2023-2024學(xué)年上海市奉賢區(qū)高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題

2023-2024學(xué)年上海市奉賢區(qū)高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題

一、填空題

1.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)則SinC=.

4

【正確答案】

【分析】由條件得出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離『，再利用任意角的三角函數(shù)的定義可得SinC的值.

【詳解】根據(jù)角ɑ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(Y,w,8M(相＜0),

所以r=??(-6∕n)+(8∕n)2=√100∕π2=-1Om，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，需注意角終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)有字母時(shí)，求點(diǎn)P到原點(diǎn)的

距離『時(shí)的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知向量「=(2,—3),?=(3,2Λ),則α與〃共線，則實(shí)數(shù)4=.

【正確答案】-=9

4

【分析】根據(jù)向量平行得到2x24=-3x3,解得答案.

【詳解】向量2=(2,—3),?=(3,2A)1α與Z,共線，則2x24=—3x3,解得2=-，

故

4

3.一個(gè)扇形的面積為1,周長(zhǎng)為4,則該扇形圓心角的弧度數(shù)為.

【正確答案】2rad

【分析】設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為/,圓心角為α,根據(jù)題意，由2R+∕=4,g∕R=l求解.

【詳解】設(shè)扇形的半徑為R,弧長(zhǎng)為/,圓心角為α,

則2R+∕=4.①

由扇形的面積公式S=《/R,得glR=l.②

22

由①②得R=I,1=2,

...a=-I=2?rad..

R

扇形的圓心角為2rad.

故2rad

4.復(fù)數(shù)z=￡(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則實(shí)數(shù)。的值為.

【正確答案】-I

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)Z,由幾何意義可得Z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步可得答案.

【詳解】由已知，z=γ-7=^/，(，~=--?-1'.所以Z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(03，-，工)，

1+z(l+z)(l-z)2222

此點(diǎn)在實(shí)軸上，所以-等=0,解得α=T?

故-1

本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)的幾何意義，是一道容易題.

5.若IOgIX-則X的取值范圍是.

22

【正確答案】

【分析】先求函數(shù)定義域，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】解：該函數(shù)的定義域?yàn)椋篶

(γ°[){∕+8log∣?-?>-I=Iog12,又）'=∣°g[X在定義

-242,-22/

域上單調(diào)遞減，故k<2

解得:

綜上X的取值范圍是

sin（萬(wàn)一α）cos（2萬(wàn)一α）tan

(,則

6.已知a為第三象限角，且Sina

π

cot（-3?-a）sin-—a

2

【正確答案】-半

【分析】利用誘導(dǎo)公式計(jì)算出COSa的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出Sina的值，然后利用誘

導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出結(jié)果.

=Sina-K+4%

【詳解】由誘導(dǎo)公式可得Sina

I2

2√6

Qa為第三象限角，貝IJSina=-Λ∕1-COS2a--

tan(物-α

sin(,τ-cr)cos(2?-Gf)

I2sina?cosa?cotσ.2√6

因此，------------------7--------------------=sιna=-------.

cot(-3π-cr)sinl-?-df-COta?(—COSa)5

故答案為.-半

本題考查利用誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知函數(shù)y=∕(x),若/(SinX)=3-8S2X,則/(COSX)=.

【正確答案】3+∞s2x

【分析】利用誘導(dǎo)公式先將〃COSX)中的COS尤化為Sine-X)然后將/(Sinx)=3-cos2x中X替換成

TT

%-X,進(jìn)而再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即得.

【詳解】/(cosx)=fsin(g-X))=3-c°s2(g-X)=3-cos(乃-2x)=3+c0s2x,

故答案為.3+cos2x

8.設(shè)心0且αwl,若Iog(I(SinX-COSX)=0,則sin'x+cos^x=

【正確答案】1

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到SinX-CoSX=α°=l,再根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系，準(zhǔn)確化

簡(jiǎn)，即可求解，得到答案.

