2022-2023學年廣西桂林市高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年廣西桂林市高一(下)期末數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共7小題，共35.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知復數(shù)z滿足z=3+2i,貝Dz的虛部為()

A.—2B.2C.—3D.3

2.下列各角中，與18。角的終邊相同的是()

A.378°B,78°C.-18°D.118°

3.已知向量方=(1,2),b=(x,6).且五〃方，貝k的值為()

A.1B.2C.3D.4

4.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()

A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=sin2x

5.將函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移著個單位長度得到g(x)圖象，則函數(shù)的解析式是()

A.g(x)=sin(2x+1)B.g(x)=sin(2x+3)

C.g(x)=sin(2x冶)D.g(x)=sin(2x-弓)

6.已知a,b,c是三條不同的直線，a,0,y是三個不同的平面，下列命題正確的是()

A.若a〃口，ally,則0〃yB.若五J.石，ale,則b〃c

C.若方JLE，ale,則bJ.cD.若a10,aly,貝伊〃y

7.兩個粒子4,B從同一粒子源發(fā)射出來，在某一時刻，以粒子源為原點，它們的位移分別

為惠=(4,0)，孺=(1,門)，此時正在口上的投影向量為()

11

一

以

一

以

A.-4-4--D.名

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

8.下列說法正確的是()

A.長度相等的向量是相等向量B.單位向量的模為1

C.零向量的模為0D.共線向量是在同一條直線上的向量

9.已知復數(shù)Z1=l-i,z2=2i,貝ij()

A.Z2是純虛數(shù)

B.Z1-Z2在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限

C.復數(shù)Z1的共扼復數(shù)為1+i

D.ZjZ,=21-2

10.函數(shù)f（x）=AsinQ%+0）（+助0是常數(shù),A>0,』>0）的部

分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-蒜兀對稱

B./（x）的圖象關(guān)于（|兀,0）中心對稱

C.函數(shù)/"（X）在區(qū)間成,芻上單調(diào)遞減

D.=

11.已知正方體4BCD-4B1GD1，則（）

A.直線與直線D公所成的角為60。

B.直線Bq與直線8遇所成的角為60。

C.直線BCi與平面4BCD所成的角為45。

D.直線BCi與平面BB1D1D所成的角為30。

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

12.計算：sinl50°=.

13.若向量方=（1,2）與向量取=（尢一1）垂直，則實數(shù);I=.

14.仇章算術(shù)是中國古代數(shù)學名著，其對扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與

現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問題：現(xiàn)有一扇形田，下周長（弧長）為10米，徑長（

兩段半徑的和）為10米，則該扇形田的面積為平方米.

15.已知△ABC的外接圓圓心為0,乙4=45°,若而=a?荏+°?前（a,￡6R），則a+0的

最大值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題10.0分）

已知sin。=%。為第二象限角.

（1）求s譏2。的值；

（2）求sin（0+》的值.

17.（本小題12.0分）

已知向量五，萬滿足|五|=1,\b\=y/~2,a-（a+b~）=2.

（1）求百?石;

(2)求為與方的夾角仇

(3)求|五一23|.

18.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，四邊形ABCD是菱形，P4=PC,E為PB的中點.

(1)求證：PD〃面AEC；

(2)求證：平面ZEC，平面PDB.

19.(本小題12.0分)

在△ABC中，角4,B,C對應的邊分別是a,b,c,且asinB=—V?bcos4

(1)求角4的大??；

(2)若b=4,△ABC的面積S=2，百，求△ABC的周長.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=sin2%+y/~3sinxcosx+

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)的最大值及取得最大值時自變量X的取值集合；

(3)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

21.(本小題12.0分)

本市某路口的轉(zhuǎn)彎處受地域限制，設計了一條單向雙排直角拐彎車道，平面設計如圖所示，

每條車道寬為4米，現(xiàn)有一輛大卡車，在其水平截面圖為矩形4BCD,它的寬4。為2.4米，車

廂的左側(cè)直線CO與中間車道的分界線相交于E、F,記NO4E=6L

(I)若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎的某一刻，恰好且小B也都在中間車道的直線上，直線

CD也恰好過路口邊界。，求此大卡車的車長.

(II)若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎時對任意0,此車都不越中間車道線，求此大卡車的車長的最大

值.

