高中數(shù)學(xué)重點知識與結(jié)論分類解析

高中數(shù)學(xué)重點知識與結(jié)論分類解析

一、集合與簡易邏輯

1.集合的元素具有確定性、無序性和互異性.

2.對集合A、B,A8=0時，必須注意到“極端”情況：A=0或8=0；求集合的子

集時是否注意到0是任何集合的子集、0是任何非空集合的真子集.

3.對于含有〃個元素的有限集合其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次

為2",2"—1,2"—2.2"—1,

4.“交的補等于補的并，即GXACBQQA品,3"；“并的補等于補的交，即

Cu(AB)=C)jA

5.判斷命題的真假關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”；注意：“不，或'即，且，，不，且，即，或飛

6.“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真

全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”.

7.四種命題中"‘逆'者'交換'也"、'"否'者'否定'也

原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價.反證法分為三步：假設(shè)、

推矛、得果.

注意：金題的杳定是“命題的韭魚題，也就是噬住丕蒙.僅查定結(jié)談'所得命題”，但查

愈題是“既杳定原施題的條件隹為條件;…X否定原血題的結(jié)迨隹為結(jié)迨的所侵色題"?-

8.充要條件

二、函數(shù)

mIm

1.指數(shù)式、對數(shù)式，an='<jam,a"=-1^,=N

a"

a"=Nolog(,N=b(a>0,a工1,N>0),

a°=l,loga1=0,k>g"=l,Ig2+lg5=l,log,,x=lnx,log=,

log。a

n

log/"=—log"

m

2.(1)映射是“，全部射出，加，一箭一雕，”；映射中第一個集合A中的元素必有像，但第二個

集合8中的元素不一定有原像《A中元素的像有且僅有下一個，但3中元素的原像可能沒

有，也可任意個)；函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，其中"值域是映射中像集8的子集”.

(2)函數(shù)圖像與x軸垂線至多一個公共點，但與y軸垂線的公共點可能沒有，也可任

意個.

(3)函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像.

3.單調(diào)性和奇偶性

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同.

偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

注意：(1)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱.確定函

數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.對于偶函數(shù)而言有：/(—x)=/(x)=/(|x|).

(2)若奇函數(shù)定義域中有0,則必有./■(())=0.即0e/(x)的定義域時，/(0)=0是

/(%)為奇函數(shù)的必要非充分條件.

(3)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法(取值、作差、鑒定)、

導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等.

(4)既奇又偶函數(shù)有無窮多個(/(x)=0,定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集).

(7)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”.

復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化。

(即復(fù)合有意義)

4.對稱性與周期性(以下結(jié)論要消化吸收，不可強記)

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖像關(guān)于直線X=0(y軸)對稱.

推廣一：如果函數(shù)y=/(x)對于一切xeR,都有/(a+x)=/(0—x)成立，那

么y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=3(由"x和的一半x=("+*)；S-a確定對稱.

推廣二：函數(shù)y=/(“+x),y=x)的圖像關(guān)于直線》=一(由

Q+X=X確定)對稱.

(2)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=—/(x)的圖像關(guān)于直線y=0(x軸)對稱.

(3)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=——x)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱.

推廣：曲線/(x,y)=0關(guān)于直線.y=x+6的對稱曲線是/(y—"x+份=0；

曲線/(尤,y)=0關(guān)于直線y^-x+b的對稱曲線是f(-y+b,-x+b)^0.

(5)類比“三角函數(shù)圖像“得：若y=/(x)圖像有兩條對稱軸x=a,x=/?(aH。)，則

y=/(x)必是周期函數(shù)，且一周期為丁=2|。一。|.

如果y=f(x)是R上的周期函數(shù)，且一個周期為T,那么

/(x±〃T)=/(x)(〃wZ).

特別：若/(x+a)=-/(%)(?H0)恒成立,則T=2a.若f(x+a)=」一(a豐0)

fM

恒成立，則T=2a.若/(x+a)=-一匚(。H0)恒成立，則T=2a.

fM

三、數(shù)列

1.數(shù)列的通項、數(shù)列項的項數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項與數(shù)列的前〃項和公式

的關(guān)系:(必要時請分類討論).

注意：=(。"一一。"-2)++(%-4)+。1；an=-"----------~'a\-

a,i*%

2.等差數(shù)列｛%)中:

(1)等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性.

(2)a“=q+(〃-1)4=am+(/?-in)d；p+q=m+nap+ag=am+an.

