圓錐曲線復(fù)習(xí)第十二講：斜率問題四（解析版）

第十二講：斜率問題（四）

3【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)，直線斜率的表示和計(jì)算過程；

應(yīng)用目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線中，直線與其對應(yīng)的關(guān)系，傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反

數(shù)；

拓展目標(biāo)：能夠熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，觀察線段長度，位置關(guān)系等，進(jìn)行傾斜角和斜率的轉(zhuǎn)化.

素養(yǎng)目標(biāo)：通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生

的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

?t?【基礎(chǔ)知識(shí)】

1、傾斜角互補(bǔ)

直線4和6的傾斜角分別為α和夕，當(dāng)α+6=時(shí)，則勺+兒=。；

2、角度相等

當(dāng)角度的公共邊為X軸、N軸或與之平行的線段時(shí)，則可以找到兩條直線的傾斜角之間的關(guān)系，即傾斜角互

補(bǔ)，斜率相加為零；

3、線段相等

等腰三角形的底邊為X軸、）'軸或與之平行的線段時(shí)，則可以找到兩條直線的傾斜角之間的關(guān)系，即傾斜角

互補(bǔ)，斜率相加為零；

4、角平分線

當(dāng)角平分線為X軸、）'軸或與之平行的線段時(shí)，則可以找到兩條直線的傾斜角之間的關(guān)系，即傾斜角互補(bǔ)，

斜率相加為零；

（>【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：傾斜角互補(bǔ)

\例1?己知橢圓C:5+/=l（4>8>0）離心率等于g,且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)P作傾斜角分別為α,4的兩條直線PA,PB,設(shè)PA,PB與橢圓C異于

點(diǎn)P的交點(diǎn)分別為A,B,若a+β=兀，試問直線AB的斜率是否為定值？如果

為定值，請求出此定值；如果不是定值，請說明理由.

【答案】(1)二+亡=1(2)直線AB的斜率是定值，為]

953

解析：⑴因?yàn)闄E圓C,+∕l(α>8>0)離心率等于|,且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)尸(2,|

c_2

a3

所以且

425

b+9^=,

解得"=9,∕√=5,

/2

所以橢圓C的方程為二+v上=1

95

(2)

由題意得，兩條直線PA,PB的斜率均存在，且互為相反數(shù),

設(shè)直線E4為y-1=k(x-2),則直線PB為y[=-k(x-2),

設(shè)A(x∣,χ)BO?,y2)，

得(5+9k2)x2+(30%-36k2)x+36?2-60?-20=0,

36?2-30?18?2-3O?-1O

所以%+2=，所以X1=

5+9?25+9%2

18?2+3O?-1O

同理可得々=

5+9/

cc..,_必—％_一無(X212)—k(X[—2)_—k(X2+x∣-4)

所以。B==；；=；

馬一不

,(18Λ2+30?-1018Λ2-30?-l0?

-k?-------------X-----+----------------------4

I5+9k25+9k52

18?2+30?-10I8?2-3O?-1O

5+9k25+9k2

—k

60k

5+9k2

A36*20-20-36佇］

5+9您)_2

=60k=3

5+9k2

所以直線AB的斜率是定值，等于推

變式訓(xùn)練1：已知橢圓U±+W?=l(α>b>0)的離心率為無，以原點(diǎn)。為圓心，以C的短半軸長為半徑

a2b22

的圓被直線X-"2=0截得的弦長為2.

(1)求橢圓C的方程;

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),直線/(不過原點(diǎn)。也不過點(diǎn)P)交C于AB兩點(diǎn)，且直線",8P的傾斜角互補(bǔ),

若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，求直線OM的斜率.

解析：(1)由已知得，￡=立，.?.c=①”，b2=a2-c2=^-a2,

a222

又原點(diǎn)O到直線x-y+2=0的距離為］露

yp2.，

因此〃=(應(yīng))2+F=3,α2=6>

故橢圓C的方程為鳥+!=1；

O3

(2)由題意可得直線/的斜率存在,

N

設(shè)直線/的方程為y=H+〃z,設(shè)A(，γ1),B(X2,y2),

y=kx+rn

由L2y2可得(1+222)/+4.+2,/-6=0,

—+—=1

63

則△=16k2∕n2-4(1÷2k2)(2入-6)=48二一8m2÷24>0,

4bn_2ιτr-6

?x+x=—

l21+2/-1+2公

直線P4,尸B的傾斜角互補(bǔ)，貝此"+即"=2i■三+五1=0,

X1-ZX1-Z

代入y=出+m,y1=kx2+m,

所以2kxlx2+(m-1-2%)(Xl+x2)-4(w-1)=O

r

l'c,IrrC-6,.Ykm,,,、人

即Cn有2k-----+(m-?-2k)---------4(w-l)=0,

1+2&2?+2k71

整理可得8&2-i2k+4b"-4機(jī)+4=0,

即(k-DQk+m-])=0又直線I不經(jīng)過點(diǎn)尸即象+，〃THo故Z=I

(3-∣x22)-(3-∣?r∣2)

3二―3:0

X1+x2X2-X1x2~-X1

?

