江蘇省南京市小莊學(xué)院附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

江蘇省南京市小莊學(xué)院附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.不等式的解集是(

)A．

B．

C．（-2，1）

D．∪參考答案：C2.等比數(shù)列的前3項的和等于首項的3倍，則該等比數(shù)列的公比為（

）A．－2 B．1 C．－2或1 D．2或－1參考答案：C略3.為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機抽取3對父子的身高數(shù)據(jù)如下：則y對x的線性回歸方程為()父親身高x(cm)174176178兒子身高y(cm)176175177

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．參考答案：B4.如圖，正方體的棱長為1，O是底面的中心，則O到平面的距離為(

)A． B． C． D．參考答案：B5.某程序框圖如圖所示，若輸出的S=57，則判斷框內(nèi)為（

）

（A）k＞4?

（B）k＞5?

（C）k＞6?

（D）k＞7?

參考答案：A略6.盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機地抽取4個，那么概率是的事件為（）A．恰有1只是壞的 B．4只全是好的C．恰有2只是好的 D．至多有2只是壞的參考答案：C【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】盒中有10只螺絲釘，從盒中隨機地抽取4只的總數(shù)為：C104，其中有3只是壞的，則恰有1只壞的，恰有2只好的，4只全是好的，至多2只壞的取法數(shù)分別為：C31×C73，C32C72，C74，C74+C31×C73+C32×C72，在根據(jù)古典概型的計算公式即可求解可得答案．【解答】解：∵盒中有10只螺絲釘∴盒中隨機地抽取4只的總數(shù)為：C104=210，∵其中有3只是壞的，∴所可能出現(xiàn)的事件有：恰有1只壞的，恰有2只壞的，恰有3只壞的，4只全是好的，至多2只壞的取法數(shù)分別為：C31×C73=105，C32C72=63，C74=35，C74+C31×C73+C32×C72=203，∴恰有1只壞的概率分別為：=，恰有2只好的概率為=，4只全是好的概率為，至多2只壞的概率為=；故選C7.在復(fù)平面內(nèi)，與復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于

A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限參考答案：D

8.命題p：?x∈R，x2+ax+a2≥0；命題q：若一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與這個平面平行，則下列命題中為真命題的是(

)A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）參考答案：A【考點】復(fù)合命題的真假．【專題】簡易邏輯．【分析】對于命題p：由△≤0，即可判斷出p的真假；對于命題q：若一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線與這個平面平行或相交，即可判斷出q的真假．再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出．【解答】解：對于命題p：∵△=a2﹣4a2=﹣3a2≤0，∴?x∈R，x2+ax+a2≥0，因此p是真命題；對于命題q：若一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線與這個平面平行或相交，因此q是假命題．則下列命題中為真命題的是p∨q，而p∧q，（￢p）∨q，（￢p）∨（￢q）都是假命題．故選：A．【點評】本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、空間線面位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9.橢圓的長軸為，短軸為，將橢圓沿軸折成一個二面角，使得點在平面上的射影恰好為橢圓的右焦點，則該二面角的大小為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C10.在2010年廣州亞運會上，某大樓安裝5個彩燈，它們閃亮的順序不固定。每個彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈閃亮的顏色各不相同，記這5個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍。在每個閃爍中，每秒鐘有且只有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒。如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是(

)A．1205秒

B．1200秒

C．1195秒

D．1190秒?yún)⒖即鸢福篊略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓C1：（x﹣a）2+y2=1與圓C2：x2+y2﹣6x+5=0外切，則a的值為．參考答案：8或﹣2【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【專題】計算題；直線與圓．【分析】先求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，列方程解a的值．【解答】解：由圓的方程得C1（a，0），C2（3，0），半徑分別為1和2，兩圓相外切，∴|a﹣3|=3+2，∴a=8或﹣2，故答案為：8或﹣2．【點評】本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相外切的充要條件是：兩圓圓心距等于兩圓的半徑之和．12.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，從“”變到“”時，左邊應(yīng)增乘的因式是

參考答案：

2(2k+1)(其他形式同樣給分)略13.已知集合，，若，則實數(shù)的值為____________.參考答案：214.半徑為r的圓的面積，周長，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則①，①式用語言可以敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)．對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請寫出類比①的等式：____________________。上式用語言可以敘述為_________________________。參考答案：；球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)略15.空間中點M（—1，—2，3）關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)是

參考答案：（—1，2，—3）16.已知，若存在，當(dāng)時，有，則的最小值為__________．參考答案：【分析】先作出函數(shù)的圖像，由題意令，則與有兩不同交點，求出的范圍，再由，求出，將化為，即可求出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)圖像如下：因為存在，當(dāng)時，有，令，則與有兩不同交點，由圖像可得，由得，解得；所以，因為，所以當(dāng)時，取最小值，即的最小值為【點睛】本題主要考查函數(shù)零點問題，以及二次函數(shù)最值問題，通過數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的思想，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值的問題，即可求解，屬于?？碱}型.17.已知直線和兩個不同的平面、，且，，則、的位置關(guān)系是_____.參考答案：平行三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知過點A（﹣4，0）的動直線l與拋物線C：x2=2py（p＞0）相交于B、C兩點．當(dāng)l的斜率是時，．（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）設(shè)出B，C的坐標(biāo)，利用點斜式求得直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，利用韋達定理表示出x1+x2和x1x2，根據(jù)求得y2=4y1，最后聯(lián)立方程求得y1，y2和p，則拋物線的方程可得．（2）設(shè)直線l的方程，AB中點坐標(biāo)，把直線與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求得k的范圍，利用韋達定理表示出x1+x2，進而求得x0，利用直線方程求得y0，進而可表示出AB的中垂線的方程，求得其在y軸上的截距，根據(jù)k的范圍確定b的范圍．【解答】解：（1）設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），由已知k1=時，l方程為y=（x+4）即x=2y﹣4．由得2y2﹣（8+p）y+8=0①②∴又∵，∴y2=4y1③由①②③及p＞0得：y1=1，y2=4，p=2，即拋物線方程為：x2=4y．

