第六章多元統(tǒng)計(jì)

第六章多元統(tǒng)計(jì)第1頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心2第六章因子分分析

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§6.1因子分析的基本理論§6.2因子載荷的求解§6.3因子分析的步驟與邏輯框圖§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)第2頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3第六章因子分分析

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因子分析（factoranalysis）模型是主成分分析的推廣。它也是利用降維的思想，由研究原始變量相關(guān)矩陣內(nèi)部的依賴關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的變量歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)綜合因子的一種多變量統(tǒng)計(jì)分析方法。相對(duì)于主成分分析，因子分析更傾向于描述原始變量之間的相關(guān)關(guān)系；因此，因子分析的出發(fā)點(diǎn)是原始變量的相關(guān)矩陣。因子分析的思想始于1904年CharlesSpearman對(duì)學(xué)生考試成績(jī)的研究。近年來(lái)，隨著電子計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，人們將因子分析的理論成功地應(yīng)用于心理學(xué)、醫(yī)學(xué)、氣象、地質(zhì)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，也使得因子分析的理論和方法更加豐富。本章主要介紹因子分析的基本理論及方法，運(yùn)用因子分析方法分析實(shí)際問(wèn)題的主要步驟及因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)等內(nèi)容。第3頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

§6.1因子分析的基本理論§6.1.1因子分析的基本思想§6.1.2因子分析的基本理論及模型第4頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因子分析的基本思想是根據(jù)相關(guān)性大小把原始變量分組，使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，而不同組的變量間的相關(guān)性則較低。每組變量代表一個(gè)基本結(jié)構(gòu)，并用一個(gè)不可觀測(cè)的綜合變量表示，這個(gè)基本結(jié)構(gòu)就稱為公共因子。對(duì)于所研究的某一具體問(wèn)題，原始變量就可以分解成兩部分之和的形式，一部分是少數(shù)幾個(gè)不可測(cè)的所謂公共因子的線性函數(shù)，另一部分是與公共因子無(wú)關(guān)的特殊因子。在經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中，描述一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)可以有很多，比如要反映物價(jià)的變動(dòng)情況，對(duì)各種商品的價(jià)格做全面調(diào)查固然可以達(dá)到目的，但這樣做顯然耗時(shí)耗力，為實(shí)際工作者所不取。實(shí)際上，某一類商品中很多商品的價(jià)格之間存在明顯的相關(guān)性或相互依賴性，只要選擇幾種主要商品的價(jià)格或進(jìn)而對(duì)這幾種主要商品的價(jià)格進(jìn)行綜合，得到某一種假想的“綜合商品”的價(jià)格，就足以反映某一類物價(jià)的變動(dòng)情況，這里，“綜合商品”的價(jià)格就是提取出來(lái)的因子。2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心5

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§6.1.1因子分析的基本思想第5頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心6

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§6.1.1因子分析的基本思想這樣，對(duì)各類商品物價(jià)或僅對(duì)主要類別商品的物價(jià)進(jìn)行類似分析然后加以綜合，就可以反映出物價(jià)的整體變動(dòng)情況。這一過(guò)程也就是從一些有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中找出少數(shù)幾個(gè)主要因子，每一個(gè)主要因子就代表經(jīng)濟(jì)變量間相互依賴的一種經(jīng)濟(jì)作用。抓住這些主要因子就可以幫助我們對(duì)復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題進(jìn)行分析和解釋。因子分析還可用于對(duì)變量或樣品的分類處理，我們?cè)诘贸鲆蜃拥谋磉_(dá)式之后，就可以把原始變量的數(shù)據(jù)代入表達(dá)式得出因子得分值，根據(jù)因子得分在因子所構(gòu)成的空間中把變量或樣品點(diǎn)畫出來(lái)，形象直觀地達(dá)到分類的目的。因子分析不僅僅可以用來(lái)研究變量之間的相關(guān)關(guān)系，還可以用來(lái)研究樣品之間的相關(guān)關(guān)系，通常將前者稱之為R型因子分析，后者稱之為Q型因子分析。我們下面著重介紹型因子分析。第6頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心7

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型（一）CharlesSpearman提出因子分析時(shí)用到的例子為了對(duì)因子分析的基本理論有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)，我們先給出CharlesSpearman1904年用到的例子。在該例中Spearman研究了33名學(xué)生在古典語(yǔ)（C）、法語(yǔ)（F）、英語(yǔ)（E）、數(shù)學(xué)（M）、判別（D）和音樂(lè)（Mu）六門考試成績(jī)之間的相關(guān)性并得到如下相關(guān)陣：第7頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心8

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型式中，為第門科目標(biāo)準(zhǔn)化后的考試成績(jī)，均值為0，方差為1。為公共因子，對(duì)各科考試成績(jī)均有影響，是均值為0，方差為1。為僅對(duì)第門科目考試成績(jī)有影響的特殊因子，與相互獨(dú)立。也就是說(shuō)，每一門科目的考試成績(jī)都可以看作是由一個(gè)公共因子（可以認(rèn)為是一般智力）與一個(gè)特殊因子的和。Spearman注意到上面相關(guān)陣中一個(gè)有趣的規(guī)律，這就是如果不考慮對(duì)角元素的話，任意兩列的元素大致成比例，對(duì)C列和E列有：于是Spearman指出每一科目的考試成績(jī)都遵從以下形式：（6.1）

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型(6.2)式與無(wú)關(guān)，也正與在相關(guān)矩陣中所觀察到的比例關(guān)系相一致。在滿足以上假定的條件下，就有：于是，有

（6.2）除此之外，還可以得到如下有關(guān)方差的關(guān)系式：

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型因此，常數(shù)的意義就在于其平方表示了公共因子解釋的方差的比例，因此被稱之為因子載荷，而被稱作共同度。對(duì)Spearman的例子進(jìn)行推廣，假定每一門科目的考試成績(jī)都受到個(gè)公共因子的影響及一個(gè)特殊因子的影響，于是（6.1）就變成了如下因子分析模型的一般形式：(6.4)因?yàn)槭且粋€(gè)常數(shù)，與相互獨(dú)立且與的方差均被假定為1。于是有（6.3）第10頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心11

