耳|=|0用=2時,取等號,

明一31'

所以網(wǎng)+1網(wǎng)

所以的最小值為1,故D正確.

\QFX\.\QF2\

三、填空題

13.某校高二年級共有學(xué)生1000人，其中男生480人，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法

從高二全體學(xué)生中抽出一個容量為100的樣本，若樣本按比例分配，則女生應(yīng)抽取的人數(shù)為

【答案】52

【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解.

【詳解】解：由分層抽樣的性質(zhì)得：

心女小生亡應(yīng)口該珈抽的?。?00x—100—0-4—80=5?2.

故答案為：52.

14.已知兩直線4：x-2y+4=0,4：4x+3y+5=0.若直線4：辦+2^-6=0與4，/?不能構(gòu)成三

角形，求實數(shù).

【答案】-1或:或-2

【分析】分別討論或4〃4或4過4與右的交點(diǎn)時，即可求解.

【詳解】由題意可得，①當(dāng)4〃4時，不能構(gòu)成三角形，此時："(-2)=1X2,解得：a=-\,

Q

②當(dāng)右〃，2時，不能構(gòu)成三角形，此時：ax3=4x2,解得：。=鏟

③當(dāng)4過4與4的交點(diǎn)時，不能構(gòu)成三角形，此時：

fx-2y+4=0(x=-2

聯(lián)立4與/?,得…—，解得,，

[4x+3y+5=0[y=l

所以4與4過點(diǎn)(々I),將(一2,1)代入4得：ax(-2)+2xl-6=0,解得〃=一2；

Q

綜上：當(dāng)“=-1或三或-2時，不能構(gòu)成三角形.

Q

故答案為：-1或2或-2.

15.已知圓G:(x-l『+y2=l,圓G：(x+l>+y2=25.動圓M與G外切，與G內(nèi)切，則動圓〃的

圓心的軌跡方程為.

【答案】—+^-=1

98

【分析】根據(jù)題意得到動圓圓心到兩個定圓圓心的距離之和為常數(shù)，且大于兩個定點(diǎn)的距離，故軌

跡為橢圓，根據(jù)條件計算得到答案.

【詳解】圓G：(x-1)2+V=i的圓心為G(1,O),半徑為1,

圓G：(X+1)2+/=25的圓心為C?(-1,0),半徑為5,

設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為r,

則|g|=l+r,|MC,|=5-r,

于是|MGI+|g|=6>GGI=2,

???動圓圓心M的軌跡是以G(i,o),G(-i，°)為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓,

.?.<7=3,c=l,b1=a2-c2=8,

.?.M的軌跡方程為《+片=1,

98

故答案為：—+—=1

98

16.如圖，已知拋物線E：必=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，過下且斜率為1的直線交E于A,8兩

點(diǎn)，線段月3的中點(diǎn)為其垂直平分線交x軸于點(diǎn)C,加上了軸于點(diǎn)汽.若四邊形CMN尸的面

積等于7,則E的方程為.

【答案】y2=4x

【分析】作出輔助線，根據(jù)直線的斜率表達(dá)出梯形C的VF的上底和下底以及高，列出方程，求

出P=2,得到拋物線方程.

【詳解】易知尸直線的方程為y=x-^,四邊形CMNF為梯形，旦FC〃NM.

%_必f_2。.J

設(shè)/(%,%),8(%,%)，M(x0,y0),則“'x,-x2必+%，

2p2p

所以％+為=2。，所以坊=p.

作A/K_Lx軸于點(diǎn)K,貝“A/K|=p.

因為直線力8的斜率為1,所以口FMC為等腰直角三角形，故忸K|=|MK|=|KC|=p,所以

\MN\=\OF\+\FK\^^-,|FC|=2p,

所以四邊形"的面積為:x(當(dāng)+2p)xp=7,

解得P=2,

故拋物線E的方程為產(chǎn)=4x.

四、解答題

17.已知直線4：（m+2）x+，”y-8=0與直線4：mx+y-4=0,meR.