(3)｛4+(*_),"｝、｛心“｝也成等差數(shù)列?

(4)兩等差數(shù)列對應(yīng)項和(差)組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.

(5)ax+a2++%+]+…+a*+“i，…仍成等差數(shù)歹U.

心c〃(q+a“)??d2d

⑹S“=—S“=〃4+―-—d,S?=-/?+(?,-->.

”A〃)“q小一1).

⑺冊=q,aq=p(p*q)=>ap+q=0；Spq,Sq=p(pq)=>S…=一(p+q)；

Sni+n=S,+S+mnd.

(8)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前〃項和的最大值是所有非負項之和

“首負”的遞增等差數(shù)列中，前〃項和的最小值是所有非正項之和；

（9）有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)

還是奇數(shù)決定.若總項數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項和”一“奇數(shù)項和”=總項數(shù)的一半與其公差的

積；若總項數(shù)為奇數(shù)，貝『‘奇數(shù)項和”一"偶數(shù)項和”=此數(shù)列的中項.

（10）兩數(shù)的等差中項惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時、?？紤]選用“中項

關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

（11）判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖

像法（也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式）.

3.等比數(shù)列｛《,｝中：

（1）等比數(shù)列的符號特征（全正或全負或一正一負），等比數(shù)列的首項、公比與等比

數(shù)列的單調(diào)性.

m

(2)an=%q"T=amq"~；p+q=m+n^>b/,-bq=bm-b?.

（3）｛|q[｝、｛4+（1）/、伙/｝成等比數(shù)列；N,,｝、｛〃』成等比數(shù)列=｛。/“｝成等

比數(shù)列.

（4）兩等比數(shù)列對應(yīng)項積（商）組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.

(5)弓+4++%,%+4+1+……成等比數(shù)歹

n%(q=i)呷(q=1)

(6)S"=<4—=%(1-q”)a\n.a\

(qHl)Ui(qwl)

1-q\-ql-q\-q

nn2n32n2

特別：a-b=(a-0)(a"T+a'-b+a-b++ab-+b"-').

m

⑺Sm+n=Slll+qSn=S,l+q"S,n.

（8）“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前〃項積的最大值是所有大于或等于1的項的

積；“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前〃項積的最小值是所有小于或等于1的項的積；

（9）有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)

還是奇數(shù)決定.若總項數(shù)為偶數(shù)，貝！1“偶數(shù)項和”=“奇數(shù)項和”與“公比”的積；若總項數(shù)為

奇數(shù)，貝『'奇數(shù)項和”=“首項”加上“公比”與“偶數(shù)項和''積的和.

（10）并非任何兩數(shù)總有等比中項.僅當(dāng)實數(shù)a力同號時，實數(shù)a,b存在等比中項.對

同號兩實數(shù)a/的等比中項不僅存在，而且有一對G=±而.也就是說，兩實數(shù)要么沒有

等比中項(非同號時)，如果有，必有一對(同號時).在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時,

常優(yōu)先考慮選用“中項關(guān)系''轉(zhuǎn)化求解.

(11)判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法(也

就是說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式).

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

(1)如果數(shù)列僅“｝成等差數(shù)列，那么數(shù)列｛A"”｝(4%總有意義)必成等比數(shù)列.

(2)如果數(shù)列僅“｝成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛log“|a”|｝(a>0,aH1)必成等差數(shù)列.

(3)如果數(shù)列｛《,｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛q｝是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)

列｛6｝是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.

(4)如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，

且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

如果一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列有公共項順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊

到一般的方法”進行研討，且以其等比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中那些項是他們的公共

項，并構(gòu)成新的數(shù)列.

注意：(1)公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究鬣.但也有少

數(shù)問題中研究q="，這時既要求項相同，也要求項數(shù)相同.(2)三(四)個數(shù)成等差(比)

的中項轉(zhuǎn)化和通項轉(zhuǎn)化法.

5.數(shù)列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式(三種形式)，

②等比數(shù)列求和公式(三種形式)，

③1+2+3++〃=工〃(〃+1),I2+22+32++/=!”(〃+1)(2〃+1),

26

1+3+5++(2n-l)=n2,1+3+5++(2n+1)=(n+1)2.

(2)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在

一起，再運用公式法求和.

(3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列

的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差

數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法).