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型式中，為標(biāo)準(zhǔn)化后的第門科目的考試成績(jī)，均值為0，方差為1。是彼此獨(dú)立的公共因子，都滿足均值為0，方差為1。為特殊因子，與每一個(gè)公共因子均不相關(guān)且均值為0。則為對(duì)第門科目考試成績(jī)的因子載荷。對(duì)該模型，有：（6.5）式中，表示公共因子解釋方差的比例，稱為的共同度，相對(duì)的可稱為的特殊度或剩余方差，表示的方差中與公共因子無(wú)關(guān)的部分。因?yàn)楣餐炔粫?huì)大于1，因此，。由模型(6.4)還可以很容易地得到如下與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系式：（6.6）所以當(dāng)與在某一公共因子上的載荷均較大時(shí)，也就表明了與的相關(guān)性較強(qiáng)。第11頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心12

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型（二）一般因子分析模型下面我們給出更為一般的因子分析模型：設(shè)有個(gè)樣品，每個(gè)樣品觀測(cè)個(gè)指標(biāo)，這個(gè)指標(biāo)之間有較強(qiáng)的相關(guān)性（要求個(gè)指標(biāo)相關(guān)性較強(qiáng)的理由是很明確的，只有相關(guān)性較強(qiáng)才能從原始變量中提取出“公共”因子）。為了便于研究，并消除由于觀測(cè)量綱的差異及數(shù)量級(jí)不同所造成的影響，將樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使標(biāo)準(zhǔn)化后的變量均值為0，方差為1。為方便把原始變量及標(biāo)準(zhǔn)化后的變量向量均用表示，用表示標(biāo)準(zhǔn)化的公共因子。第12頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心13

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型（2）（）是不可觀測(cè)的變量，其均值向量，協(xié)方差矩陣，即向量的各分量是相互獨(dú)立的；如果：（1）是可觀測(cè)隨機(jī)向量，且均值向量，協(xié)方差矩陣，且協(xié)方差矩陣與相關(guān)陣相等；（3）與相互獨(dú)立，且，的協(xié)方差陣是對(duì)角方陣第13頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心14

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型即的各分量之間也是相互獨(dú)立的。則模型

(6.7)稱為因子模型，模型(6.7)式的矩陣形式為：

(6.8)其中

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型由模型（6.7）及其假設(shè)前提知，公共因子相互獨(dú)立且不可測(cè)，是在原始變量的表達(dá)式中都出現(xiàn)的因子。公共因子的含義，必須結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的具體意義確定。叫做特殊因子，是向量的分量（）所特有的因子。各特殊因子之間以及特殊因子與所有公共因子之間也都是相互獨(dú)立的。矩陣中的元素稱為因子載荷，的絕對(duì)值大，表明與的相依程度越大，或稱公共因子對(duì)于的載荷量越大，進(jìn)行因子分析的目的之一，就是要求出各個(gè)因子載荷的值。第15頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心16

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型經(jīng)過(guò)后面的分析我們會(huì)看到，因子載荷的概念與上一章主成分分析中的因子負(fù)荷量相對(duì)等，實(shí)際上，由于因子分析與主成分分析非常類似，在模型(6.7)式中，若把看作的綜合作用，則除了此處的因子為不可測(cè)變量這一區(qū)別，因子載荷與主成分分析中的因子負(fù)荷量是一致的；很多人對(duì)這兩個(gè)概念并不加以區(qū)分而都稱做因子載荷。矩陣稱為因子載荷矩陣。為了更好地理解因子分析方法，有必要討論一下載荷矩陣的統(tǒng)計(jì)意義與公因子與原始變量之間的關(guān)系。第16頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心17

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型1.因子載荷的統(tǒng)計(jì)意義由模型(6.7)式（6.9）即是與的協(xié)方差，而注意到，與（）都是均值為0，方差為1的變量，因此，同時(shí)也是與的相關(guān)系數(shù)。請(qǐng)讀者對(duì)比主成分分析一章有關(guān)因子負(fù)荷量的論述并對(duì)兩者進(jìn)行比較。第17頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心18

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型2．變量共同度與剩余方差在上面Spearman的例子中我們提到了共同度與剩余方差的概念，對(duì)一般因子模型(6.7)式的情況，我們重新總結(jié)這兩個(gè)概念如下：稱為變量的共同度，記為（）。由因子分析模型的假設(shè)前提，易得：記，則

(6.10)

(6.9)上式表明共同度與剩余方差有互補(bǔ)的關(guān)系，越大表明對(duì)公共因子的依賴程度越大，公共因子能解釋方差的比例越大，因子分析的效果也就越好。第18頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心19

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§6.1.2因子分析的基本理論及模型3．公因子的方差貢獻(xiàn)共同度考慮的是所有公共因子與某一個(gè)原始變量的關(guān)系，與此類似，考慮某一個(gè)公共因子與所有原始變量的關(guān)系。記（），則表示的是公共因子對(duì)于的每一分量（）所提供的方差的總和，稱為公因子對(duì)原始變量向量的方差貢獻(xiàn)，它是衡量公因子相對(duì)重要性的指標(biāo)。越大，則表明公共因子對(duì)的貢獻(xiàn)越大，或者說(shuō)對(duì)的影響和作用就越大。如果將因子載荷矩陣的所有（）都計(jì)算出來(lái)，并按其大小排序，就可以依此提煉出最有影響的公共因子。第19頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心20

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§6.2因子載荷的求解§6.2.1主成分法§6.2.2主軸因子法§6.2.4因子旋轉(zhuǎn)§6.2.3極大似然法§6.2.5因子得分§6.2.6主成分分析與因子分析的區(qū)別第20頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心21

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§6.2因子載荷的求解因子分析可以分為確定因子載荷，因子旋轉(zhuǎn)及計(jì)算因子得分三個(gè)步驟。首要的步驟即為確定因子載荷或是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定出因子載荷矩陣。有很多方法可以完成這項(xiàng)工作，如主成分法，主軸因子法，最小二乘法，極大似然法，因子提取法等。這些方法求解因子載荷的出發(fā)點(diǎn)不同，所得的結(jié)果也不完全相同。下面我們著重介紹比較常用的主成分法、主軸因子法與極大似然法。第21頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心22