⑴若LU，求機(jī)的值；

（2）若點(diǎn)尸。,加）在直線上，直線/過點(diǎn)P,且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0,求直線/的方程.

【答案】（1）-3或0；

（2）2x-y=0或x-y+l=0.

【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直得到方程，求出機(jī)的值；

（2）先將點(diǎn)尸（1,加）代入4中求出加=2,再分截距為0和截距不為0兩種情況進(jìn)行求解.

【詳解】（1）由題意得：加（加+2）+機(jī)=0,解得：，"=-3或0,

經(jīng)檢驗，均滿足要求，所以機(jī)=-3或0；

（2）將點(diǎn)尸（1,代入/?中，m+m-4-O,解得：m=2,

因為直線/過點(diǎn)P,且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0,

當(dāng)兩截距均為0時，設(shè)直線/為尸船，代入尸（L2）,可得氏=2,

此時直線/為2x-y=0：

當(dāng)兩截距不為0時，設(shè)直線/為二+且=1,代入?（1,2）,可得〃=—1,

n-n

故此時直線/為x-y+l=0；

綜上：直線/的方程為2x_y=0或x_y+l=0.

18.在某社區(qū)舉辦的《“環(huán)保我參與''有獎問答比賽》活動中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有

3

關(guān)環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是:，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是

，，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是;.若各家庭回答是否正確互不影響.

（1）求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；

（2）求甲、乙、丙三個家庭中恰有2個家庭回答正確這道題的概率.

【答案】（1）?、宗

OJ

_15

（2）—.

32

【分析】（1）記“甲家庭回答正確這道題”，“乙家庭回答正確這道題”，“丙家庭回答正確這道題”分

別為事件A,B,C，根據(jù)獨(dú)立事件概率的求法列方程組計算即可；

（2）由（1）結(jié)合題意可知所求事件為“8^+/耳C+彳8C,其概率利用互斥事件與獨(dú)立事件的概

率求法計算即可.

【詳解】（1）記4=”甲家庭回答正確這道題"，8="乙家庭回答正確這道題“，C="丙家庭回答正確

這道題”，

由于43。相互獨(dú)立，所以，和心相互獨(dú)立，

網(wǎng)㈤V

尸⑻7

則'。（硝=P@P?=（1-尸⑷）（1-P（C））=\,解得＜

P(0=|

P（BC）=P（B）P（C尸;

32

所以乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率分別為三..

o3

（2）因為4B,C相互獨(dú)立，且。，麗C,18c相互互斥，

所以2（48。+/耳C+ABC]=P[ABC）+P（ABC）+P（ABC]

=P（J）P（5）P（C）+P（/4）P（5）P（C）+P（^）P（B）P（C）

3215

—x—=——

8332

所以恰有2個家庭回答正確這道題的概率為E.

19.已知圓心為C的圓經(jīng)過血1,1）,8（2,-2）兩點(diǎn)，且圓心C在直線/：＞丁+1=0上

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）若直線PQ的端點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5,6）,端點(diǎn)。在圓C上運(yùn)動，求線段尸。的中點(diǎn)M的軌跡方程

【答案】（l）（x+3）2+（y+2）2=52

⑵（x-i）2+（y-2）n

【分析】(1)先求得線段48的垂直平分線的方程，通過聯(lián)立垂直平分線的方程和直線/的方程求

得圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而求得半徑，從而求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，求得。點(diǎn)的坐標(biāo)，將。點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，化簡求得必點(diǎn)的軌跡

方程.

【詳解】(1)線段48的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為

直線AB的斜率為--=-3,

2—1

所以線段N8的垂直平分線的斜率為;,

1.

所以線段N5的垂直平分線的方程為=丁-1,

y-JLY-]

由,‘一3解得工=-3）=—2,所以C（—3,—2）,

x-y+l=0

\AC\=>j42+32=5,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)，(y+2『=5'

(2)設(shè)"(xj),由于/是線段P。的中點(diǎn)，尸(5,6),

所以°（2x-5,2y-6）,

將。點(diǎn)的坐標(biāo)代入原。的方程得(2*-5+3『+(2夕-6+2『=52,

整理得M點(diǎn)的軌跡方程為：(x_if+Q_2)2=(|J.