2

變式訓(xùn)練2：已知圓C∣:(χ+∣f+y2=25,圓C?：(x-l)2+∕=l,動(dòng)圓C與圓Cl和圓G均內(nèi)切.

(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程

(2)點(diǎn)P(Lf)(t>0)為軌跡E上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條直線與軌跡E交于AB兩點(diǎn)，直線Z?,PB的斜率互

為相反數(shù)，則直線43的斜率是否為定值？若是，求出定值：若不是，請說明理由.

【答案】⑴《+爐=1；⑵是定值，定值為;.

432

解析：(1)由題意得G(T,0),C2(1,0).

設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為(x,y),半徑為r,

貝IJlCGl=5f,?CC2?=r-l.

從耐CGl+1CC2∣=4(4>∣CC∣).

.?.動(dòng)圓圓心C的軌跡E是焦點(diǎn)為G(-1,0),C2(1,0),長軸長等于4的橢圓，且C?=l,α=2.

又/=∕J2+C2,得b=6,

???動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程為三+$=1.

43

⑵由⑴可得

設(shè)直線PA的方程為y-]=Mx7*≠0)

則直線PB的方程為y--MX-1).

設(shè)A(Xl,y),B(x1,y1).

4

y=—÷?(x-l)

由-?,消去y,整理得(3+4/)/+(12左一8產(chǎn)卜+4公一12上一3=0,

—+??l

43

4?2-12?-34k2-?2k-3

則χx=，即Xl=.(1)

xp3+4G3+4F

4/+12%-3

同理可得々=.(2)

3+4?2

|+A&T)}[|MWT)々(3+々)2七

K=g=L

XI-W百一*2

將(1)(2)代入上式，化簡得砥3=g

故直線AB的斜率為定值T.

變式訓(xùn)練3：已知拋物線CL與橢圓C2：/?+，=1(“”>O)有公共的焦點(diǎn)，C2的左、右焦點(diǎn)分

別為Fl,F2,該橢圓的離心率為g.

(1)求橢圓C2的方程;

(2)如圖，若直線1與X軸，橢圓C2順次交于P,Q,R(P點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè))，且/PFlQ與/PFlR互

為補(bǔ)角，求AFlQR面積S的最大值.

【答案】⑴三+二=1；(2)邁

434

解析：(1)山題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為(ι,o),

所以橢圓的半焦距i又橢圓的離心率e=?所以〃

b^=a^-C2=4—\=3<即b=√3>

22

所以橢圓的方程為(+'=1

(2)設(shè)Qa,乂)，R(Λ2,%),耳(TO)，

?.?NP耳Q與NPER互補(bǔ),

??.%i+3o,所以告?+告1=°，

化簡整理得xj2+y2+X2X+X=O①,

設(shè)直線PQ為X=Wy+"(m≠0),聯(lián)立直線與橢圓方程I?X=my+n

化簡整理可得(3〉+4)∣γ2+6∕w∕i},÷3n2-12=0,

Δ=Z?2-4ac=36m2n2—4（3m2+4）（3/-12）>O,

可得n2<3m2+4②，

由韋達(dá)定理，可得X+%=-R?,*必=乎當(dāng)③,

3機(jī)+43m+4

將χ=my+%工2=加三+〃代入①，

可得2即%+（"+1）（乂+%）=°④，

再將③代入④，可得&〃（〃二1）=6〃叫〃+1）,解得"=γ,

3m2+43m2÷4

?PQ的方程為x=my—4,

且由②可得,3//+4>16,BPm2>4,

由點(diǎn)耳（-1,0）到直線PQ的距離d=卜I>。：）=,

√l+∕n√1+加

SNQR=TlQRI?d=；也+m2?J（y+yj-4χ0-工二=18*

18f18

令金口=t，"O,貝U"=宗前=二皈

t

<∕8=—,當(dāng)且僅當(dāng)3f=3時(shí)，,〃=±巫等號(hào)成立,

2√3×164t3

所以耳QR面積S最大值為空.