【詳解】設(shè)α>0且αwl,若log,,(SinX-COSX)=0,

所以SinX-CoSX=α°=1<所以(SinX-CoSX)-=sin2x+cos2x-2sinxcosx=1,

又si∏2χ+cos2χ=l,所以SinXCOSX=0,

又由(Sin2X+cos?X)-=Sin4x+cos"x+2sin,xcos2x=1,

則sin"x+cos"x=l

所以SiniiX+cos8x=(sin4x+cos4x)^-2sin4Λ-cos4x=(sin4x+cos4xj2=1

故答案為?.

本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，其中解答中合理利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式,

準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.若函數(shù)=在xe(f內(nèi))上為嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【正確答案】[ι,∣

【分析】根據(jù)增函數(shù)的定義及所給條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式組，解之即可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

/、[x+3α-3,(x≤0)、

【詳解】函數(shù)〃X)=〃，(χ>o),在xez(f,y)上為嚴(yán)格增函數(shù)，

可得，解得l<α≤;,故實(shí)數(shù)。的取值范圍為I=，

[3。一3≤13I3_

故同

10.已知函數(shù)/(x)=ASin(dυx+e)+6(A>0,<υ>0,M<;T)的最大值為4,最小值為0,最小正周期為∣?,

直線X=?是其圖像的一條對(duì)稱軸，且則f(x)的解析式為.

【正確答案】/(x)=2Sin(4嗚)+2

【分析】首先根據(jù)函數(shù)的最大值和最小值，列式求A,"根據(jù)周期公式求。，再代入對(duì)稱軸X=3,

求。，最后再驗(yàn)證，確定函數(shù)的解析式.

【詳解】/Rj=I

本題考查根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，重點(diǎn)考查公式計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.

11.已知a,b為單位向量,且∣α+b∣=夜∣α-b∣,則α在a+人上的投影為

【正確答案】YS

3

由已知向量等式兩邊平方求得“力,進(jìn)一步求出“?(a+A),卜+4的值，再根據(jù)投影的概念，即可求

出結(jié)果.

【詳解】由”,b為單位向量,知IaI=網(wǎng)=1,由且∣α+6∣=J∑∣α-川,得@+討=2@-討，

即a2+2a?b+b2=2a2-4a-b+2b2,二ab=^?

a?a+b)?Jt

；?〃在…上的投影為下才=Ξ?=F

亍

故業(yè).

3

本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了平面向量投影的概念,是中檔題.

12.函數(shù))，=—1的圖像與函數(shù))，=2sinc(-2≤x≤4)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于_____.

X-I

【正確答案】4

【分析】在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

【詳解】由于函數(shù)y=—1與函數(shù)y=2sin"(-2≤x≤4)均關(guān)于點(diǎn)M(1,O)成中心對(duì)稱，

結(jié)合圖形兩函數(shù)有如圖所示的A8,C,。共4個(gè)交點(diǎn)，其中4。和8,C都關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.

其橫坐標(biāo)分別記作片，々，￡，匕,則有為+%4=2x1=2,同理有％+X3=2,

所以所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.

本題考查利用數(shù)形結(jié)合方法，涉及分式函數(shù)，三角函數(shù)的圖象和對(duì)稱性之，屬中檔題，關(guān)鍵是熟練掌

握分式函數(shù)和正弦型函數(shù)的圖象的對(duì)稱性.

二、單選題

13.在ASC中，已知。為BC上的一點(diǎn)，且滿足8O=4DC,則AO=()

31231441

A.-AB+-ACB.—ABH—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44555555

【正確答案】C

【分析】利用向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理即可求解；

4

【詳解】因?yàn)锽D=40C,所以BO=gBC,

所以Ao=AA+BO=A8+gBC=AB+[(AC-A8)=(AB+qAC.

故選：C.

14.已知復(fù)數(shù)Z=2—3i,則()

A.Z的實(shí)部為2B.Z的虛部為一3i

C.Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn).z=-2-3i

【正確答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)z=x+M(x,y∈R)的實(shí)部為x,虛部為y,對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,y),共輾復(fù)數(shù)為z=x-M,進(jìn)行判定.

【詳解】復(fù)數(shù)z=2-3i的實(shí)部為2,虛部為-3,對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(2,-3),是第四象限，共貌復(fù)數(shù)為［=2+3i,

故選：A.