20.某校對2021年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(單位：分)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將

分?jǐn)?shù)按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分成6組，制成了如圖所示

的頻率分布直方圖:

頻率

（1）估計該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的平均分；

（2）估計該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的第80百分位數(shù)；

⑶為了進(jìn)一步了解學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，由頻率分布直方圖，成績在［50,70）和［70,90）的兩組

中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2.名學(xué)生進(jìn)

行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績在［50,70）內(nèi)的概率.

【答案】（1）93分：

（2）115分;

*

【分析】（1）先利用頻率之和為1,計算出a=0.01,進(jìn)而求出平均值即可；

（2）利用百分位數(shù)的運(yùn)算方法，求出成績的第80百分位數(shù)；

（3）利用分層抽樣取樣方法，算出需在［50,70）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽2人，分別記為4，4,需在［70,90）分

數(shù)段內(nèi)抽3人，分別記為片，B2,B3,寫出樣本空間和符合條件樣本點(diǎn)數(shù)，即可求出相應(yīng)概率.

【詳解】（1）解：S0.005x20+0.005x20+0.0075x20+0.02x20+ax20+0.0025x20=1,

得a=0.01.

數(shù)學(xué)成績在：

［30,50）頻率0.0050x20=0.1,

［50,70）頻率0.0050x20=0.1,

［70,90）頻率0.0075x20=0.15,

［90,110）頻率0.0200x20=0.4,

［110,130）頻率0.0100x20=0.2,

［130,150］頻率0.0025x20=0.05,

樣本平均值為：40x0.1+60x0.1+80x0.15+100x0.4+120x0.2+140x0.05=93,

可以估計樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績均值為93分，

據(jù)此可以估計該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績估計93分.

（2）解：由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績在110分以下所占比例為0.1+0.1+0.15+0.4=0.75,

在130分以下所占比例為0.75+0.2=0.95

因此，第80百分位數(shù)一定位于［110,130）內(nèi)，|±|110+20x^^^=115,

可以估計樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為115分，

據(jù)此可以估計該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績第80百分位數(shù)約為115分.

（3）解：由題意可知，［50,70）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為100x0.1=10（人），

［70,90）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為100x0.15=15（人）.

用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則需在［50,70）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽2人，分別記為4,

4,需在［70,90）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽3人，分別記為耳，與，B、,

設(shè)“從樣本中任取2人，至少有1人在分?jǐn)?shù)段卜0,70）內(nèi)”為事件A,

則樣本空間。={44,4緣4層，4名，4綜4%4員由%8總,8通}共包含10個樣本點(diǎn)

而A的對立事件）={4%片&,8通}包含3個樣本點(diǎn)

所以「（司=三，所以P（/）=1-P（R=S，即抽取的這2名學(xué)生至少有1人在［50,70）內(nèi)的概率為

7

10,

21.如圖，直三棱柱Z8C-48cl中，/8C是邊長為2的正三角形，。為43的中點(diǎn).

（1）證明：CO，平面月4；

(2)若直線gC與平面488/所成的角的正切值為手，求平面48G與平面/8G夾角的余弦

值.

【答案】(1)證明見解析；(2)1,

【分析】(I)利用線面垂直的判定定理證明即可；

(2)連接。氐，由(1)知C01平面又直線8c與平面N88/所成的角的正切值為半

,可得84=2,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用二面角的坐標(biāo)公

式計算大小可得答案.

【詳解】(1)?.Y8C是正三角形，。為的中點(diǎn)，

COVAB.

又?.Y8C-4AG是直三棱柱，

4411.平面ABC,

AA,1CO.

又4BCA4=4,

,CO_L平面.

(2)連接。用，由(1)知CO,平面

二直線5,C與平面ABBH所成的角為NCB0,

tanNCBQ=半.

???口/BC是邊長為2的正三角形，則。。=百，

:.OB\=亞.

在直角口8no中，08=1,OBt=^5,

BB、=2.

建立如圖所示坐標(biāo)系，則8(1,