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§6.2

.1主成分法用主成分法確定因子載荷是在進(jìn)行因子分析之前先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一次主成分分析，然后把前面幾個(gè)主成分作為未旋轉(zhuǎn)的公因子。相對(duì)于其它確定因子載荷的方法而言，主成分法比較簡(jiǎn)單。但是由于用這種方法所得的特殊因子之間并不相互獨(dú)立，因此，用主成分法確定因子載荷不完全符合因子模型的假設(shè)前提，也就是說(shuō)所得的因子載荷并不完全正確。但是當(dāng)共同度較大時(shí)，特殊因子所起的作用較小，因而特殊因子之間的相關(guān)性所帶來(lái)的影響就幾乎可以忽略。事實(shí)上，很多有經(jīng)驗(yàn)的分析人員在進(jìn)行因子分析時(shí)，總是先用主成分法進(jìn)行分析，然后再嘗試其他的方法。第22頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心23

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§6.2

.1主成分法式中，為隨機(jī)向量的相關(guān)矩陣的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量的分量，因?yàn)樘卣飨蛄恐g彼此正交，從到的轉(zhuǎn)換關(guān)系是可逆的，很容易得出由到的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：用主成分法尋找公因子的方法如下：假定從相關(guān)陣出發(fā)求解主成分，設(shè)有個(gè)變量，則我們可以找出個(gè)主成分。將所得的個(gè)主成分按由大到小的順序排列，記為，則主成分與原始變量之間存在如下關(guān)系式:（6.11）

第23頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心24

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§6.2

.1主成分法(6.12)我們對(duì)上面每一等式只保留前個(gè)主成分而把后面的部分用代替，則（6.12）式變?yōu)椋?/p>

(6.13)第24頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心25

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§6.2

.1主成分法式（6.13）在形式上已經(jīng)與因子模型(6.7)相一致，且（）之間相互獨(dú)立，且與之間相互獨(dú)立，為了把轉(zhuǎn)化成合適的公因子，現(xiàn)在要做的工作只是把主成分變?yōu)榉讲顬?的變量。為完成此變換，必須將除以其標(biāo)準(zhǔn)差，由上一章主成分分析的知識(shí)知其標(biāo)準(zhǔn)差即為特征根的平方根。于是，令，，則(6.13)式變?yōu)椋哼@與因子模型（6.7）完全一致，這樣，就得到了載荷矩陣和一組初始公因子（未旋轉(zhuǎn)）。第25頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心26

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§6.2

.1主成分法一般設(shè)為樣本相關(guān)陣的特征根，為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量。設(shè)，則因子載荷矩陣的一個(gè)解為：(6.14)

共同度的估計(jì)為：(6.15)

那么如何確定公因子的數(shù)目呢？一般而言，這取決于問(wèn)題的研究者本人，對(duì)于同一問(wèn)題進(jìn)行因子分析時(shí)，不同的研究者可能會(huì)給出不同的公因子數(shù)；當(dāng)然，有時(shí)候由數(shù)據(jù)本身的特征可以很明確地確定出因子數(shù)目。當(dāng)用主成分法進(jìn)行因子分析時(shí)，也可以借鑒確定主成分個(gè)數(shù)的準(zhǔn)則，如所選取的公因子的信息量的和達(dá)到總體信息量的一個(gè)合適比例為止。但對(duì)這些準(zhǔn)則不應(yīng)生搬硬套，應(yīng)按具體問(wèn)題具體分析，總之要使所選取的公因子能夠合理地描述原始變量相關(guān)陣的結(jié)構(gòu)，同時(shí)要有利于因子模型的解釋。第26頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心27

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§6.2

.2主軸因子法主軸因子法也比較簡(jiǎn)單，且在實(shí)際應(yīng)用中也比較普遍。用主軸因子法求解因子載荷矩陣的方法其思路與主成分法有類似的地方，兩都均是從分析矩陣的結(jié)構(gòu)入手；兩者不同的地方在于，主成分法是在所有的個(gè)主成分能解釋標(biāo)準(zhǔn)化原始變量所有方差的基礎(chǔ)之上進(jìn)行分析的，而主軸因子法中，假定個(gè)公共因子只能解釋原始變量的部分方差，利用公因子方差（或共同度）來(lái)代替相關(guān)矩陣主對(duì)角線上的元素1，并以新得到的這個(gè)矩陣（稱之為調(diào)整相關(guān)矩陣）為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)其分別求解特征根與特征向量并得到因子解。在因子模型（6.7）中，不難得到如下關(guān)于的相關(guān)矩陣的關(guān)系式：第27頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心28

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§6.2

.2主軸因子法注意到，上面的分析是以首先得到調(diào)整相關(guān)矩陣為基礎(chǔ)的，而實(shí)際上，與共同度（或相對(duì)的，剩余方差）都是未知的，需要我們先進(jìn)行估計(jì)。一般我們先給出一個(gè)初始估計(jì)，然后估計(jì)出載荷矩陣后再給出較好的共同度或剩余方差的估計(jì)。初始估計(jì)的方法有很多，可嘗試對(duì)原始變量先進(jìn)行一次主成分分析，給出初始估計(jì)值。式中，為因子載荷矩陣，為一對(duì)角陣，其對(duì)角元素為相應(yīng)特殊因子的方差。則稱為調(diào)整相關(guān)矩陣，顯然的主對(duì)角元素不再是1，而是共同度。分別求解的特征值與標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，進(jìn)而求出因子載荷矩陣。此時(shí)，有個(gè)正的特征值。設(shè)為的特征根，為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量。，則因子載荷矩陣的一個(gè)主軸因子解為：(6.16)

第28頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心29

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§6.2

.3極大似然法如果假定公共因子和特殊因子服從正態(tài)分布，則能夠得到因子載荷和特殊因子方差的極大似然估計(jì)。設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的隨機(jī)樣本，其中

。從似然函數(shù)的理論知：

(6.17)它通過(guò)依賴于和。但(6.17)并不能唯一確定，為此，添加如下條件：

(6.18)這里，是一個(gè)對(duì)角陣，用數(shù)值極大化的方法可以得到極大似然估計(jì)和。極大似然估計(jì)、和，將使為對(duì)角陣，且使(6.17)式達(dá)到最大。第29頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心30