4

考點(diǎn)二：角度問題(傾斜角互補(bǔ))

列L已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，離心率等于千，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線Y=8√5y

的焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

⑵已知點(diǎn)P(2∕),Q(2,τ)C>0)在橢圓C上，點(diǎn)A,8是橢圓C上不同于P,Q的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足:

NAPQ=NBPQ,試問：直線AB的斜率是否為定值？請說明理由.

【答案】(1)工+片=1;(2)為定值，理由見解析

1612

解析：(1)因?yàn)闄E圓C的中心的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，

22

所以設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為「+馬=1(4>匕>0)，

ab-

因?yàn)闄E圓離心率等于上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線Y=8Gy的焦點(diǎn),

V=80焦點(diǎn)為(0,2?所以。=26，

C1

所以e=—=不/一〃2=/,解得/=16,?2=12,

a2

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程式+f=L

1612

(2)由題意，直線x=2與橢圓U+2=1交點(diǎn)P(2,3),Q(2,-3),

1612

設(shè)A(Xl,jl),B(x,,y2),當(dāng)AAPQ=NBPQ時(shí)直線PAPB斜率之和為O,

設(shè)∕?斜率為3則尸B斜率為Tt,抬的直線方程為y-3=%(x-2),

與橢圓聯(lián)立得(3+4∕)χ2+sk(-2k+3)X+4(2%-3)2-48=0,

16?2-24?16?2+24?

所以5+2=同理專+2=

3+4公3+4公

16?2-12

所以玉+占=

3+4?2

-48〃z、一24〃

Xl

-X2=，%一必=?(X,-2)+3-[-?(X2-2)+3]=?(ΛI(xiàn)+X2-4)=

?十^TK?IQK

直線AB的斜率為江&=3.

X1—X-,Z

變式訓(xùn)練1：已知橢圓C：?-+≤-=l(a>?>0),F為上焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)尸到F的距離為應(yīng)，且離心率為也,

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過F的直線/與C交于A,B兩點(diǎn),證明：AOMA=AOMB.

【答案】⑴《+/=1；(2)證明見解析

2

解析：(D左頂點(diǎn)尸到F的距離為夜，可得α=√∑,Xe=-=-,故￠=1,從而A=I.

a2

.?.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+X2=1.

2

(2)證明：當(dāng)/與y軸重合時(shí)，ZOMA=ZOMB=OO,分

當(dāng)/與軸不重合時(shí)，設(shè)/的方程為Y="+1,A(Xl,y∣),B(x2,y2),

直線M4,MB的斜率勺M,右8之和為+%=%?+追二?,

X\X2

x,+x2

又yt=kxy+1,y2=kx2+1,???kMA+kMB=2k-(-+-)=2k-,

y=Ax+1

2

聯(lián)立方程，v,,可得(2+/)/+2^-1=0,

—+x-=1

2

2k1

-H中2=一赤,

.2&-土也=2&-2&=0,從而稿+。=0,

xΛ

故直線M4,MB的傾斜角互補(bǔ)，二NOM4=NOMB.

綜上NOM4=NOMfi.

變式訓(xùn)練2：在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)尸(4,0)的距離等于點(diǎn)尸到直線χ+4=0的距離.

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程；

⑵記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,過點(diǎn)F的直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，在X軸上是否存在一點(diǎn)〃，使

N4MF=N3MF若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴V=16x；(2)存在，(TO).

解析：⑴因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離等于點(diǎn)尸到直線x+4=0的距離，

所以動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)尸(4,0)的距離和它到直線X=T的距離相等，

所以點(diǎn)P的軌跡是以尸(4,0)為焦點(diǎn)，以直線X=T為準(zhǔn)線的拋物線，

設(shè)拋物線方程為/=2px(p>0),

由勺4,得p=8,

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為V=16x.

(2)由題意可知，直線/的斜率不為0,

故設(shè)直線/的方程為X=Wy+4,A(xl,jj,),β(Λ2,y2).

