第六章二次型與對稱陣

第六章二次型與對稱陣第1頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第六章二次型與對稱陣

本章教學(xué)內(nèi)容§1二次型及其矩陣§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)型§3合同變換與二次型的規(guī)范型§4實二次型的分類正定二次型第2頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.二次型及其矩陣的概念2.線性變換的概念第3頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣1.二次型及其矩陣的概念定義1.1含n個變量x1,x2,…,xn的二次齊次多項式稱為二次型。若每個aij∈數(shù)域P,

(x1,x2,…,xn)稱為數(shù)域P上的二次型；若每個aij∈R，

(x1,x2,…,xn)稱為實二次型；若每個aij∈C，

(x1,x2,…,xn)稱為復(fù)二次型。稱為標(biāo)準(zhǔn)形第4頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣?yán)Q零二次型;第5頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣設(shè)二次型稱二項型的和號表示第6頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣二次型稱二項型的矩陣表示第7頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣二次型

(x)=xTAxA稱為二次型(x)的矩陣，而(x)稱為A的二次型，A的秩稱為二次型(x)的秩,記作R(),即R()=R(A)注⑴二次型(x)的矩陣A，由(x)唯一地確定；反之，對稱矩陣A的二次型(x)，由A唯一地確定,即二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．⑵本教材凡說:二次型(x)=xTAx，矩陣A均指對稱矩陣。第8頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣?yán)?.1第9頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣選例解B為方陣，xTBx是二次型第10頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣?yán)?.2注：一般的，標(biāo)準(zhǔn)的二次型的矩陣是n階對角陣。第11頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣2.線性變換的概念定義1.2把變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一組線性關(guān)系稱變量x1,x2,…,xn到變量y1,y2,…,yn的一個線性變換記則線性變換(1)可表為x=Py

矩陣P稱為該變換的系數(shù)矩陣.第12頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣若P可逆，則線性變換x=Py稱為可逆線性變換（或稱滿秩線性變換、非退化線性變換）；若P不可逆，則線性變換x=Py稱為不可逆線性變換（或稱降秩線性變換、退化線性變換）.若x=Py稱為可逆線性變換，則線性變換y=P-1x

稱為線性變換x=Py的逆變換.注：線性變換y=P-1x與x=Py互為逆變換.第13頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣問題:求可逆線性變換x=Py將二次型(x)=xTAx化為標(biāo)準(zhǔn)形即求可逆矩陣P使PTAP是對角矩陣.定義1.3對于n階矩陣A,B，如果有n階可逆矩陣P使得PTAP=B，則稱矩陣A與B合同(或相合)，記為A～B.性質(zhì)⑴A～A.⑵若A～B，則B～A.⑶若A～B，B～C，則A～C.(證略)第14頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣⑷若A～B，則R(A)=R(B).⑸若A～B，A是對稱矩陣，則B是對稱矩陣.概念：當(dāng)P可逆時，對方陣A的運算PTAP，稱對A的合同變換，稱P為合同因子或合同變換矩陣。注：合同變換PTAP，相似變換P-1AP，若Q為正交矩陣，則QTAQ=Q-1AQ，即合同變換與相似變換一致。第15頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§1二次型及其矩陣本節(jié)學(xué)習(xí)要求1.理解二次型及其矩陣的概念，會寫出二次型的矩陣，會寫出矩陣的二次型，2.理解矩陣的合同概念，熟悉矩陣合同的性質(zhì)，理解合同變換概念。作業(yè)：習(xí)題6.1(A)第1,5題(P172)第16頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形問題2.用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形3.用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第17頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形1.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形問題定義2.1只含平方項的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)二次型，簡稱標(biāo)準(zhǔn)形.特征：一個二次型是標(biāo)準(zhǔn)形的充要條件是它的矩陣是對角矩陣。定理2.1設(shè)A是n階對稱矩陣，二次型(x)=xTAx能用可逆線性變換x=Py化為標(biāo)準(zhǔn)形的充要條件是存在可逆矩陣P使第18頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形注：由定理2.1可知⑴用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問題就是用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問題。⑵因合同變換不改變矩陣的秩，因此二次型(x)經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形則R()等于b1,b2,…,bn中非零的個數(shù)。第19頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形2.用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理2.2對于任何n元實二次型(x)=xTAx，必存在正交變換x=Qy使(x)化為標(biāo)準(zhǔn)形其中