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§6.2

.4因子旋轉(zhuǎn)不管用何種方法確定初始因子載荷矩陣，它們都不是唯一的。設(shè)是初始公共因子，則可以建立如下它們的線性組合得到新的一組公共因子，使得，，彼此相互獨(dú)立同時(shí)也能很好地解釋原始變量之間的相關(guān)關(guān)系。

這樣的線性組合可以找到無(wú)數(shù)組，由此便引出了因子分析的第二個(gè)步驟——因子旋轉(zhuǎn)。建立因子分析模型的目的不僅在于要找公共因子，更重要的是知道每一個(gè)公共因子的意義，以便對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析。第30頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心31

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§6.2

.4因子旋轉(zhuǎn)然而我們得到的初始因子解各主因子的典型代表變量不是很突出，容易使因子的意義含糊不清，不便于對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析。出于該種考慮，可以對(duì)初始公因子進(jìn)行線性組合，即進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，以期找到意義更為明確，實(shí)際意義更明顯的公因子。經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后，公共因子對(duì)的貢獻(xiàn)并不改變，但由于載荷矩陣發(fā)生變化，公共因子本身就可能發(fā)生很大的變化，每一個(gè)公共因子對(duì)原始變量的貢獻(xiàn)不再與原來(lái)相同，從而經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)我們就可以得到比較令人滿意的公共因子。因子旋轉(zhuǎn)分為正交旋轉(zhuǎn)與斜交旋轉(zhuǎn)，正交旋轉(zhuǎn)由初始載荷矩陣右乘一正交陣而得到。經(jīng)過(guò)正交旋轉(zhuǎn)而得到的新的公因子仍然保持彼此獨(dú)立的性質(zhì)。而斜交旋轉(zhuǎn)則放棄了因子之間彼此獨(dú)立這個(gè)限制，因而可能達(dá)到更為簡(jiǎn)潔的形式，其實(shí)際意義也更容易解釋。第31頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心32

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§6.2

.4因子旋轉(zhuǎn)但不論是正交旋轉(zhuǎn)還是斜交旋轉(zhuǎn)，都應(yīng)當(dāng)使新的因子載荷系數(shù)要么盡可能地接近于0，要么盡可能的遠(yuǎn)離0。因?yàn)橐粋€(gè)接近于0的載荷表明與的相關(guān)性很弱；而一個(gè)絕對(duì)值比較大的載荷則表明公因子在很大程度上解釋了的變化。這樣，如果任一原始變量都與某些公共因子存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，而與另外的公因子之間幾乎不相關(guān)的話，公共因子的實(shí)際意義就會(huì)比較容易確定。下面介紹正交旋轉(zhuǎn)中的方差最大化正交旋轉(zhuǎn)，該方法由H.K凱澤(H.F.Kaiser)首先提出，是應(yīng)用最為普遍的正交旋轉(zhuǎn)方法。方差最大化正交旋轉(zhuǎn)方法的提出以下面的假設(shè)為前提：公因子的解釋能力能夠以其因子載荷平方的方差，即的方差來(lái)度量。我們先考慮兩個(gè)因子的平面正交旋轉(zhuǎn)，設(shè)因子載荷矩陣為:第32頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心33

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§6.2

.4因子旋轉(zhuǎn)令

則為正交陣,記

(6.19)第33頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)過(guò)如上變換，希望所得結(jié)果能使載荷矩陣的每一列元素的絕對(duì)值向1和0兩極分化，或者說(shuō)使因子的貢獻(xiàn)盡量分散。這實(shí)際上就是希望把變量分成兩部分，一部分主要與第一因子有關(guān)，另一部分主要與第二因子有關(guān)，這也就要求，這兩組數(shù)據(jù)的方差要盡可能地大。分別考慮兩列的相對(duì)方差（6.20）2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心34

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§6.2

.4因子旋轉(zhuǎn)第34頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心35

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§6.2

.4因子旋轉(zhuǎn)

這里取是為了消除符號(hào)不同的影響，除以是為了消除各個(gè)變量對(duì)公共因子依賴程度不同的影響，現(xiàn)在要求總的方差達(dá)到最大，即要求使達(dá)到最大值，考慮對(duì)的導(dǎo)數(shù)，利用(6.19)，（6.20）式，經(jīng)過(guò)計(jì)算知要使須滿足：（6.21）

其中：

而

第35頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心36

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§6.2

.4因子旋轉(zhuǎn)

如果公共因子多于兩個(gè)，我們可以逐次對(duì)每?jī)蓚€(gè)進(jìn)行上述的旋轉(zhuǎn)，當(dāng)公共因子數(shù)時(shí)，可以每次取兩個(gè)，全部配對(duì)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)總是對(duì)初始載荷矩陣中的列，列同時(shí)進(jìn)行，此時(shí)公式(6.21)中只需將，就可以了。變換共需進(jìn)行次，這樣就完成了第一輪旋轉(zhuǎn)，然后對(duì)第一輪旋轉(zhuǎn)所得結(jié)果用上述方法繼續(xù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到第二輪旋轉(zhuǎn)的結(jié)果。每一次旋轉(zhuǎn)后，矩陣各列平方的相對(duì)方差之和總會(huì)比上一次有所增加。如此繼續(xù)下去，當(dāng)總方差的改變不大時(shí)，就可以停止旋轉(zhuǎn)，這樣就得到了新的一組公共因子及相應(yīng)的因子載荷矩陣，使得其各列元素平方的相對(duì)方差之和最大。

第36頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心37

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§6.2

.5因子得分

當(dāng)因子模型建立起來(lái)之后，我們往往需要反過(guò)來(lái)考察每一個(gè)樣品的性質(zhì)及樣品之間的相互關(guān)系。比如當(dāng)關(guān)于企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的因子模型建立起來(lái)之后，我們希望知道每一個(gè)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的優(yōu)劣，或者把諸企業(yè)劃分歸類，如哪些企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益較好，哪些企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益一般，哪些企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益較差等。這就需要進(jìn)行因子分析的第三步驟的分析，即因子得分。顧名思義，因子得分就是公共因子在每一個(gè)樣品點(diǎn)上的得分。這需要我們給出公共因子用原始變量表示的線性表達(dá)式，這樣的表達(dá)式一旦能夠得到，就可以很方便的把原始變量的取值代入到表達(dá)式中求出各因子的得分值。第37頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心38