?1z-

聯(lián)立，),得y2-16∕ny-64=0,

X=my+4

Δ=256W+256>0恒成立，

由韋達(dá)定理，得%+%=16m,yiy2=-64,

假設(shè)存在一點(diǎn)0)("4),滿足題意，

則直線AM的斜率心M與直線BM的斜率?滿足怎M+kBM=0,

ππX+V2_yl(wy2+4-r)+y2(∕ny,+4-Z)_

即(XL)(L)肛

所以2%必+(4-)(乂+必)=°，

所以-128〃z+16w(4-f)=0

解得f=-4,

所以存在一點(diǎn)M,滿足=點(diǎn)M的坐標(biāo)為(Y,0).

變式訓(xùn)練3：在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知圓M:Y+V=4,點(diǎn)P在圓上，過點(diǎn)P作X軸的垂線，垂足為

。,N是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)尸在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)N形成的軌跡為C.

(1)求C的軌跡方程；

⑵若點(diǎn)A(-百,0),試問在X軸上是否存在點(diǎn)M,使得過點(diǎn)”的動(dòng)直線/交C于El兩點(diǎn)時(shí)，恒有

㈤M=N∕?∕?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2

【答案】(1)二+y2=i;(2)不存在，理由見解析.

4

解析：⑴設(shè)MX,y),P(%,%),因?yàn)镹為PQ的中點(diǎn)，.?/：：】,

又P點(diǎn)在圓上，.?.f+(2y)2=4,

2

即C的軌跡方程為工+>2=1；

4

(2)不存在滿足條件的點(diǎn)M,理由如下：

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(機(jī),0),直線/的斜率為k,

則直線/的方程為N=A(x-"?),

y=k(x-m)

由-2_消去y并整理，得(4公+ι)χ2-8m∕Λx+4父/―4=0,

-+y=l

4,

設(shè)EaQJ、F(x2,y2),則再+%黑一年=—二(*)

4K+14K+1

由NEW=NMM,得％"+&A尸=。，即-z?r+-^?=°,

x1+√3x2+√3

將y=&(為-m),%=&(々-〃?)代入上式并化簡，

得2X]Λ2÷(>∕3-W)(X1+x2)-2>∕3m=0.

將(*)式代入上式，有2’可-'+(G-M智仁-2晶=0,

4A~+14?2+l

解得勿2=一生叵,

3

而-延<-2,求得點(diǎn)M在橢圓外，若與橢圓無交點(diǎn)不滿足條件，所以不存在這樣的點(diǎn)Λ∕?

3

考點(diǎn)三：長度相等(傾斜角互補(bǔ))

22

ι\,例L已知橢圓C:「+多=l(a>6>0)的離心率為經(jīng)過點(diǎn)尸(2,3).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A、B在橢圓C上，直線R4、P8分別與y軸交于點(diǎn)M、N,?PM?=?PN?,試問直線43的斜率是否為定

值？如果是定值，請求出此定值；如果不是定值，請說明理由.

22

【答案】⑴土+匕=1；(2)直線AB的斜率為定值

16122

/=16

解析：⑴依題意可得「2=/一〃，解得從二12,所以橢圓方程為三+匕=1；

2/1612

c1c=4

e=—=一

a2

⑵因?yàn)镮PM=IPN∣,所以PMN為等腰三角形，所以M和N關(guān)于直線y=3對稱，所以AB的斜率存在，設(shè)

直線AB的方程為y=辰+，"，A(%,y),B(x2,y2),則直線P4的方程為y="(=2)+3,即

M(0,3一2():3)],直線尸B的方程為y=*-(x-2)+3,即N(0,3-豈&二,所以

xι—2)X)—2

2(y2-3)2(γ,-3)

J----------------------------------------ΓJ----------------------------=6,即上|+”=。,即(%-3)(：飛("：心-2)=0,即

「

X,-2%一2X2%-2(XI-2)(X2-2)

-3)(XI-2)+(y∣-3)(Λ2-2)=0,即+x2yi-2(yi+γ2)-3(xl+Λ2)+12=0

y=kx-3t-m

-Skm4m2-48

由.丁J,消去y得(4公+3)》2+8初a+4加2-48=0,所以為+9=

—I—=14/+3'4?2+3

11612

..-Sk2m?6m∣

y.+=KX.+m++m=-∑-----+2m=,丹rr「以κ

12,-4P+34Λ2+3

%玉+WY—2(y∣+%)—3(玉+?)+12

=(kx2+ni)xi+x2{kxλ+∕n)-2(yl+y2)-3(xl+x,)+12

=2kx2xi-2(y1+y2)+(∕n-3)(jq+x2)+12

C,4∕√-48C6ιnιIc?J2

4r+34J12+31'≡÷=°

,4?2+2hn-m-Sk+3C

即fπ--------；-------------=0

4?2+3

所以（442—?dú)W+3）+（2%-1）〃7=0,即（2火一1）（2"3+加）=0,

所以左=（或左=上1"，

當(dāng)A=U時(shí)，直線A8：，=履+，”過點(diǎn)尸（2,3）,不合題意;

所以a=g,此時(shí)可以滿足A＞0,

所以直線AB的斜率為定值々.