15.若基函數(shù)y=請(qǐng)(九〃∈N*,且切、〃互素)的圖像如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是()

B.加是偶數(shù)，及是奇數(shù)，且巴>1

nn

C.加是偶數(shù)，”是奇數(shù)，且竺<1D."、"是偶數(shù)，且‘>1

nn

【正確答案】C

【分析】利用幕函數(shù)的性質(zhì)直接推出結(jié)果；或利用函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性推出結(jié)果.

【詳解】將分?jǐn)?shù)指數(shù)式化為根式，y=χW=貨,

由定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,+8)知”為奇數(shù)，機(jī)為偶數(shù)，故排除A、D,

又由幕函數(shù)>=/,當(dāng)α>l時(shí)，圖像在第一象限的部分下凸，

當(dāng)0<α<l時(shí)，圖像在第一象限的部分上凸.

故選：C

本題考查了事函數(shù)的性質(zhì)，需熟記募函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.已知h,a,/JeR,滿足Sina+cos/?=。，COSa+sin6=6,0<a2+?2≤4,有以下2個(gè)結(jié)

論：

①存在常數(shù)。，對(duì)任意的實(shí)數(shù)beR,使得sin(e+⑶的值是一個(gè)常數(shù);

②存在常數(shù)6,對(duì)任意的實(shí)數(shù)αeR,使得cos(α-0的值是一個(gè)常數(shù).

下列說(shuō)法正確的是()

A.結(jié)論①、②都成立

B.結(jié)論①不成立、②成立

C.結(jié)論①成立、②不成立

D.結(jié)論①、②都不成立

【正確答案】B

【分析】根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)，分別將Sin(C+⑶和CoS(C-⑶用“，6表示即可.

【詳解】對(duì)于結(jié)論①，

?*Sina+cos0=a,COSa+sin/=b,

/.a2=sin2cr+2sinorcosβ÷cos2β,b1=cos2α+2cos6zsin∕7+sin2β,

，a2+b1=2+2SinaCC)s∕7+2cososin4=2+2sin(α+/),

.,?sin(α+6)=α+：——-,

.?.當(dāng)〃為常數(shù)，6eR時(shí)，sin(c+月)="∣^不是一個(gè)常數(shù)，故結(jié)論①不成立；

對(duì)于結(jié)論②，

方法一：

*.*ab=(sin?+cos/?)(cosa+sin/?)

=SinaCoSa+sinasiny?÷COSaCOS0+sin/?COs/

=cos(α-β}+SinaCoSa+Sin尸COS尸

又?.?sin(α+∕)cos(a-〃)

=(sinacosβ+cosasinβ)(cosacos∕?+Sinasin力)

2222

=sinacosacosyβ+sinasinβcosβ+cosasinβcosβ+sinacoscirsinβ

2222

=(siny0+cos∕jjsinacosa÷(sinα+cosα卜iny0cos力

=sinacosdz+siny?cosy?

.?.ab=CoS(。一尸)+SinQCoSa+sin∕7cos∕?

=CoS(Q_/?)+Sin(Q+/?)COS(a一4)

=COS(a_￡)+〃+：——-cos(a-y0)

化簡(jiǎn)得cos(α-0=一?,

/a2+b~

，存在常數(shù)人=0,對(duì)任意的實(shí)數(shù)QER,使得cos(α-夕)=0,故結(jié)論②成立.

方法二：(特值法)

當(dāng)α=]+1時(shí),，力=COSa+sin/?=COSl+/?J+sin=-s*nZ^+s*nZ^=θ，

TrTT

a-β=—,cos(a-∕f)=cos—=O.

.?.存在常數(shù)%=(),對(duì)任意的實(shí)數(shù)αeR,使得cos(α一夕)=0,故結(jié)論②成立.

故選：B.

本題中結(jié)論②的判斷，使用常規(guī)三角恒等變換的方法運(yùn)算量較大，對(duì)于存在性結(jié)論，使用特值法可以

有效驗(yàn)證其正確性，減少運(yùn)算量.

三、解答題

17.設(shè)2為關(guān)于工的方程/+,m+〃=0(祖,〃€2的虛根，1為虛數(shù)單位.

(1)當(dāng)z=l+i時(shí)，求處”的值；

(2)在(1)的條件下，若0="+"i,(aeR),∣o∣≤3,求。的取值范圍.