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§6.2

.5因子得分

在上一章的分析中我們?cè)o出了主成分得分的概念，其意義和作用與因子得分相似。但是在此處公因子用原始變量線性表示的關(guān)系式并不易得到。在主成分分析中，主成分是原始變量的線性組合，當(dāng)取個(gè)主成分時(shí)，主成分與原始變量之間的變換關(guān)系是可逆的，只要知道了原始變量用主成分線性表示的表達(dá)式，就可以方便的得到用原始變量表示主成分的表達(dá)式；而在因子模型中，公共因子的個(gè)數(shù)少于原始變量的個(gè)數(shù)，且公共因子是不可觀測(cè)的隱變量，載荷矩陣不可逆，因而不能直接求得公因子用原始變量表示的精確線性組合。一個(gè)解決該問(wèn)題的方法是用回歸的思想求出線性組合系數(shù)的估計(jì)值，即建立如下以公因子為因變量，原始變量為自變量的回歸方程：（6.22）第38頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心39

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§6.2

.5因子得分此處因?yàn)樵甲兞颗c公因子變量均為標(biāo)準(zhǔn)化變量，因此回歸模型中不存在常數(shù)項(xiàng)。在最小二乘意義下，可以得到的估計(jì)值：（6.23）

式中，為因子載荷矩陣，為原始變量的相關(guān)陣，為原始變量向量。這樣，我們?cè)诘玫揭唤M樣本值后，就可以代入上面的關(guān)系式求出公因子的估計(jì)得分，從而用少數(shù)公共因子去描述原始變量的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用公因子得分去描述原始變量的取值。在估計(jì)出公因子得分后，可以利用因子得分進(jìn)行進(jìn)一步的分析，如樣本點(diǎn)之間的比較分析，對(duì)樣本點(diǎn)的聚類分析等，當(dāng)因子數(shù)m較少時(shí)，還可以方便地把各樣本點(diǎn)在圖上表示出來(lái)，直觀地描述樣本的分布情況，從而便于把研究工作引向深入。第39頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心40

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§6.2

.6主成分分析與因子分析的區(qū)別1、因子分析把展示在我們面前的諸多變量看成由對(duì)每一個(gè)變量都有作用的一些公共因子和一些僅對(duì)某一個(gè)變量有作用的特殊因子線性組合而成。因此，我們的目的就是要從數(shù)據(jù)中探查能對(duì)變量起解釋作用的公共因子和特殊特殊因子，以及公共因子和特殊因子組合系數(shù)。主成分分析則簡(jiǎn)單一些，它只是從空間生成的角度尋找能解釋諸多變量變異絕大部分的幾組彼此不相關(guān)的新變量（主成分）。2、因子分析中是把變量表示成各因子的線性組合，而主成分分析中則是把主成分表示成各變量的線性組合。3、主成分分析中不需要有假設(shè)，因子分析則需要一些假設(shè)。因子分析的假設(shè)包括：各個(gè)公共因子之間不相關(guān)，特殊因子（specificfactor）之間也不相關(guān)，公共因子和特殊因子之間也不相關(guān)。第40頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心41

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§6.2

.6主成分分析與因子分析的區(qū)別4、抽取主因子的方法不僅僅有主成分法，還有極大似然法等，基于這些不同算法得到的結(jié)果一般也不同。而主成分只能用主成分法抽取。5、主成分分析中，當(dāng)給定的協(xié)方差矩陣或者相關(guān)矩陣的特征值是唯一的時(shí)候，主成分一般是固定的；而因子分析中因子不是固定的，可以旋轉(zhuǎn)得到不同的因子。6、在因子分析中，因子個(gè)數(shù)需要分析者指定（spss根據(jù)一定的條件自動(dòng)設(shè)定，只要是特征值大于1的因子進(jìn)入分析），指定的因子數(shù)量不同而結(jié)果不同。在主成分分析中，成分的數(shù)量是一定的，一般有幾個(gè)變量就有幾個(gè)主成分。第41頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心42

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§6.2

.6主成分分析與因子分析的區(qū)別7、和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋轉(zhuǎn)技術(shù)幫助解釋因子，在解釋方面更加有優(yōu)勢(shì)。而如果想把現(xiàn)有的變量變成少數(shù)幾個(gè)新的變量（新的變量幾乎帶有原來(lái)所有變量的信息）來(lái)進(jìn)入后續(xù)的分析，則可以使用主成分分析。當(dāng)然，這中情況也可以使用因子得分做到。所以這種區(qū)分不是絕對(duì)的。第42頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心43目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

§6.3因子分析的步驟與邏輯框圖§6.3.1因子分析的步驟§6.3.2因子分析的邏輯框圖第43頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心44

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§6.3因子分析的步驟與邏輯框圖上面我們介紹了因子分析的基本思想及基本的理論方法，下面我們把因子分析的步驟及邏輯框圖總結(jié)如下，以幫助讀者能更加清楚因子分析各步之間的脈絡(luò)關(guān)系及更好的運(yùn)用因子分析方法解決實(shí)際問(wèn)題。第44頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心45

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§6.3.1因子分析的步驟進(jìn)行因子分析應(yīng)包括如下幾步：1.根據(jù)研究問(wèn)題選取原始變量；2.對(duì)原始變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化并求其相關(guān)陣，分析變量之間的相關(guān)性；3.求解初始公共因子及因子載荷矩陣；4.因子旋轉(zhuǎn)；5.因子得分；6.根據(jù)因子得分值進(jìn)行進(jìn)一步分析。第45頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心46

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§6.3.2因子分析的邏輯框圖

圖6-1第46頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心47

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)

在上一章中，我們用SPSS的FactorAnalysis模塊實(shí)現(xiàn)了主成分分析，實(shí)際上，F(xiàn)actorAnalysis主要是SPSS軟件進(jìn)行因子分析的模塊，由于主成分分析與因子分析（特別是因子分析中的主成分法）之間有密切的關(guān)系，SPSS軟件將這兩種分析方法放到同一分析模塊中。下面我們先用SPSS軟件自帶的數(shù)據(jù)說(shuō)明FactorAnalysis模塊進(jìn)行因子分析的方法，然后給出一個(gè)具體案例。為了與主成分分析進(jìn)行比較，我們此處仍延用SPSS自帶的Employeedata.sav數(shù)據(jù)集。【例6.1】數(shù)據(jù)集Employeedata.sav中各變量解釋說(shuō)明見(jiàn)上一章主成分分析，用FactorAnalysis模塊進(jìn)行因子分析。第47頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心48