變式訓(xùn)練1：已知橢圓C：，+￡=l（a＞人＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是K,FA離心率為告，過Fl且垂直于

已知橢圓C：?∣→∕?=l（α＞方＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為匕、K，焦距為2,點(diǎn)（出,且）在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

⑵若點(diǎn)P（Xo,%）（%＞0）是橢圓C上一點(diǎn)，。為）'軸上一點(diǎn)，PF1=IPQ,設(shè)直線/與橢圓C交于M,N兩

點(diǎn)，若直線PM,PN關(guān)于直線X=Xo對稱，求直線/的斜率.

r221

【答案】⑴匕+工v=1；(2)-：

432

2c=2

解析：(1)依題意可得33/又鏟="一/,

%+/=ι

所以/=4,b2=39C=I.

所以二+q=1；

43

(2)因?yàn)镻K=2PQ,所以。是尸K的中點(diǎn).結(jié)合。X軸,

所"…軸，所以.一，則解得為卓，因?yàn)?>。，所以遇，所"口。

因?yàn)橹本€PM、PN關(guān)于直線X=XO=T對稱.

所以PM、PN的傾斜角互補(bǔ)，所以*"+的v=0,

y=kx+m

顯然直線/的斜率存在，設(shè)/:y=kx+m,由2,

—+—=1

143

得(4公+3)A?+Shwc+4"—12=0,由△>()得m2<4k2+3.

-Shn4W2-I2

設(shè)，」則式

M(Xl,χ),N(X2%)5+2=4?2+3,Xi2.4.+3

33

由即M+%='+m=0,

X1+1x2+1

整理得2姐%2+1%+m-∣?)(χ+/2)+2加一3=0,

所以4F+?l+3-4km-2m=0,即(2%+l)(2k+3-2m)=0

3

若2%+3—2m=0,則m=%+],

所以直線MN的方程為y-I=k(x+l),此時(shí)，直線MN過戶點(diǎn)，舍去.

所以2&+1=0,即人=-:，

2

所以直線/的斜率為

r2V2

變式訓(xùn)練2：已知橢圓C：+方=l(?>6>0)的短軸長為2,直線1與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)

P,1)在橢圓C上，且直線PA與PB關(guān)于直線x=l對稱.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求證：直線AB的斜率為定值.

2

【答案】⑴三+V=1;(2)證明見解析.

2

b21

解析：(D由題設(shè)，8=1且K就=19可得/=2,

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+y2=?.

2

⑵由(1)知：P(l,[),由直線PA與PB關(guān)于直線x=I對稱，如下圖示:

AB?.y=kx+m,A(XI,y),8(%,%),

聯(lián)立橢圓方程整理得：(l+2?2)x2+4fonr+2nr-2=0,

2(W2-1)

.?.Δ=8(2M-∕√+D>O,且Λ>+W=-TT?

又

kpA+kpB=--------+--------=---------------------------------------------------=0，

x1-1x2-1x1x2-(x1+x2)÷l

jfɑx1y2=?xlx2+nvcy,x2yx=kx]x2+tιιx2,y∣+必=后(x∣+/)+2,“，

...2kX[X2+(+-0-E)(Xl+七)+&-2m_2垃k?-4k-2m+2Qkm+6

2

xxx2-(x1÷x2)+l2k+2∕%+4切2—1

Λ(√2Λ-1)(√2Λ+√2π?-1)=0,而P不在直線A5上，則&+〃？￡-,

2

.?.&=也為定值，得證.

2

變式訓(xùn)練3：已知點(diǎn)F(g,O),直線1的方程為x=-；,雙曲線!-2=1(4>0,〃>0)的右焦點(diǎn)為耳(2,0),

雙曲線的兩條漸近線與直線1圍成的三角形的面積為3.

4

(1)求雙曲線的方程；

(2)直線W過點(diǎn)耳與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn)，直線FA與直線FB分別與y軸交于C,D兩點(diǎn)，證明：?OC]=?OD?

(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

【答案】⑴XVU⑵證明見解析.