【正確答案】⑴J；<2)[-√5,√5]

【分析】(1)將z=l+i代入方程，并根據(jù)復(fù)數(shù)相等時(shí)實(shí)部、虛部對(duì)應(yīng)相等計(jì)算加、”的值；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式：Id=J根+Y,"的值已知，再根據(jù)不等式|。區(qū)3即可求解出”的取值

范圍.

【詳解】(1)將z=l+i代入方程可得：(l+z)2+∕π(l+Z)+n=O,所以〃2+〃+(〃z+2)i=O,

m+n=0In=-2

所以有:,解得

m+2=0n=2

(2)因?yàn)椤?2,所以0=2+4i,所以同=j4+c∕≤3,則4+笳≤9,

解得：-石≤α≤石，所以.4e[-石,6]

本題考查實(shí)系數(shù)方程的解以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)計(jì)算，難度較易.

(1)已知實(shí)系數(shù)方程的虛根，求解方程中參數(shù)的方法：將虛根代入方程，利用復(fù)數(shù)相等計(jì)算參數(shù)值;

(2)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)計(jì)算：已知復(fù)數(shù)Z="+初，則IZI=Ja2+6.

18.已知向量x、y滿足：閏=1,∣y∣=2,且Q-2y)?5x-y=.

(1)求X與y的夾角0；

(2)若(X-沖)_Ly,求實(shí)數(shù)，”的值.

TT\

【正確答案】(1)θ=-(2)m=-

34

X??1

【分析】(1)由(x-2y)?(2x-y)=5展開(kāi)，可解出χ?y=l,根據(jù)向量夾角公式CoSno=P用=5,即可

求出夾角。的大?。?/p>

(2)根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0,列出方程即可求出，"的值.

【詳解】(1)V(x-2y).(2x-y)=5

.*.2∣.r∣-5x?y+2∣v∣=5=>x?y=l

(2)V(x—my)±y

?(x-my)?y=09即元?y-my=0

.?1-4m=Onm=-

4

本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的夾角公式，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

19.如圖所示，我國(guó)黃海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島，小島8與小島A、小島C相距都為5公

里，與小島。相距為3石公里.已知角A為鈍角，且SinA=

⑴求小島A與小島O之間的距離；

(2)記ZCDB為α,ZCBD為尸，求sin(2α+/?)的值.

【正確答案】(1)2

唔

【分析】(1)在AABO中，利用余弦定理即可求解；

(2)在ABCD中，先利用正弦定理求出Sina=手，然后利用兩角和的正弦公式即可求解.

【詳解】(1)由題意可知：AB=BC^5,BD=3√5,

34

因?yàn)榻茿為鈍角，sinA=-,所以CoSA=-士，

J?

在△回￡)中，由余弦定理得，AD2+AB2-2ADABcosA=BD1,

所以AZ)2+8Ar>-2O=O,解得45=2或AO=-IO(舍)，

所以小島A與小島。之間的距離為2.

(2)在Z?8CD中，由正弦定理旦=%，因?yàn)锳+C=π,

sιnaSinC

所以SinC=Sin(兀一A)=Sin4=1,貝IJSina=4,

因?yàn)锽CvBO,所以。為銳角，所以COSa=2，

5

3

因?yàn)閟in(α+/?)=sin(π-C)=SinC=,

4

cos(α+/7)=cos(π-C)=-cosC=--,

所以sin(2a+/7)=sin[α+(α+β)?

2yjζ

=sinacos(a+/?)+cosasin(α+/)=?

20.已知函數(shù)f(x)=4sinxcos卜+()+√5(XCR).

⑴將函數(shù)形式化簡(jiǎn)為y=Asin(ox+0)+∕7的形式，寫出其振幅、初相與最小正周期;

(2)求函數(shù)/(x)的最小值與此時(shí)所有X的取值;

(3)將函數(shù)/(x)的圖像向右移動(dòng)g個(gè)單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的“(0<α<l)倍

O

得到y(tǒng)=g(χ)的圖像，如果y=g(χ)在區(qū)間上至少有100個(gè)最大值，那么求。的取值范圍.