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)打開(kāi)Employeedata.sav數(shù)據(jù)集并依次點(diǎn)選Analyze→DataReduction→Factor…進(jìn)入FactorAnalysis對(duì)話框，選取educ、salary、salbegin、jobtime、prevexp變量進(jìn)入Variables窗口。點(diǎn)擊對(duì)話框下側(cè)的Extraction進(jìn)入Extration對(duì)話框，在Method選項(xiàng)框我們看到SPSS默認(rèn)是用主成分法提取因子，在Analyze框架中看到是從分析相關(guān)陣的結(jié)構(gòu)出發(fā)求解公因子。點(diǎn)Continue按鈕繼續(xù)。如果這樣交由程序運(yùn)行的話，將得到與上一章輸出結(jié)果5-1同樣的結(jié)果，其中包括公因子解釋方差的比例，因子載荷矩陣(即ComponentMatrix)等。選中Displayfactorscorecoefficientmatrix復(fù)選框，我們?cè)谥鞒煞址治鲋幸策x了該選項(xiàng)，它要求SPSS輸出因子得分矩陣，即標(biāo)準(zhǔn)化主成分（因子）用原始變量線性表示的系數(shù)矩陣。點(diǎn)Continue繼續(xù)，點(diǎn)OK按鈕運(yùn)行，可以得到如下輸出結(jié)果6-1：第48頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心49

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)輸出結(jié)果6-1（1）（2）第49頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心50

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)輸出結(jié)果6-1(3)(4)第50頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心51

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)上面這三張表我們?cè)谥鞒煞址治鲋幸驳玫竭^(guò)，實(shí)際上，用主成分法求解公因子與載荷矩陣，是求主成分的逆運(yùn)算，這在前面我們有所表述。其中Componentmatrix是因子載荷矩陣，是用標(biāo)準(zhǔn)化后的主成分（公因子）近似表示標(biāo)準(zhǔn)化原始變量的系數(shù)矩陣，用fac1，fac2，fac3表示各公因子，以CurrentSalary為例，即有：由上一章知，當(dāng)保留5個(gè)主成分時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)化原始變量與公因子之間有如下精確的關(guān)系式：標(biāo)準(zhǔn)化的salary=（1）標(biāo)準(zhǔn)化的salary第51頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心52

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)忽略掉而作為特殊因子反映在因子模型中，由communalities表，可知特殊因子的方差（特殊度）為1-0.896=0.104?？梢?jiàn)，主成分法求解公因子就是把后面不重要的部分componentscorecoefficientmatrix（因子得分系數(shù)矩陣）是用原始變量表示標(biāo)準(zhǔn)化主成分（公因子）的系數(shù)矩陣，其關(guān)系式已在上一章給出，此處不再贅述。這里想說(shuō)明的是用主成分求解公因子時(shí)因子得分系數(shù)與因子載荷之間的關(guān)系。如上面表中因子得分系數(shù)中第一個(gè)元素為0.342，它與第一主成分的方差2.477，因子載荷矩陣中第一個(gè)元素0.846之間有如下關(guān)系式：第52頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心53

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)此處之所以是乘以2.477而不是它的平方根是因?yàn)榇颂幹鞒煞忠呀?jīng)經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化了。同理有

，可見(jiàn)用主成分法進(jìn)行因子分析與主成分分析是完全可逆的，由此，有些研究者也用主成分求解因子分析的結(jié)果來(lái)進(jìn)行主成分分析。實(shí)際上，在進(jìn)行因子分析之前，我們往往先要了解變量之間的相關(guān)性來(lái)判斷進(jìn)行因子分析是否合適；對(duì)此，進(jìn)入FactorAnalysis對(duì)話框后，點(diǎn)擊下方的Descriptives按鈕，進(jìn)入Descriptives對(duì)話框，在Statistics框架中選擇UnivariateDescriptives會(huì)給出每個(gè)變量的均值、方差等統(tǒng)計(jì)量的值，在下部CorrelationMatrix框架中，選中Coefficients選項(xiàng)以輸出原始變量的相關(guān)矩陣，選中Significancelevels以輸出原始變量各相關(guān)系數(shù)的顯著性水平。CorrelationMatrix框架還有其他一些選項(xiàng)來(lái)幫助我們進(jìn)行判斷，此處不再詳細(xì)說(shuō)明，點(diǎn)擊Continue按鈕繼續(xù)，點(diǎn)擊OK運(yùn)行，可以得到如下結(jié)果6-2：第53頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心54

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)輸出結(jié)果6.2：第54頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心55目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)由上面結(jié)果知原始變量之間有較強(qiáng)的相關(guān)性，進(jìn)行因子分析是合適的。得到初始載荷矩陣與公因子后，為了解釋方便往往需要對(duì)因子進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，設(shè)置好其他選項(xiàng)后點(diǎn)擊FactorAnalysis對(duì)話框下部的Rotation…按鈕，進(jìn)入Rotation對(duì)話框，在Method框架中可以看到SPSS給出了多種進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的方法，系統(tǒng)默認(rèn)為不旋轉(zhuǎn)?？梢赃x擇的旋轉(zhuǎn)方法有Varimax（方差最大正交旋轉(zhuǎn)）、DirectOblimin（直接斜交旋轉(zhuǎn)）、Quartmax（四次方最大正交旋轉(zhuǎn)）、Equamax（平均正交旋轉(zhuǎn)）及Promax(斜交旋轉(zhuǎn)),選中Varimax選項(xiàng)，此時(shí)，Display框架中Rotatedsolution選項(xiàng)處于活動(dòng)狀態(tài)，選中該選項(xiàng)以輸出旋轉(zhuǎn)結(jié)果。點(diǎn)擊Contunue→OK運(yùn)行，除上面的結(jié)果外還可得到如下輸出結(jié)果6-3:第55頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心56

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)輸出結(jié)果6.3（1）第56頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心57

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)輸出結(jié)果6.3（2）第57頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心58