解析：(1)雙曲線的兩條漸近線與直線1圍成的三角形為aOMN,

所以;?WM?g=q,得IMNl=豆，所以、=G.

又解得——，所以雙曲線的方程為V-41.

(2)證明：若直線機(jī)的斜率不存在，根據(jù)對稱性，顯然有IoCI=|。q；

若直線，”的斜率存在，設(shè)為k,則直線m的方程為y=%(x-2),

y=k(x-2),

聯(lián)立，,J,得(3-/)￡+4公J1公_3=0

V.1,

易知二H3，且A>0.設(shè)A(XI,乂)，B(x2,y2),

且X=HXI-2),y2=/:(?-2),

-Ak24k2-Ak2-34&2+3

則%+々=3-k2~k2-3'x'λ2~3-k2~k2-3,

若證Ioq=IO。，可證NoFC=No尸￡>,即證原A+A>B=O,

MI%Z(Xl-2)Z(X2-2)

即1111

=O,

所以原X+AHJ=O,從而IoCl=I

考點(diǎn)四：角平分線(已知)

捺+￡=1(α”>0)的離心率為爭點(diǎn)(2詞在橢圓C上，點(diǎn)F是橢圓C

I、例1?已知橢圓C：

的右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)F的直線1與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，則在X軸上是否存在一點(diǎn)P,使得X軸平分AMPN?若存在,

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由，

【答案】⑴q→!=l;(2)存在，P(4,0)

c

—二—√2

a2

解析：⑴由題意得忖=〃+。2

H=j

22

解得：a=2叵,b=2.所以橢圓C的方程為二+==1.

84

⑵由題意可知尸(2,0).

若直線1斜率存在，設(shè)直線1的方程為y=%(x-2),M(xl,yl),N(X2,%)

2,>

￡.+21=1

聯(lián)立得84^,整理得(1+2公卜2-8公%+8二-8=0.

y=k(x-2)

由題意可知A>0恒成立，所以±+κ=7?τ,%X,=吃二?

假設(shè)在X軸上存在一點(diǎn)P(f,0),使得X軸平分ZMPN,則knt+k30,

所以士+卷=°，整理得X(WT)+%(占T)=。，

?lIX'yI

即A(X—2)(x2—，)+、(/—2)(3—P)=0,

整理得，2X1X2-(t+2)(x1+x2)÷4∕=0,

則2-8)?(f+2)4f(l+2巧

?+2k2?+2k2?+2k-

-16+4/

即-r=√=0,解之得I.

若直線1斜率不存在時(shí)，則M,N兩點(diǎn)關(guān)于X軸對稱，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,0)時(shí)，X軸平分NΛ∕PN.

綜上所述，在X軸上存在一點(diǎn)P(4,0),使得X軸平分ZMPN.

變式訓(xùn)練1：已知拋物線C：V=4x,過焦點(diǎn)的直線1交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，且線段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

2.

(1)求直線1的方程;

(2)設(shè)X軸上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)P、Q,(其中P在Q的右側(cè))，過P的任意一條直線交拋物線C于A、

B兩點(diǎn)，求證：NAQB始終被X軸平分.

【答案】(1)χ-y-ι=0;(2)證明見解析.

解析：(1)由已知可設(shè)直線1的方程為：X=My+1,

y^=4χ

聯(lián)立方程組,二可得/-4my-4=0,

x=my+?,

設(shè)Wa,y∣)N(x2,%)，則"+為=4肛％必=-<

又因?yàn)閥∣+%=4,得，〃=1,

故直線1的方程為：χ=y+l即為X-y-l=0;

(2)由題意可設(shè)P(α,O),Q(-α,0)(a>0),

可設(shè)過P的直線為x="?X+”.

聯(lián)立方程組卜=4"可得y2-4"y-4a=0,顯然△>().

[x=ny+a,

設(shè)A(X3,％)，B(X4,乂)，則%+”=4”,y3y4=-4a.

所以原e+kκ=-li-+-A-

X3+?x4÷ɑ

=為H+ɑ)+”(七+4)%("%+加)+%(“％+2。)

(x3+a)(x4+a)(x3+a)(x4+a)

_2%%+2。(％+”)_2〃(Yq)+2。?4〃_θ

(x3+6t)(x4+a)(x3+a)(x4+a)

所以/AQ8始終被X軸平分.

變式訓(xùn)練2：已知橢圓C：J→g?=l(a>3>0)的離心率為白，點(diǎn)P(2,l)為橢圓C上一點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)若M,N是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NMpN的角平分線總是垂直于N軸，求證：直線MN的斜率為定值.