【正確答案】(l)y=2sin(2x+q)振幅為2,初相?π，最小正周期0

3

74

(2)-2；x=-+kπ,kEZ

4

(3)0<6Z≤-------

?99π

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)后直接由定義求振幅、初相與最小正周期;

TT3TT

(2)直接令2XH—=----?^2*ττ求取小值;

32

(3)先平移變換后，求出y=sinx在y軸左右兩側(cè)的第50個(gè)最大值點(diǎn)，列出不等式即可.

【詳解】。)

小)例嗚)+?/?=4sin?-?eosx-4sinx?-^sin%+

=4Sin√3

22

π∑τr

2,初相記最小正周期彳5

(2)由，(x)=2sin(2x+(),可得當(dāng)2*+。=5+2版■時(shí)，取得最小值一2,此時(shí)X=+%肛&wZ.

(3)/(X)=2sin(2X+π/J向右移動(dòng)π親個(gè)單位得到y(tǒng)=2sinl2Λ--→yj=2sin2Λ,再將所得圖像上各

36

點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的a(0<"l)倍得到y(tǒng)=g(x)=2sin(1x),x∈[-l,l],∣x∈-?∣,?∣,又

TTIUIJT

V=Sinx在y軸右側(cè)的第5。個(gè)最大值點(diǎn)盯+49Q=亍，在V軸左側(cè)的第5。個(gè)最大值點(diǎn)為

2,1977

一四—49x2萬(wàn)=-199乃a244

,故，解得三訴所以0<a≤

22-2<_.199萬(wàn)199;T

a2

21.對(duì)于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)f(x)和g(x),若存在實(shí)數(shù)個(gè)",使MX)=時(shí)(x)+"g(x),則稱函數(shù)

妝X)是由“基函數(shù)/(χ)和g(χ)”生成的.

4ιι4

⑴若MX）=9x+（是由“基函數(shù)f（x）=2x-?+α和g（x）=]X+嚏-2”生成的，求實(shí)數(shù)。的值；

⑵試?yán)谩盎瘮?shù)/3=叫2（4、+1）和8（力=3+1”生成一個(gè)函數(shù)〃（引，使之滿足旗力為偶函數(shù),

且MO）=-L

①求函數(shù)〃（x）的解析式；

②己知此二””,%=7,%=1,對(duì)于區(qū)間（τ,ι）上的任意值%,々，，X"-∣α<&<<χn-∣）,若

￡『（七）-MXI）I≤M恒成立，求實(shí)數(shù)例的最小值.（注.力匕=占+W++X”）

i=lι=l

【正確答案】（1）1；

⑵①Λ（x）=Iog2（4'+l）-x-2;②2Iog2?.

4114

【分析】（1）根據(jù)題意，可得MX）=9x+；=m（2x-：+a）+〃《x+：-2）,化簡(jiǎn)，利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相

等即可求解；

①設(shè)a（x）=,”log2（4'+l）+〃（gx+l）,根據(jù)函數(shù)〃（x）為偶函數(shù)得出“=-2w,再結(jié)合6（0）=-1,即可

求出,加〃的值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式；

②利用定義證明函數(shù)的單調(diào)，將式子化簡(jiǎn)為

∑∣∕j(x,.)-Λ(x,..,)1=∕j(-l)+A(l)-?(?)-∕z(?+1)+∣Λ(?+l)-A(?)∣,然后根據(jù)條件求解即可.

/=1

4114

【詳解】(1)由已知，可得∕ι(%)=9x+-=機(jī)(2x--+Λ)+?(-X+--2),

XX乙X

2m+-=9

2ιn=4

,.4(CnI4n-inC

則r9nx+—=2m+—?x-?----------+ma-2n,則，4/7-m=4,解得＜n=2,

X\2)X

ma-2n=0a=1

所以實(shí)數(shù)。的值為L(zhǎng)

(2)①設(shè)〃(X)=Wlog2(4'+l)+〃(gx+1),

因?yàn)椤ǎ?）為偶函數(shù)，所以〃（一幻=〃21。82（4一"+1）-]工+〃，

〃_n

由〃(一X)=∕z(x),可得機(jī)log2(4'+1)+5^+/1="1082(4-'+1)-,