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)輸出結(jié)果6.3（3）第58頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心59目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)由結(jié)果可以看到，旋轉(zhuǎn)后公共因子解釋原始數(shù)據(jù)的能力沒(méi)有提高，但因子載荷矩陣及因子得分系數(shù)矩陣都發(fā)生了變化，因子載荷矩陣中的元素更傾向于0或者正負(fù)1。有時(shí)為了公因子的實(shí)際意義更容易解釋，往往需要放棄公因子之間互不相關(guān)的約束而進(jìn)行斜交旋轉(zhuǎn)，最常用的斜交旋轉(zhuǎn)方法為Promax方法，對(duì)此例進(jìn)行斜交旋轉(zhuǎn)，可得到如下輸出結(jié)果6-4：第59頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心60

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)輸出結(jié)果6.4：（1）第60頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心61

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)輸出結(jié)果6.4：（2）第61頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心62

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)輸出結(jié)果6.4：（3）第62頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心63

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)可以看到，與正交旋轉(zhuǎn)不同，斜交旋轉(zhuǎn)的輸出結(jié)果中沒(méi)有RotatedComponentMatrix而代之以PatternMatrix和StructureMatrix，這里，PatternMatrix即是因子載荷矩陣，而StructureMatrix為公因子與原始變量的相關(guān)陣，也就是說(shuō)，在斜交旋轉(zhuǎn)中，因子載荷系數(shù)不再等于公因子與原始變量的相關(guān)系數(shù)。上面三個(gè)表格存在如下關(guān)系：StructureMatrix=PatternMatrixCorrelationMatrix第63頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心64

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)為了得到因子得分值，進(jìn)行如下操作：在FactorAnalysis對(duì)話框，點(diǎn)擊下方的Scores按鈕，進(jìn)入FactorScores（因子得分）對(duì)話框，選中Saveasvariables復(fù)選框，即把原始數(shù)據(jù)各樣本點(diǎn)的因子得分值存為變量，可以看到系統(tǒng)默認(rèn)用回歸方法求因子得分系數(shù)（Method框架中Regression選項(xiàng)被自動(dòng)選中），保留此設(shè)置。在此例中，我們還選中了Saveasvariables復(fù)選框，這一選項(xiàng)要求輸出估計(jì)的因子得分值，該結(jié)果出現(xiàn)在數(shù)據(jù)窗口。在數(shù)據(jù)窗口，我們可以看到在原始變量后面出現(xiàn)了三個(gè)新的變量，變量名分別為fac1_1，fac2_1，fac3_1。這三個(gè)變量即為各個(gè)樣品的第一公因子、第二公因子、第三公因子的得分。我們?cè)谇懊娴姆治鲋性徇^(guò)這些得分是經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化的，這一點(diǎn)可以用下面的方法簡(jiǎn)單的驗(yàn)證：第64頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心65

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)依次點(diǎn)選Analyze→DescriptiveStatistics→Descriptives…進(jìn)入Descriptives對(duì)話框，選中fac1_1，fac2_1，fac3_1三個(gè)變量，點(diǎn)擊OK按鈕運(yùn)行，可得到如下結(jié)果6-5：輸出結(jié)果6-5：（1）第65頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心66

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)可以看到，三個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差均為1（此處由于舍入原因，變量的均值不絕對(duì)等于0而是有細(xì)微差別）。得到各個(gè)樣品的因子得分后，我們就可以對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行分析，如用因子得分值代替原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸類分析或是回歸分析等。同時(shí)，我們還可以在一張二維圖上畫出各數(shù)據(jù)點(diǎn)，描述各樣本點(diǎn)之間的相關(guān)關(guān)系。依次點(diǎn)選Graphs→Scatter…進(jìn)入Scatterplot對(duì)話框，選擇Simple按Define按扭，在彈出的SimpleScatterplot對(duì)話框中，分別選擇fac1_1，fac2_1作為X軸與Y軸，點(diǎn)擊OK交由程序運(yùn)行，可得如下散點(diǎn)圖：第66頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心67

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)輸出結(jié)果6.5：（2）第67頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心68

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)由此可以直觀地描述原始數(shù)據(jù)的散布情況，為了研究需要，還可以很方便地輸出第一因子與第三因子，第二因子與第三因子的散點(diǎn)圖或同時(shí)生成三個(gè)因子的散點(diǎn)圖，這只需選擇不同的變量或圖形類型即可，在此不再詳述。第68頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心69

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)【例6.2】（數(shù)據(jù)見(jiàn)表5-9）對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)體系的八項(xiàng)指標(biāo)建立因子分析模型。（詳細(xì)因子分析上機(jī)實(shí)現(xiàn)見(jiàn)例6-3）由spss輸出方差解釋表及碎石圖可看出，前三個(gè)特征值較大，其余五個(gè)特征值均較小。前三個(gè)公共因子對(duì)樣本方差的貢獻(xiàn)和為87.085%，于是我們選取3個(gè)公共因子。第69頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心70目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)TotalVarianceExplainedComponentInitialEigenvaluesExtractionSumsofSquaredLoadings

Total%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulative%14.86160.75860.7584.86160.75860.75821.26915.86576.6231.26915.86576.6233.83710.46387.085.83710.46387.0854.5176.46493.549

5.3784.72798.276

6.1151.44399.719

7.021.26499.984

8.001.016100.000

ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.第70頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心71

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)第71頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心72

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)因子載荷的估計(jì)如下：

Component

123X1.957-.019-.239X2.899-.396.037X3.862.081-.338X4.928-.350-.038X5.787.000.182X6.422.773.345X7.640-.078.642X8.571.615-.313ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.a3componentsextracted.第72頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心73

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)由上表可得出企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)體系的因子分析模型（特殊因子忽略不計(jì)）：第73頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心74

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)第74頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心75

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)由因子分析模型可知，第一個(gè)主因子主要由固定資產(chǎn)利稅率，資金利稅率，銷售收入利稅率，資金利稅率這四個(gè)指標(biāo)所決定，這四個(gè)指標(biāo)在主因子上的載荷均在0.85以上，它代表著企業(yè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的盈利能力，而且主因子對(duì)的方差貢獻(xiàn)已達(dá)60%之多，所以更說(shuō)明是企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)體系中的主要方面。此外，固定資產(chǎn)產(chǎn)值率對(duì)的貢獻(xiàn)相對(duì)也較大，這也是反映企業(yè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的盈利能力的主要指標(biāo)。企業(yè)要提高經(jīng)濟(jì)效益，就要在這個(gè)主因子方面狠下功夫。第75頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心76