（2）設(shè)l：y=k（x+4），BC中點坐標(biāo)為（x0，y0）由得：x2﹣4kx﹣16k=0④∴．∴BC的中垂線方程為∴BC的中垂線在y軸上的截距為：b=2k2+4k+2=2（k+1）2對于方程④由△=16k2+64k＞0得：k＞0或k＜﹣4．∴b∈（2，+∞）【點評】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解決此類問題要充分發(fā)揮判別式和韋達定理在解題中的作用．19.某中學(xué)學(xué)生會由8名同學(xué)組成，其中一年級有2人，二年級有3人，三年級有3人，現(xiàn)從這8人中任意選取2人參加一項活動.（1）求這2人來自兩個不同年級的概率；（2）設(shè)X表示選到三年級學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：(1).(2)見解析.【分析】（1）正難則反，先求這2人來自同一年級的概率，再用1減去這個概率，即為這2人來自兩個不同年級的概率；

（2）先求X的所有可能的取值，為0,1,2，再分別求時對應(yīng)的概率P進而得到分布列，利用計算可得數(shù)學(xué)期望。【詳解】（1）設(shè)事件表示“這2人來自同一年級”,這2人來自兩個不同年級的概率為.（2）隨機變量的可能取值為0,1,2,,,所以的分布列為012

【點睛】本題考查古典概型的概率求解、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計算，屬于基礎(chǔ)題型。

20.已知圓C：，圓D的圓心D在y軸上且與圓C外切，圓D與y軸交于A、B兩點，定點P的坐標(biāo)為（）。（1）若點D（），求的正切值；（2）當(dāng)點D在y軸上運動時，求的最大值；（3）在x軸上是否存在定點Q，當(dāng)圓D在y軸上運動時，是定值？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由。參考答案：解析:（1），∴圓D的半徑r＝5－2＝3，此時A、B坐標(biāo)分別為A（0，0）、B（0，6）∴……3分（2）設(shè)D點坐標(biāo)為，圓D半徑為r，則，A、B的坐標(biāo)分別為，∴，，∴，∴，∴∴……8分（3）假設(shè)存在點Q（b,0）,由，，得，∴欲使的大小與r無關(guān)，則當(dāng)且僅當(dāng)，即，此時有，即得為定值，故存在或，使為定值?！?4分21.設(shè)命題p：?x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；命題p：不等式ax2﹣ax+2＞0對任意x∈R恒成立．若￢p為真，且p或q為真，求a的取值范圍．參考答案：【考點】復(fù)合命題的真假．【分析】先求出命題p，q成立的等價條件，利用若?p為真，且p或q為真，即可求a的取值范圍．【解答】解：若：?x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0成立，則△≥0，即△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，得a≤﹣2或a≥1，即p：a≤﹣2或a≥1，若x∈R，恒成立，當(dāng)a=0時，2＞0恒成立，滿足條件．當(dāng)a≠0，要使不等式恒成立，則，解得0＜a＜4，綜上0≤a＜4．即q：0≤a＜4．若?p為真，則p為假，又p或q為真，∴q為真，，∴a的取值范圍為[0，1）．22.目前我國很多城市出現(xiàn)了霧霾天氣，已經(jīng)給廣大人民的健康帶來影響，其中汽車尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，很多城市提倡綠色出行方式，實施機動車尾號限行．某市為了解民眾對“車輛限行”的態(tài)度，隨機調(diào)查了50人，并半調(diào)查結(jié)果制成如表：年齡（歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）頻數(shù)510151055贊成人數(shù)469634（1）若從年齡在[15，25）、[25，35）的被調(diào)查者中隨機選取2人進行跟蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望；（2）把年齡在[15，45）稱為中青年，年齡在[45，75）稱為中老年，請根據(jù)上表完成2×2列聯(lián)表，并說明民眾對“車輛限行”的態(tài)度與年齡是否有關(guān)聯(lián)．態(tài)度年齡贊成不贊成總計中青年

中老年

總計

參考公式和數(shù)據(jù)：x2=X2≤2.706＞2.706＞3.841＞6.635A、B關(guān)聯(lián)性無關(guān)聯(lián)90%95%99%參考答案：【考點】獨立性檢驗的應(yīng)用；離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）X的取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可求X的分布列和期望；（2）根據(jù)所給做出的列聯(lián)表，做出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較得到結(jié)論．【解答】解：（1）X的取值為