甘肅省2023屆高三二模理科數(shù)學(xué)試題(含答案)

2023年甘肅省第二次高考診斷考試

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.己知二一=i,i為虛數(shù)單位，則Z=（）

l-2i

A.—2+iB.2—iC?2+iD.—2—i

2.已知集合A={x∣χ2_4χ≤0,χ∈z},β=?^x∣-l<x<4∣.則ACB=（）

A.[-1,4JB.LO,4）C.{0,l,2,3,4}D.{0,1,2,3}

3.命題p：已知一條直線。及兩個不同的平面α,β,若αuα,則“。_1月”是“。，尸”的充分條件;

命題q：有兩個面相互平行，其余各面均為梯形的多面體是棱臺.則下列為真命題的是（）

A.(-ι∕?)VqB.〃A(W)C.p∕?qD.Tp7q)

y

4.函數(shù)y=-C,的圖象大致是（）

∣3-3x∣

5.已知橢圓的方程為二+匕=1（m>0,〃>0）,離心率e=、一，則下列選項中不滿足條件的為（）

mn2,,'

22222

A.-X---1^y2^—1B.-V---Fx2~—i1C.-X---Fy2-=iID.-X---1--V--=1

44282

6.劉徽的《九章算術(shù)注》中有這樣的記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉腌，陽馬

居二，鱉臊居一，不易之率也.”意思是說：把一塊長方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫做塹堵，再把一

塊塹堵沿斜線分成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉腌，兩者體積比為2：1,這個比率是不變的.如圖所示的三

視圖是一個鱉腌的三視圖，則其分割前的長方體的體積為（）

A.2B.4C.12D.24

7.〃位校驗碼是一種由〃個“0”或“1”構(gòu)成的數(shù)字傳輸單元，分為奇校驗碼和偶校驗碼，若一個校驗碼中

有奇數(shù)個I,則稱其為奇校驗碼，如5位校驗碼“01101”中有3個1,該校驗碼為奇校驗碼.那么6位校驗碼

中的奇校驗碼的個數(shù)是()

A.6B.32C.64D.846

a

cost4-??

8.若--7---------4=—，則tanα=()

(π\(zhòng)2

1

A.?B.3C.—D.-3

33

9.2022年8月，中科院院士陳發(fā)虎帶領(lǐng)他的團隊開始了第二次青藏高原綜合科學(xué)考察.在科考期間，陳院士

為同行的科研人員講解專業(yè)知識，在空氣稀薄的高原上開設(shè)了“院士課堂”.已知某地大氣壓強與海平面大氣

壓強之比為b,〃與該地海拔高度〃（單位：米）滿足關(guān)系：b=e-kh&為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底）.若科

考隊算得A地bαL,海拔8700米的B地621，則A,B兩地的高度差約為（ln3≈1.1,ln2αθ.7）（）

23

A.3164米B.4350米C.5536米D.6722米

10.如圖所示,邊長為2的正三角形ABC中，若8。=BA+X4C(∕l∈[0,l]),AE=AC+ΛCB(2∈[0,l]),

則關(guān)于OE?A6的說法正確的是（）

A.當X=L時，DE?AB取到最大值

B.當2=0或1時，OE?AB取到最小值

2

C.3Λ∈[0,l],使得?！?48=0D.VΛ∈[0,l],OEAB為定值

II.已知4，A2是雙曲線/一；/=2的左、右頂點，P為雙曲線上除AA2以外的任意一點，若坐標原點

。到直線PA，P&的距離分別為4，d2,則4?4的取值范圍()

A.(0,1)B.(O,nC.(0,√2)D.(0,√2]

12.若α=Cos——，則以下不等式成立的是()

7

?

A.2rt-i<2aB.√2a<2o^'C.2rt^l<aD.2α^i<(√2)λβα

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.為慶祝中國共產(chǎn)黨第二十次代表大會勝利閉幕，某高中學(xué)校在學(xué)生中開展了“學(xué)精神，悟思想，談收獲”

的二十大精神宣講主題活動.為了解該校學(xué)生參加主題學(xué)習(xí)活動的具體情況，校團委利用分層抽樣的方法從三

個年級中抽取了260人進行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了85人.已知該校高三年級共有720名學(xué)

生，則該校共有學(xué)生______人.

14.已知圓O:/+y2=4,直線l-y^x+b,在區(qū)間［—5,5］上任取一個數(shù)Z7,則圓。與直線/有公共點的

概率為.