［答案】⑴4+二=1；(2)證明見解析.

63

解析：⑴橢圓的離心率e=￡=①，又/=6+C?,

?*?a=?∕2Z?.

a2

22

?；橢圓C：宗+方=1經(jīng)過點(diǎn)P(2,l),解得從=3,

.?.橢圓C的方程為m+4=i；

63

(2)：/四取的角平分線總垂直于丫軸，；」『與卬所在直線關(guān)于直線、=1對稱.設(shè)直線MP的斜率為k,則

直線NP的斜率為TI

.?.設(shè)直線MP的方程為y-l=MX-2),直線NP的方程為y-l=M(χ-2)

設(shè)點(diǎn)Ma,y),N(X2,必).

y-l=A(x-2),

由lW2消去y,得(1+2公)χ2+4(4-2∕)x+8%2-8Z-4=0.

----1--=1,

6---3

?.?點(diǎn)尸(2,1)在橢圓C上，則有2?再=一:：，4,即Xl=竺高」.

Z

I=ITFn-rBA?k~+4k—2

同理可得々=u2k2—.

??芭-W=IT^?P^,又y_%=k(X|+X2)_4Z=j^p.

.?.直線MN的斜率為三&=1.

x?~x2

考點(diǎn)五：角平分線(翻譯)

已知曲線。：的焦點(diǎn)為曲線上有一點(diǎn)。滿足

1.4=20*5>0)f,C(Λ0,P)IQFl=2.

(1)求拋物線C的方程;

(2)過原點(diǎn)作兩條相互垂直的直線交曲線C于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A8,直線AB與X軸相交于N,試探究X軸上

IAMI?AN?

存在一點(diǎn)是否存在異于N的定點(diǎn)〃滿足扁=扁恒成立?若存在，請求出M點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)y2=4x,(2)存在，M(TO)

解析：(1)Q在曲線C上，則∕=2p?%,則與=5,

而2=∣QF卜x°+5=p,故拋物線C的方程為V=4x.

(2)易知直線AB的斜率不為0,故設(shè)乙B:工=0+〃,4(不弘),8(七,〉2),何(，4。)

?x=ty+n?

聯(lián)立：?,'λ^√-4ry-4n=0,

[γ2=4x

故乂+必=4"跖=-4”.

22

2

rr=A.A=∕2,因?yàn)椤?_LOB,

1-44

2

則OA-OB=xlx2+y,y2=n-4∕ι=0

則"=4或〃=0(舍)，故N(4,0).

因?yàn)镠N都在X軸上，要使得IAM扁I=扁?AN?，

則X軸為ZAMB的角平分線，

若，〃=占，則AM垂直于X軸，X軸平分NA/W8,則BM垂直于X軸，

則直線A8的方程為x=4,此時(shí)機(jī)=4=〃，而M,N相異，故mxx∣,同理"?才々

故AW與的斜率互為相反數(shù)，即+-?-=O=>勾=2+'?.

r

x↑-mx1-my?+yi

n"+4)%+(22+4)y=2+4=3+4=γ為定值.

y∣+y2y+%*

故當(dāng)M(To)時(shí),有^瑙恒成立.

變式訓(xùn)練1：設(shè)拋物線C：V=2px(p>0)上的點(diǎn)"與焦點(diǎn)廠的距離為6,且點(diǎn)〃到X軸的距離為√2p.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為點(diǎn)N,過焦點(diǎn)廠的直線與拋物線C交于P,Q兩點(diǎn)，證明:

?PF?_\PN\

兩=的.

【答案】(1)V=8x；(2)證明見解析.

解析：(1)由點(diǎn)M到X軸的距離為√∑p得：yM=±√2p,

將yM=±√2∕?代入V=2px得：XM=P，

由拋物線的定義得，∣MH=XM+?^=P+'

由已知，WH=6,

所以P=4,

所以拋物線C的方程為V=8x;

(2)由y2=8X得尸(2,0),N(-2,0),

由題意知PQ與拋物線C交于兩點(diǎn)，

可設(shè)直線尸。的方程為X=沖+2,P(Xl,χ),Q(χ2,y2),

X=my+2

聯(lián)立方程得N?-8/?zy-16=0,

y2=8x

所以y+%=8機(jī)，y%=T6,xl=my?+2,x2=my2+2f

所以勺w+Lw=—^―+—^―=―—+—七—

c

xl+2x2÷2my]+4my2+4

2皎%+4（y+%）-32m+32機(jī)

=-------------------------=--------------------------U

（吵+4）（沖2+4）（町+4）（m%+4）

所以kpN=-ka,

則NFNP=NFNQ

所以NF為DPNQ的角平分線，

IPFI?PN?