（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相

乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個新的的等比數(shù)列的和“求解（注意：一

般錯位相減后，其中“新等比數(shù)列的項數(shù)是原數(shù)列的項數(shù)減一的差”！）（這也是等比數(shù)列前〃

和公式的推導(dǎo)方法之一）.

（5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián),

那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：

①1

n（n+1）nn+\

②一L_=±（l__L_）,

〃（〃+2）Knn+k

特別聲明：?運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時分類討

論.

（6）通項轉(zhuǎn)換法。

四、三角函數(shù)

1.a終邊與8終邊相同（。的終邊在。終邊所在射線上）oa=6+2k兀也wZ）.

a終邊與。終邊共線（a的終邊在。終邊所在直線上）0.

a終邊與。終邊關(guān)于x軸對稱oa=-e+2Z%（A:eZ）.

a終邊與0終邊關(guān)于y軸對稱<=>a=7i-0+2k兀（kGZ）.

a終邊與6終邊關(guān)于原點對稱oa=%+6+2k林kGZ）.

一般地：a終邊與0終邊關(guān)于角0的終邊對稱oa=24一9+2k兀（keZ）.

a與彳的終邊關(guān)系由“兩等分各象限、一二三四”確定.

2.弧長公式：扇形面積公式：5=a/火=4|。12，1弧度（lrad）a57.3.

3.三角函數(shù)符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

注意：sin15°=cos75°=^~^,sin75°=cos15°="產(chǎn),

tan15=cot75=2-73,tan75=cot15=2+6,sin18。=

小4：'.

4.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在x軸上（起點在x軸上）”、余弦線“躺在x軸上（起

點是原點）”、正切線“站在點A（l,0）處（起點是A）務(wù)必重視“三角函數(shù)值的大小與單

位圓上相應(yīng)點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，‘正弦'。'縱坐標(biāo)‘、‘余弦'O'橫坐標(biāo)'、‘正切'。'縱坐

標(biāo)除以橫坐標(biāo)之商？務(wù)必記?。簡挝粓A中角終邊的變化與sina土cose值的大小變化的關(guān)

系.a為銳角=>sina<a<tana.

5.三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運用中，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取

值，精確確定角的范圍，并進行定號”；

6.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：奇變偶不變，符號看象限.

7.三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)（常值）的變換，其核心是“角的變換”!

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、己知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、

兩角與其和差角的變換.

如a=（a+仍一/3=（a-仍+。,2a=（。+夕）+（1—尸），

2a=（尸+&）—（夕一a）,e+/?=2.一胃一修_/）等.

常值變換主要指"1”的變換：

1=sin2x+cos2x-sec2x-tan2x-tanx-cotx-tan§=sin§=cosO=等.

42

三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化（切割化弦）、三角函數(shù)次數(shù)的降升（降次、升次）、

運算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化（和式與積式的互化）.解題時本著“三看”的基本原則來進行:“看角、看函

數(shù)、看特征”，基本的技巧有:巧變角，公式變形使用，化切割為弦，用倍角公式將高次降次.

注意：和（差）角的函數(shù)結(jié)構(gòu)與符號特征；余弦倍角公式的三種形式選用；降次（升次）

公式中的符號特征.“正余弦'三兄妹一sinx±cosx、sinxcosx，的聯(lián)系”（常和三角換元法聯(lián)

系在一起，=sinx士cosxG[-V2,\/2],sinxcosx=）.

輔助角公式中輔助角的確定：asinx+bcosx^\la2+b2sin（%+6））（其中。角所在

b

的象限由凡人的符號確定，。角的值由tan。=一確定）在求最值、化簡時起著重要作用.尤

a

其是兩者系數(shù)絕對值之比為1或百的情形.Asinx+Bcosx=C有實數(shù)解

<=>A2+B2>C2.

8.三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：

（1）三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性

注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域：絕對值對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來,

某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)乂是偶

函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變；其他不定.如），=$山。,），=卜山耳的周期都是〃,

但y=|sinA|+|cos^y=|sinA）+|cos^的周期為%,y=|tanx|的周期不變，問函數(shù)

y=cos|x|,y=sinx2,y=sin|.x|,y=cosVx,產(chǎn)cos|x|是周期函數(shù)嗎？

（2）三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：

（3）三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換.

（4）三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點法（五點橫坐標(biāo)成等差數(shù)列）和變換

法.