15.我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》卷下的第26題是：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七

七數(shù)之剩二，問物幾何？”此題所表達的數(shù)學(xué)涵義是：一個正整數(shù)，被3除余2,被5除余3,被7除余2,

這個正整數(shù)是多少？這就是舉世聞名的“中國剩余定理若分別將所有被3除余2的正整數(shù)和所有被7除余

2的正整數(shù)按從小到大的順序組成數(shù)列｛α,,｝和圾｝,并依次取出數(shù)列｛《｝和｛〃,｝的公共項組成數(shù)列｛%｝,則

；若數(shù)列｛4｝滿足4=C“-20〃+2(),數(shù)歹八，的前〃項和為S“，則§2023=

1,

16.已知函數(shù)y=∕(x)滿足：當-2Wx≤2時，f(x)=--x2+l,且/(x)=∕(x+4)對任意x∈R都成立,

則方程16∕(x)=4∣x∣+l的實根個數(shù)是.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都

必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(本小題滿分12分)

△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,SinB=-,且______.

3

(1)求Z?ABC的面積;

（2）若SinASinC=——，求方.

3

在①〃+。2=2,②ΛB?8C=T這兩個條件中任選一個，補充在橫線中，并解答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.（本小題滿分12分）

某省農(nóng)科院為支持省政府改善民生，保證冬季蔬菜的市場供應(yīng)舉措，深入開展了反季節(jié)蔬菜的相關(guān)研究，其中

一項是冬季大棚內(nèi)的晝夜溫差X（C）與反季節(jié)蔬菜種子發(fā)芽數(shù)y（個）之間的關(guān)系，經(jīng)過一段時間觀測，獲

得了下列一組數(shù)據(jù)（y值為觀察值）：

溫差X(℃)89101112

發(fā)芽數(shù)y（個）2324262730

（1）在所給坐標系中，根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制散點圖，并判斷y與X是否具有明顯的線性相關(guān)關(guān)系（不需要說明

理由）

（2）用直線/的方程來擬合這組數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系，若直線/過散點圖中的中間點（即點（10,26））,且使發(fā)

芽數(shù)的每一個觀察值與直線/上對應(yīng)點的縱坐標的差的平方之和最小，求出直線/的方程；

π

己知四棱錐P-ABCD中，底面ABCO為平行四邊形，/%，底面A8CE）,若NABC=々,PA=AB=2,

4

E,F分別為AJ?B,AsPCD的重心.

（1）求證：所〃平面PBC

（2）當PO_LAC時，求平面PEF與平面以。所成角的正切值.

C

20.（本小題滿分12分）

已知橢圓。：與+4=1(。>人>0)的長軸長為4,A,B是其左、右頂點，M是橢圓上異于A,B的動點，且

ab

.._3

^MA-'iMB=一“

(1)求橢圓C的方程；

(2)若尸為直線x=4上一點，PA,PB分別與橢圓交于C,。兩點.

①證明：直線CD過橢圓右焦點8；

②橢圓的左焦點為耳，求的內(nèi)切圓的最大面積.

21.(本小題滿分12分)

己知函數(shù)f(x)=?+?Inx(a∈R).

X

(1)當α=4時，求/(x)的零點個數(shù)；

(2)若/(x+l)+e'——!一21恒成立，求實數(shù)”的值.

%+1

(二)選考題：共10分請考生在第22,23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的

題號方框涂黑.按所涂題號進行評分，不涂，多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分.

22.(本小題滿分10分)［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

X=-2+2CoSa

在平面直角坐標系中X。)，，曲線G的參數(shù)方程為：\(。為參數(shù)，且?！辏?,4］),P為曲線G

y=2sinα

TT

上任意一點，若將點P繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)標得到點。，點Q的軌跡為曲線C2.

(1)以原點O為極點，X軸非負半軸為極軸建立極坐標系，求曲線G的極坐標方程；

(2)已知點E(O,-1),直線6r-y-l=0與曲線G交于A，B兩點，求∣R4∣+∣EB∣的值.

23.(本小題滿分10分)［選修4-5：不等式選講】

已知/(χ)=∣χ+l∣+∣l-2x∣

(1)求不等式/(x)≤3的解集；

(2)若O<b<q<α,且/(α)=3∕(b),4+/〉加eZ)恒成立，求機的最大值.

2023年甘肅省第二次高考診斷考試

理科數(shù)學(xué)試題答案及評分參考

一、選擇題

1.C2.D3.B4.D5.C6.D7.B8.C9.A10.D

11.A12.A

Ii.解：可知4(一0,0)，Λ(√2,0),設(shè)P(X,y),

設(shè)kpA?=k(k≠O,且k≠+V),則Zft4,=:，

故直線PA的方程為辰-y+√∑女=0,直線尸4的方程為X-什-√∑=0,

原點到兩直線的距離分別為&=-9Zd,d,=)包=,

√17∑7^√17F

所以4-4=義斗＜四=1，當且僅當左=±1時，"=”成立，但此時兩直線平行，這是不可能的，等號不

12l+k22?k?