由角平分線的性質(zhì)定理，得弱=極1

變式訓(xùn)練2：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F(l,0),設(shè)動(dòng)點(diǎn)W到直線X=T的距離為“，且"+2∣W/∣=8,∣OW∣≤4.

(1)記動(dòng)點(diǎn)W的軌跡為曲線C,求曲線C的方程；

(2)若直線/與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，直線廠與曲線C交于A,B'兩點(diǎn),直線/與/'的交點(diǎn)為尸(P不在曲線

C上)，?∣∕?∣?∣PB∣=∣Λ4,∣?∣PB,∣,設(shè)直線/,r的斜率分別為M求證:4+上為定值.

【答案】⑴式+f=l;(2)證明見解析

43

解析：(D設(shè)點(diǎn)W(X,y),因?yàn)閐+2∣WF∣=8,

所以∣x+4∣+2y∣(^x-iy+y2=8,2^(x-1)+y~=8—∣x+4∣

因?yàn)镮OwI≤4,所以N≤4

所以2Λ∕(X-1)2+y2=8—(x+4)=4-X

所以4(X-1)2+4y2=(4-x)2

所以3/+4)2=12

所以C的方程為：—+^-=1

43

(2)設(shè)P(S/),A(x1,y1),B(x29y2)

設(shè)直線I的方程為：y=kx+m,貝IJf=米+6

y=Ax+"?

由y2得：(3+4∕)χ2+8hnr+47"2-i2=0

----F--=1

143

所以內(nèi)+占=-Α筌，中2=哈￥，Δ=16(12?2+9-3∕n2)>0

222

所以IpAHP同=Jl+/,宙-s??yj↑+k?∣X2-5∣=(1+?)∣XIX2T(Xl+X2)÷5∣

所以。+公)卜一+M2+3S-2∣=(1+公)附+3s2川

a?Λh2QIJA2

設(shè)直線/'的方程為：y=k'x+>n',貝打=依+加

同理可得IPAI忖m=(1+.)|4.+,y―1斗

因?yàn)?∣PB∣=∣Λ4l?∣P5l

所以4(1+Λ2)∣4Z2+352-12∣4(l+?,2)∣4r2+352-12∣

3+43―3+4k'2

即點(diǎn)]+*42=出1+Λ∕2'即3+4*2蕓3+4"即'24一41F="κ1

解得A=-A即Z+Z'=O

所以k+/為定值.

考點(diǎn)六：定比分點(diǎn)(弦長的應(yīng)用)

22

［、］例1.已知橢圓C:'白=l(">6>0)的左、右焦點(diǎn)分別是尸I，G離心率為爭過6且垂直于

X軸的直線被橢圓C截得的線段長為I.

(1)求橢圓C的方程；

2

⑵設(shè)點(diǎn)P在直線尤=§上，過點(diǎn)。的兩條直線分別交曲線C于AB兩點(diǎn)和M,N兩點(diǎn)，且

?P^?PB?=?PM??PN?,求直線AB的斜率與直線腦V的斜率之和.

2

【答案】(1)工+y2=i;(2)0

4

解析：(D因?yàn)闄E圓C:]+，=l(a>6>0)的離心率為4，

所以Xl=￡=?2=3/,所以〃=/一。2='/①

2a44

又因?yàn)檫^士且垂直于X軸的直線被橢圓C截得的線段長為1,

所以絲=InQ=2"②，由①②可知。=2,所以/=4,

a

2

”1,所以橢圓C的方程為r工+丁=1

4

(2)因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x=∣上，所以設(shè)點(diǎn)P(∣,”,

由題可知，直線AB的斜率與直線MN的斜率都存在.

所以直線AB的方程為：y-"=4卜一|),即y=Kx+("-gkJ,

直線MN的方程為：丫-〃=修卜-：)，即y=&x+(〃-|&),

設(shè)Aa,%),B[x2,y2),M(X?,%)，N(X4,yj，

x~2

-÷V=11

4,消去y可得，X2+4k∣x+(〃-?∣K

所以Z2

y=klx+?n--kl

整理可得(4%：+1卜2+84"-京|》+4[〃一2匕[-4=0.

44

+++

9-