專題12數(shù)列與函數(shù)不等式的綜合問題（解密講義）（原卷版）

專題12數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題（解密講義）【知識梳理】1.數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過找到圖形之間的關(guān)系，得到數(shù)列。求數(shù)列通項(xiàng)公式常用的方法：(1)由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式(2)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式．(3)在已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(4)在已知數(shù)列{an}中，滿足eq\f(an＋1,an)＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，則可用累積法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(5)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列)．2.用數(shù)列知識解相關(guān)的實(shí)際問題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項(xiàng)是什么，項(xiàng)數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題．求解時，要明確目標(biāo)，即搞清是求和，還是求通項(xiàng)，還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進(jìn)行合理推算，得出實(shí)際問題的結(jié)果．常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法(1)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間n的總產(chǎn)值y＝N(1＋p)n.(2)銀行儲蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和y＝a(1＋r)n.(3)銀行儲蓄單利公式：利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和y＝a(1＋nr)．(4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b＝eq\f(r1＋rna,1＋rn－1).3.數(shù)列與函數(shù)常常以函數(shù)的解析式為載體，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，常用的數(shù)學(xué)思想方法有“函數(shù)與方程”“等價轉(zhuǎn)化”等．4.數(shù)列與不等式問題要抓住一個中心——函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化．?dāng)?shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題．解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(diǎn)：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視；(2)解題時準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件；(3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s．5.＂新定義＂型問題是指在問題中定義了高中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運(yùn)算；（2）定義初、高中知識銜接＂新知識＂;（3）定義新概念.這類試題考查考生對＂新定義＂的理解和認(rèn)識，以及靈活運(yùn)用知識的能力，解題時需要將＂新定義＂的知識與已學(xué)知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)來解決問題.方法技巧：數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的求解策略：1、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一把要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，求和方法等對于式子化簡變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊性；2、解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點(diǎn)探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問題相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用.考點(diǎn)命題點(diǎn)考題數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題=1\*GB3①數(shù)列中函數(shù)模型的應(yīng)用=2\*GB3②數(shù)列不等式的恒成立問題=3\*GB3③數(shù)列新定義2023北京卷T21，2023天津卷T19，2022北京卷T21，2022浙江卷T10，2022浙江卷T20，2022新高考II卷T17考點(diǎn)一數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題命題點(diǎn)1數(shù)列中函數(shù)模型的應(yīng)用典例01（2018·北京·高考真題）“十二平均律”

是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122.若第一個單音的頻率為f，A．32f BC．1225f典例02（2017·上?！そy(tǒng)考高考真題）根據(jù)預(yù)測，某地第n(n∈N*)個月共享單車的投放量和損失量分別為a其中an=5n4+15,1≤n≤3-10n+470累計(jì)投放量與累計(jì)損失量的差.（1）求該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量；（2）已知該地共享單車停放點(diǎn)第n個月底的單車容納量Sn=-4(n-46)典例03（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且PXi=1=1-PXi=0=qi,i=1,2,???,n，則1．某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（