(IH)若某研究性學習小組記錄了這兩個車道在這一路段的平均道路通行密度(輛/km),統(tǒng)計如

下：

時間7：007：157：307：458：00

里側(cè)車道通行密度110120110100110

外側(cè)車道通行密度110117.5125117.5110

現(xiàn)給出兩種函數(shù)模型：①/(無)=Asina)x+B(A>0,a)>0)

②g(x)=a|x-b\+c,請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，分別對兩車道選擇最合適的一種函數(shù)來描

述早七點以后的平均道路通行密度(單位：輛次加)與時間單位：分)的關(guān)系，并根據(jù)表中數(shù)

據(jù)求出相應函數(shù)的解析式.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因為z=3+2i,所以復數(shù)z的虛部為2.

故選:B.

根據(jù)復數(shù)的概念即可求出結(jié)果.

本題主要考查復數(shù)虛部的定義，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：與18。角的終邊相同的角的集合為解|0=18。+k?360°,kGZ},

令k=1,得到夕=378。，故選項4正確，易知，不存在k6Z,使6=78。，-18°,118°,故選項

88均不正確.

故選:A.

寫出與18。角的終邊相同的角的集合，根據(jù)集合即可求出結(jié)果.

本題主要考查終邊相同的角，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：五〃了，[2x-1x6=0,解得x=3.

故選C.

利用向量共線的充要條件即可得出.

熟練掌握向量共線的充要條件及坐標表示是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】B

【解析】解：對于A，定義域為R，sin(-x)=-sinx,則為奇函數(shù)；

對于B.定義域為R，cos(-x)=cosx,則為偶函數(shù);

對于C.定義域為國x力卜兀+],keZ},關(guān)于原點對稱，tan(-x)=-tanx,則為奇函數(shù)；

對于。.定義域為R，/(-x)=-/(x),則為奇函數(shù).

故選艮

由常見函數(shù)的奇偶性和定義的運用，首先求出定義域，判斷是否關(guān)于原點對稱，再計算/(-久)，

與“X)的關(guān)系，即可判斷為偶函數(shù)的函數(shù).

本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查常見函數(shù)的奇偶性和定義的運用，考查運算能力，屬于基礎

題.

5.【答案】C

【解析】解:由題意可得g(x)=sin2(xY)=sin(2x19.

故選：C.

直接利用三角函數(shù)的圖象變換求出結(jié)果.

本題主要考查函數(shù)y=Asin^x+9)的圖象變換，屬于基礎題.

6.【答案】A

【解析】解：4中，若?！ā?ally,由平行于同一平面的兩平面平行，可得￡〃y,所以A正確;

B中，若五1方，ale,貝昉與c可能是異面直線，所以B錯誤；

C中，若有1。ale,則b與c可能平行，所以C錯誤；

。中，若a10,aly,則0與y可能相交，所以。錯誤.

故選：A.

根據(jù)空間中線線、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.

本題考查線面和面面的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：因為可=(4,0)，編=(1,門)，

所以工.相=4+0=4，|京|=4，

所以漏在惠上的投影向量為奢?"=；%?

故選：B.

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算和投影向量的定義計算即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算與投影向量的應用問題，是基礎題.

8.【答案】BC

【解析】解：對于4長度相等、方向相同的向量叫相等向量，故A錯誤；

對于氏單位向量的模為1,故8正確：

對于C,零向量的模為0,故C正確；

對于。，方向相同或相反的向量叫共線向量，

它們不一定在同一條直線上，故￡>錯誤.

故選：BC.

根據(jù)相等向量、單位向量、零向量、共線向量的概念，對題目中的命題進行分析、判斷即可.

本題考查向量的相關(guān)概念，屬基礎題.

9.【答案】AC

【解析】解：對于4Z2是純虛數(shù)，故A正確；

對于8,Z1-z2=(l-0-2i=l-3i,對應的點的坐標為(1,一3),位于第四象限，故B錯誤；

對于C,復數(shù)Z］的共輒復數(shù)為云=1+i，故C正確；

對于。，z1Z2=(1—i)?2i=2i+2,故。錯誤.

故選：AC.

對于4,根據(jù)純虛數(shù)的定義即可判斷；

對于8,先計算Z1-Z2,再根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可判斷；

對于C,根據(jù)復數(shù)的共朝復數(shù)的定義即可判斷；

對于。，根據(jù)乘法法則計算后即可判斷.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，純虛數(shù)的定義，復數(shù)的幾何意義，以及共輾分數(shù)復數(shù)的定義，屬

于基礎題.

10.【答案】AB

【解析】解：由題意可得，A=2,羊=,一(一看)=率故T=兀，3=2,則/(x)=2sin(2x+(p),

又因為/'借)=2s譏償+(p)=—2,故?+<p=2kn+:,k6Z,

所以3=1+2kn,keZ,所以/(x)=2sin(2x+1+2kn)=2sin(2x+今.