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)第二個(gè)主因子主要由流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)天數(shù)所決定，說(shuō)明企業(yè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)快慢與企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)及市場(chǎng)信息息息相關(guān)。企業(yè)要提高經(jīng)濟(jì)效益就要在產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的調(diào)整上想辦法，要生產(chǎn)適銷對(duì)路的產(chǎn)品，提高本企業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率。第三個(gè)主因子主要反映了企業(yè)的產(chǎn)值和能耗，產(chǎn)值和能耗反映的是投入與產(chǎn)出的關(guān)系。企業(yè)要提高經(jīng)濟(jì)效益就不能忽視降低生產(chǎn)成本。第76頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心77

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)例6.3中心城市的綜合發(fā)展是帶動(dòng)周邊地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要?jiǎng)恿ΑＴ谖覈?guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)程中，各個(gè)中心城市一直是該地區(qū)經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展的“引路者”。因而，分析評(píng)價(jià)全國(guó)35個(gè)中心城市的綜合發(fā)展水平，無(wú)論是對(duì)城市自身的發(fā)展，還是對(duì)周邊地區(qū)的進(jìn)步，都具有十分重要的意義。下面應(yīng)用因子分析模型，選取反映城市綜合發(fā)展水平的12個(gè)指標(biāo)作為原始變量，運(yùn)用spss軟件，對(duì)全國(guó)35個(gè)中心城市的綜合發(fā)展水平作分析評(píng)價(jià)。1.原始數(shù)據(jù)及指標(biāo)解釋。我們選取了反映城市綜合發(fā)展水平的12個(gè)指標(biāo)，其中包括8個(gè)社會(huì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，分別為：第77頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心78

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)—非農(nóng)業(yè)人口數(shù)（萬(wàn)人）—工業(yè)總產(chǎn)值（萬(wàn)元）—貨運(yùn)總量（萬(wàn)噸）—批發(fā)零售住宿餐飲業(yè)從業(yè)人數(shù)（萬(wàn)人）—地方政府預(yù)算內(nèi)收入（萬(wàn)元）—城鄉(xiāng)居民年底儲(chǔ)蓄余額（萬(wàn)元）—在崗職工人數(shù)（萬(wàn)人）—在崗職工工資總額（萬(wàn)元）4個(gè)城市公共設(shè)施水平的指標(biāo)：—人均居住面積（平方米）—每萬(wàn)人擁有公共汽車數(shù)（輛）—人均擁有鋪裝道路面積（平方米）—人均公共綠地面積（平方米）第78頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心79

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)指標(biāo)的選取參考了《中國(guó)城市統(tǒng)計(jì)年鑒》中指標(biāo)的設(shè)置。數(shù)據(jù)來(lái)源于《中國(guó)城市統(tǒng)計(jì)年鑒（2004）》。數(shù)據(jù)見(jiàn)表6-1。表6-1x1x2x3x4x5x6北京830.83810363030671.14127.4592538864413910天津549.74404961033467915.38204529518253200石家莊331.331198150510008.488.0749342910444919太原222.63518320015248.112.433334736601300呼和浩特97.8124077944155.122057792554496第79頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心80

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)沈陽(yáng)440.61064361214635.747.381088914229575長(zhǎng)春313.051511527010891.986.944597098313564哈爾濱454.5272150899517.824.9976360011536951上海1041.391.03E+086386135.22899285060546000南京391.672509381614804.687.62136478811336202杭州263.673202522616815.28.36150388814664200合肥160.1853486054640.843.393586943592488福州205.43128895738250.394.696745228762245南昌195.4641491694454.453.623140944828029濟(jì)南297.211318542514354.46.67610547583525鄭州249.7292704947846.918.7765873710484859武漢474.981334493816610.3413.5880436812855341續(xù)表6-1第80頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心81

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)沙205.83533930410630.56.315989307048500廣州493.324017832428859.4521.47274770737273276南寧167.9920837635893.094.953624354514961?？?6.0520256433304.42.721225412843664成都386.23970097628798.28.0689575214944197貴陽(yáng)165.2735694195317.555.754038553449487昆明205.34580957312337.867.076011017085278西安312.886386627939212.2164803712105607蘭州175.5452154905580.83.72056604683830西寧105.1311489592037.151.24843971749293續(xù)表6-1第81頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心82

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)銀川79.214648672127.171.651226051930771烏魯木齊142.94311094312754.023.944091194203000大連297.481546864121081.476.6110540513101986寧波168.812630286213797.384.8139416210596339廈門83.74132015003054.822.837014563971559青島329.962558869530552.66.7212013989084693深圳122.39524510376792.6610.84290837021994500重慶753.921588992832450.212.83161561818965569續(xù)表6-1第82頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心83

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)續(xù)表6-1x7x8x9x10x11x12北京434.15109893651517.38.5644.94天津174.53254148187.997.2317.45石家莊86.741067432187.238.2821.56太原74.55945212165.067.8820.58呼和浩特28.9407963183.818.9226.58沈陽(yáng)101.71521548159.326.728.36長(zhǎng)春89.712441671511.877.0318.75哈爾濱168.8321021651412.756.3418.51上海281.5176865111914.5712.9219.11南京87.911950742169.0612.13136.72杭州75.721867776178.936.523.19第83頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心84

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§6.4因子分析的上機(jī)實(shí)現(xiàn)續(xù)表6-1合肥37.885265771714.1115.7228.74福州71.31073262189.657.931.6南昌49.79692717177.377.6723.98濟(jì)南78.381256160197.7710.6219.54鄭州83.9911370561910.117.6317.77武漢136.081868350176.874.168.34長(zhǎng)沙60.0410199241810.099.129.1廣州182.1652470871711.1612.76178.76南寧50.79668976189.919.3235.12?？?2.97340392205.097.0715.79成都124.031894496178.9510.1725.59貴陽(yáng)54.53664234169.373.11105.35第84頁(yè)，課件共108頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2024/3/21中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心85目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束