）（單位：萬元）參考數(shù)據(jù)：1.02A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.32．王先生今年初向銀行申請個人住房貸款100萬元購買住房，按復(fù)利計(jì)算，并從貸款后的次月初開始還貸，分10年還清.銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內(nèi)把本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產(chǎn)生的利息；②等額本息：在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款（包括本金和利息）.(1)若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個還貸月應(yīng)還15000元，最后一個還貸月應(yīng)還6500元，試計(jì)算王先生該筆貸款的總利息；(2)若王先生采取等額本息的還貸方式，貸款月利率為0.3%，.銀行規(guī)定每月還貸額不得超過家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入為23000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批.（不考慮其他因素）參考數(shù)據(jù)1.003119≈1.428，3．“現(xiàn)值”與“終值”是利息計(jì)算中的兩個基本概念，掌握好這兩個概念，對于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在n期末的金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時的值，而“終值”是指n期后的本利和.它們計(jì)算的基點(diǎn)分別是存期的起點(diǎn)和終點(diǎn).例如，在復(fù)利計(jì)息的情況下，設(shè)本金為A，每期利率為r，期數(shù)為n，到期末的本利和為S，則S=A(1+r)n其中，S稱為n期末的終值，A稱為n期后終值S的現(xiàn)值，即n期后的S元現(xiàn)在的價值為現(xiàn)有如下問題：小明想買一座公寓有如下兩個方案方案一：一次性付全款25萬元；方案二：分期付款，每年初付款3萬元，第十年年初付完；(1)已知一年期存款的年利率為2.5%(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬元，此后每年初漲租金1000元，參照第（1））問中的存款年利率2.5%，預(yù)計(jì)第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值.參考數(shù)據(jù)：(1+2.5命題點(diǎn)2數(shù)列不等式的恒成立問題典例01（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列an滿足a1=1,A．2<100a100<52B．52<100a典例02（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知{an}是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．{bn（I）求{an}（II）記cn（i）證明{c（ii）證明k=1典例03（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=-1，公差d>1．記an的前(1)若S4-2a(2)若對于每個n∈N*，存在實(shí)數(shù)cn，使a1．?dāng)?shù)列an中，a1=3,an+1=1+1naA．83 B．15×897 C．2．已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S3=7，S6=63，若關(guān)于n的不等式S2n-t3．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an(1)若a1≠2，求證：(2)對任意n,m∈N*,m≠n，都有S4．已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n(1)求證：數(shù)列an+1(2)求數(shù)列bn(3)設(shè)cn=an-22bn，且數(shù)列cn的前n命題點(diǎn)3數(shù)列新定義典例01（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列an,bn的項(xiàng)數(shù)均為m(m>2)，且an,bn∈{1,2,?,m},an,bn的前n項(xiàng)和分別為A(1)若a1=2,a(2)若a1≥b1，且(3)證明：存在p,q,s,t∈0,1,2,?,m，滿足p>q,s>t,使得A典例02（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知Q:a1,a2,?,ak為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的n∈{1,2,?,m}，在Q中存在(1)判斷Q:2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若Q:a1,a2,?,a(3)若Q:a1,a2,?,a典例03（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列an滿足如下三個性質(zhì)，則稱an為R①a1+p≥0，且②a4n-1③am+n∈a（1）如果數(shù)列an的前4項(xiàng)為2，2，2，1，那么an是否可能為（2）若數(shù)列an是R0數(shù)列，求（3）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.是否存在Rp數(shù)列an，使得S1．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若SnS2n為常數(shù)，則稱數(shù)列an為“吉祥數(shù)列”.已知等差數(shù)列bn的首項(xiàng)為2，且公差不為0，若數(shù)列bn為A．bn=2n B．bn=n+1 C．2．（多選）若數(shù)列cn滿足cn+1=cn2，則稱cn為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列an是A．lgan是等差數(shù)列 B．C．a(chǎn)nan+1是“平方遞推數(shù)列” D．a(chǎn)n+13．已知數(shù)列an滿足：an＋(1)求數(shù)列an(2)已知數(shù)列bn滿足bn＝1，n=1logn+2an,n≥2,n∈N*,定義使b1·AA·新題速遞1．（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運(yùn)算，最終回到1.對任意正整數(shù)a0，按照上述規(guī)則實(shí)施第n次運(yùn)算的結(jié)果為ann∈N，若a5=1，且aiA．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或42．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）核電站只需消耗很少的核燃料，就可以產(chǎn)生大量的電能，每千瓦時電能的成本比火電站要低20%以上.核電無污染，幾乎是零排放，對于環(huán)境壓力較大的中國來說，符合能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展方向，2021年10月26日，國務(wù)院發(fā)布《2030年前碳達(dá)峰行動方案》，提出要積極安全有序發(fā)展核電.但核電造福人類時，核電站的核泄漏核污染也時時威脅著人類，如2011年，日本大地震導(dǎo)致福島第一核電站發(fā)生爆炸，核泄漏導(dǎo)致事故所在地被嚴(yán)重污染，主要的核污染物是鍶90，它每年的衰減率為2.47%.專家估計(jì)，要基本消除這次核事故對自然環(huán)境的影響至少需要800年，到那時，原有的鍶90大約剩（