能成立，故選A.

-ΓA?Clπ2萬π、叵<1,

12.可知0<一=cos—<α=cos——<cos-=-

23742

rr

22?xln2-2：=2%xln2二1),所以當o<χ<ι時，

對于函數(shù)/(1)=一，由于廣。)=------?——

XXΛ^

、-

卜即2言<一<?

/'*)<0,/(X)為減函數(shù)，所以/⑴

22

11

所以2"W<2α,A正確；√LZ>2"T,B錯誤；2a-'>a,C錯誤；>(√2)?α,D錯誤.

故選A.

二、填空題

2√2

13.208014.-----

5

15.解：可知｛c,｝是首項為2,公差為21的等差數(shù)列，故其通項公式為C“=21〃-19,

1_J11_____1_2023

所以4=n+ι,+2024^2025'2023-4050

<√,,÷1〃+1〃+2

16.解：由題意可知函數(shù)y=∕(x)是以4為周期的偶函數(shù),

由于16∕(x)=4∣x∣+lo∕(X)Txl+'

故原方程的實根就是函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)y=！∣χ∣+J的圖象的交點的橫坐標,

416

11?

又可知當2<x≤6時，/(X)=-Z(X-4)9+1=-WX+2x-3,

y

由，

—x+—y=一

y416I16

由圖可知，當0≤x≤2時，兩函數(shù)圖象只有一個交點，當2≤x≤6時，兩函數(shù)圖象只有一個交點，又由于兩

個函數(shù)均為偶函數(shù)，故兩個函數(shù)圖象有4個交點，所以原方程有4個根.

三、解答題

2_,2

17.解：(1)若選①片一〃+。2=2,由余弦定理得COSB=--------------,整理得QCCoSδ=l,則cos5>0,

2acJ

又sin3=J,則CoSB=13√2rπιl?1.R6

嬴丁，則S%c=ysm8=千

3r

22√2■

若選②A8?B(j=-l<0,則COSB>0,又sin8=；,則CoSB=Jl-flI1=學(xué)，又ABBC

5

]3-?∕2jyJ2,

=-CiccosB，得ac=-----=-----，則SAARC=—αcsinB='—

CosB4δasc28

3√2

2

aJ,則bacac則b2

(2)由正弦定理得：—+=2,

sinBsinAsinCsin2BsinAsinCsinAsinC√24sinB3

V

b=-sinB=-.

22

18.解：（1）由于五個點明顯分布在某條直線的附近，因此由散點圖可以判斷y與X有明顯的線性相關(guān)關(guān)系.

（2）設(shè)直線的方程為y—26=MX-10）,即y=H%-10）+26,

則五個X值對應(yīng)的直線∕上的縱坐標分別為一2攵+26,-k+26,Z+26,2k+26,

若設(shè)觀察值與縱坐標差的平方和為D,

C∣7VI1

則力=（-2%+3）2+（—左+2）2+（左-1）2+（2%—4）2=10左2-34%+30=10k一一-

1717

所以當Z=歷時。取最小值，此時直線/的方程為y=歷X+9.

（3）可預(yù)測當溫度差為15。C時，蔬菜種子發(fā)芽的個數(shù)約為35.

19.證明：（1）延長PE交AB于M,延長PF交C。于N,

因為E,F分別為和Z?PCf）的重心，

PEPF_2

所以M,N分別為A8,CC的中點，且~PM~PN~3

又因為底面ABC。為平行四邊形，所以MN〃BC〃EF,

又因為BCU平面PBC,EF,平面P8C,所以所〃平面PBe

解（2）（方法一）因為尸A，平面ABC。，所以ACJ

又因為PO_LAC,且PDCPA=P,所以ACJ_平面以。，所以AQ_LAC,

TC71

又因為NABC=―,所以ABAC和ZXACD均為等腰直角三角形，ZBCA=ZCAD=-.

42

又因為N為CQ的中點，所以A3LANLAP,

故如圖建立空間直角坐標系，因為B4=AB=2,

易得P(O,0,2),M(1,0,0),N(0,1,0),C(1,L0),PM=(1,0,-2),PN=(0

X—2z—0

設(shè)平面PMN的一個法向量為n?=(x,y,z),則由々_LPA/,nx工PN,得＜

y-2z=0

令Z=L得力=(2,2,1),

又因為平面PAD的一個法向量為AC=(1,1,0),

AC

I2√2

設(shè)平面PEF與平面附。所成二面角的平面角為8,則ICOSeI=∣^?∣

同?∣AC∣3

如圖所示二面角為銳角，所以tan。=

(方法二)過產(chǎn)作PQ//AD//MN,且PQ=Ar>=MN,連接N。和OQ,

取Ao的中點為“，易知N/7J.平面以。，過，作Ho_LPQ于O,

則NOLPQ,所以ZNOH為平面PEF與平面PAD所成二面角的平面角，

1√2

因為NH=-AC=J,HO=I,

22

所以在RtZXNHO中，VanZNOH=—.