對于4當％=-巖時，2x+g=-苧，滿足該函數(shù)取得最值的條件，A正確；

對于8,丫=%寸，2x+^=2n,則(|兀,0)是該函數(shù)的對稱中心，B正確;

對于C,當xe同苧時，則t=2x+江用，等,

因為函數(shù)y=2sint在費,等不是單調(diào)減函數(shù)，

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間［支，芻上不是單調(diào)遞減函數(shù)，C錯誤；

對于。,/（一雪）=2s譏（Y+$=2siW=l,。錯誤.

故選：AB.

由最值求4由周期求3,再由/（居）=-2,可求仍進而可求函數(shù)解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的

性質(zhì)檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的大小，單調(diào)

性進行判斷是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

11.【答案】BCD

C、BCi，

因為A1BJIGDJ/CD,=。也=CD,

所以四邊形為平行四邊形,

所以&D//B1C,

所以直線Bq與當。所成的角即為直線與所成的角,

因為四邊形BBiGC為正方形,

所以BiC1BC],

故直線BCi與D&所成的角為90。，A錯誤;

連接5/，因為AB=ArBr=D^,

則四邊形ZBCWi為平行四邊形,

可得ADJ/BG，

直線BG與當4所成的角即為AD1與當4所成的角,

設正方體棱長為1,貝IJ4D1=ABX=&Di=<7,

所以△ABiDi為等邊三角形，

所以直線BQ與Bp4所成的角為60。，故B正確；

因為qCJL平面ABCD,

所以ZGBC為直線BG與平面4BCD所成的角，

易得△QBC為等腰直角三角形，

所以4GBe=45。，故C正確；

連接&品，設AGnBiDi=0,連接80,

因為BBi1平面&B1GD1，G。u平面為B1GD1，

則G。1BIB,

因為BXDX0BrB=Br,當劣，8/u平面8當。1。，

所以C101平面BBiA。，

所以NGBO為直線BG與平面BBiDW所成的角，

設正方體棱長為1,則60=年，BC]=。，sin/GBO=^=a

則直線BQ與平面BB15。所成的角為30。，故。正確.

故選：BCD.

數(shù)形結(jié)合，由異面直線所成角可判斷A,B；直線與平面所成角可判斷C,D.

本題主要考查空間角的定義及其求解，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】1

1

【解析】解：s譏150。=sin(180°-30°)=s譏30。=今

故答案為：

直接利用誘導公式化簡，計算即可得到結(jié)果.

此題考查了運用誘導公式化簡求值，熟練掌握誘導公式是解本題的關(guān)鍵.

13.【答案】2

【解析】解：因為向量為=(1,2)與向量石=(九一1)垂直，

所以1X4+2x(-1)=0,解得：2=2.

故答案為2.

題目給出了兩個相互垂直向量的坐標，直接由向量垂直的坐標表示列式可求;I的值.

本題考查向量的數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系，考查計算能力，是基礎題.

14.【答案】25

【解析】解：如圖所示，因為徑長為10米，下周長為10米，即04+0B10且a=101

所以扇形所在圓的半徑為R=岑=5米,

所以該扇形田的面積為S=：x10x5=25平方米.

故答案為：25.

根據(jù)題意，求得扇形所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式，即可求解.

本題主要考查三角形的面積公式，屬于基礎題.

15.【答案】2-，工

【解析】解：設AABC三個角4、B、C所對的邊分別為a,b,c,

取4B,4c中點D,E,連接00,OE,

因為△ABC的外接圓圓心為0,所以0D14B,OE1AC,

則而?布=c?2c=gc2,AC-^40=b-

因為而=a^+￡正，

所以四.而=a\AB\2+pAB-AC，AC-AO=aAB-AC+p\AC\2,

E|j|c2=c2a+；力2=ybca+爐儀

1E

a=1——

解得2c

P=1-禁'

所以a+S=2—浮<2-^x2

當且僅當"小即b=c時，等號成立,

所以a+￡的最大值為2-V-2.

故答案為：2-。.

設△ABC三個角4、B、C所對的邊分別為a,b,c,由而=aAB+pAC，可得荏?同=a\AB\2+

PAB-AC>AC-AO=aAB-AC+p\AC\2,根據(jù)數(shù)量積的幾何意義和定義，結(jié)合外接圓的性質(zhì)可

a=］——

W|c2=c2a+?bc小^b2=￥bca+b2/?>求得；：］［嘉，從而可得a+0=2—?《+

舁，利用基本不等式即可求解.