1,

2,…,

n恰是A的全部特征值。證：由第五章定理5.3知定理成立。第20頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化實二次型(x)=xTAx為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：⑴求A的特征值：

1,

2,…,

n,⑵求A的對應(yīng)于

1,

2,…,

n的線性無關(guān)的特征向量

1,

2,…,

n,⑶正交單位化

1,

2,…,

n,得單位正交向量組

1,

2,…,

n,⑷設(shè)Q=(

1,

2,…,

n)，則Q是正交矩陣，作正交變換x=Qy有第21頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形例2.1用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解⑴

二次型的矩陣A的特征多項式第22頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形⑵⑶⑷設(shè)Q=(

1,

2,

3,

4)，作正交變換x=Qy得第23頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形例2.2用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求出所用的正交變換.解⑴

二次型的矩陣由第24頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形⑵⑶正交化、單位化得⑷設(shè)Q=(

1,

2,

3)，作正交變換x=Qy，即第25頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形得⑷設(shè)Q=(

1,

2,

3)，作正交變換x=Qy，即第26頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形例2.3試求實二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,不要求給出所用的線性變換.解二次型的矩陣由第27頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的一個標(biāo)準(zhǔn)形是問題：上例改為：二次型的一個標(biāo)準(zhǔn)形是對嗎？改為：二次型的一個標(biāo)準(zhǔn)形是對嗎？注意：一個二次型的標(biāo)準(zhǔn)形并不惟一，標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)也不一定是其矩陣的特征值。對對第28頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形3.用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例2.4用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解第29頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形例2.5用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.并求出所用的可逆線性變換。解第30頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形用可逆線性變換第31頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形由配方法可知：定理2.3任何二次型必可經(jīng)過可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。定理2.4任何對稱矩陣必可合同于對角矩陣。第32頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形本節(jié)學(xué)習(xí)要求1.理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的概念，熟悉有關(guān)定理。2.掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。作業(yè)：習(xí)題6.2(A)第1(1),2(2)題(P179)第33頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§3合同變換與二次型的規(guī)范型

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.合同變換法2.實二次型的規(guī)范形3.復(fù)二次型的規(guī)范形4.實二次型規(guī)范形惟一性的證明第34頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§3合同變換與二次型的規(guī)范型1.合同變換法定義3.1

用初等矩陣作合同因子所進(jìn)行的合同變換稱為初等合同變換，即下列三種：⑴倍法初等合同變換：⑵消法初等合同變換：⑶換法初等合同變換：定理3.1

任何合同變換必可經(jīng)過有限多次初等合同變換實現(xiàn)。

(證略)第35頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§3合同變換與二次型的規(guī)范型例3.1用初等合同變換把對稱矩陣化為對角矩陣。解0003303-40309/4000第36頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§3合同變換與二次型的規(guī)范型例用初等合同變換把對稱矩陣化為對角矩陣。解第37頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§3合同變換與二次型的規(guī)范型用初等合同變換化二次型(x)=xTAx為標(biāo)準(zhǔn)形思想方法于是經(jīng)可逆線性變換x=Py，

(x)=yTBy第38頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§3合同變換與二次型的規(guī)范型例2.5在實數(shù)域上，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所用的可逆線性變換。解二次型的矩陣第39頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§3合同變換與二次型的規(guī)范型第40頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§3合同變換與二次型的規(guī)范型2.實二次型的規(guī)范形定理3.2任意實對稱陣A合同對角陣稱之為實對稱矩陣A的規(guī)范形.其中p+q=R(A)，p,q由A唯一確定；p稱為A的正慣性指數(shù)；q稱為A的負(fù)慣性指數(shù)；p-q稱為A的符號差。(證略)第41頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§3合同變換與二次型的規(guī)范型推論3.1任意實二次型