）（參考數(shù)據(jù)lg0.9753≈-0.01086A．1108% B．1107%3．（多選）（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列an中，an2-an-12=p（n≥2,n∈N*,p為非零常數(shù)），則稱an為“等方差數(shù)列”，A．(-3)nB．若正項(xiàng)等方差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，且C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D．存在數(shù)列an4．（多選）（2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a1=1,A．a(chǎn)2023>aC．1an2+155．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）數(shù)列{an}中，an=logn+1(n+2)?(n∈N6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，給出如下定義：對于點(diǎn)Px,y，若點(diǎn)Q坐標(biāo)為x+y2,x-y2，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“衍生點(diǎn)”.例如，點(diǎn)1,2的“衍生點(diǎn)”為點(diǎn)32,-12.已知點(diǎn)A1的坐標(biāo)為1,1，點(diǎn)A1的“衍生點(diǎn)”為點(diǎn)A2，點(diǎn)A2的“衍生點(diǎn)”為點(diǎn)A3,?，點(diǎn)Anxn7．（2024·四川綿陽·綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a1+3a2+3(1)求an和b(2)記集合M=n4λan≤bnb8．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+2是首項(xiàng)為(1)求數(shù)列an(2)若對任意n∈N*，m>a9．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=4anan+1-1an+2-110．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且對任意n∈N(1)若An=3n2(2)若對任意n∈N*，都有an=Bn及b211．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列an滿足3+(1)求數(shù)列an(2)記數(shù)列1an?an+1的前n12．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）在當(dāng)前市場經(jīng)濟(jì)條件下，某服裝市場上私營個體商店中的商品所標(biāo)價格a與其實(shí)際價值b之間存在著相當(dāng)大的差距.對購物的消費(fèi)者來說，這個差距越小越好，而商家則相反，于是就有消費(fèi)者與商家的“討價還價”，常見的方法是“對半還價法”，消費(fèi)者第一次減去定價的一半，商家第一次討價加上二者差價的一半;消費(fèi)者第二次還價再減去二者差價的一半，商家第二次討價，再加上二者差價的一半，如此下去，可得表1:表1次數(shù)消費(fèi)者還價商家討價第一次bc第二次bc第三次bc?????????第n次bc消費(fèi)者每次的還價bn(n∈k)組成一個數(shù)列(1)寫出此數(shù)列的前三項(xiàng)，并猜測通項(xiàng)bn的表達(dá)式并求出lim(2)若實(shí)際價格b與定出a的價格之比為b:a=0.618:1，利用“對半還價法”討價還價，最終商家將能有百分之幾的利潤?13．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營銷模式，帶來電商行業(yè)的新增長點(diǎn).某直播平臺第1年初的啟動資金為500萬元，由于一些知名主播加入，平臺資金的年平均增長率可達(dá)40%，每年年底把除運(yùn)營成本a萬元，再將剩余資金繼續(xù)投入直播平合(1)若a=100，在第3年年底扣除運(yùn)營成本后，直播平臺的資金有多少萬元？(2)每年的運(yùn)營成本最多控制在多少萬元，才能使得直播平臺在第6年年底?除運(yùn)營成本后資金達(dá)到3000萬元？（結(jié)果精確到0.1萬元）BB·易錯提升1．已知數(shù)列an為無窮數(shù)列．若存在正整數(shù)l，使得對任意的正整數(shù)n，均有an+l≤an，則稱數(shù)列an為“l(fā)階弱減數(shù)列”．有以下兩個命題：①數(shù)列bn為無窮數(shù)列且bn=cosn-n2（n為正整數(shù)），則數(shù)列bn是“l(fā)階弱減數(shù)列”的充要條件是l≥4；②數(shù)列cn為無窮數(shù)列且cnA．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①?②都是真命題 D．①?②都是假命題2．若數(shù)列an，對于?k∈N*,n∈N*，都有an+k-an>kt（t為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列an具有性質(zhì)P(t)．已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為A．(85,+∞) B．(43．（多選）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時發(fā)現(xiàn)數(shù)列1，1,2,3,5,8,13,?數(shù)列中的每一項(xiàng)稱為斐波那契數(shù)，記作Fn．已知FA．FB．FC．若斐波那契數(shù)Fn除以4所得的余數(shù)按照原順序構(gòu)成數(shù)列anD．若F2024=4．（多選）定義：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長”．將數(shù)列1、2進(jìn)行“美好成長”，第一次得到數(shù)列1、2、2；第二次得到數(shù)列1、2、2、4、2；?；設(shè)第n次“美好成長”后得到的數(shù)列為1、x1、x2、?、xk、2，并記aA．a(chǎn)2=5 BC．a(chǎn)n+1=3an-1 D．?dāng)?shù)列5．1967年，法國數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標(biāo)志著幾何概念從整數(shù)維到分?jǐn)?shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分?jǐn)?shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數(shù)學(xué)分支——分形幾何．分形幾何不只是扮演著計(jì)算機(jī)藝術(shù)家的角色，事實(shí)表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為1，在線段AB上取兩個點(diǎn)C，D，使得AC=DB=13AB，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC、ED記第n個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為Sn，對任意的正整數(shù)n，都有Sn＜a，則6．已知各項(xiàng)都不為0的數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk滿足2Sk=akak+1，其中a1=1，設(shè)數(shù)列1an7．已知無窮數(shù)列{an}與無窮數(shù)列{bn}滿足下列條件：①an∈{0,1,2},n∈N*；②（1）若a1=b（2）是否存在a1,a2,a（3）若b1=1，求T8．設(shè)數(shù)列A:a1,a2,…,an（n≥3）的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且a1≤a2（1）判斷數(shù)列A1:1,2,4,7與數(shù)列A2（2）若數(shù)列A具有性質(zhì)T，且a1=1，a2=2，（3）若集合S={1,2,3,?,201