9.三角形中的三角函數(shù)：

（1）內(nèi)角和定理：三角形三角和為萬，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和

與第三個角的半角總互余.銳角三角形O三內(nèi)角都是銳角￡>|內(nèi)角的余弦值為正值￡?任

兩角和都是鈍角￡之任意兩邊的平方和大于第三邊的平方,.

（2）正弦定理：二仆=；4==。=2n（R為三角形外接圓的半徑）.

sinAsinBsinC

注意：已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務(wù)必注意可能

有兩解.

（3）余弦定理：a2^b2+c2-2Z?ccosA,cos4=廿+〈二=（"￡工—1等，

2hc2bc

常選用余弦定理鑒定三角形的類型.

（4）面積公式：S=』ah,,=』absinC=噫.

2"24R

五、向量

1.向量運算的幾何形式和坐標(biāo)形式，請注意：向量運算中向量起點、終點及其坐標(biāo)的特征.

2.幾個概念：零向量、單位向量（與A8共線的單位向量是土幽，特別：

\AB\

AQArAR

（i~|+^7）±（.—~r--））、平行（共線）向量（無傳遞性，是因為有0）、相等向量

|AB||AC|世\AC\

（有傳遞性）、相反向量、向量垂直、以及一個向量在另一向量方向上的投影（。在〃上的

投影是=14cosR）.

11\b\

3.兩非零向量平行（共線）的充要條件

22

allb=a=九b<=>(a-b)=(\a\\b\)<^>x]x2+yxy2=0.

兩個非零向量垂直的充要條件

。J_人oa-b=0<=>|6r+/?|=|a-b\<=>x[x2+y1y2=0.

特別：零向量和任何向量共線.'a=是向量平行的充分不必要條件!

4.平面向量的基本定理：如果約和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的

任一向量a,有且只有一對實數(shù)4、%，使e1+&e2.

5.三點A、B、C共線OA6、AC共線；

向量產(chǎn)4PRPC中三終點A、B、C共線o存在實數(shù)a、0使得：PA=aPB+0PC

且a+￡=l.

6.向量的數(shù)量積：|a『=(af=,a-b^a^b\cos0-x}x2+y}y2,

cos3=a"玉/丁1%

\a\\b\

a在6上的投影=|aIcos<a,b>=32=號+*%

注意：<。,6>為銳角<=>。?〃>0且。、匕不同向；

<a,b>為直角oa,/?=0且a、b于0；

<a,b>為鈍角oa-Z?<0且a、b不反向；

a.b<0是<a,b>為鈍角的必要非充分條件.

向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零

向量，這是題目中的天然條件，要注意運用；對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩

邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即

兩邊不能約去一個向量；向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即切記兩向量

不能相除（相約）.

7.\\a\-\b\\<\a±b\<\a\+\b\

注意：a、Z?同向或有0^\a+b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\=\a-b\；

a、b反向或有0O\a-b\=^a\+\b\>||a|-|Z?||=|a+i|;

a、1不共線O||a|-仍||V|￡±6|<|￡|+|6|.（這些和實數(shù)集中類似）

8.中點坐標(biāo)公式「=一丁，+=p為片一的中點.

2

v-_+%

P-2

△A6C中，4B+AC過3c邊中點；（絲+生）^/1-/^

與4映線的單位向量是土黑.PG山PA+PB+POG為A4比的重

特別PA+P8+PC=0o尸為AA8C的重心.

PAPB=PBPC=PCPAoP為MBC的垂心；

“上坦+-ACL）（2豐0）所在直線過AABC的內(nèi)心（是ZBAC的角平分線所在直

\AB\\AC\

|AB|PC+1BC\PA+\CA\PB=0<=>PAABC的內(nèi)心.

=_A5ACsinA=一AB^\AC^-(AB-AC)2.

六、不等式

1.（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往

往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值.

（2）解分式不等式綱>〃（〃中（））的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母分解

因式，x的系數(shù)變?yōu)檎?標(biāo)根及奇穿過偶彈回）；

（3）含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？（一般是根據(jù)定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化

或換元轉(zhuǎn)化）;

（4）解含參不等式常分類等價轉(zhuǎn)化，必要時需分類討論.注意：按參數(shù)討論，最后按

參數(shù)取值分別說明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.

2.利用重要不等式a+bN2而以及變式abK（年）2等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注意

/R'(或a,。非負)，且“等號成立”時的條件是積油或和a+匕其中之一應(yīng)是定值(一

正二定三等四同時).