(x)=xTAx，總有可逆線性變換x=Py,使

稱之為實二次型的規(guī)范形，且規(guī)范形由原二次型唯一確定。其中p稱為二次型

(x)的正慣性指數(shù)；q稱為二次型

(x)的負(fù)慣性指數(shù)；

p+q=R(

)；p-q稱為二次型

(x)的符號差.第42頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§3合同變換與二次型的規(guī)范型例用可逆線性變換把實二次型

化為規(guī)范形,并指出其正慣性指數(shù),負(fù)慣性指數(shù)和符號差.解：正慣性指數(shù)=1,負(fù)慣性指數(shù)=2,符號差=1-2=-1。第43頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§3合同變換與二次型的規(guī)范型例求實對稱矩陣的正慣性指數(shù),負(fù)慣性指數(shù)和符號差.解：A的正慣性指數(shù)=2,負(fù)慣性指數(shù)=1,符號差=2-1=1。第44頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§3合同變換與二次型的規(guī)范型本節(jié)學(xué)習(xí)要求1.理解初等合同變換的概念，會用初等合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。2.理解實二次型的規(guī)范型概念，會用可逆變換化實二次型為規(guī)范形，會求實二次型的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)和符號差。作業(yè)：習(xí)題6.3(A)第2(1),3題(P189)第45頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§4實二次型的分類正定二次型

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.實二次型的分類2.正定二次型與正定矩陣3.負(fù)定、半正定、半負(fù)定二次型第46頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§4實二次型的分類正定二次型1.實二次型的分類定義4.1(4.3)

設(shè)實二次型

(x)=xTAx，⑴

x

Rn,x

0，都有

(x)>0,則稱

(x)為正定二次型，并稱A為正定矩陣；⑵

x

Rn,都有

(x)≥0,則稱

(x)為半正定二次型，并稱A為半正定矩陣；⑶

x

Rn,x

0，都有

(x)<0,則稱

(x)為負(fù)定二次型，并稱A為負(fù)定矩陣；⑷

x

Rn,都有

(x)≤0,則稱

(x)為半負(fù)定二次型，并稱A為半負(fù)定矩陣；第47頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§4實二次型的分類正定二次型⑸若存在x1,x2

Rn,有

(x1)>0,

(x2)<0,則稱

(x)為不定二次型，并稱A為不定的矩陣；例設(shè)指出下列實二次型的類型⑴⑵⑶⑷⑸正定負(fù)定半負(fù)定半正定不定第48頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§4實二次型的分類正定二次型定理4.1

可逆線性變換保持二次型的類型不變。(證略)依定理2.2可推知，對實二次型

(x)=xTAx，⑴

(x)正定

A的特征值全為正數(shù)；(定理4.3)⑵

(x)負(fù)定

A的特征值全為負(fù)數(shù)；(P193)⑶

(x)半正定

A的特征值全為非負(fù)數(shù)；⑷

(x)半負(fù)定

A的特征值全為非正數(shù)；⑸

(x)不定

A的特征值有正有負(fù)；第49頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§4實二次型的分類正定二次型例4.1判別下列實二次型的正定性解法1：二次型的矩陣第50頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§4實二次型的分類正定二次型例4.1判別下列實二次型的正定性解法2：第51頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§4實二次型的分類正定二次型例4.1判別下列實二次型的正定性解法3：二次型的矩陣第52頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§4實二次型的分類正定二次型進(jìn)一步可推知：若n元實二次型

(x)的正慣性指數(shù)為p，負(fù)慣性指數(shù)為q，則⑴

(x)正定

p=n，q=0；(定理4.2，定理4.4)⑵

(x)負(fù)定

p=0，q=n；(P193)⑶

(x)半正定

p<n，q=0

；(P193)⑷

(x)半負(fù)定

p=0，q<n；⑸

(x)不定

p>0，q>0

；第53頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§4實二次型的分類正定二次型2.正定二次型與正定矩陣定義4.2n階方陣A=(aij)n的k階子式稱為A的k階順序主子式定理4.5實二次型

(x)=xTAx正定

A的各階順序主子式大于零，第54頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月§4實二次型的分類正定二次型定理4.5實二次型

(x)=xTAx正定

A的各階順序主子式大于零。類似的有⑴實二次型

(x)=x