本題考查向量在平面圖形中的應用，平面向量的數(shù)量積等，屬于中檔題.

16.【答案】解：(1)因為s譏。=土。為第二象限角，所以cos8=-|,

故sin20=2sin9cos6=2xx(―|)=-|^.

(2)由(l)sin8=*cosO=

所以sin(?+；)=sindcos^+cosdsin^=?X(^—|)=卡.

【解析】(1)根據(jù)條件，利用平方關(guān)系求出cos。=-|,再利用正弦的倍角公式即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)(1)中結(jié)果，利用正弦的和角公式即可求出結(jié)果.

本題主要考查三角函數(shù)值的計算，利用三角函數(shù)的倍角公式以及兩角和差的正弦公式即求解是解

決本題的關(guān)鍵，是基礎題.

17.【答案】解：⑴|五|=1,|b|=V-2?a-(a+b')=a.2+a-b=2>

a-/?=2—1=1;

(2)由(1)得五.K=1，則cos位，力=潦*=—=?，

|a|-|D|IXVL/

又位花〉6(0,兀)，則向屈=亳

故為與加夾角。=今

⑶由⑴得五.石=1，則|有一2加|2=22-4五不+4二=1一4X1+4x2=5，即|五一2石|=

<5.

【解析】（1）根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運算法則，即可得出答案：

（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，利用數(shù)量積夾角公式，可得何是>=5即可得出答案：

（3）根據(jù)平面向量的線性運算可得18-23產(chǎn)=5,即可得出答案.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于基礎題.

18.【答案】解：（1）證明：設4CnB0=。，連接E。，

因為。，E分別是BD,PB的中點

,所以PD//EO…（4分）

而PDC面4EC,EOu面AEC,

所以PD〃面AEC...（7分）

（2）連接P0,因為PA=PC,

所以4c1P0,

又四邊形ABC。是菱形，

所以力C_LBD...（10分）

而POu面PBD,BDu面PBD,POC\BD=0,

所以4C1BPBD...（13分）

又ACu面4EC,

所以面4ECJ_面PB。...（14分）

【解析】（1）設ACnBD=。，連接E0,證明PD〃EO,利用直線與平面平行的判定定理證明PD〃

面4EC.

（2）連接P。，證明AC1PO,AC1BD,通過P。ClB。=。，證明4c_L面PB。，然后證明面4EC1面

PBD

本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力.

19.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理一三=3=告=2/?得：

stnAstnBsine

a=2RsinA,b=2Rsi?i8代入式子asinB=—y/~3bcosA?

化簡得，sinAsinB=—yJ~^sinBcosA,

vsinBH0,

:.sinA=-V_3cos4，即tariA=-\Z~~3,

Ae(0,7T),???i4=y.

(2)vS=1bcsinA=1x4csin^-=V-3c=2V-3,

???c=2,

由余弦定理得a?=b2+c2-2bccosA=42+22-2x4x2x(-^)=28,

a=2V-7

二a+b+c=2v~7+4+2=6+2，7,

ABC的周長為6+2/7.

【解析】(1)利用正弦定理化邊為角即可求解；

(2)根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理即可求解.

本題主要考查解三角形，正余弦定理的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)函數(shù)/(%)=siM尤+l5sinxcosx+g=上罷"+?sin2x+T=sin(2x—

看)+1,

故函數(shù)/(尤)的最小正周期為竿=n.

(2)函數(shù)f(%)的最大值為1+1=2,此時，2%—^=2kn+求得％=/CTT+*kEZ.

故函數(shù)的最大值為1,取得最大值時自變量X的取值集合為{%|%=々兀+9AEZ}.

(3)令2/CTT+工2x—<2kji+甲，求得k/r+%<kn4-

26236

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為阿+9時+靠，fcez.

【解析】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、最值以及單調(diào)性，屬于中檔題.

(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得函數(shù)/(x)的最小正周期.

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的最值求得函數(shù)的最大值及取得最大值時自變量X的取值集合.

(3)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

21.【答案】解：(I)作EAfLOM,垂足為M,作FN10N,垂足為N,

因為ZO4E=2所以4ME。=Z.NOF=乙BFO=

OO

在Rt^ADE中，ED=2.4xtang=塔,

65

在Rtz\BCF中，。?=鳥=手,

tariT65

在中’°E=袤=殍'

4

在RtZiONF中，。?===8,

sm6

所以CD=0E+OF-ED—CF=誓+8-亨-=8-苛.

(11)因為/。45=凡所以OE=^,。?=±，E