3.常用不等式有:(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選

ab

用)

a、b、ceR,a2+b2+c2>ab+he+ca（當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=c時，取等號）

4.比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合

法、分析法

5.含絕對值不等式的性質(zhì)：

a、b同號或有0O|a+ZH=|a|+|b|L||a|-|6||=|a-b|；

a、》異號或有0O|a-&|=|a|+|fo|>||a|-|i?||=|a+i>|.

注意：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？(常應(yīng)用方程函數(shù)思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)

化為最值問題).

6.不等式的恒成立，能成立,恰成立等問題

(1).恒成立問題

若不等式/(x)>A在區(qū)間。上恒成立，則等價于在區(qū)間。上>A

若不等式/(x)<8在區(qū)間。上恒成立，則等價于在區(qū)間。上〃力,而<B

(2).能成立問題

若在區(qū)間D上存在實數(shù)X使不等式/(x)>A成立，即/(x)>A在區(qū)間。上能成

立,，則等價于在區(qū)間D上“旦山>A

若在區(qū)間D上存在實數(shù)X使不等式/(x)<B成立，即/(x)<B在區(qū)間D上能成

立,，則等價于在區(qū)間D上的/(x)ni,n<B.

(3).恰成立問題

若不等式/(%)>A在區(qū)間O上恰成立，則等價于不等式/(x)>A的解集為D.

若不等式f(x)<6在區(qū)間。上恰成立，則等價于不等式/(x)<6的解集為。，

七、直線和圓

1.直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍；直線方向向量的意義或

2（0,1）（2*0））及其直線方程的向量式（（x-x0,y-%）=/la（。為直線的方向向量））.應(yīng)

用直線方程的點斜式、斜截式設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為A,但你是否注意到直

線垂直于x軸時，即斜率《不存在的情況？

2.知直線縱截距6,常設(shè)其方程為y=Ac+人或x=0；知直線橫截距與，常設(shè)其方程為

x=my+x0（直線斜率上存在時，加為火的倒數(shù)）或y=0.知直線過點（玉”為），常設(shè)其

方程為y=左（%一/）+%或x=x（）.

注意：（1）直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一般式、向量式.以

及各種形式的局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截矩式呢？）

與直線/:4+為+。=0平行的直線可表示為4:+5），+。1=0；

與直線/:4￥+方+。=0垂直的直線可表示為以一4^+。1=0；

過點P（x0,%）與直線I-.Ax+By+C=0平行的直線可表示為：

A（x-尤0）+5（丁一%）=°；

過點「（%,%）與直線/:而+8）＞+。=0垂直的直線可表示為：

B（x-xo）-A（y-yo）=O.

（2）直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等O直線的斜率為

-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)O直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕

對值相等O直線的斜率為±1或直線過原點.

（3）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體

幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合.

3.相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個不同的概念：夾角特指相交兩直線所成

的較小角，范圍是（0,今］,而其到角是帶有方向的角，范圍是（0,萬）.

注：點到直線的距離公式

j_I而o++C\

d=Ji.

特別：I』，。&k,=Tg、玲都存在時)<=>AA,+B.B2=0；

與-&C

〃4C

=￡：：￡(人、心都存在時)=G4T

wG

A8=4用

/p6重合0也貸嶼、網(wǎng)都存在時)0A=4G

c.;

4.線性規(guī)劃中幾個概念：約束條件、可行解、可行域、目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)解.

5.圓的方程：最簡方程Y+y2=R2；標(biāo)準方程(x-a)2+(y—份2=尺2；

一般式方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+￡2-4F>0)；

參數(shù)方程黑黑夕9為參數(shù))；

直徑式方程(》71)(工一》2)+(3一弘)。一必)=0.

注意：

(1)在圓的一般式方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是(—g,苦),R+爐一4尸.

(2)圓的參數(shù)方程為“三角換元”提供了樣板，常用三角換元有：

x~+y1->X=COS0ysin0,+y~=2->X="V2cosa,y=^/2sin0，

x2+y2<1x=rcosd,y=rsin^(0<r<1),

x2+y2<2—>x=rcos0,y=rsin0(O<r<V2).

6.解決直線與圓的關(guān)系問題有“函數(shù)方程思想'’和"數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價轉(zhuǎn)化求解,

重要的是發(fā)揮“圓的平面幾何性質(zhì)(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、

割線定理、弦切角定理等等)的作用!”