20.(1)證明：由已知得：α=2,A(-2,0),6(2,0),

設(shè)M(AO,%)(/#±2),因為M在橢圓上，所以+=①

No_=3

因為=y。

XO+2?-2片一44

將①式代入，得4〃—戶《=]2—3%，得Z?=3,所以橢圓C：土+二=L

43

,6t2

(2)①設(shè)P(4j)(rWc)),則RPA=二，，/<4：x=—y—2,同理可得氏.B=大，lp?%=—?÷2,

6t2βt

x=-y-218/_54-2/

聯(lián)立方程4

J"5.。’侍修印-27+/

54-2/I8r同理可得。(粵']

則C

27+『'27+產(chǎn)

7

’27-3/聞、't2-9—6/

橢圓的右焦點為E(1,0),KC=

、27+*'27+7)、3+/’3+/

27-3尸-6t18/r2-9

因為二0,

27+?3+/27+r3+r2

說明C,D,尸2三點共線，即直線CQ恒過8點.

②因為直線CO恒過K點，所以CW=4。，

設(shè)Z?CFQ內(nèi)切圓的半徑為r,所以gcCFQ?r=SGN,

即4。?r=2c?>0一,即4r=∣yc-γβ∣,

若內(nèi)切圓的面積最大，即r最大，也就是IyC-最大，

因為直線CD的斜率不為0,設(shè)直線CD的方程為X=W+1,

22

代入~^?+'=1得：(3/7?÷4^γ2+6mγ-9=0,

—6/71—9

可得%+%=口77,無.%=口77，

3m÷4+4

又因為IyC-yj=/(ye+%)-%%=吧：：：1(*)

令n=y∣府+1(刀≥1),(*)式化為：--^―------,

3π+11

^3n+

n

3

因為九≥1,所以當〃=1時，(*)式取最大值3,則4廠<3,r≤-,

9萬

所以得到△(?耳。內(nèi)切圓面積的最大值為二，當加=O時取得.

16

1144x-l

21.W：(1)當〃=4時，/(x)=±+41nx,則/'(%)=-—-+-=

XXXX

當x∈(θ,;),∕,(x)<0,函數(shù)/(x)在(0,；)上單調(diào)遞減；

當xe(；,+8),f?χ)>O,函數(shù)/(x)在(；,+(?)上單調(diào)遞增，

所以/(x)而?=/(￡(=4(1一ln4)<0,

又/(5)=e3-12>0,/(l)=l<0,所以存在玉∈[θ,;),”\，+8

使得/(X)=∕(Λ2)=O,即/(X)的零點個數(shù)為2?

(2)不等式/(x+l)+e'一一L≥l即為e*+αln(x+l)≥l,

x+1

設(shè)F(X)=e"+αln(x+l),x∈(-l,+∞),則于'(x)=e*'+-^―=(丁+De+°

x+lx+l

設(shè)g(x)=(x+l)e*+ɑ,Λ∈(-1,+∞),

當α≥0時，g(x)>0,可得尸'(x)>O,則尸(X)單調(diào)遞增，此時當x→-l時，F(xiàn)(x)→-∞,不滿足題意;

當“<0時，由g'(x)=(x+2)e*>0,g(x)單調(diào)遞增，設(shè)g(χ)=O有唯一的零點χ0,即(Xo+l)eλb+α=0,

當x∈(-l,/)時，g(x)<O,可得F(X)<0,R(X)單調(diào)遞減；

當X∈(/,+8)時，g(x)>O,可得下'(x)>0,尸(X)單調(diào)遞增，

所以bxn

F(x)min=F(x0)=e(+πl(wèi)n(%0+1)=e*>+cι?w—=e+aln(-α)—ax0

a1、1

-OXQ+aln(-tz)=-a+x+aln(-α)=-α+(XO+1)—1+ci1∏(-^z)

?÷ιl?+ι0?+ι

If1

因為%+可得——-+

l>0,x0+l≥2——-?(x0+l)=2,

XO+1yx0+1J

當且僅當XO=O時，等號成立,所以÷(?θ÷1)—1≥1,

1

所以一

—ci+(x0+l)-l+aln(-6r)≥-a+aln(α)

玉)