2

(1)過圓/+尸=中上一點2(％,%)圓的切線方程是：xxa+yy0=R,

222

過圓(x-a)+(y-b)=R上一點P(x0,y0)圓的切線方程是：

2

(x-a)(x0-a)+(y-a)(y0-a)=R,

過圓x2+y2+Dr+Ey+尸=o(。+爐一4/>0)上一點尸(玉),％)圓的切線方程

是：*0+)%+芻(8+毛)+號(y+%)+F=O-

如果點2方,%)在圓外，那么上述直線方程表示過點P兩切線上兩切點的“切點弦”

方程.

如果點在圓內(nèi)，那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于Of(。1為圓

心)的直線方程，|O|P|d=/?2(4為圓心。|到直線的距離).

7.曲線￡:/(尤,y)=0與C,:g(x,>)=0的交點坐標(biāo)o方程組1戶，丫:J；的解；

#一u

過兩圓G"(x,y)=0、C2:g(x,y)=()交點的圓(公共弦)系為/(x,y)+4g(x,y)=0,

當(dāng)且僅當(dāng)無平方項時，/(x,y)+4g(x,y)=0為兩圓公共弦所在直線方程.

八、圓錐曲線

1.圓錐曲線的兩個定義，及其“括號”內(nèi)的限制條件,在圓錐曲線問題中，如果涉及到其兩

焦點(兩相異定點)，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其焦點、準線(一定

點和不過該點的一定直線)或離心率，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；涉及到焦點三角

形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

(1)注意：①圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運用；

②圓錐曲線第二定義是：“點點距為分子、點線距為分母”，橢圓。點點距除以點

線距商是小于1的正數(shù)，雙曲線O點點距除以點線距商是大于1的正數(shù)，拋物線O點點

距除以點線距商是等于1.③圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：

2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點線、圓

錐曲線的變化趨勢.其中e=C,橢圓中力=JT二7、雙曲線中立=，7口.

aaa

重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其，頂點、焦點、準線等相互之

間與坐標(biāo)系無關(guān)的幾何性質(zhì)”'，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點弦最值的特點.

注意：等軸雙曲線的意義和性質(zhì).

3.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，有“函數(shù)方程思想''和"數(shù)形結(jié)合思想''兩種思路，

等價轉(zhuǎn)化求解.特別是：

①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程

時，務(wù)必“判別式X)”，尤其是在應(yīng)用韋達定理解決問題時,必須先有“判別式K)”.

②直線與拋物線(相交不一定交于兩點)、雙曲線位置關(guān)系(相交的四種情況)的特殊

性，應(yīng)謹慎處理.

③在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，常與“弦”相關(guān),“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、

“中點弦”問題關(guān)鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度（弦長）”問題關(guān)鍵

懸長度（弦長）公式

222

4_IAB|=yl（xt-x2）+（yt-y2），|AB\=\Jl+k\x2-x21=J1+1，

\a\

IAB|=J+=Iy-1=Ji+1-

④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化.

4.要重視常見的尋求曲線方程的方法（待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點法、參數(shù)法、

交軌法、向量法等），以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)（定義法、幾何法、代

數(shù)法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想等），這是解析幾何的

兩類基本問題，也是解析幾何的基本出發(fā)點.

注意：①如果問題中涉及到平面向量知識,那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向

量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行“摘帽子或脫靴子”

轉(zhuǎn)化.

②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念,尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意

軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.

③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合（如角平分線的雙

重身份）、”方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、”分類討論思想''化整為零分化處

理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.

九、直線、平面、簡單多面體

1.計算異面直線所成角的關(guān)鍵是生摟（補形）轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角計算

2.計算直線與平面所成的角關(guān)鍵是作面的駿攢叫，或向量法（直線上向量與平面法向

量夾角的余角），三余弦公式（最小角定理,cose=cos。］COS&）,或先運用等積法求點到

直線的距離，后虛擬直角三角形求解.注：一斜線與平面上以斜足為頂點的角的兩邊所成角

相等=>斜線在平面上射影為角的平分線.

3.空間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、定理和空間向量進行，請重視線

面平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系（三垂線定理及其逆定理）的橋梁作用.注意：書寫證明過程需

規(guī)范.

特別聲明：

①證明計算過程中，若有“中點”等特殊點線，則常借助于“中位線、重心”等知識轉(zhuǎn)化.

②在證明計算過程中常將運用轉(zhuǎn)化思想，將具體問題轉(zhuǎn)化（構(gòu)造）為特殊幾何體（如

三